宏观引力系统, 比如黑洞, 与非引力系统在热力学方面很不一样, 其态函数熵与温度本质上是量子的,
没有经典对应, 因此对应的热力学在一定意义上来说本质上也是量子的,
弦/M- 理论中黑膜热力学及相变
卢建新
中国科学技术大学交叉学科理论研究中心，合肥230026
* 联系人, E-mail: jxlu@ustc.edu.cn
收稿日期: 2012-07-05; 接受日期: 2012-08-31; 网络出版日期: 2012-10-26
国家自然科学基金(批准号: 10975129) 资助项目
第18卷第5期
2002年10月
商丘师范学院学报
JOURNAI OF SHANGQIU TEACHERS CoI I EGE
Vo1．18 No．5
October，2002
http://www.wulixueyuan.com/lilun/xitonglun/88.html
熵力：认识宇宙的新视角
作者：余惠敏 来源：网络 更新日期：2012-02-17 浏览次数：
11401次
2010年，理论物理学界有重大发现。荷兰人艾瑞·威林德（Erik Verlinde）提出“引力能解释为熵力”，引发弦论研究者的大讨论。中科院理论物理研究所研究员李淼对Erik的理论进行了完善，修正了其中一个重要错误。这个理论的意义何在？破绽在哪里？我国的理论物理学家在这方面又有哪些最新发现？带着这些问题，记者在近期举办的一次“果壳时间”科普讲座之后，采访了与会嘉宾——理论物理学家李淼。
引力是否为熵力
（余惠敏）问：过去的一年里，荷兰人艾瑞·威林德（Erik Verlinde）的引力即熵力理论在理论物理学界引起了很大反响，这个理论有什么不凡之处？
（李水）答：威林德2010年1月提出万有引力就是熵力的想法。牛顿认为，引力是无条件的万有引力，是基本力。爱因斯坦的时空理论中，万有引力是时空弯曲引起的，但他仍然认为万有引力是基本力。而在威林德的熵力理论中，即使时空弯曲也是熵变引起的。他认为，引力本身不是基本的作用力，而是一种宏观力，叫做熵力。这种观点目前很流行，同时也有一定的争议。
问：熵力是什么力？
答：熵在物理学中指的是混乱度，混乱度增大，熵增加。熵力的一个例子是耳机线，我们将耳机线整理好放进口袋，下次再拿出来已经乱了。让耳机线乱掉的看不见的“力”就是熵力，耳机线喜欢变成更混乱。熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力，就是熵力，
理想费米气体的热力学性质
尹 国 盛
(河南大学物理系，河南开封475001)
摘 要：用量子统计的方法讨论了理想费米气体的热力学性质，指出了费米气体在高温时趋于经典极限，在低
温时以一个有限的费米球存在
关键词：费米气体；热力学性质；状态方程
中图分类号：O414．2 文献标识码：A 文章编号：1008—2662(2002)05—0015—04
The thermodynamic properties of the ideal fermi gas
YIN Guo—sheng
(Department of Physics，Henan University，Kaifeng 475001，China)
Abstract：They are discussed from a viewpoint of quantum statistics．It is found that the ideal Ferm i gas tends tO
the classical limit at high temperature and exists in the way of a Fermi ball at low temperature．
Key words：fermi gas；thermodynamic property；state equation
1 问题的提出
