price curve= a market 意识 process, curved space or not
Saturday, July 26, 2008
解读庞加莱关于数学发现的心理学经典演讲（ZT）
然在讨论组上发过了，但还是忍不住转载过来。上次从认知学角度总结了一下关于算法学习为何应该知其所以然，收到一些批评，但其实我说的早就不是什么新鲜的观点，关于知识讲授过程中的思维呈现西方早有评论和建设性的做法，尤其是对于数学。而我只是加了点认知科学解释而已（而这方面的解释则是基于我大半年来在心理学和认知科学方面做的功课（这里，和这里））。想来是开头对著作们的批评语气所致（但其实我完全没有否认它们的价值，只是建议多做一些寻根究底的功课而已）。
好吧，那就再来看看庞加莱是怎么说的（如果我没记错的话，欧拉也非常注重思维的讲述，并认为不能讲述数学发明背后的思维的教学是没有意义的）。注意，庞加莱那个时候，心理学和认知科学差不多才起步。关于学习和记忆的研究也不是很清晰。（关于学习与记忆的神经生物学基础是Eric Kandel做的（《追寻记忆的痕迹》），那都已经是晚近的事情了，Kandel因此获得2000年诺贝尔奖。关于记忆的系统介绍强烈推荐《找寻逝去的自我》。）庞加莱是基于内省方法来研究问题解决心理学的，但基于一个最牛数学家的大量解决问题的心理体验，庞加莱基本上把解题心理学归纳了个八九不离十，从今天的认知科学角度来看是他总结得是相当准确的。
感谢微软百科全书收藏了科学美国人曾经重新刊印的这篇经典演讲。
以下是导读和自己的一点感想，如果不想被先入为主地干扰请略过直接浏览全文：
在读《数学领域发现的心理学》的时候看到脚注里面提到庞加莱的这篇演讲。最喜欢数学家讲problem solving心理学了。认知科学家、神经科学家没有数学家解决复杂问题时候的心理体验，所以做的研究缺乏一些也许只能靠内省来获得的知识，而且使用的问题也趋于简单。而数学家又往往不通心理学，或者干脆就不关心问题到底是怎么解决的，只关心能否解决。
所幸庞加莱，这个被称为最后一位全才的人，对解题的心理学也非常有兴趣和研究。在演讲中可以发现，他对于自己解决数学问题过程中的心理过程作了深刻的反省，虽然庞加莱不是认知神经科学家，但演讲中的使用的类比以及描述基本上都是靠谱的。
其中最有意思的是他也提到了自己的几次顿悟的瞬间（其中有一次就是著名的踏上马车一瞬间想到解的那次）。
庞加莱认为下意识里面会对问题的各个元素（条件）进行组合，然后根据人对于知识的某种美感上的偏好筛选出来，那些足够"美"的东西就会浮上意识层面，于是产生顿悟。这也是我看了一些认知科学的书之后得到的说法。但此外庞加莱同时也认为下意识进行的探索是相当多的，他认为也许远远大于意识层面进行的探索（组合）。而我倾向于认为下意识层面能进行的逻辑推理是有限远的，一般一到两步就了不得了。下意识里面更多的进行的是某种模糊的模式匹配，或者说模糊联想。这就是为什么对问题有一个全局感性认识那么重要的原因，这样的认识足够模糊足够全局，有助于提取出重要的相关知识来。此外，一个总体的认识往往包含了问题的最重要（往往也是最本质的）要素，将这些要素同时装进工作记忆有着非常重要的意义——使它们有机会组合在一起，衍生出新的知识。否则就是陷在在问题的某个局部（某几个局部条件）下，得到不相干的知识。
另外他也提到了对问题整体理解的另一个好处：当你对解的大致过程有了一个整体认识之后，即便缺乏某个局部的细节，也可以在这个整体视图的指导下将其推导出来（填充出来）。说到这里顺便说一个有关的思维心理学实验：大家知道围棋高手能够记忆非常复杂的残局，而新手简直连半部残局也记忆不了。原因其实就是围棋高手具有领域知识：对各种各样围棋套路的知识，对各种局面的形态的知识。有了这些知识，只要记住局面的一个大概，就可以推导出那些细节了。事实上，当让高手们记忆一盘毫无规律放置的棋局时，他们的表现并不比门外汉好。
以下是全文转载(via)：（文章不长；况且，如果庞加莱的文章不值得你捏着鼻子看中古英文，什么人的才值得呢？:-)）
Mathematical Creation
How is mathematics made? What sort of brain is it that can compose the propositions and systems of mathematics? How do the mental processes of the geometer or algebraist compare with those of the musician, the poet, the painter, the chess player? In mathematical creation which are the key elements? Intuition? An exquisite sense of space and time? The precision of a calculating machine? A powerful memory? Formidable skill in following complex logical sequences? A supreme capacity for concentration?
The essay below, delivered in the first years of this century as a lecture before the Psychological Society in Paris, is the most celebrated of the attempts to describe what goes on in the mathematician's brain. Its author, Henri Poincaré, cousin of Raymond, the politician, was peculiarly fitted to undertake the task. One of the foremost mathematicians of all time, unrivaled as an analyst and mathematical physicist, Poincaré was known also as a brilliantly lucid expositor of the philosophy of science. These writings are of the first importance as professional treatises for scientists and are at the same time accessible, in large part, to the understanding of the thoughtful layman.
Poincaré on Mathematical Creation
The genesis of mathematical creation is a problem which should intensely interest the psychologist. It is the activity in which the human mind seems to take least from the outside world, in which it acts or seems to act only of itself and on itself, so that in studying the procedure of geometric thought we may hope to reach what is most essential in man's mind...
A first fact should surprise us, or rather would surprise us if we were not so used to it. How does it happen there are people who do not understand mathematics? If mathematics invokes only the rules of logic, such as are accepted by all normal minds; if its evidence is based on principles common to all men, and that none could deny without being mad, how does it come about that so many persons are here refractory?
That not every one can invent is nowise mysterious. That not every one can retain a demonstration once learned may also pass. But that not every one can understand mathematical reasoning when explained appears very surprising when we think of it. And yet those who can follow this reasoning only with difficulty are in the majority; that is undeniable, and will surely not be gainsaid by the experience of secondary-school teachers.
And further: how is error possible in mathematics? A sane mind should not be guilty of a logical fallacy, and yet there are very fine minds who do not trip in brief reasoning such as occurs in the ordinary doings of life, and who are incapable of following or repeating without error the mathematical demonstrations which are longer, but which after all are only an accumulation of brief reasonings wholly analogous to those they make so easily. Need we add that mathematicians themselves are not infallible?...
As for myself, I must confess, I am absolutely incapable even of adding without mistakes... My memory is not bad, but it would be insufficient to make me a good chess-player. Why then does it not fail me in a difficult piece of mathematical reasoning where most chess-players would lose themselves? Evidently because it is guided by the general march of the reasoning. A mathematical demonstration is not a simple juxtaposition of syllogisms, it is syllogisms placed in a certain order, and the order in which these elements are placed is much more important than the elements themselves. If I have the feeling, the intuition, so to speak, of this order, so as to perceive at a glance the reasoning as a whole, I need no longer fear lest I forget one of the elements, for each of them will take its allotted place in the array, and that without any effort of memory on my part.
We know that this feeling, this intuition of mathematical order, that makes us divine hidden harmonies and relations, cannot be possessed by every one. Some will not have either this delicate feeling so difficult to define, or a strength of memory and attention beyond the ordinary, and then they will be absolutely incapable of understanding higher mathematics. Such are the majority. Others will have this feeling only in a slight degree, but they will be gifted with an uncommon memory and a great power of attention. They will learn by heart the details one after another; they can understand mathematics and sometimes make applications, but they cannot create. Others, finally, will possess in a less or greater degree the special intuition referred to, and then not only can they understand mathematics even if their memory is nothing extraordinary, but they may become creators and try to invent with more or less success according as this intuition is more or less developed in them.
In fact, what is mathematical creation? It does not consist in making new combinations with mathematical entities already known. Anyone could do that, but the combinations so made would be infinite in number and most of them absolutely without interest. To create consists precisely in not making useless combinations and in making those which are useful and which are only a small minority. Invention is discernment, choice.
It is time to penetrate deeper and to see what goes on in the very soul of the mathematician. For this, I believe, I can do best by recalling memories of my own. But I shall limit myself to telling how I wrote my first memoir on Fuchsian functions. I beg the reader's pardon; I am about to use some technical expressions, but they need not frighten him, for he is not obliged to understand them. I shall say, for example, that I have found the demonstration of such a theorem under such circumstances. This theorem will have a barbarous name, unfamiliar to many, but that is unimportant; what is of interest for the psychologist is not the theorem but the circumstances.
For fifteen days I strove to prove that there could not be any functions like those I have since called Fuchsian functions. I was then very ignorant; every day I seated myself at my work table, stayed an hour or two, tried a great number of combinations and reached no results. One evening, contrary to my custom, I drank black coffee and could not sleep. Ideas rose in crowds; I felt them collide until pairs interlocked, so to speak, making a stable combination. By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series; I had only to write out the results, which took but a few hours.
Then I wanted to represent these functions by the quotient of two series; this idea was perfectly conscious and deliberate, the analogy with elliptic functions guided me. I asked myself what properties these series must have if they existed, and I succeeded without difficulty in forming the series I have called theta-Fuchsian.
Just at this time I left Caen, where I was then living, to go on a geologic excursion under the auspices of the school of mines. The changes of travel made me forget my mathematical work. Having reached Coutances, we entered an omnibus to go some place or other. At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformations I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-Euclidean geometry. I did not verify the idea; I should not have had time, as, upon taking my seat in the omnibus, I went on with a conversation already commenced, but I felt a perfect certainty. On my return to Caen, for conscience's sake I verified the result at my leisure.
Then I turned my attention to the study of some arithmetical questions apparently without much success and without a suspicion of any connection with my preceding researches. Disgusted with my failure, I went to spend a few days at the seaside, and thought of something else. One morning, walking on the bluff, the idea came to me, with just the same characteristics of brevity, suddenness and immediate certainty that the arithmetic transformations of indeterminate ternary quadratic forms were identical with those of non-Euclidean geometry.
Returned to Caen, I meditated on this result and deduced the consequences. The example of quadratic forms showed me that there were Fuchsian groups other than those corresponding to the hypergeometric series; I saw that I could apply to them the theory of theta-Fuchsian series and that consequently there existed Fuchsian functions other than those from the hypergeometric series, the ones I then knew. Naturally I set myself to form all these functions. I made a systematic attack upon them and carried all the outworks, one after another. There was one, however, that still held out, whose fall would involve that of the whole place. But all my efforts only served at first the better to show me the difficulty, which indeed was something. All this work was perfectly conscious.
Thereupon I left for Mont-Valérien, where I was to go through my military service; so I was very differently occupied. One day, going along the street, the solution of the difficulty which had stopped me suddenly appeared to me. I did not try to go deep into it immediately, and only after my service did I again take up the question. I had all the elements and had only to arrange them and put them together. So I wrote out my final memoir at a single stroke and without difficulty.
I shall limit myself to this single example; it is useless to multiply them...
Most striking at first is this appearance of sudden illumination, a manifest sign of long, unconscious prior work. The role of this unconscious work in mathematical invention appears to me incontestable, and traces of it would be found in other cases where it is less evident. Often when one works at a hard question, nothing good is accomplished at the first attack. Then one takes a rest, longer or shorter, and sits down anew to the work. During the first half-hour, as before, nothing is found, and then all of a sudden the decisive idea presents itself to the mind...
There is another remark to be made about the conditions of this unconscious work; it is possible, and of a certainty it is only fruitful, if it is on the one hand preceded and on the other hand followed by a period of conscious work. These sudden inspirations (and the examples already cited prove this) never happen except after some days of voluntary effort which has appeared absolutely fruitless and whence nothing good seems to have come, where the way taken seems totally astray. These efforts then have not been as sterile as one thinks; they have set agoing the unconscious machine and without them it would not have moved and would have produced nothing...
Such are the realities; now for the thoughts they force upon us. The unconscious, or, as we say, the subliminal self plays an important role in mathematical creation; this follows from what we have said. But usually the subliminal self is considered as purely automatic. Now we have seen that mathematical work is not simply mechanical, that it could not be done by a machine, however perfect. It is not merely a question of applying rules, of making the most combinations possible according to certain fixed laws. The combinations so obtained would be exceedingly numerous, useless and cumbersome. The true work of the inventor consists in choosing among these combinations so as to eliminate the useless ones or rather to avoid the trouble of making them, and the rules which must guide this choice are extremely fine and delicate. It is almost impossible to state them precisely; they are felt rather than formulated. Under these conditions, how imagine a sieve capable of applying them mechanically?
A first hypothesis now presents itself; the subliminal self is in no way inferior to the conscious self; it is not purely automatic; it is capable of discernment; it has tact, delicacy; it knows how to choose, to divine. What do I say? It knows better how to divine than the conscious self, since it succeeds where that has failed. In a word, is not the subliminal self superior to the conscious self? You recognize the full importance of this question...
Is this affirmative answer forced upon us by the facts I have just given? I confess that, for my part, I should hate to accept it. Re-examine the facts then and see if they are not compatible with another explanation.
It is certain that the combinations which present themselves to the mind in a sort of sudden illumination, after an unconscious working somewhat prolonged, are generally useful and fertile combinations, which seem the result of a first impression. Does it follow that the subliminal self, having divined by a delicate intuition that these combinations would be useful, has formed only these, or has it rather formed many others which were lacking in interest and have remained unconscious?
In this second way of looking at it, all the combinations would be formed in consequence of the automatism of the subliminal self, but only the interesting ones would break into the domain of consciousness. And this is still very mysterious. What is the cause that, among the thousand products of our unconscious activity, some are called to pass the threshold, while others remain below? Is it a simple chance which confers this privilege? Evidently not; among all the stimuli of our senses, for example, only the most intense fix our attention, unless it has been drawn to them by other causes. More generally the privileged unconscious phenomena, those susceptible of becoming conscious, are those which, directly or indirectly, affect most profoundly our emotional sensibility.
It may be surprising to see emotional sensibility invoked à propos of mathematical demonstrations which, it would seem, can interest only the intellect. This would be to forget the feeling of mathematical beauty, of the harmony of numbers and forms, of geometric elegance. This is a true esthetic feeling that all real mathematicians know, and surely it belongs to emotional sensibility.
Now, what are the mathematic entities to which we attribute this character of beauty and elegance, and which are capable of developing in us a sort of esthetic emotion? They are those whose elements are harmoniously disposed so that the mind without effort can embrace their totality while realizing the details. This harmony is at once a satisfaction of our esthetic needs and an aid to the mind, sustaining and guiding. And at the same time, in putting under our eyes a well-ordered whole, it makes us foresee a mathematical law... Thus it is this special esthetic sensibility which plays the role of the delicate sieve of which I spoke, and that sufficiently explains why the one lacking it will never be a real creator.
