保角几何（二）

季候风 · 发表于 2008-3-4 03:21:14

现在来考虑带有不正定度量的仿射空间 $\mathbb R^{p,q}$ . 度量形式为 $-(dx^1)^2 -\cdots -(dx^p)^2 +(dy^1)+\cdots (dy ^q)^2$ . 把它映到高两维的空间 $\mathbb R^{p+1,q+1},\quad (\mathbf v, \mathbf w)$ :

$(\mathbf x, \mathbf y)\mapsto \left(\mathbf x,\quad\frac{-|\mathbf x|^2+|\mathbf y|^2 +1}{2},\quad \mathbf y,\quad \frac{-|\mathbf x|^2+|\mathbf y|^2 -1}{2}\right)$

它将 $\mathbb R^{p,q}$ 映到 $\mathbb R^{p+1,q+1}$ 的 “零锥” $-|\mathbf v|^2+|\mathbf w|^2=0$ 上。这里不能说光锥因为不一定是 Minkowski 空间。这个映射是到像集上的等距，因为是嵌入子流形而且

$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{(\mathbf x,\mathbf y)} \mapsto \frac{\partial}{\partial v^i}- x^i \frac{\partial}{\partial v^{p+1}}-x^i \frac{\partial}{\partial w^{q+1}}$

$\left(\frac{\partial}{\partial y^j}\right)_{(\mathbf x,\mathbf y)} \mapsto \frac{\partial}{\partial w^j}+ y^j \frac{\partial}{\partial v^{p+1}}+y^j \frac{\partial}{\partial w^{q+1}}$

计算它们在 $\mathbb R^{p+1,q+1}$ 里的内积，跟原来的切向量在 $\mathbb R^{p,q}$ 里的内积一致。

这个像集是零锥同超平面 $v^{p+1}-w^{q+1}=1$ 的交。零锥上的点只要满足 $v^{p+1}-w^{q+1}\neq 0$ , 过这个点的锥线就一定同超平面 $v^{p+1}-w^{q+1}=1$ 相交于一点。所以像集遍历几乎所有锥线，除了满足 $v^{p+1}=w^{q+1}$ 的那些锥线。由这个方程定义的超平面与零锥并非横截相交，所以满足这个方程的锥线集合是比像集维数低的空间，那么像集对应的所有锥线的集合的自然闭包就是零锥的所有锥线。

要看到零锥的所有锥线形成的集合，用球面 $|\mathbf v|^2+|\mathbf w|^2=2$ 来截零锥，每条锥线穿过球面的一对对径点。相交的集合满足方程 $|\mathbf v|^2=1,\quad |\mathbf w|^2=1$ . 这个集合是两个球面的乘积， $S^p\times S^q$ , 度量在第一个球面上负定，在第二个球面上正定。但要等同对径点，所以它是 $\mathbb RP^{p+q+1}$ 的子流形 $(S^p\times S^q)/\mathbb Z_2$ . 这个流形就是 $\mathbb R^{p,q}$ 的保角紧化。欧氏空间的保角紧化是特例， $(S^0\times S^n)/\mathbb Z_2 \cong S^n$ .

欧氏空间的保角紧化就是添进了一个无穷远点。 $\mathbb R^{p,q}$ 紧化的时候添进来东西比较复杂，是在超平面 $v^{p+1}=w^{q+1}$ 里面的锥线。也就是 $(S^p\times S^q)/\mathbb Z_2$ 里满足 $v^{p+1}=w^{q+1}$ 的点。看看低维的情形，p=q=1. 在等同对径点之前， $S^1\times S^1$ 是一个环面，带有从 $\mathbb R^{2,2}$ 诱导的 Minkowski 度量。添进来的 “无穷远点” 组成环面上两条绕经线和纬线各一次的曲线，它们交于两个点。看到这个图像最好的办法是用环面的泛复叠（平面）。一旦把这些对象都实现在泛复叠上，那么非常明显在等同对径点以后仍然是一个小一点的 Minkowski 环面，而且无穷远点正好组成这个小环面的一条经线和一条纬线，但是它们不是度量的负定方向和正定方向的经纬线。

黎曼球面去掉一个点然后展开，得到欧氏平面。现在把 Minkowski 环面去掉（与度量正定负定方向成 45度角）的一条经线和一条纬线，然后铺平，就得到 Minkowski 平面。高维的 Minkowski 空间和更一般不定度量空间的无穷远点的结构更加复杂，看不看得到就因人而异了。

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