假设一个粒子系统是由N 个粒子组成，这些粒子是全同的、不可分辨的，并且这些粒子遵从泡利不相容
原理，因而不能有两个粒子处于同一个动力学的态，整个系统的波函数必然是反对称的(满足所有这些要求
的粒子叫做费米子)．同时假设粒子间的作用可以略去，即认为这些粒子是整个力学系统的近独立子系．由于
近独立子系所组成系统的稳定态可以用其子系的单粒子态描写，因此，我们依照经典统计法中把整个力学系
统的运动状态用子相宇中N 个点的分布来确定的描述方法，引入{ {分布的概念去描写整个系统的状态，
即把能量为e的本征态的粒子数以 表示，而{ }分布满足Σ” =N，Σ” e=E，式中N是总粒子数，E
是总能量，E= p2／2m 是单粒子态的能量， =0，1
2 主要结果
为便于讨论．先引入巨配分函数
三(z，V，丁)=ΣzNQN(V，丁) (1)
式中Z：exp(一a)=exp(1~／kT)是易逸度，QN是正则系统的配分函数，在这里是确定的量，对理想气体有
QN(V，丁)=Σe一 =ΣwI }e一 ”t (2)
E
。
I
其中 ： 1／kT，W { }表示对应于{ }分布的态数
收稿日期：2001—12—04
作者简介：尹国盛(1955一)，男，河南淮阳人，河南大学副教授，主要从事热力学的研究
16 商丘师范学院学报 2002芷
= ㈥
将(2)、(3)两式代入(1)式有
三(z，V，T)=ΣzN[Σ e—p ]
N 0
，
l
这里第二个求和号加了一撇，表示在进行这个求和时，要受到Σ =N的限制．然而，第一个求和是对所有
可能的N 求和．这两个求和后的结果等于各 彼此独立地对所有可能的N 求和．
因为 z te—p,c =(Ze- ) =Ⅱ (Ze- ) t
所以 E(z，V，丁)：Σ[Σ II(Ze一 ) c]=II(1+Ze一 )． (4)
” 0
E
j e ‘
又因为Tds=d U+PdV一Σ fdn ，
5-1d[1nE+ (U一 )]=dU+Σz dz 一 d ．
将此二式比较并考虑到 = 、 = U —TS+PV，则有1n三= PV／kT，若令其恒等于Y，则
j，三lna： = _ln[Ⅱ (1+ )=Σln(1+ )． (5)
所以 N：z( ) =Σ[e +1 (6)
u：一(器)z，y=Σe[e +1 (7)
若体积足够大，粒子的能级将非常接近，(5)、(6)两式的求和可换成积分，再定义
(z)= ， 0≤ z≤ 。。， (8)
并引入表示由粒子“内部结构”而产生的权重因子j，—— 退化度，则有
= z(Z)，1
v = z(Z)． (9)
这里，一( )为伽马函数，z= ， =h[2rcmkT]一主，U = V／N．从(9)式中消去Z即可得到理想费米气体的
状态方程，这便是我们所要利用的基本公式，通过适当的运算，可得
内能
U = (3NkT／2)f5／2(Z)／f3／2(Z)， (10)
压强
P =2 u／3 V， (11)
比热
Cv= (3Nk／4)[5f5／2(Z)／f3／2(z)一3f3／2(Z)／f1／2(Z)]， (12)
自由能
F ： NkT[1nZ—f5／2(Z)／f3／2(z)]， (13)
熵
S = Nk[5f5／2(Z)／f3／2(z)一lnZ]， (14)
焓
H = (5NkT／2)f5／2(Z)／f3／2(z)， (15)
自由焓
= NkTlnZ， (16)
巨热力势
= ～ NkTfs／2(Z)／f3／2(Z)． (17)
Σ
p
—
e
Σ
Z
Σ
Σ
第5期 尹国盛：理想费米气体的热力学性质 17
只要求出Z ： Z( ，丁)，利用(8)式，并代入(9)～ (17)式，便司得出用粒子数密度 和温度丁表不的
状态方程及各热力学函数的具体值．
对于小z，可将(8)式积分中的被积函数展开为z的级数
(z)=z一厶蒡 +厶爹 ⋯⋯(18)
所以，当Z很小时，有 (Z)≈ Z．
当Z很大时，可引入变数t： lnZ，于是
』 ，