Yet all the difficulties have not disappeared. The conscious self is narrowly limited, and as for the subliminal self we know not its limitations, and this is why we are not too reluctant in supposing that it has been able in a short time to make more different combinations than the whole life of a conscious being could encompass. Yet these limitations exist. Is it likely that it is able to form all the possible combinations, whose number would frighten the imagination? Nevertheless that would seem necessary, because if it produces only a small part of these combinations, and if it makes them at random, there would be small chance that the good, the one we should choose, would be found among them.
Perhaps we ought to seek the explanation in that preliminary period of conscious work which always precedes all fruitful unconscious labor. Permit me a rough comparison. Figure the future elements of our combinations as something like the hooked atoms of Epicurus. During the complete repose of the mind, these atoms are motionless, they are, so to speak, hooked to the wall...
On the other hand, during a period of apparent rest and unconscious work, certain of them are detached from the wall and put in motion. They flash in every direction through the space (I was about to say the room) where they are enclosed, as would, for example, a swarm of gnats or, if you prefer a more learned comparison, like the molecules of gas in the kinematic theory of gases. Then their mutual impacts may produce new combinations.
What is the role of the preliminary conscious work? It is evidently to mobilize certain of these atoms, to unhook them from the wall and put them in swing. We think we have done no good, because we have moved these elements a thousand different ways in seeking to assemble them, and have found no satisfactory aggregate. But, after this shaking up imposed upon them by our will, these atoms do not return to their primitive rest. They freely continue their dance.
Now, our will did not choose them at random; it pursued a perfectly determined aim. The mobilized atoms are therefore not any atoms whatsoever; they are those from which we might reasonably expect the desired solution. Then the mobilized atoms undergo impacts which make them enter into combinations among themselves or with other atoms at rest which they struck against in their course. Again I beg pardon, my comparison is very rough, but I scarcely know how otherwise to make my thought understood.
However it may be, the only combinations that have a chance of forming are those where at least one of the elements is one of those atoms freely chosen by our will. Now, it is evidently among these that is found what I called the good combination. Perhaps this is a way of lessening the paradoxical in the original hypothesis...
I shall make a last remark: when above I made certain personal observations, I spoke of a night of excitement when I worked in spite of myself. Such cases are frequent, and it is not necessary that the abnormal cerebral activity be caused by a physical excitant as in that I mentioned. It seems, in such cases, that one is present at his own unconscious work, made partially perceptible to the over-excited consciousness, yet without having changed its nature. Then we vaguely comprehend what distinguishes the two mechanisms or, if you wish, the working methods of the two egos. And the psychologic observations I have been able thus to make seem to me to confirm in their general outlines the views I have given.
Surely they have need of [confirmation], for they are and remain in spite of all very hypothetical: the interest of the questions is so great that I do not repent of having submitted them to the reader.
【庞加莱ZT】
昂利•庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱
庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。
庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。
庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行。
庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。
1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。为了了解时局，他很快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。
1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。
1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。
1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。
1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。
1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。
庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。
庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。
庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。
庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。
庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。
庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。
庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。
1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。
1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。
1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁!
庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。
罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是昂利·庞加莱。“当我最近在盖•吕萨街庞加莱通风的休息处拜访他时，……我的舌头一下子失去了功能，直到我用了一些时间(可能有两、三分钟)仔细端详和承受了可谓他思想的外部形式的年轻面貌时，我才发现自己能够开始说话了。”
这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、预示了柯西的一个后继者的到来的论文作者，这是创办《美国数学杂志》的英国数学家西尔维斯待于1885年见到庞加莱的心情写照。
阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”
庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
【网友评论ZT】
http://samsaralyn.spaces.live.com/blog/cns!2983EF1AEFB99A1E!647.entry?wa=wsignin1.0
要说起来这个猜想的术语那是很抽象的，是说“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，但是这让数学的外行害怕，一害怕就不敢研究。但这样就有问题，万一其它专业的人要利用这个原理呢？所以我尝试用通俗的办法来讲一下什么是庞加莱猜想。
首先，我以前一直就是有一个观点，那就是数学家真没有意思，数学家要证明的东西，往往在常人看来，都是废话。什么是废话呢？比如人不吃饭要饿死，汽车没有火车跑得快这样的肯定对头的话，或者在常人看来理当如此的话。但是数学家们偏要证明一下，而且证明起来还挺难。
比方说吧，两点之间直线最近，这件事情不要说每一个人知道，甚至连一条狗都知道。但是你要真正证明它，光大学的高等数学知识还是不够的，还要进修泛函分析，变分法，这才能够证明这件事情，瞧这多麻烦？
好，现在来讲这个庞加莱猜想是什么回事，后面大家会看到，那其实也是一个废话。当然，现在已经证明了，就是庞加莱定理了。因为是在三维空间，因此就好说了。
我们居住的房子，如果里面没有摆放任何家具，当然就是一个长方体的形状的空间，有长，宽，高。当然，我们不讨论这样的通常的房子。
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一下，一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
嗨，我不妨假设这个球形的房子周边其实是钢做的表面，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球型房子里呆着。
现在拿一个汽球来，带到这个球形的房子里。随便什么汽球都可以（我一开始故意这么说，其实对这个汽球是有要求的）。这个汽球并不是瘪的，而是已经吹大成某一个形状了，什么形状都可以（后面要说明这也是胡说，其实对形状也是有要求的）。但是这个汽球，我们还可以继续吹大它，而且假设汽球的皮特别结实，肯定不会被吹炸了。还要假设，这个汽球的皮是无限薄的。当然，又无限薄又能够结实，这本身就是脱离实际了，但是没有办法啊，科学总是要抽象的嘛，不让抽象我们就得不出什么成果。
好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹啊吹。吹到最后会怎么样呢？那个庞加莱先生就猜想了，吹到最后，一定是这个汽球的表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙了。
当然，还要有一些假设，就是我们这个人不能呆在这个球形房子里，否则的话汽球会有一部分贴到人身上，而不是贴到墙壁上了。可是没有人怎么吹汽球呢？哎呀抽象嘛。我们可以假设有一个小精灵躲在汽球里面吹，用一个压缩的空气瓶吹。或者，也可以不是吹这个汽球，而是在这个大球形的，非常结实的钢制的房子外面抽气，把房里的气抽光，则汽球里的空气就能够膨胀，也能够达到效果，反正最后一定是能够汽球的表面和房子墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。
但是这个猜想到现在还不严格。如果这个汽球只是一个长形的，或者球形的，那是可以做到的。但是，如果这个汽球是一个救生圈的形状，那就不行了，因为救生圈在不断吹大的时候，最后有一些表面并不是紧贴在墙面上，而是会相互挤在一起。
因此，这个猜想就必须把类似救生圈一类的汽球排除开。认为拿这样的汽球来吹属于赖皮行为。
最后定的规则是这样，就是，如果我们钻到那个汽球里去（假设我们是小人国里的小精灵，会飞），我们用一只苍蝇，用一根线绑在苍蝇身上，（假设这根线无限细且没有重量。然后让苍蝇随意地到处飞。这样，我手中的线就象风筝线一样不断地放出去，最后那个苍蝇还要飞回来，飞回来以后，我把栓在苍蝇身上的线头解下来，和我手中的线系在一起，这就构成了一个圈，或者叫一个绳套吧，能够把人勒死的那种。然后把这个绳套往自己怀里拉，拉呀拉，最后总能够把这个绳套统统都给拉回来。比如说，救生圈形状就不行，因为如果苍蝇在救生圈里飞了一圈回来，我这个结成的绳套就肯定收不会来，而给挡在那里了。那么，这样的汽球就不符合要求。