对于t很大的情况，有
F (￡)≈I xn-idx=tn／ ，
J 0
所以， (t)≈ ￡ ／r( +1)，
下面讨论两种特殊情况：
(1)高温和低密度情况( ／gV《1)
当气体的密度很低且温度很高时，粒子间的平均距离(V ／)比热波长 大得多，这时的气体为非简并
的，此时有f3／2(z)= ),3／gV《1，即Z《1，亦即当z一0时， (z)一Z，故可取(18)式的首项， (z)
= Z，通过运算便可得出
P = NkT，Z = na ／g，U ： 3NkT／2，P = NkT／V，Cy=3Nk／2，F ：NkT[1n(n2t Ig)一1]，S=
Nk[5／2一In(na ／g)]，H =5NkT／2， ：NkTln(na g)， =一NkT．
这些结果和经典结果完全一致．可见：Z一0的极限就是费米体系的经典极限．
如果参量Z虽比1小，但又不接近于零，此时只能借助于基本公式对Z的级数展开，并通过基本方程将
热力学函数对Z的幂展开式转换为以简并判据na 为宇量的幂展开式，这里不再赘述．
(2)低温和高密度情况( ／gV》1)
在这种情况下，粒子的平均热波长 比粒子间平均距离大得多，因此，量子效应表现显著，特别是泡利不
相容原理起显著作用，这时的气体为简并的．对(9)式中 (Z)可用渐近展开式．
㈩= [1+ ( 一1) 6
t2+ ( 一1)( 一2)( 一3 77r4
+．．⋯]， (19)
于是有
z)= (1nz) [1+等(1n +．．．．．．]， (20)
2(z)= (1nz) [1+ zr2(1
nz)一2+．．⋯]， (21)
j 4 It" u
f1／2(z)= (1nz) [ 一 zr2
1 ／ 2(z)= — (1nz)主[1 一 (1nz) 一 +⋯．．⋯⋯． (22)
将(20)～(22)式分别代入(9)～(17)式，只要注意函数乘积中应保留的幂次，就可得其具体表示式．在
实际应用中，多用 (丁)三志丁lnz来表示z，展开参量为志丁／￡F，取其一级近似为 =￡F[1一襄( ) ]，而
≈( )j 三eF为零级近似，称为费米能．则有
P= 2 F[1+等( ⋯．]' (23)
U
= 3￡F[1+箸( ⋯．]， (24)
一
Cv
一
~r
2
(k
￡
T1)
Nk 2 F ， (，2⋯) ￡ ’ 、-一，
18 商丘师范学院学报 2002正
H = ￡F[1+5
l
~
2
(k
￡F
T) +．．⋯(26)
(27)
(28)
： ￡F(1一n
．
2
，
(kT) ]
， (29)
』 l EF
1"2 ：一 ￡F[1+5
1
w
2
(k
￡
T ) +．．⋯]
． (30)
在(23)、(24)两式中令k一0即得基态结果．值得注意的是，在绝对零度下，理想费米气体的压强不为
零．而是P： 2 ￡ ／5，这是泡利不相容原理的结果．由于这一原理，只有一个具有零动量的粒子，其它粒子均
具有有限的动量，从而产生了“零点”压．由(25)、(27)式知，在很低的温度下，当丁一0时，C 一0、S一0，这
符合热力学第三定律．
总之，费米气体在高温时趋于经典极限，在低温下以一个有限的费米球存在．事实上，如果每个粒子占据
各量子态的“权力”是不相容的，那么，即使在绝对零度下，我们都不可能使它们凝聚于一个单一的量子态
中，最多只能让它们按能级(或量子态)分“权”，而且按“后来者居上”的方式逐一地堆积，直到堆完所有粒子
为止．因此，费米体系即使在绝对零度下，仍存在基态压强、基态能以及单粒子基态动量，总之，仍存在基态运
动．此外，费米体系在低温下将因粒子问对占据量子态的排斥效应，而显得更易于逃逸，因而逃逸度z可以大
于零，从而允许化学势 为正．并且，当丁一0K 时，熵S和比热Cy皆一致地趋于零，遵从热力学第三定律．
参考文献：
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