因此，我要求的汽球，它的形状虽然可以随意，但是，里面的任何一根封闭的曲线，或者说绳套吧，都不会绕过一根类似柱子这样的东西，或者说，这个汽球看上去没有“孔”，不象救生圈那样，可以把一个头伸进去。这样的汽球，数学家起了一个名字叫“单连通”，之所以要起这么吓人的名子，无非是为的显示自己挺有学问罢了，吓唬人的，无非是一个整个的不带孔的汽球嘛。
也就是说，庞加莱定理，说的就是，一个单连通的汽球（市面上卖的汽球大多数都是单连通的），在一个球形的房子里使劲地吹，最后一定能够使汽球的表面和球形房子的墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。当然，得假设这个球形的房子里的空气，随着汽球的吹大，是会被排光的。
瞧，就这么个事，象不象废话啊？为证明这件事情花了三百多页，是不是有一些吃饱了撑得慌？
不光如此，这说法还如此地学究，什么“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，吓唬人不是？硬要将汽球说成是流型，显摆自己学问深不是？唉，总算球面大家还是知道的。什么叫“同胚”？也够吓唬人的，就是把汽球吹大后两个表面紧紧贴着。
所以啊，诸位小朋友们也可以想一些这样的废话，也就可以给出中国人给出的猜想了。现在光是外国人有猜想，中国人却没有。要我早知道庞加莱瞎猜的东西有这么简单，我就提前猜想了，让别人累得半死去证明去。那我多有名啊。
其实这样的猜想我也已经想到了一个。上面不是讲如果一个汽球是球生圈的形状，就不能够在一个球形的房间里吹大且和球形的墙壁紧密接触吗？那么好了，我这儿也设计一个巨大的房子，不是球形的，是一个球生圈形状的，而且，那个救生圈形状的汽球也套在这个巨大的房子里，这样我再吹这个汽球，它就肯定和这个房子的墙壁紧密接触了吧？
好，现在提出的最伟大的数学猜想如下：
将一个内胎置入一个外胎里，然后对这个内胎使劲打气，最后的结果一定是内胎的外表面和外胎的内表面亲密接触。
shark举的气球例子是2维闭流形
2维闭流形、和m维闭流形(m>3)的彭加勒猜想先证明的
最后是3维闭流形
考虑到时间和膨胀的话、我们生活的时空、可能是一个3维闭流形(即4维时空)
【庞加莱猜想ZT】
http://baike.baidu.com/view/250451.htm
令人头疼的世纪难题
前言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利•庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。现在拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
艰难的证明之路
2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。
提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
一、早期的证明
20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。
30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰•米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”
然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
二、柳暗花明的突破
这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。
1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。
10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。
三、最后的决战
然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？
工具有了。
理查德•汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。
1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”
Ricci流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。
第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间里，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。
1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？
在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
与其同时，地球的另一端，一个叫格里戈里·佩雷尔曼的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后，将3份关键论文的手稿在2002年11月和2003年7月之间，粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。声称证明了几何化猜想。到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成。
“如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博士说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”
佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。
对于佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。此外，他还是一名天才的小提琴家，桌球打得也不错。
从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。大约10年前，他回到斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。
证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。
“我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。”佩雷尔曼说，“我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。
2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太人家庭很少对外开放。
四、最终的解决
就这样，在前人的不断努力下，庞加莱猜想的证明也变得水到渠成。
2006年6月3日，中山大学的朱熹平教授和曹怀东以一篇长达300多页的论文，以专刊的方式刊载在美国出版的《亚洲数学期刊》六月号，补全了佩雷尔曼证明中的漏洞，给出了庞加莱猜想的完全证明。破解了国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想。运用汉密尔顿、佩雷尔曼等的理论基础，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，从而完全破解了困扰世界数学家多年的庞加莱猜想。今后，“庞加莱猜想”就要被称作“庞加莱定理”啦！
但是，因为还有其他人宣称证明了该猜想，包括佩雷尔曼、汉密尔顿都对此问题有着巨大贡献，佩雷尔曼还一度声称自己证明了该猜想，而朱熹平和曹怀东却完成了最后的封顶，因此谁是首个证明者，还有争议。
谁是最重要的证明者？
答案是佩雷尔曼
我们于6月23日到达圣彼得堡，专程采访佩雷尔曼。在这之前佩雷尔曼从未接受过采访。在我们之前，国际数学家联盟主席John Ball秘密拜访了佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。谁都知道这是数学界的最高荣誉，此前共有44位数学家获此殊荣，没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是“我拒绝。”他对我们说：“如果我的证明是正确的，别种方式的承认是不必要的。”
佩雷尔曼于1992年访问美国，他的生活极为俭朴，只吃面包，芝士和牛奶。在纽约大学他结识了年轻的中国数学家田刚，每星期他们一起开车去普林斯顿参加高等研究院的讨论班。佩雷尔曼读了哈密尔顿关于瑞奇流的文章，还在高等研究院听了他给的一个报告。佩雷尔曼说：“你不用是大数学家也可以看出这对几何化会有用。”
1993年佩雷尔曼开始在伯克莱进行为期两年的访问，适逢哈密尔顿来校作系列演讲。一次报告后，哈密尔顿告诉佩雷尔曼他所遇到的最大的一些障碍，其中之一是叫做“雪茄”的一类奇点。佩雷尔曼意识到，他写的一篇没有发表的文章可能对解决这个问题有用，问哈密尔顿是否知道这篇文章。但哈密尔顿似乎没有了解这篇文章的重要。
1994年，佩雷尔曼因写出了几篇非常有原创性的论文而被邀请在国际数学家大会作报告。好几家大学，包括斯坦福和普林斯顿，邀请他去申请职位。但是他拒绝了一些学校提供的职位，于1995年夏天回到圣彼得堡。他说：“我意识到我在俄国会工作得更好。”斯坦福的Eliashberg 说他回俄国是为了解决庞加莱猜想，佩雷尔曼对这种说法没有表示反对。
在俄国他独自工作，只通过英特网搜集他所需要的知识。Gromov,一位曾与佩雷尔曼合作过的着名几何学家说：“他不需要任何帮助，喜欢一个人工作。他使我想起牛顿，着迷于自己的想法，不去理睬别人的意见。”1995年，哈密尔顿发表了一篇文章，其中描述了他对于完成庞加莱猜想的证明的一些想法。佩雷尔曼对我们说，从这篇文章中“我看不出他在1992年之后有任何进展。可能更早些时候他就被卡在哪儿了。”然而佩雷尔曼却认为自己看到了解决问题的道路。1996年，他给哈密尔顿写了一封长信，描述了他的想法，寄希望于哈密尔顿会同他合作。但是，佩雷尔曼说，“他没有回答。所以我决定自己干。”
2002年11月11日，佩雷尔曼在网络数学文库arXiv.org上张贴了他的第一篇文章，之后他通过电子邮件把文章摘要发送给在美国的一些数学家，包括哈密尔顿，田刚和丘成桐。之前他没有同任何人讨论过这篇文章，因为“我不想同我不信任的人讨论我的工作。”对于随意地在网上发表如此重要的问题的解答可能带来的风险，例如证明或有纰漏而使他蒙羞，甚至被他人纠正而失去成果的优先权，佩雷尔曼表示：“如果我错了而有人利用我的工作给出正确的证明，我会很高兴。我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。
11月19日，几何学家Kapovitch在电子邮件中询问佩雷尔曼：“我是否理解正确：你在哈密尔顿的纲要中已经可以做足够多的步骤使你能解决几何化猜想？”佩雷尔曼第二天的回答只有一句话：“这是正确的。”
田刚写信给佩雷尔曼邀请他到MIT作演讲。普林斯顿和石溪分校的同事们也发出类似邀请。佩雷尔曼全部接受了，并于2003年4月开始在美国做巡回演讲。数学家们和新闻界都把这看作一件大事。使他感到失望的是，哈密尔顿没有参加这些报告会。
佩雷尔曼告诉我们，“我是哈密尔顿的门徒，虽然还没有得到他的认可。”当哥伦比亚大学的John Morgan邀请他去演讲时他同意了，因为他希望在那里能见到哈密尔顿。演讲会在一个星期天早上举行，哈密尔顿迟到了，并且在会后的讨论和午餐中没有提任何问题。“我的印象是他只读了我的文章的第一部分。”佩雷尔曼说。
到2003年的7月，佩雷尔曼已经在网上公布了他的后两篇文章。数学家们开始对他的证明艰苦地进行检验和说明。在美国至少有两组专家承担了这一任务：田刚（丘成桐的对手）和Morgan；还有密西根大学的两位专家。克莱研究所对他们都给与资助，并计划把田和Morgan的工作以书的形式出版。这本书除了为数学家们提供佩雷尔曼的证明的逻辑外，还是佩雷尔曼能够获得克莱研究所一百万美元奖金的依据。
2004年9月10日，在佩雷尔曼回到圣彼得堡一年多后，他收到田刚发来的一封很长的电子邮件，田在其中写道：“我想我们已经理解了你的文章，它完全正确。”佩雷尔曼没有回信。他向我们解释，“人们需要时间去适应这个有名的问题不再是猜想这样一个事实。。。。。重要的是我不去影响这个过程。”
2003年春天，丘成桐召集中山大学的朱熹平和他的一个学生，里海大学的曹怀东，承担解释佩雷尔曼的证明的工作。丘还安排朱在2005-06学年访问哈佛大学，在一个讨论班上讲解佩雷尔曼的证明并继续与曹一起写他们的文章。2006年4月13日，《亚洲数学杂志》编委会的31位数学家收到丘成桐和另一位共同主编的电子邮件，通知他们在3天内对丘打算在杂志上发表的朱熹平和曹怀东的一篇文章发表意见，题目是“瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论:庞加莱和几何化猜想”。电子邮件没有包含这篇文章，评审报告或者摘要。至少一位编委要求看这篇文章，却被告知无法得到。4月16日曹收到了丘的邮件告诉他文章已被接受，摘要已在杂志的网站公布。一个多月后，朱和曹的文章的题目在《亚洲数学杂志》的网页上被改成“庞加莱和几何化猜想的一个完整证明：瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的应用”。摘要也被修改了，新加的一句话说，“这一证明应看作为瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的最高成就”。
朱和曹的文章中说，他们不得不“用基于自己研究的新方法取代佩雷尔曼的几处关键步骤，因为我们不能理解他的本来的推理，而这些推理对几何化纲领的完成是要紧的。”熟悉佩雷尔曼证明的数学家不同意朱和曹对于庞加莱猜想做出重要新贡献的说法。Morgan说：“佩雷尔曼已经做了证明，这个证明是完整和正确的。我看不出他们做了什么不同的事情。”
两位作者到达圣彼得堡后经历了一番曲折才见到佩雷尔曼。佩雷尔曼反复说他已经退出了数学界，不再认为自己是职业数学家了。他提到多年前他同一位合作者就如何评价某个作者的一项工作所发生的争执。他说他对于学界松懈的道德规范感到非常沮丧。“不是那些违背道德标准的人被看作异类，”他说，“而是象我这样的人被孤立起来。”当被问及他是否看过曹和朱的文章时，他回答“我不清楚他们做了什么新贡献。显然朱没有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。还有人做得比这更糟。当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。他们容忍那些不诚实的人。”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。这就是为什么我要退出。”当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。你只能想数学。其他一切都属于人类的弱点。”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。“理想的科学家除科学之外不关心其他的事情。他希望生活在那样理想的境界。虽然他做不到，但他希望那样。”
庞加莱猜想的意义
庞加莱猜想的证明意义重大，该猜想的证明，凝结了中国五六个科学家的贡献，是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
其他难题的解决情况
我们再来看看和庞加莱猜想同样被列为“世界七大数学难题”的其他问题都解决得怎么样了：
黎曼假设：很多人攻关，没看到希望
霍奇猜想：进展不大
杨—米尔理论：太难，几乎没人做
P与NP问题：没什么进展
波奇和斯温纳顿—戴雅猜想：有希望破解
纳威厄—斯托克斯方程：离解决相差很远
【第三次数学危机ZT】
http://www.ikepu.com/book/hzx/thirdly_maths_crisis_total.htm
罗素悖论的出现，使得这一派遭到的攻击更大。彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了:):)”。罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1，说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道1的人:):)”，别人也说这一套完全是中世纪的教条。更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任何自然之处。尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。
【戴建平：在形式主义与直觉主义之间：数学与后现代思想的根源ZT】
http://www.7stu.com/LunWen/6/8/02152P362008.html
科学文化与人文文化之间的论战已是当今世界文化论争的热点，实际上，如果我们沿着历史向回追溯，我们会很快辨认出这种对抗构成人类思想文化史的一个逐渐由隐到显的线索，用G•霍耳顿的话说，这是“一场古老的、持久的、顽固和难以好转的战斗” 。20世纪末爆发的科学战（Science War）把两种文化的对立推向了新的高峰。科学家一方以数学家列维特和数学物理学家索卡尔为代表，列维特于1994年与生物学家格罗斯合作出版了《高级迷信——学界左派及其与科学之争》一书，指责某些人文学术对科学进行了恶意的攻击和歪曲 ，掀起了科学战并激发了索卡尔的著名诈文；人文学者一方则是以发表索卡尔诈文的著名文化研究杂志《社会文本》以及科学元勘的某些极端分支为代表。
科学家一方认为，后现代主义的某些分支是当下反科学情绪严重泛滥的主要原因，但这些学术时尚只不过是一堆无聊的胡说，奇怪的杂烩，这从索卡尔与布里克蒙特合编的《时髦的胡说——后现代知识分子对科学的滥用》一书的书名就可看出。他们认为，后现代主义者在完全没有基本知识背景的情况下随意引用数学、物理学的某些理论，为他们的意识形态偏见论证，如德鲁兹和瓜塔里自信地谈论着混沌理论，雅克•拉康论微分拓扑，利奥塔谈论宇宙学，乃至德里达对爱因斯坦常数的装模作样的解释，这些都成为他们讥笑的对象。因此，无论是参与争论的科学家还是人文学者，甚至整个学术界，似乎都形成了如下印象：在这二者之间确实存在着难以逾越的鸿沟。
但是，如果二者之间真的有一条无法逾越的鸿沟，自然会产生如下问题：为何后现代知识分子一次次地引用数学？这个问题自然会使我们想到，是否存在这样一种可能性，即二者之间也许有着某种思想上和历史上的深刻关联。下面，我将着重考察几位重要的后现代主义思想家，看看他们的主要观点和数学有哪些相似性。
一
首先，从历史上看，某些哲学基本问题和数学一直有着复杂的共鸣。我们可以从一个古老的问题开始，这一问题与数学的本质有关。理性主义者认为，数学仅仅是理智的发明，那么问题是，为什么数学会具有实践上的效能？问题也可以这样理解，即在纯粹的推理和逻辑之外，是否还有其它的内容。如果数学只是纯粹的逻辑关系，并没有其他的内容，那么它只是无足轻重的同义反复。笛卡尔采用了辩证的解决办法。他认为，在认识过程中，除了理性，还需要经验的内容，经验与理性不能完全分离，我们在观察的基础上提出一个理论，反过来，观察又在某种循环中证明了这一理论。这就是著名的笛卡儿循环。对他来说，真理不纯粹是理性，也不纯粹是经验，而是在理性与经验之间的循环。到18世纪后期，哲学家们已经明确认识到，对于数学来说，存在着某些超逻辑的、纯粹理性之外的内容。
康德对这一问题进行了极其重要的探索。他明确把主体意识摆在认识过程中的核心地位。一方面是外在的世界本身，一方面是主观的王国，知识从何而来？康德认为存在某些超逻辑的东西成为知识的先决条件，就像维柯的“具有想象力的普遍本质”（imaginative universal）那样，把经验和概念综合为知识。他指出，人们先天具有的空间直观和时间直观发挥着模型的功能，塑造着我们的经验，人们据此提出描述这些经验的概念框架，如数学就是这样的概念框架。
但困难接着出现了。按照康德的说法，我们的大脑先天具有某种能力，但是我们如何确定事情就是如此？这个问题意味着我自己成为我的认识的对象，因此我不得不面对自己。因此，我们需要比内省更多的东西来支持对这些内容的确认。康德的解决办法求助于共同体，把自我的认识交于他人来裁决。但显然康德本人对这一办法并不十分满意，因为他认为如果个体毫无批判性地接受共同体的信念就是“不成熟”或“未开化”的。
早期浪漫主义思想家很快注意到这一困难。费希特认识到，没有非我，就没有我（without the not-I，there can be no I）。他认为，我是由认知的我（knowing-I）和某种其他的东西构成，这种其他的东西是一种创造性的力量，尽管我永远不能知道它，但我可以把它设想为某种连续的活动。也就是说，“在我之中还有比我更多的东西”。其基本意思是指，在我之中，有超越于我的客观知识的内容。不论它是什么，它先于所有的知识，甚至超越经验。
这样，浪漫主义提出了一个基本原则：自我的这种不可还原的“活动成分”是知识不能达到的。也就是说，它是可感觉、可猜想的对象，但不是科学能够研究的对象。如果科学、逻辑与数学能捕捉到这种力量，就不会有自由来进行创造性的活动，结果将是一切都进入某种严格决定论的框架之中。
值得强调的是，正是在这个问题上，塔西奇敏锐地把握住文化冲突的最深层根源。哲学家们强调这些不能被理性征服的创造力、想象、美学成分的意义，而科学家们却致力消除它们，并试图用理性的途径来代替。这种冲突以不同的形式贯穿了整个19世纪的浪漫主义思想，并一直持续到今天。
在这个冲突中，数学处于重要的地位。尽管康德提出了他自己的数学哲学，却受到很多数学家和科学家的讥笑。 但是，如果康德的目的是指出一般意义上的想象是“心灵不可缺少的一项功能，没有它知识就是不可能的”，那么康德就算得上是试图调和这种冲突的第一人。
有些哲学家试图消除知识中的幻想成分，尽管这会引起无穷的麻烦。功利主义者边沁就试图通过分析语言中的虚构成分以便把它们消除，他的策略是所有有意义的陈述都能还原为简历在直接经验上的逻辑结构。他的这一观点在20世纪初的逻辑经验主义中得到复兴。当然这一学说面临很多困难，而且把数学置于一个尴尬的境地，因为，显然数学中的很多概念（如点、线、面等）就很难直接应用于经验。于是，莱布尼兹提出一种极端的方法，他试图把数学活动处理为纯粹的符号操作，一种语言，其意义不在于与实在的关系，而在于逻辑上的自洽。这成为20世纪流行的结构主义和形式主义的先河。
对立的另一方，即浪漫主义却坚持一种不同的真理观。他们认为，真理不能与语言、共同体与历史相脱离；所有的真理都包含着解释的行为，其中有个体的想象、共同体的信念与实践以及其他非客观的事物。只有通过一种“非理性”的个人的想象活动，把经验综合成一个严密的符号整体，理性才获得分析的可能性。对浪漫主义者来说，压制这种个体的想象力，分析其中不变的“科学”意义，就是剥夺基本的自由。这样，浪漫主义就把两个重要的基本问题置于科学的议程之上：一是语言，二是连续性（不能言说的流动，连续的创造活动等等）及其与语言的关系。
二
这些问题在数学中得到认真对待。首先我们看一下连续性问题。荷兰数学家L.E.J.布劳威尔说，我们总是习惯于用对待空间的方式来对待时间，但这是具有高度欺骗性的。在布劳威尔看来，时间是最原始的直观，是我们的内在应验，是一切生命意识的基础，不能用我们处理空间的科学方式来把握。这种直观是对创造性自我的感觉，它只在自己的私有时间中展开。这种生命的瞬间是不能用原子的方式枚举的，而是破碎为消逝的部分和生成的部分。这构成了数学的基础。很明显，布劳威尔的连续统观念与欧陆哲学特别是浪漫主义有很大的相似之处，特别是柏格森，他对时间和绵延区分和描述与布劳威尔的观念如此接近，以致塔西奇把布劳威尔的直觉主义“归于柏格森的直觉主义，因此归于整个浪漫主义传统” 。这样我们可以概括出布劳威尔连续统观念的两个要点：1，连续统不是作为原子点的集合而被直观的；2，连续统的构造包含着个人的自由和创造性活动，而这种活动的本质是“非语言的”，也就是不能用语言来描述。
在布劳威尔看来，数学总是一个积极的决定，总是创造性主体在“它最深刻的家”中开展的工作，远离任何言说和推理。也就是说，数学是意志的活动，是创造的活动，而语言顶多是一辆传达意志的有缺陷的工具。他说：
直觉主义数学应该彻底从数学语言中分离出来，并因此也从理论逻辑的语言中分离出来，同时要认识到，直觉主义数学是一种本质上无语言的心灵活动，它起源于对时间流动的直觉。
在著名的1928年维也纳讲演中，布劳威尔说：“在意志转达的过程中，既没有精确性也没有确定性，特别是在用语言转达意志的时候[…]。因此，在数学中也没有确定的语言[…]” 。布劳威尔的这些观念好象是尼采的回声，而当他说没有人可与他人进行确定性的交流的时候，他似乎又是在重新提出洪堡的观点，并在后来的维特根斯坦那里产生共鸣。
不只是布劳威尔和浪漫主义哲学有着千丝万缕的联系。魏尔也接受了浪漫主义的某些观点，并和哲学家胡塞尔也有很密切的交流。众所周知，胡塞尔早年曾在当时某些最重要的数学家的指导下学习数学，并和魏尔一直保持着联系。塔西奇指出，尽管直觉主义和现象学之间存在着重要的分歧，但二者之间也可能存在着关联。如胡塞尔的一位数学教授克罗奈克（Kronecker）在某种意义上是直觉主义的先驱，而魏尔所说的 “自由生成的媒介”正是胡塞尔的“媒介”，他通过双重序列来定义连续统也是来自胡塞尔的思想。
与布劳威尔和魏尔一样，彭加勒也被塔西奇置于浪漫主义同情者的地位。罗素与弗雷格坚持数学可以被还原为逻辑推理，这暗含着数学是与人类的实践相脱离的。彭加勒对此坚决反对。他认为把数学还原为逻辑就像把象棋还原为棋子在棋盘上的行走的规则。在他看来，数学不是语法规则所能够完全掌握的：在数学活动中总是存在某些无法确定的主观因素，某种创造性的直觉活动。在这个意义上，彭加勒也可以被放在欧陆哲学的框架之中。
不仅如此，彭加勒还有更为深刻的思想。他注意到，几何对象的同一性并不是由公理逻辑系统所给予的：它只是一个假设；它是未言明的，先于逻辑的“前者”。因此这些公理并非是充分的，它们在有关对象的同一性的信念中已包含了意志与“偏见”，而这些意志与“偏见”等只能意会的东西却是逻辑得以运用的前提。塔西奇指出，彭加勒的这些思想可以在尼采等哲学家那里找到很好的表达 。
我们将看到，受到浪漫主义影响的布劳威尔、魏尔以及彭加勒等数学家站在直觉主义立场上对“逻辑中心论”数学的批评如何构成某些后现代思想的方法论先驱。而另外一位重要的数学家希尔伯特提出的数学基础纲领也同样成为另外一些后现代思想的理论渊源。
三
在希尔伯特提出的著名的形式主义纲领中，能指和所指的关系是无关紧要的，人们只需关注能指间的形式结构关系，他相信所有的数学都可以用这种方式来形成。但与罗素和弗雷格不同的是，他并不认为直观是可有可无的，但他的直观又与康德的直观并不相同。他的先天直观是对符号的直观而不是对空间和时间的直观。也许只在这个意义上，希尔伯特和布劳威尔等浪漫主义者存在着一致。但也仅仅如此。因为布劳威尔相信连续性的直观，而希尔伯特却相信离散的、有限的直观，这些离散的、间断的对象能够被我们的符号直觉所把握。
对希尔伯特来说，无论这些离散直观给予的对象是什么，它们构成康德意义上的真实判断（genuine judgments）。希尔伯特区分出数学中的两个部分：现实数学和理想数学。现实数学对应着实在的知识，而理想数学只是有助于刺激和指导知识的增长，其自身却不是知识探讨的对象。也就是对于理想数学来说，尽管它是推理的必要成分，但我们却不能赋予它们以“客观”的意义。塔西奇指出，正是这种限制性要求构成了希尔伯特把数学视为空洞的形式游戏的思想根源。希尔伯特这样做是出自哲学上的考虑，如果要回避诸如数学的本性这样的问题，一个方便的途径就是把数学视为符号的语言，其对象是语法上的虚构物。如对于陈述“It is raining”，问正在下雨的那个“It”是什么是没有意义的。
希尔伯特的目标是建立一种元数学，关于证明的理论，任务是证明理想数学的形式系统内的所有演绎都不会导致矛盾，它将成为所有数学的裁判者。这样一种元数学将保证：1，抽象（理想）数学推理的形式结构系统是连贯的，是真实推理的相容的、无矛盾的扩展；2，至少一部分的数学交流是可能的，因为对于数学共同体来说，真实数学处理的有限对象是所有成员都可以同等地、普遍地达到，这与布劳威尔针锋相对；3，如果上述两点得到保证的话，那就可以大大减少有关数学符号之意义的哲学纠纷。
尽管希尔伯特有意拒绝考虑某种哲学反思，但他的形式主义纲领还是需要面对一些质疑。首先，即使他的纲领获得成功，也只能证明有限数学结构的相容性；其次，他不能回答数学为什么会有效？第三，这种形式系统完全忽略了数学发展过程中的特殊历史与人性内涵，那么这种研究是否使它们变得没有意义？
不管希尔伯特提出了什么方法来解决这些困难都对当下的讨论并不重要，因为他的形式主义由一位法国哲学家推向极端，并对法国乃至欧陆哲学产生了重要影响。在这里，塔西奇挖掘出历来被学界忽视的一位人物，此人就是卡瓦耶斯（Jean Cavailles）。
卡瓦耶斯是数学哲学家和科学哲学家 ，他的哲学立场是坚决反对直觉主义和存在主义。从其观点上看，他明显受到希尔伯特形式主义的影响。如希尔伯特计划建立一种元数学，一种关于证明自身的数学，而卡瓦耶斯同样也谈论“科学的科学”，并坚持真理在于证明，在于方法自身。塔西奇认为，卡瓦耶斯是福柯思想的隐秘来源。除去二者观点上的相似外，还有一条有力的历史关联，那就是福柯曾承认他受益于他的导师科学史家乔治•康吉莱姆，而后者很仰慕卡瓦耶斯的工作和人格勇气。
希尔伯特曾受到理想元素的启发，认为这些虚构的实体是数学家在数学运算的过程中发明的。因此，这些对象如果脱离了它们所在方程的语境，实际上就什么也不是。它们只是语法上的虚设，是由语法自身产生的。“对象是由方法产生的”这样一种形式主义观点在卡瓦耶斯那里被推向极端。他明确指出，对于虚数、电话等诸如此类东西的出现，没有什么特别的个人需要我们给予感谢：它们只不过是科学自身运动的结果。福柯更加极端，他甚至说没有什么文本有自己的作者，它们是自己在书写自己。
这种极端的形式主义观点有某种意识形态上的危险性：否认这些过程中有任何人类的创造。按照卡瓦耶斯的激进观点来看，好象是数学自身扩展了它的方法论的必然性，自身引导着形式上的理想化，这种过程是超越于个人的。因此，卡瓦耶斯写道：“一个理论的真正意义不在于个体科学家的理解，而在于不能停止的概念生成。” 意义在于方法，而方法在历史中扩展自身，因为数学真理的不断变化，因此超出了个体理解的范围。福柯接受了这一观点，并认为它可以运用到所有科学，人文学和哲学。
但是，如果按照这种形式主义观点，真理在于方法自身，那么谈论“知识”或“真理”就变得毫无意义了。我们不能保证这两个词在历史中保持一贯不变的意义。因此福柯号召人们回到“快乐的实证主义”，用实证主义的方式来处理历史。人们会问，如果那些内容不是“知识”或“真理”，那么它们是什么？福柯说，那是“论述实际”（discursive practice），即那个时代人们实际上谈论的东西。但是鉴于福柯上述形式主义的立场，问题出现了：是什么把论述实际维系在一起？又是什么使得它们不断变化？
对这一问题，实际上有一个很容易的回答，那就是人给予论述实际以惰性，但也改变它们。人们根据信仰、传统、习俗、制度、教育来组织自己的活动，但也通过自己的创造、错误、发明等等来改变它。这像是浪漫主义-人文主义的观点。但福柯不想这样做。
首先看福柯对第一个问题的回答。是什么把论述实际维系在一起？福柯认为，有某种东西把论述实际联结在一起，他称之为“事物的秩序（order of things）”、“知识场(episteme)”、“力(power)”等。这很像是希尔伯特的有限直觉，但被福柯形式化了。这种东西潜藏在论述实际的边缘，使得概念的形成得以可能，它超出我们的控制之外，不能通过我们的语言完全表达出来，但语言却是我们理解它的唯一途径。在此基础上，福柯认为，人文科学研究的并非实际的人，而只是研究他们在语言中的表现，却假装这些就是有关人的所有东西，这是很不严格的。因此，福柯提出一种新的人文科学的纲领，它将放弃这个浪漫主义的幻觉，通过语言学的回归，使得人文科学将具有数学的精确性，这是快乐的实证主义一直梦寐以求的。
第二个问题，是什么使得论述实际不断变化？对于这个问题，福柯的解决办法是，放弃连续性的观念。在这一点上，福柯把形式主义观念推到了极端。时间-直觉，连续统等浪漫主义-直觉主义的观点被福柯作为浪漫主义-人文主义的幻觉予以屏弃。
这样，福柯呼吁结束所有那些赋予人类以特殊地位的思想观念，在他看来，人——作为某种特殊的东西——显然是浪漫主义的发明。事情不是人们认为的那样，是浪漫主义发现了语言不能把握人性。正相反，是语言自身的工作导致了新的“理想元素”的产生，这些理想元素包括“人”、“潜意识”、“欲望”、“我”以及内在时间等等，它们仅仅是语法上的虚设，出现于语言的过程中。他说：“人只不过是一个新近的发明，还不到二百年的时间，是我们知识中的一个革新，并且一旦当知识发现了一个新的形式它很快就会消失。” 这个创造物将被抹去，就像画在沙滩上的脸一样。
因此，看来形式主义与直觉主义的最深层的分歧就在于直觉主义者相信人能够以某种创造性的、不可磨灭的方式对言说作出贡献，而福柯恰恰反对这一点，他声称，并不存在诸如“作者”这样的东西（荣誉应该归于言说自身）。显然福柯的理论面临着形式主义的所有困难，同时，他的学说也使他与海德格尔和德里达等后现代思想家有了根本性的差别，这方面内容塔西奇在书中有详细的讨论。不过，对我们当下的任务来说，知道他的思想方法来自数学形式主义及卡瓦耶斯的基本观念，就已经足够了。
人们一般认为，结构主义哲学思想主要是来自瑞士语言学家索绪尔的著作。但塔西奇指出，尽管结构主义运动经常不合理地引用这位语言学家的著作，但他们的立场实际上更接近于卡瓦耶斯，而不是索绪尔本人的观点。
塔西奇表明，索绪尔结构主义语言学的基本观念实际上在他之前已经由哲学家以及特别是数学家分别表达过。不过，他并不认为索绪尔仅仅是在鼓吹来自数学的观点。他关心的是，索绪尔是如何被结构主义运动误读的。简单说来，索绪尔把语言分为几个层次：一是元语言层次，包括言说和语言，前者是实际发生的言说活动，后者是互相共享的“社会事实”；二是语言的形式结构，索绪尔称为“语图（la langue）”，即语言学能指的形式结构，这是语言的非时间性的句法蓝图，它使语言的理解成为可能。在索绪尔看来，元语言层次是语言的意义和变化发生的源泉。这里，问题的关键是，是否索绪尔认为，语言学能指的结构区分不但是意义产生的必要条件，也是充分条件？
答案是否定的。索绪尔承认“没有语言就没有思想”，但他并不认为语言自身足以产生思想。对索绪尔来说，形式结构的区分是必要的，但不是充分的。他说：“这个同一性经常包括一个不可确定的主体性因素”，此外，“一定存在解释的第一个行为，它是主动的……。” 在他看来，形式和语法社会地存在着，但变化源自个体。
因此，结构主义运动的教条诸如“语言决定思想”、“语言自己在说”、“没有作者”等等并不是索绪尔本人的思想。当然，塔西奇无法追溯这些误读发生的具体历史过程，但他指出，部分原因可能是索绪尔身后出版的《普通语言学教程》被人做了随意的改动，另外，除了卡瓦耶斯的激进观点之外，结构主义人类学家列维-施特劳斯也发挥了重要的影响。
四
维特根斯坦的后期思想也在直觉主义-浪漫主义和形式主义的对立间摇摆，像是要在形式主义和浪漫主义之间达成一个妥协。一方面维特根斯坦证明，个体意志是语言不能理解的，这表明他接受了布劳威尔的观点，即不存在私人语言这样的东西，但与布劳威尔不同的是，维特根斯坦认为，任何行动的辩白标准总是社会的，这表明维特根斯坦承认每一个理解的活动都包含着普遍性和个体性的混合，个体的作用使得理解的行为不能辩白为公共知识。但另一方面，维特根斯坦又认为，意义最终在于辩护，既然自我的某一部分无法用语言来掌握，那么就从他的语言游戏中分离出去，因为它不是一个对象，没有什么辩护可以求助于它。
那么，是什么给陈述以意义？显然不是文化习俗，这意味着语义在于文化的句法，这已经由维特根斯坦证明为失败了，因为要用外部标准为我的语义进行辩护同同样也要求更高的外部标准。那会是什么呢？直觉主义和浪漫主义者会说，意义部分地来自个体的作用，来自语言和习俗之外的个体行为。但在维特根斯坦的语言游戏中没有给创造性的主体活动留下空间，因为它不是一个对象，不能被命名。最终维特根斯坦采用了实用主义的方式：既然主体性是语言不能达到的，那我们也就应该忽略它。
维特根斯坦试图调和直觉主义和形式主义，对他来说，意义有时与虚构相似，但有时又需要辩护；理解有时近于艺术，但在其它场合又与形式语言辩护相接近。塔西奇说：“也许可以说，就是这种摇摆不定，维特根斯坦分裂人格的幽灵萦绕和渗透在大多数后现代主义者的思想之中。”
像维特根斯坦一样，德里达也周旋于形式主义和直觉主义之间，但与维特根斯坦最终滑向实用主义立场不同的是，他采取了另一种策略：他实际上是在寻求一个针对直觉主义和形式主义二者的共同批评，而同时借用了两者对对方的批评。
德里达看到，结构主义不能忽略这样一个事实：它所处理的结构不断地产生这个结构的新元素。而这些新元素的产生，将有可能改变原有结构各项元素的意义，因此不能保证具有期望的稳定性、不变性和一贯性。因此，结构主义定义结构单元同一性采用的是非直谓的方式，通过参照总体来来定义，但这个总体并不能被“总体化”，因为“写作”引起了变化和新单元的出现。塔西奇指出，德里达对同一性的批评与彭加勒对同一性的批评是非常相似的。
另外，与那些反对把数学还原为逻辑与语言的数学家一样，德里达也承认有些东西超出语言之外，说他“总是关注语言的‘他者’” 。德里达把这个“语言的他者”称为“延异”。由于新结构单元产生的无穷可能性，原来被认为僵硬的结构符号系统把自己向意义连续统开放，这个无尽的开放被魏尔成为“自由生成的媒介”，德里达用了一个相似的术语：“普通生成的媒介”。这样，德里达的“延异”有点像是布劳威尔的连续统，但他并不在个体构造的意义上来构想。他说，延异指示着普通结构单元间的差异游戏和一定的疏远、推延和意义从自身的剥离。最终，德里达像是寻求在静止的结构主义方法论中引入“直觉主义”的动力学观点。语言的他者，延异，连续统是超出语言之外的，但并非是一团漆黑，它有某种结构。他把延异视为某种可以想象的理想化可读写作之前的东西，是意义变化的可能性空间。因此，他并不是对结构主义进行解构，而是进行某种方式的重构，以允许意义连续变化的可能性。所以，塔西奇认为，连续统问题好象是后结构主义的隐秘主体。
在德里达的延异中，没有原子，没有开始，并且没有结局，因此他反对终极的、源初的原因这样的观念，因此他责备布劳威尔的神秘个人主义、胡塞尔的原始直观甚至还有海德格尔的起源概念。在他看来，没有纯粹的差别和同一性，它们统一在延异中。因此，他一方面承认主体的存在，另一方面，他又说“我呈现给自己……是在语言之后” 。这样，形式主义的“符号”和浪漫主义的“行动”总是先于对方，语言和“他者”也就消融在延异的连续图画之上。
最后，塔西奇的结论是，后现代思想的大多数观念都可以追溯到浪漫主义时代，这些作品的共同特征，就是拒绝一个启蒙运动的观念，那就是法则是永恒的、普遍的；而同时，后现代思想的最流行的形式看起来却像是著名的“逻辑中心”信条的勇敢变种。他说：
后现代文化（不论这个含混的术语告诉人们什么）看来没有与它之前的任何事物有决定性的断裂。相反，它只不过是一个被推向极端的有害的形式主义，并补充歪曲了一些人们在很多年前对形式主义的批评。在它几乎完全缺乏数学-历史意识的情况下，它勉强把形式主义的还原论和直觉主义激进运动结合在一起。简单地说，它恰恰把二者最糟糕的方面结合在一起，在它大部分的快乐时光中，对其中的任何一点都没有任何认识。
尽管塔西奇并不对后现代思想持赞同的态度，但他最终的目的并不是参与所谓的“科学战”，而是尝试打开一种沟通与对话的可能。他相信，数学毫无疑问以复杂的方式与大陆哲学纠缠在一起，因此，一方面要注意到数学广泛的文化意义，另一方面，也要珍视对话和沟通的信念。
【范·弗拉森与后现代科学哲学 郑祥福】
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4047fb69010008w8.html
范·弗拉森的科学哲学，在当今西方科学哲学发展过程中，起着重要的中介作用。他不仅影响着科学实在论从“正统”走向“修正”，而且促成了科学哲学的第三条道路--后现代科学哲学。本文将就此问题作出论述，并指明和解决范·弗拉森思想中的悖论。
一、范·弗拉森与当代科学哲学转向
科学实在论的发展，是当今西方科学哲学的主流。但是，近二、三十年来，由于科学实践的实际状况不断与科学实在论的科学观相分离，因而其阵营内部发生了严重的分化：一方面，科学实在论纷纷转向修正的实在论；另方面，在反实在论的强劲冲击下，形成了后现代的科学哲学。
众所周知，较为正统的科学实在论的基本学说是：“科学关于事物本质的说明为真，那些事物的本质是真实存在的”[1]；科学理论真理性的唯一说明是科学预见的成功；后继理论是典型地建立在前驱理论的观察知识和理论知识之上的；从关于可观察现象的论断之真理性可以推出关于不可观察现象的论断之真理性；如此等等。
然而，当代科学实践却提供了许多反对科学实在论的事实。第一，在当代科学实践的发展过程中，科学家们并不懂得如何做一个实在论者。现代物理学家在研究物理领域时，并没有确定的本体论承诺，他们所说的理论，其本体论承诺是经常改变的，或者说，“物理学家本体论承诺的性质似乎是随着他们集中注意于他的理论而变化的”；任何观察也只能给含糊的本体论图景提供量上的丰富性，“当一个物理学家用一个理论从事于某一方面的研究时，或者集中于某一层次的理论之仔细说明和详尽阐述时，他的言谈像个实在论者；而在和另一层次有特别联系的本体论承诺方面，则不太像个实在论者”。[2]当代物理学中的本体论承诺有着大量的结构，这些结构来自于经常转变的表述、解释和理想化的范围，来自于物理学家所从事的不同种类的活动、不同水平的表述和不同的理论运用，来自于物理学家活动的变化从而改变本体论的特征。
第二，由于当代科学尤其是量子力学、当代物理学，已经涉及了一些非充分决定论的领域，所以，虽然科学认识的本质要求得出决定论的结论，但量子领域的随机性现象与低概率特征、量子测量的相互作用性质的明显化，使人们无法以往日的科学认识本质来要求量子力学。在这些科学领域，理论的理想化程度比任何以往的科学都要高，我们既无法证明其真理性，更无法确证它所指称的实体的本质是否客观地存在。在量子力学中所产生的不同的多种解释，突破了以往的科学以一个模式或某些普遍规律囊括一切的框架。
鉴此，反实在论者对科学实在论发起了攻击。前后说来，有库恩、劳丹、施太格缪勒、范·弗拉森等。相比之下，范·弗拉森则是较为容易被人接受的反实在论者。
范·弗拉森对科学实在论作了如下反驳：（1）“不存在任何提供证据的说明之成功的问题”[3]，我们当作证据的东西本身不是无可置疑的”[4]。（2） “没有任何根据使我们相信所接受的理论为真，因为它不是一个认识论的原则”[5]，“理论具有不可观察的含义，证据并不保证得出理论为真的结论”[6]，真理是科学认识的产物，而相信则是一种心理作用。（3）“科学家的目的是发现关于世界的事实[7]，而“做一个经验论者就是要抑制置于超越实际可观察现象之上的信念，认识到自然界没有任何客观的形态”[8]；“科学活动是……适合于现象的模型建构，而非发现关于不可观察物的真理”[9]。因此，任何断定科学理论与实际世界的一致性、断定科学理论的真理性的作法都是形而上学的，与科学的实际是不相容的。范·弗拉森对科学实在论的反驳，其实质在于：其一，从语义学的角度理解科学理论的结构；其二，从语用学角度理解科学理论的接受运用。这两个方面也是范·弗拉森对当代科学哲学的杰出贡献。
范·弗拉森认为，科学哲学的中心任务是要理解科学理论的结构，理解科学知识的增长问题。这两个问题也就是科学理论是什么与做什么的问题，“是什么”的问题涉及理论与世界之间的关系，“做什么”涉及理论与其运用者之间的科学活动关系。他指出：“科学哲学的研究大致可以分为两类：一类是所谓的基础研究，关心理论的内容和结构；另一类是一方面解决理论与世界的关系，一方面解决理论与其应用者之间的关系。”[10]前者属于认识论领域，后者则属于非认知的领域。范 ·弗拉森作出这种区分，具有特殊的重要意义。因为，科学是由语言构成的，理解科学就是理解科学语言，科学知识的增长也就是科学语言的不断创造与丰富。但是，语言一方面具有所指，另方面它又起交流作用，两者都与理解相关。由于人们在理解或交流中存在不同的语境，因而就具有不同的意义。范·弗拉森把科学理论区分为语义的和语用的方面，使人们对科学的理解有了新的进展。
根据范·弗拉森的见解，理论与世界之间并非一一对应关系，理论只是大致地反映了实在世界。语义方法的重要性之一，就是能用比传统的逻辑经验主义更令人满意的方式来处理意义问题，因而形成一种前景可观的经验论意义理论。范·弗拉森坚持认为：“我们的观点就是：在自然语言和科学语言中，那些不仅仅具有外延关系的术语之间有着意义关系，……并且，这种意义结构是根据模型（始终是数学结构，最通常的是某种数学空间）而得到表述的。”[11]在《科学理论的语义探讨》一文中，他进一步认为，指导科学理论意义结构的模型可以包容大量与实在的任何要素不相一致的结构。因此，在语言和实在之间的联系是以数学模型为中介的，它也许是一个极不完全的联系，哪怕是最好的理论，也是如此。这说明了人类在认识物理世界时所起的建构作用是不容忽视的，经验的意义是同模型的概念结构相联系的。
由于范·弗拉森使用了语义方法来理解科学理论，因此，真理仅仅属于语义学，而不属于科学实践的评价。在科学实践中，理论之真或假，是受语境影响的，即受到语用因素的制约。换言之，在科学实践中，理论必然会受到各种因素与先入之见的污染。
范·弗拉森认为，“就命题而言，真是最重要的语义性质。如果实际世界适合于这个命题，那么这个命题就是真的：但是，如果某些词或在语法安排中，命题具有依赖语境的语义作用，那么真理就绝对没有意义。我们必须向着语用学再进一步。”[12]语用的因素是与科学语言的使用相关的，任何与说话者或听众相关联的因素都是语用的因素。
科学的语用学是探讨科学理论的运用者和理论之间的关系的，这种关系即理解与说明的关系。范氏认为，运用科学理论与论证理论是有重要区别的：第一，科学理论只是一个关于实在世界的大概模型，当我们论证科学时，我们可以把它看作真或假，但在运用理论时则不然。正因理论是个模型，所以它不可能完全按照某种模式说明具体现象。况且，说明现象时，是与使用理论的人相关的。正如维特根斯坦的后期思想一样，这是一个类似语言游戏的问题。第二，理论作为模型，包含着对可能世界的认识，而说明则要针对具体的现象。第三，如果理论使用规范的语言或逻辑，把实在世界作为其摹本，那么，理论的运用则是使用自然语言的，是与使用这种语言的场所、语境等因素密切结合在一起的。
范·弗拉森的这种见解，已经给当今的科学哲学指明了另一道路。自从逻辑经验主义产生以来，科学哲学一直徘徊在客观性问题上，沉湎于证实。而自汉森、图尔敏之后的历史主义学派则揭示了科学的主观性。科学的本质是客观抑或主观？自古以来这都是一个难解之谜。建构主义在这个谜上亮出了一个谜底：没有纯粹的客观，只有通过主观的建构。那么，究竟如何建构科学理论呢？范·弗拉森已经向我们表明：必须从两方面来丰富和补充科学这部巨著，一方面，是依赖于可观察现象建构关于实在世界的模型：另方面是依赖于使用者别出心裁的理解与解释。这样，古老的科学哲学问题就转变成了我们如何丰富、理解科学语言的问题了。这恰恰是当代科学哲学语言转向的显著特征，即后现代科学哲学的显著特征。
二、范·弗拉森对后现代科学哲学的推进
从总体上说，范·弗拉森实现了当代科学哲学的语言转向；而具体说来，范·弗拉森又制订了后现代科学哲学的初步纲领，从而推进了后现代科学哲学的发展。纵观今天的范·弗拉森的思想，他的这种推进作用主要表现在：
第一，范·弗拉森反对基础主义、本质主义，坚持要摆脱传统经验论的束缚。他认为，基础主义是一种认识论“幽灵”，应当摒弃。他说：“现代哲学是一种对基础的探求，而当代哲学则广泛地把这种探求作为错误加以摒弃”；“上一代哲学的错误是缠绵于证实，总的说是囿于认识论的基础主义”[13]。在范·弗拉森看来，基础主义退出历史舞台是理所当然的。但是，在今天，基础主义仍是一个时刻骚扰我们的幽灵，特别是认识论的相对主义，是一种新的基础主义形式。他批判库恩与费耶阿本德的思想，坚持认识论与实用主义相结合。他主张：“只要可能，就把这些问题明确地与科学联系起来，在任何情况下，都关注科学的某些实用方面，并认为科学是给我们提供模型的。”[14]
然而，范·弗拉森并非要完全放弃认识的基础，他需要一定的认识基础，需要经验论。所不同的是他拒绝基础主义的极端性、素朴性，而主张科学理论是建构，一方面，这种建构要有可观察现象为基础，另方面，它又需要概念框架的推动。不仅理论是建构的，而且实验也是建构的。因此，科学是人与自然的对话。
第二，范·弗拉森反对科学的目的是求真，提倡以理论在经验上的适当性、理论在实践中的履行情况来代替对真
理的论证。否认真理，是反对基础主义、本质主义的直接结果。亚瑟·法因曾说：“如果我们中止相信真理是那些与实质性事物相适合的理论、解释或图景，那么，我们就能中止基础主义”[15]。与之有别，范· 弗拉森对真理的否定则基于以下根据：首先，从总体上要求科学理论为真是没有根据的。科学理论如同一部巨著，它是关于自然的，每代人都在对这部巨著作修正或补充，“科学理论是一个开放的文本，是有分歧的解释--即理论把现象描绘成什么，这本身不是一种硬证据。”[16]其次，真理属于语义学范畴，而科学理论并不只限于语义学分析，纯科学是可以向应用科学转化的。在应用科学中，应用者可以在理解、解释与说明现象时大展雄姿，就如同进入语言游戏一般，其理论的意义是由习惯形成的游戏规则和游戏者各自的语境来决定的。因此，承认科学理论是真理，这是一种赌博与冒险。实际上，人们承认一个理论，只是觉得这个理论是好的、适当的、有用的，具有很多优点而已。
第三，范·弗拉森极力主张拒斥形而上学，放弃传统的科学哲学范畴，认为抛弃旧科学哲学就是对当代科学哲学的贡献。拒斥形而上学，是早年逻辑经验主义的口号。然而到今天，范·弗拉森把所有假定科学是真理、假定理论的指称是实在的等科学哲学都称为形而上学的科学哲学，这种形而上学科学哲学的基本特点就是：从关于可观察物的论断之真理性推出关于不可观察物的论断之真理性。八十年代初，范·弗拉森一再声明自己的建构经验论是在批判形而上学科学哲学基础上形成的，是对形而上学科学哲学的替代。到最近几年，他则极力主张摒弃形而上学，认为科学哲学家应该携起手来，对形而上学科学哲学范畴弃之不用。他认为科学的目的是寻求理论的经验适当性，这样的态度不仅涉及科学是什么，也涉及了对科学实践的辩护。1985年，在科学哲学家们讨论他的《科学的形象》一书时，他针对一些人的见解，在发言中号召科学实在论者与反实在论者共同抛弃旧科学哲学的范畴。他说：“三位一体、灵魂、殊相、共相、第一物质、潜能等这些概念使你困惑是吗？它们在封闭的时空的不可想象的他性、事件界面、EPR关联和自主的模型旁边显得苍白无力。让实在论者和反实在论者一样，把他们的认识论、本体论的承诺悬置起来，对这些概念之谜的理解作出贡献吧！”[17]
从以上几个方面来说，范·弗拉森对后现代科学哲学作出了积极的论证。虽然，在许多方面，他不是一个彻底完全的后现代科学哲学家，但他的观点是和后现代科学哲学大致相容的。范·弗拉森和后现代科学哲学的代表法因的“自然的本体论态度”是基本一致的。他在谈到法因的观点时，明显地表露出他对法因的赞同。他说： “法因企图找到介于实在论和经验论之间的观点，他把这种观点称为NOA。NOA是这两个阵营都应当能够接受的，每一方都可以理解超越它之后的错误。正如现在所阐述的那样，NOA与建构的经验论不可比较，但却与我愿意作出少量修正的观点可以相容。”[18]而法因也认为，范·弗拉森的建构经验论对真理的解释等观点，避免了早期经验论企图把所有真理都基于感觉证据和现象论基础的还原论与基础主义倾向，也避免了逻辑经验主义关于理论意义的可观察与不可观察的认识论区别。法因虽不完全满意范氏的“经验适当性”概念，但他毕竟是受到范·弗拉森的启发。法因作为后现代科学哲学的代表，其思想与范氏是有区别的，法因诉诸科学实践、祈求科学家来解决科学的目的与本质等，主张放弃哲学的紧箍咒。而范氏则试图通过后现代科学哲学的方法来理解科学的本质与科学知识的增长，把科学理论的内部的研究与外部的理解结合起来。
由此可见，范·弗拉森虽未将自己的哲学称为后现代科学哲学，但却充满了后现代科学哲学的思想，是一个后现代科学哲学的代表人和推进者。
三、范·弗拉森思想中的悖论及其解决
传统科学哲学探讨最一般本质的总体性、统一性框架，已与当今科学的经验主义特征日益相悖。改造传统的科学哲学，重建适合科学实际的新科学哲学观，准确地理解科学哲学的本质，推进科学知识的增长，已成为当今科学哲学家的根本任务。
但是，对科学哲学的改造涉及了一个难以解决的悖论：一方面，科学哲学以概括性、统一性为特征，没有概括性、统一性就没有科学哲学；另方面，当代科学的发展已经证明，在自然界、在科学理论中，并没有一个囊括一切的统一模式。这种两难正是当代科学哲学出现激烈争论、派别林立的根源。
范·弗拉森对科学哲学的改造同样面临着这样的悖论：一方面，范氏要把基础主义作为错误加以摒弃，另方面，他又想强调可观察性作为其理论的基础；一方面，他想摒弃真理概念，另方面，他又提出了一个理论的“经验适当性”概念来代替；一方面，他主张摒弃形而上学，另方面，他又试图重建一个经验论科学哲学体系。
对于这些悖论，法因通过他的“自然的本体论态度”来解决，把科学实在论与反实在论的争论置之不顾。尽管他的思想具有很大的启发性，但他完全抛弃哲学的做法则是消极的。理查德·胥拉格尔曾批评法因的NOA说：“我并没有发现它（NOA）给科学的说明增添更多的东西”[19]。在此，我不想对法因横加指责，而是充分地肯定：后现代科学哲学的形成是现代西方科学哲学在形式探讨与方法研究上的失败，它意味着科学实在论与反实在论的争论必然要以无结果而告终，并且也意味着一种新的科学哲学观的孕育与萌发。
如何解决范·弗拉森思想中的悖论？如何形成一种适合科学实际的新科学哲学观呢？要建立一种适合于当今变化着的科学实践的科学哲学似乎已不可能。因为，要重建与科学的实际形象相一致的科学哲学，就是要建构一种无统一模式的科学哲学。当前的科学发展状况表明，科学哲学正围绕形形色色的科学实践这个中心，形成了语义学的理论观与语用学的科学说明观、运用观相结合的研究方法。在这两个方面，范·弗拉森与萨普已经作了很大努力。
笔者认为，在后现代知识状况下，我们可以对以往的科学哲学作出两个方面的改进，并因此来解决范·弗拉森思想中的悖论。
第一，从分类研究出发，建立“多个世界”的科学哲学模式。迄今为止，自然科学已经为我们提供了一个五光十色的世界。从目前看，我们至少可以将科学所认识的实在世界分类为决定论的世界、非充分决定论的世界和可能世界三大类。科学的世界是实在世界与可能世界，实在世界的不同类型决定了关于真实世界理论的结构，科学实验和科学推理则构成了可能世界的理论结构。由此，我们可以把理论分成关于决定论的必然现象、关于决定论的或然现象、关于非充分决定论现象和关于可能世界第四类。而理论的真理性不仅是由客观实在世界的内容决定的，而且也是由理论在实践中的应用情况所决定的。于是，我们就可以把真理分类为：关于决定论世界的必然真理、关于决定论世界的或然真理、关于非充分决定论世界的真理、关于可能世界的真理与语用的真理等。以此类推，我们也可对规律作相应的分类，从而上升到对科学哲学的分类研究，建立关于决定论世界的科学哲学、关于非充分决定论世界的科学哲学、关于可能世界的科学哲学、关于科学理论实际运用的科学哲学等模式。
分类研究的直接目的是：（1）对实在世界的分类提供了科学哲学对某些现象进行具体研究的基础，任何造成以往哲学统一模式的弊端，都是从把世界作为一个统一整体出发的。（2）对理论和真理的分类，既是为了解决理论在经受实验检验中证实率较低或以例外现象否认理论真实性的问题，也是为了解决类似范·弗拉森等人提出的可几真理、经验适当性概念的含糊性与不确切性。（3）对科学哲学的分类，则是为了解决统一模式的形而上学科学哲学与具体的科学实践的变化不相适合的矛盾，从而解决以往在归纳与演绎之间的对立。分类研究可以避免以统一模式包摄决定论程度不等的领域的模糊作法，但又不至于产生抛弃科学哲学的消极见解，不致使科学成为记录学而失去寻求客观世界本质、规律的基本特征。
分类研究可以为当今科学在不同领域内的研究起导向作用。从分类研究的优点来看，它所要求达到的是人们对自然界较为满意的认识，而非最优的认识结果。尤其是在当今量子力学的争论中，分类研究把现代决定论科学和量子力学的非充分决定论领域归类为不同的模式中，避免了对立双方无休止的争论。后现代科学以及后现代科学哲学的显著特征乃至整个西方后现代主义的特征，就是以当今知识领域中出现的变动不居的状况来否定以往的一切成就，例如科学哲学中的以量子力学中的非充分决定论现象来否定以往宏观领域的经典力学和相对论的决定论要求。分类研究的科学哲学观将在解决这些问题中起着根本性作用。
第二，从当代知识状况出发，建立辩证的科学认识论。正如前面所述，当代科学哲学的发展是以突破传统认识论为动力的。这种突破表现在认识的基础、真理概念分析与标准、理论的语义观与语用观的关系、科学知识的增长等方面。这种突破性的关键是发现了“不确定性”。由于在认识中“不确定性”因素的介入，传统的认识论框架便面临着一场脱胎换骨式的改造。这一改造的中心问题是：我们是以“不确定性”来取消科学认识论，抑或把不确定性作为认识论研究的新领域来改进科学认识论？如果我们坚持前者，那么就走向后现代科学哲学阵营；如果坚持后者，那么就必须建立一种逐步改进的辩证的科学认识论。
根据分类研究的科学哲学观，建立改进的辩证的科学认识论，就是要确立科学认识论的分类研究的任务，改进与完善科学认识的方法与目标。首先，这种辩证的科学认识论的首要任务是区分并确定决定论的世界与非充分决定论的世界、实在世界与可能世界、语义学理论观与语用学的理论意义观、分类研究与统一模式等等关系。只有承认了科学理论及科学活动的各个方面，我们才能进行有效的研究，才能真正确立一种适合于当今知识状况的科学认识论。其次，辩证的科学认识论需要改进传统认识论的研究方法与目标：（1）把形式分析与非形式分析、抽象分析与实际分析结合起来，废除一个模式、一种基础的观点。（2）从理论与世界的关系、理论与其运用者之间的关系、理论与科学实验之间的关系分析理论的意义，确立理论在多重关系中的意义与标准，把握其真理性的程度与类型。（3）从科学史的发展和科学理论在结构上的发展，分析理论在量上的变化和质上的更替，研究科学知识增长的正反面规律。确立科学理论总的性质。总之，辩证的科学认识论是试图通过方法的不同形式、理论的不同层次、真理的不同类型、理论变化规律的不同类型与性质等维度，克服后现代科学哲学的消极方面，激活科学认识论研究。
从今天的科学世界图景看，多维度的研究将具有广泛的前景，特别是科学认识论，面对奇迹般的新领域的逐一开拓，扩大了自己研究的对象与辖域。一旦我们能在此基础上改变自已研究的方法、转换视角，那么，科学认识论就会比任何时候都显得生气勃勃，显得有活力，而绝非像后现代科学哲学家们所认为的那样走向“死亡”。
今天，范·弗拉森的科学哲学仍在继续发展，虽然其思想有不少悖论，但却在一些方面开拓了我们新的思路，启迪我们在重建新科学哲学观的道路上迈进一步。
（作者单位：浙江师范大学政法系）
参考文献
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[19] R。Schlagel：Fine's"Shaky Game"（And why NOA is NO Ark for Science），Philosophy of Science 58。P322。P322。
【彭加勒科学方法论的特色ZT】
李醒民
（中国科学院自然辩证法通讯杂志社， 北京 100039）
朱尔•昂利•彭加勒(Jules Henri Poincaré，1854~1912)是法国著名的科学家。他不仅在数学、物理学、天文学的众多分支有开创性的贡献，而且在科学哲学上也有重要建树。在本世纪初，彭加勒先后出版了几本科学哲学著作：《科学与假设》(1902年)、《科学的价值》(1905年)、《科学与方法》(1908年) 和《最后的沉思》(1912年) ，广泛地探讨了有关科学哲学问题，其中也大量涉及到科学方法论问题。本文拟评介一下彭加勒科学方法论中几个有特色的方面——假设、直觉、科学美和事实的选择。
一、没有假设，科学家将永远寸步难行
关于假设，在彭加勒之前，许多科学家在科学实践中都自觉或不自觉地运用过，一些哲学家也对此作了不同程度的论述。特别是恩格斯在《自然辩证法》中明确指出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。一个新的事实被观察到了，它使得过去用来说明和它同类的事实的方式不中用了。从这一瞬间起，就需要新的说明方式了——它最初仅仅以有限数量的事实和观察为基础。进一步的观察材料会使这些假说纯化，取消一些，修正一些，直到最后纯粹地构成定律。如果要等待构成定律的材料纯粹化起来，那么这就是在此以前要把运用思维的研究停下来，而定律也就永远不会出现。” ，彭加勒通过自己科学活动的实践，也达到了类似的认识。他不仅明确地肯定了假设在科学中的地位和作用，而且比较深入地探讨了假设问题，他甚至把他的第一部科学哲学著作取名为《科学与假设》。
彭加勒认为，假设并不是荒诞无稽的东西，人们略加思索就会发觉，假设在科学中所占的重要地位，数学家不可能没有它，实验家也少不了它，因为它能够使我们想像比我们感觉所能向我们表明的大得多或小得多的对象。顾忌假设的科学家无法去发现某些真理。因此，彭加勒指出：“我们应当仔细审查假设的作用，不要对假设简单地加以责难，这样我们才能认识到，它不仅是必需的，而且往往是合理的。”提出“建筑在假设之上的科学是否牢固，是否吹一口气就会使之倾倒”的怀疑是“肤浅的见解”([1]，pp.27~28)。彭加勒断言：“没有假设，科学家将永远寸步难行。”([1]，p.6)
值得注意的是，彭加勒对假设进行了分类研究([1]，pp.135~136、28)。在他看来，假设共有三种：第一种是“极其自然的假设”。这是一种很普遍的假设，人们几乎不可能回避它们，我们用它来做相关判断(judgement of relevance)。例如，我们不得不假定遥远物体的影响完全可以忽略，小位移遵守线性定律，结果是原因的连续函数等等。这类假设只是表面看来是假设，其实只不过是一种隐蔽的约定或定义而已，这类假设在数学及与数学相关的学科中常常遇到。第二种是“中性的假设”。在大多数问题中，解析家在计算之初，或者假定物质是连续的，或者相反，假定物质是由原子构成的。无论他做那一种假定，其结果是一样的，只是求得结果的难易程度不同。当假设是可选择的，而它又不能用实验区分时，它们就是这类假设。这类假设只要它们的特征未被误解，就不会使我们误入歧途。它们对于计算或通过具体图像帮助我们理解是有用的，即有助于整理和坚定我们的思想，从而不存在排除它们的机会。第三类假设是“真正的推广”。它们是实验必须证实或推翻的假设。它们是观察和实验的直接推广，无限期地敞开着通向进一步检验的大门。不管实验宣布其合理或不适用，就它们的启发作用而言，它们总是有价值的。玛丽•妮厄(Mary Jo Nye)在彭加勒论述的启示下，根据假设在科学知识体系中所起的作用，把假设分为“说明性假设”(保留在物理理论中，是一种协调手段，有益于提示不同现象之间的相互关系)， “启发性假设”(不具有存在的意义，仅有建议作进一步实验、观察或探索纲领的联接方式中的信息的启发意义)、“实在论假设”(具有实在论的或存在的意义) 并能由实验直接地或间接地加以验证) 。这两种分类方法在形式上尽管不同，但却具有大致相同的内容。
彭加勒重视假设，但是并未把它强调到不适当的程度。他明确指出：“不凭实验，基于某些不成熟的假设来说明宇宙，长期以来只是幻想。” ([1]，p.280) “假设应当尽可能迅速、尽可能经常地受到检验。当然，它如果经不起这种检验，就应当毫无保留地抛弃它。”([1]，p.133)在彭加勒看来，科学家在抛弃他的假设时，不仅不要有病态情绪，而且应当感到高兴，因为他从中正好找到了未曾料想到的发现机会。由于科学家的假设并不是在毫无考虑的情况下做出的，他顾及到了可能参与该现象的所有已知因素。如果经验不支持它，那肯定是遇到了未曾料到的、非同寻常的东西，正是在这里，存在着有待发现的新奇事物。这样看来，被抛弃的假设远不是无用的，可以说它比真实的假设贡献更大。它不仅为判决实验提供了机会，而且若不作此假设，只是偶尔作了这个实验，则人们将会一无所获，至多不过是把一件事实编入目录中，不能从中得出应有的结果。由此可见，彭加勒不仅看到了假设的正面助发现作用，而且也看到它的反面助发现作用。
彭加勒还要求人们注意：“不可滥用假设，并且只能依次而用，这是很重要的。” ([1]，p.135)他认为最好引入少数基本假设，而不要引入多数特殊假设。例如，在1900年召开的巴黎国际物理学会议上，他在谈到洛伦兹的电子论时说，该理论是现存理论中最使人满意的，但是也有修正的必要。为了解释迈克耳孙-莫雷实验，需要引入新的假设，那么每当出现新的实验事实时，同样也发生这种需要。无疑地，对于每一个新的实验结果提出一种特殊假设的作法是不自然的。假使能够利用某些基本假设，并且不用忽略这种数量级或那种数量级的量，来证明许多电磁作用都完全与系统的运动无关，那就更好了。这实际上是要求在作假设时贯彻简单性原则，而简单性原则也是彭加勒所坚持的一个方法论原则。
在本世纪初，扬言要把一切“形而上学”的东西从科学中排除出去的实证主义思潮依然根深蒂固，彭加勒一反其道，强调假设在科学中的意义，显然有积极意义。
二、直觉是发明的工具
彭加勒主要是一个数学家，他在函数论、代数几何学、数论，代数学，微分方程、代数拓扑学等分支都作出了杰出的贡献。他也是数学直觉主义的创始人(也具有经验主义的传统和逻辑主义的成分)。通过亲身实践，他充分肯定了直觉在数学和其他学科中的作用，在《科学与方法》中，他专用一章论述了这个涉及到发明心理学的问题。
彭加勒认为，对于纯粹数学家而言，直觉的本领是必要的。他说：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”我们面前有无数条可供选择的道路，“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们那一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的本领是直觉。没有直觉，数学家便会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。” ([1]，p.438)
在彭加勒看来，数学创造不是一项机械工作，它并不在于用已知的数学实在造成新的组合。任何一个人都会做出组合，但是组合的数目是无限的，它们中的大多数完全无意义。创造恰恰在于不作无用的组合，而作有用的，为数极少的组合，而且最富有成果的常常是从相距很远的领域引出的元素所形成的组合。发明就是在这些组合中进行辨认、选择。但是，纯粹的逻辑不能完全作到这一点，为此必须求助于直觉。只有直觉，才能发现各元素隐微的关系及和谐。
为了把问题引向深入，彭加勒进而提出了“潜在的自我”(the subliminal self)和“自觉的自我”(the conscious self)的概念。在这里，前者是指无意识(或下意识)工作的自我，后者则指有意识工作的自我。潜在的自我能够产生灵感的直觉认识，有可能一下子洞察到事物的本质和规律。彭加勒认为：“潜在的自我无论如何也不比自觉的自我低下，它不是纯粹自动的，它能够辨认，它机智，敏锐，它知道如何选择、如何凭直觉推测。……它在自觉自我失败的地方取得了成功。一言以蔽之，潜在的自我难道不比自觉的自我优越吗?”([1]，p.390)
彭加勒以自己如何发明富克斯函数(Fuchsian function)的亲身经历说明了这个问题。他说他曾有两星期之久欲证明此种函数是否存在，每天坐在桌前用一两小时作各种组合，仍一无所获。某天晚上偶饮黑咖啡，兴奋得不能入睡，此时各种想法纷至沓来，相互冲突、排斥，终于得到二元素相缔合而结成牢固的联系。第二天早晨即证明有一类富克斯函数存在，可由超几何级数推出，待写出结果，只费数小时而已。类似的情况还有几次。一次是作地质考察旅行登公共汽车时，突然想到定义富克斯函数的变换式与非欧几何的变换式等价。一次是在悠闲散步时，忽然想到不定三元二次式的算术变换式与非欧几何的变换式等价。一次是在接受军事训练行经大街时，顿悟到解决构造一切富克斯函数的障碍。
彭加勒因此得出结论说：“关于这种无意识的工作条件，尚可说明如下：如果一方面有意识的工作在它之前，另一方面又被有意识的工作尾随其后，那么这就是可能的，而且肯定是富有成果的。”([1]，p.389)彭加勒关于直觉在发明中的作用以及潜在的自我与自觉的自我的作用的论述是颇有意思的。它告诉我们，产生直觉的条件是：对所要解决的问题进行过一段时间的认真研究，十分渴望找到解决方法；然后在作无关的事情时，或处于轻松的思想状态中，突然顿悟到解决问题的方法，从而使问题迎刃而解。它也告诉我们，直觉产生于大脑的下意识活动，这时大脑也许不再自觉地关注问题了，而还在通过下意识的活动(潜在的自我)思考它。它还告诉我们，直觉出现在意识的边缘，而不是出现在意识的中心，要不失时机地捕捉它。
三、作为理性美的科学美
彭加勒对科学美(或数学美)具有浓厚的兴趣，他说：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的，工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。” 这种“伟大的东西”就是与艺术美可以相提并论的科学美。在彭加勒看来，数学的目的有三个，除了实用的目的和哲学的目的而外，它还具有美的目的。这就是，“数学家能由此获得类似于绘画和音乐所给予的欢乐。他们赞美数与形的微妙的和谐；当一个新发现向他们打开了未曾料到的视野时，他们惊奇不已；他们感到美的特征，尽管感觉没有参与其中，他们难道能不高兴吗?” ([1]，p.280)
在彭加勒看来，科学美根源于自然美。正因为如此，“数学家把重大的意义与他们的方法和结果的美联系起来”的作法才“不是纯粹的浅薄涉猎” ([1]，p.372)。正因为如此，我们才“毋需担心，这种本能的和未公开承认的偏见将使科学家偏离对真理的追求。”彭加勒认为，科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。可是，什么是“自然美”呢?彭加勒断言，自然美不是“感性美”，即不是“给我们感官以印象的美，也不是质地美和表观美”；自然美在于其“深奥的美”(profounder beauty)，即“潜藏在感性美（sensuous beauty）之后的理性美(intellectual beauty)”。彭加勒说他完全不是小看感性美，只是“这种美与科学无关”。而深奥的美“在于各部分的和谐，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，那些倏忽即逝的梦幻之美其结果就是不完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为此缘故甚于为人类未来的福利。”([1]，pp.366~368)
科学美在于自然的理性美，而这种理性美必须由人的理智来把握，因此科学美必然带有浓厚的主观色彩。彭加勒看到了这一点，他说：“美的事物是其本身最适合于我们理智的事物，因此它们同时是这种理智最了解如何使用的工具。”([1]，p.367)“一言以蔽之，数学的美感只不过是由于解与我们思想需要的任意一致的满足，正因为这种真正的一致，这个解在我们看来才能够成为工具。”([1]，pp.372~373)而且，科学美像艺术美一样，并非每一个人都能领略和体会到的，“只有少数有特殊能力的人才能充分地享受它” ([1]，p.280)。
与科学有关的理性美，即科学美的含义和内容是什么呢?彭加勒对此虽未做出十分肯定的回答，但是他却把“雅致”(elegance)、“和谐”(harmony)、“对称”(symmetry)、“平衡” (balance)、“秩序”(order)、“统—”(unity)、“方法的简单性”(simplicity of the means)、“思维经济”(economy of thought)等赋予科学美。彭加勒说： “在解中、在证明中，给我们以美感的东西是什么呢?是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。总而言之，就是引入秩序，给出统一，容许我们清楚地观察和理解整体与细节的东西。”这种科学美也表现为“方法的简单性和问题集合的复杂性的对立”，而且“与思维经济密切相关” ([1]，p.373)他还说：“被我们赋予优美和雅致特征的、能够在我们身上激起美的情感的数学实体是什么呢?它们是这样的实体：其元素和谐地配置，以致当思想认识到细节时，能够毫不费力地包容整体。这种和谐立即满足了我们的审美需要，有助于它所证实和指导的思想。与此同时，一个秩序井然的整体处于我们的双目之下，使得我们能预见数学定律。”([1]，pp.391~392)但是，在这形形色色的含义中，彭加勒最为强调的是“和谐”，他甚至把其它含义也包容于“和谐”的概念之中，有时干脆认为，“普遍和谐是众美之源”([1]，p.209)，“内部和谐是唯一的美”([1]，p.285)。
彭加勒把科学美作为选择理论的一个标准和科学发现的奇妙工具。他说，在由潜在的自我盲目形成的组合之中，几乎所有的都毫无兴趣，毫无用处；正由于这样，它们对美感毫无影响，意识将永远不了解它们。只有某些组合是和谐的，因而同时也是有用的和美的。它们将激起数学家的特殊感觉，特殊感觉一旦被唤起，就能把我们的注意力引向它们，从而为它们变为有意识的提供机会([1]，p.392)。彭加勒详细说明了这种审美判断能从类似、新奇，对立中做出新发现。他说，我们愈清楚地一瞥即见这种集合体，我们就愈能更好地觉察它与其他邻近现象的类似性，因而也就有更多的机会预言可能的推广。在意外地遇到我们不习惯于汇集的对象的情况下，美可以产生未遇见到的东西的感觉；它再次是富有成果的，由于它向我们揭示出未被认识到的亲缘关系。即使当它仅仅起因于方法的简单性和问题集合的复杂性的对立，它也是富有成效的。于是，它能促使我们思考这种对立的原因，并且每每促使我们认识到，机遇并不是其原因，该原因能在某一未曾料到的规律中发现([1]，pp.372~373)。彭加勒断言：“正是这种特殊的审美感，起着微妙的筛选作用”，“这就充分地说明，缺少它的人永远不能成为真正的创造者。”([1]，p.392)
彭加勒指出，追求科学美是激励科学家的巨大精神力量。作为一个理想主义者，他在这方面甚至讲得有些过分。他说：“我们所作的工作，与其说像庸人认为的那样，我们埋头于此是为了得到物质的结果，倒不如说我们为了感受这种审美的情感，并把这种情感传给能体验这种情感的人。”([5]，p.140)他甚至认为，真理是美与真的统一，追求科学美也即是追求真理。他说：“唯有真理才是美的”([1]，p.205)，“为真理本身的美而忘我追求真理也是合情合理的，这种追求能使人变得更好”，“理性美能使理性变得可靠、有力”([1]，P.368)。
马克思在《1844年经济学哲学手稿》中指出：“动物只是按照它所属的那个种的尺度和需要来建造，而人却懂得按照任何一个种的尺度来进行生产，并且懂得怎样处处把内在的尺度运用到对象上去；因此，人也按照美的规律来创造。” 彭加勒关于科学美的论述不期而遇地涉及到“人也按照美的规律来创造”的问题。科学创造中的审美判断说明，人们在提出新理论时，主观的和心理的状态起着重要的作用。诚如爱因斯坦所说：“科学作为一种现存的和完成的东西，是人们所知道的最客观的，同人无关的东西。但是，科学作为一种尚在制定中的东西，作为一种被追求的目的，却同人类其他一切事业一样，是主观的，受心理状态制约的。” 彭加勒关于科学美的观点是比较深刻的、有见地的，值得进一步探讨与发掘。
四、事实与事实的选择
彭加勒关于事实和事实的选择有不少比较重要的论述，其中有些具有启发性，现分述如下：
1.未加工的事实和科学的事实
彭加勒对 “事实”这一概念并未下一个明确的定义，不过他把事实区分为“未加工的事实”(the crude fact)和“科学的事实”(the scientific fact)。他举例说，借助于可动的反射镜观察电流计的偏转，反射镜把明亮的光点投射到刻度尺上。在这种情况下，来加工的事实是光点移到刻度尺上，而科学的事实则是电流通过回路。又如做实验时得到某些原始数据，然后通过取平均值校正偶然误差，并通过弄清其产生的原因校正系统误差而得到最终数据，那么前者是未加工的事实，后者则是科学的事实。
彭加勒认为，未加工的事实和科学事实之间的界限既不能严格地，也不能精确地划定。他以日蚀为例说明这个问题：
1)不学无术的人说：天变暗了。
2)天文学家说：日食发生在九时。
3)天文学家又说：日食发生在根据牛顿定律制定的表格中所推算的时间内。
4)伽利略最后说：日食是地球绕太阳旋转的结果。
可是，未加工的事实和科学事实之间的界限在那里呢?人们也许会说，它在第1)和第2)之间。可是，2)和3)之间存在着较大的间隔，而3)和4)之间的间隔更大。
况且，2)还可以再细分为：
2)我说：日食发生在九时。
2a)当我的钟表指向九时，日食发生了。
2b)我的钟表慢十分钟。日食发生在九时十分。
彭加勒认为，这还不是全部。2)的两个分段也还不是最小的间隔，1)也可以细分。一个目睹日食的人感觉到昏暗的印象，这种印象又促使他做出天空变暗了的结论，必须把印象和结论区别开来。在某种意义上，头一个事实才是未加工的事实，而第二个事实已经是一种科学的事实了。甚至在天空色彩的浓淡方面，也能想象出许多细微的差别，以代替实际显示出来的差别。
但是，两种事实之间毕竟还有相对的差别。彭加勒认为，两种事实陈述的差别正如同一个未加工的事实用法语陈述和用德语陈述二者的差别一样，科学的事实无非是把来加工的事实翻译成另一种语言。每一个科学事实都是由许多未加工的事实形成的。科学家不能凭空创造科学的事实，他用未加工的事实制作科学的事实，因而他不能自由而随意地制作科学的事实。彭加勒得出结论说：“总而言之，事实就是事实，如果它们以证实了某一种预言而出现，这并非是我们自由活动的结果。在未加工的事实和科学的事实之间不存在精确的界限；我们只能说，事实的这样一种陈述比另外一种陈述更为粗糙，或者相反地，更为科学而已。”([1]，p.333)彭加勒关于未加工的事实和科学的事实之间的分类澄清了在“事实”这一概念上的某些混乱。当今有人建议：把作为在空间和时间中客观存在的事件、现象或事物的事实标记为“事实Ⅰ”，而把用某种语言对事实的描述标记为“事实Ⅱ”。这与彭加勒的分类有相似之处。
2．必须在事实中做出选择
彭加勒认为，自然界的事实是无穷无尽的、形形色色的。不仅如此，针对同一个未加工的事实，科学家原则上可以制作出无数的科学的事实。而且，不管我们能动性如何，事实跑得比我们快，我们不能够捉住它们。当科学家发现一种事实时，在他身体一立方毫米内已发生了数以亿计的事实。另一方面，科学家的头脑只能顾及宇宙的一隅，而不能包容整个宇宙。因此，在自然界提供的无限的事实中；科学家必须抛弃一些，保留一些。
事实是有等级的，有秩序可寻的，于是科学家才有可能从中做出明智的选择。一些事实没有影响，除了它本身而外，它们不能告诉我们任何东西，弄清它们的科学家除这一事实外学不到任何东西，并且科学家也不能预言新事实，这样的事实一旦出现，肯定不会复现。另一方面，也有产生许多成果的事实，它们中的每一个都能告诉我们新定律。由于必须做出选择，科学家就可以把注意力放在这些事实上。
3．选择事实的标准
彭加勒说，如果对于事实的选择仅仅取决于任性或直接的实用，那么就不会有为科学而科学，其结果甚至无科学可言。在他看来，人们应以下列几点作为选择事实的标准。
第一，要选择那些有观察和了解价值的事实，这些事实有助于做出预言、发现定律。彭加勒指出，一个孤立的事实独自并没有什么重要性。如果人们有理由设想，它能使某些未完成的和谐完满起来，有助于预言其他事实，或者更好些，如果在做出预言时，它的检验是一个规律的证实，那么它就变得使人感兴趣了。
彭加勒认为，这种能使人做出预言、发现定律的事实，它们与许多其他在我们看来并非孤立的，而是和另外的紧密结合在一起的事实是类似的。孤立的事实吸引着大家的眼睛 ——外行人的眼睛和科学家的眼睛，这些事实的类似是深奥而隐蔽的。唯有真正的物理学家才知道如何去观察连结许多事实的结合物，分辨出隐藏在未加工的事实中的精髓。彭加勒以数学为例。他说，我们从各种元素能得到亿万个不同的组合。但是，这些组合之一若是孤立的，则其毫无价值可言。当这一组合在一类相似的组合中找到位置，当我们注意到这一相似时，它就完全是另外一个样子了。我们就不再是描述一个事实，而是一个规律。
第二，要选择那些多次运用的事实，即具有一再复现机会的事实。在彭加勒看来，假定不是六十种元素(当时已知的元素数目)，而是六百亿种，它们没有什么共同之处，另一些很稀有且均匀分布。那么每当我们捡起一块石子时，它都十分可能由某种未知的元素组成，我们所知道的其他石子的情况对它毫无用处。在每一个对象面前，我们会像新出生的婴儿一样，照此办理，我们便只能服从我们的任性或实用了。假定事实不能复现，科学家便会茫然无措。这样便不会有科学，也许连思想，甚至连生活也不可能，因为进化在这里不能发展保持的本能。幸好人们没有出生在这样的世界上。
可是，哪一些事实是很可能复现的事实呢?彭加勒指出：“它们首先是简单的事实” ([1]，p.364)。有简单的事实吗?人们只能二者择一：或者这种简单性是真实的，或者元素密切混合起来，以致于无法区分。在第一种情况下，存在着重新遇到同一简单事实的机遇，无论它在整体上是纯粹的，还是它本身作为元素进入复杂的复合体中。在第二种情况下，这种密切的混合同样比异质的混合复现的机遇更多。机遇只知道如何混合，而不知道如何分解，不知道如何用许多元素建造秩序井然的大厦。而复杂的事实是很少有成果的，各种情况对它们都有敏感的影响，情况为数极多且变化多端，以致我们无法辨认它们。因此，彭加勒得出结论说：“似乎是简单的事实——即使它们并非如此一－将更容易被机遇恢复。这证实了科学家本能采取的方法，进一步确证它的也许是，经常复现的事实对我们来说似乎是简单的，恰恰因为我们经常用到它们。”([1]，p.364)
但是，简单的事实在那里呢?彭加勒回答说：“科学家在两种极端情形下寻求它，其一是无限大，其二是无限小。”([1]，P.364)天文学家找到了它，因为星球之间的距离极为遥远，以致于每个星球都可视为质点，它们之间质的差别完全可以忽略不计，质点总比有形状和质地的物体简单。物理学家也找到了基元现象，他们想象把物体分割为无限小的立方体，问题的条件在从物体的一点到另一点缓慢而连续地变化着，因此在每一个小立方体内，条件可以视为恒定。以同样的方式，生物学家本能地认为细胞比整个动物更有趣，结果证明它是明智的，由于对于能够认出细胞相似性的人来说，属于各种有机体的细胞比有机体本身更相象。
第三，彭加勒认为：“对于美的渴望也导致我们作相同的选择”。在他看来，美的事实就是“简单”的事实和“壮观”的事实。人们乐于追寻星球的壮观路线；人们乐于用显微镜观察极其微小的东西，这也是一种壮观；人们乐于寻找过去地质时代的遗迹，它之所以吸引人，是因为它年代久远。彭加勒指出，正是对于美的追求，即对于宇宙和谐的追求，促使科学家选择那些最适合于这种和谐(众美之源)起一份作用的事实。这正如艺术家在他的模特儿的特征中使图画完美并赋予它以个性和生气的事实。
综上所述，不难看出，彭加勒选择事实的几个标准并非毫不相干，而是彼此关联、互相渗透的。而且，像复杂的事实和简单的事实的区分也是相对的。关于事实的选择，彭加勒还进而议论道：“以规则的事实开始是合适的。但是，当规则牢固建立起来之后，当它变得毫无疑问之后，与它完全一致的事实此后就没有意义了，因为它们不能再告诉我们任何新东西。于是，正是例外变得重要起来。我们不去寻求相似，我们尤其要全力找出差别，在差别中我们首先应选择最受强调的东西，这不仅因为它们最为引人注目，而且因为它们最富有指导作用。”([1]，p.365)彭加勒的这些论述也具有方法论的意义。
参考文献
这三本书的英译本是H. Poincare，The Foundations of Science，Authorized Translation by G.B. Halsted，The Science Press，New York and Garrison，N.Y., 1913.
该书是彭加勒逝世后由其他人集其遗著编辑而成的，英译本是H. Poincare，Mathematics and Science：Last Essays，Translated by John W.Bolduc，Dover Publications，Inc., New York，1963.
恩格斯：《自然辩证法》，北京：人民出版社，第216页。
M.J.妮厄：《十九世纪关于原子的争论与一种“中性假设”的二难推论》，北京：《自然科学哲学问题丛刊》，1980年第4期。
ポアンカレ(H.Poineare)著：《科学者と詩人》，平林初之輔訳，岩波書店，1927年，p.139．
《马克思恩格斯全集》第42卷，北京：人民出版社，第97页。
《爱因斯坦文集》第1卷，许良英等编译，北京：商务印书馆1976年版，第298页。
（原载北京：《哲学研究》，1984年第5期，第37~44页）
【数学为什么难以理解？——彭加勒问题及其解答】
郝宁湘
http://www.ljxw.com/edu/read.asp?NewsID=6719&ArticlePage=1
一、彭加勒问题与彭氏解答
数学为什么难以理解？这是世界著名数学家、科学家和哲学家彭加勒在其《科学与方法》一书中提出的问题（以下简称彭加勒问题）。尽管彭加勒的科学哲学思想和数学哲学思想在我国已得到了不同程度的研究，但他提出的数学为什么难以理解这一问题尚未引起人们的注意。笔者希望通过本文的论述以引起数学哲学界，尤其是从事数学方法论和数学教育研究的人们对彭加勒问题的关注。
彭加勒问题首先是在《科学与方法》的第一编第三章出现，彭加勒指出：“有人不理解数学，这是怎么发生的呢？既然数学有求助于所有正常思想都能接受的逻辑规则，既然数学的证据建立在对一切人都是共同的原理的基础上，既然没有一个不发疯的人会否认这一点，那么在这里为何出现如此之多的不开化的人呢？并非每一个人都能够发明，这决不是难以理解的。并非每一个人都能够记住一次学到的证明，这也可以略而不提。但是，当把数学推理加以解释之后，并非每一个人都能够理解它，我们想想这件事，似乎是十分奇怪的”（［１］Ｐ３７４）。随后，彭加勒又在第二编第二章进一步提出：“如此之多的人不愿理解数学，这种情况是怎么发生的呢？这难道不是一种悖论吗？……他们没有发明的能力尚可谅解，但是我们向他们说明的论证，他们竟不理解，在我们看来是十分明亮的闪光出现在他们面前时，他们竟视而不见，这是多么奇怪的事呀”（［１］Ｐ４２４）。彭加勒认为，“这是一个不容易解决的问题，但是它应当引起所有献身于数学的人的注意”（［１］Ｐ４２４）。
那么彭加勒自己是如何解答这一问题的呢？这里我们先来看看彭加勒对“理解”一词是如何理解的。在彭加勒看来，理解首先意味着弄清一个定理的每一步的演绎推理，搞清它的正确性，它与数学规则、逻辑规则的一致性；以及弄清楚一个定义的全部意义。这是最浅层的理解，是对概念和定理“知其然”的理解。这种理解事实上是远远不够的，对于大多数学习数学的人来说，不仅要知道一个定理是怎样证明的，而且更重要的是要知道这个定理为什么要这样证明，是怎样想到用这个方法、这个原理来证明的。这是彭加勒关于理解一词的又一解释，是“知其所以然”意义上的理解。在学生心目中，老师证明一个定理似乎具有很大的任意性，他们不理解老师为什么这样来证，他们不知道一个定理的“所以然”。另外，彭加勒对理解还作了直观理解和抽象理解的区分（尽管彭加勒没有明确使用这两个词）。他说：对于一个数学概念，一般人“都希望提出明显的图象；定义必须唤起这个图象，以致在证明的每一个步骤中，他们可以看到它的变换和进展。只有在这一条件下，他们才能理解和记住”。“如果他们在实践中或自然界中找不到它们，他们将不能理解这样的数学概念的正当理由”（［１］Ｐ４２５—４２６）。这显然指的是一种直观的形象的理解。除此之外，我们还有“把空洞的形式组合起来的定义，这些形式是完全不可理解的、纯粹不可理解的（指不可作直观的理解——引者注），抽象剥去了全部内容”（［１］Ｐ４２６）。这就要求理解是一种抽象的理解。
在了解了彭加勒关于理解的意义之后，我们来看看彭加勒是怎样解答自己提出的这个问题。彭加勒回答数学为什么难以理解这一问题，是结合着另一个与之密切相关的问题展开的，即数学推理为何会出错？在他看来数学推理出错的原因是多方面的，其中之一在于一个人的记忆力和注意力出了问题，他认为，在一个长系列的三段论推理过程中，人们很可能把一个开始是结论而随后不久又作为前提的命题忘掉，或记错它的意义，于是错误就由此而来。另外，对于常常使用的数学法则，在开始证明的时候，人们还能够清楚地理解它的意义和使用范围，但后来如果对其的意义记忆不清了就会把它用错。（［１］Ｐ３７５）不过彭加勒并不把记忆力和注意力的欠缺看成是数学推理出错和数学难以理解的主要原因，他指出：“数学证明不是演绎推理的简单并列，它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更为重要。如果我具有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉，以便一眼就觉察到作为一个整体的推理，那么我已无需害怕我忘记这些元素之一，因为它们之中每一个都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人费心思记忆”（［１］Ｐ３７６）。可见，有没有这种数学次序的感觉或直觉，被彭加勒看作是数学推理会不会出错和能不能理解数学的关键。因为根据这种数学次序的感觉或直觉，就能够以在数学推理过程中隐藏着的各种命题和法则之间的和谐关系，推测出所需的命题和法则，而不要死记硬背它们。由于这种直觉“并不是每一个人都具有的。有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉，或者没有超常的记忆力和注意力，因此，他们绝对不可能理解较高级的数学”（［１］Ｐ３７６—３７７）。更重要的是，在彭加勒看来，只有超常的记忆力和注意力，而没有数学直觉的人，他们能够理解数学，有时还能应用数学，但不能创造数学；而具有这种特殊的数学直觉的人，尽管记忆力和注意力毫无非同寻常之处，他们也能理解数学，并且可以成为数学创造者。另外，数学直观不仅能帮助人们推测出数学证明所需的但又记忆不清的命题和法则，而且更重要的是能够帮助人们从整体上或全局上选择一条走向成功的道路。彭加勒正确地指出，你如果只能辩认一个推理过程是否正确，而不知道为什么要选择这种推理而不是那种推理，那么你便会陷入困境。而逻辑只能告诉我们一个推理是否正确，“但是它不会告诉我们那一条路能达到目的。为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的能力是直觉”（［１］Ｐ４３３）。可见，彭加勒认为，缺乏数学直觉是数学为什么难以理解的根本原因。最后，数学直觉还有一个作用，它能使完全抽象的、符号化的数学思维依附于一定的形象思维、直观思维。彭加勒认为，“正是通过直觉，数学世界才能依然与真实世界保持接触，……以填平把符号与实在分隔开的鸿沟”（［１］Ｐ４３２）。人们（尤其是学生）的思维往往负担不起形式化较高的抽象思维，需要有一种形象的直观的实在作为抽象思维的依附，数学直觉在此就起到一种“桥梁”的作用。不过彭加勒也没有过高地看重直觉的这层作用，因为在他看来，过于依赖形象与直观，是造成数学出错和数学难以理解的又一原因。其理由是，形象的、直观的东西往往是粗糙的、不可靠的，而数学需要的是严格与精神；数学推理也常常不顾人的直观想象，推论出与直观相违背的结论。我们认为还有一条同样重要的理由，即长期过于依赖形象的直观的思维方式，会使这种思维方式成为一个人的思维定式，从而严重影响这个人的抽象思维能力的发展。最后，彭加勒认为，缺乏正确的推理技艺也是数学出错与数学难以理解的一大原因。指出“数学教师首先应当培养正确推理技艺，……我们应该不断地仿效和赞美这些模式（指数学家已经给出的数学推理模式——引者注）”。认为要“有足够的机会使学生练习数学那一部分中的正确推理”（［１］Ｐ４３３）。在此彭加勒十分强调了练习的重要性。
好吧，那就再来看看庞加莱是怎么说的（如果我没记错的话，欧拉也非常注重思维的讲述，并认为不能讲述数学发明背后的思维的教学是没有意义的）。注意，庞加莱那个时候，心理学和认知科学差不多才起步。关于学习和记忆的研究也不是很清晰。（关于学习与记忆的神经生物学基础是Eric Kandel做的（《追寻记忆的痕迹》），那都已经是晚近的事情了，Kandel因此获得2000年诺贝尔奖。关于记忆的系统介绍强烈推荐《找寻逝去的自我》。）庞加莱是基于内省方法来研究问题解决心理学的，但基于一个最牛数学家的大量解决问题的心理体验，庞加莱基本上把解题心理学归纳了个八九不离十，从今天的认知科学角度来看是他总结得是相当准确的。
感谢微软百科全书收藏了科学美国人曾经重新刊印的这篇经典演讲。
以下是导读和自己的一点感想，如果不想被先入为主地干扰请略过直接浏览全文：
在读《数学领域发现的心理学》的时候看到脚注里面提到庞加莱的这篇演讲。最喜欢数学家讲problem solving心理学了。认知科学家、神经科学家没有数学家解决复杂问题时候的心理体验，所以做的研究缺乏一些也许只能靠内省来获得的知识，而且使用的问题也趋于简单。而数学家又往往不通心理学，或者干脆就不关心问题到底是怎么解决的，只关心能否解决。
所幸庞加莱，这个被称为最后一位全才的人，对解题的心理学也非常有兴趣和研究。在演讲中可以发现，他对于自己解决数学问题过程中的心理过程作了深刻的反省，虽然庞加莱不是认知神经科学家，但演讲中的使用的类比以及描述基本上都是靠谱的。
其中最有意思的是他也提到了自己的几次顿悟的瞬间（其中有一次就是著名的踏上马车一瞬间想到解的那次）。
庞加莱认为下意识里面会对问题的各个元素（条件）进行组合，然后根据人对于知识的某种美感上的偏好筛选出来，那些足够"美"的东西就会浮上意识层面，于是产生顿悟。这也是我看了一些认知科学的书之后得到的说法。但此外庞加莱同时也认为下意识进行的探索是相当多的，他认为也许远远大于意识层面进行的探索（组合）。而我倾向于认为下意识层面能进行的逻辑推理是有限远的，一般一到两步就了不得了。下意识里面更多的进行的是某种模糊的模式匹配，或者说模糊联想。这就是为什么对问题有一个全局感性认识那么重要的原因，这样的认识足够模糊足够全局，有助于提取出重要的相关知识来。此外，一个总体的认识往往包含了问题的最重要（往往也是最本质的）要素，将这些要素同时装进工作记忆有着非常重要的意义——使它们有机会组合在一起，衍生出新的知识。否则就是陷在在问题的某个局部（某几个局部条件）下，得到不相干的知识。
另外他也提到了对问题整体理解的另一个好处：当你对解的大致过程有了一个整体认识之后，即便缺乏某个局部的细节，也可以在这个整体视图的指导下将其推导出来（填充出来）。说到这里顺便说一个有关的思维心理学实验：大家知道围棋高手能够记忆非常复杂的残局，而新手简直连半部残局也记忆不了。原因其实就是围棋高手具有领域知识：对各种各样围棋套路的知识，对各种局面的形态的知识。有了这些知识，只要记住局面的一个大概，就可以推导出那些细节了。事实上，当让高手们记忆一盘毫无规律放置的棋局时，他们的表现并不比门外汉好。
以下是全文转载(via)：（文章不长；况且，如果庞加莱的文章不值得你捏着鼻子看中古英文，什么人的才值得呢？:-)）
Mathematical Creation
How is mathematics made? What sort of brain is it that can compose the propositions and systems of mathematics? How do the mental processes of the geometer or algebraist compare with those of the musician, the poet, the painter, the chess player? In mathematical creation which are the key elements? Intuition? An exquisite sense of space and time? The precision of a calculating machine? A powerful memory? Formidable skill in following complex logical sequences? A supreme capacity for concentration?
The essay below, delivered in the first years of this century as a lecture before the Psychological Society in Paris, is the most celebrated of the attempts to describe what goes on in the mathematician's brain. Its author, Henri Poincaré, cousin of Raymond, the politician, was peculiarly fitted to undertake the task. One of the foremost mathematicians of all time, unrivaled as an analyst and mathematical physicist, Poincaré was known also as a brilliantly lucid expositor of the philosophy of science. These writings are of the first importance as professional treatises for scientists and are at the same time accessible, in large part, to the understanding of the thoughtful layman.
Poincaré on Mathematical Creation
The genesis of mathematical creation is a problem which should intensely interest the psychologist. It is the activity in which the human mind seems to take least from the outside world, in which it acts or seems to act only of itself and on itself, so that in studying the procedure of geometric thought we may hope to reach what is most essential in man's mind...
A first fact should surprise us, or rather would surprise us if we were not so used to it. How does it happen there are people who do not understand mathematics? If mathematics invokes only the rules of logic, such as are accepted by all normal minds; if its evidence is based on principles common to all men, and that none could deny without being mad, how does it come about that so many persons are here refractory?
That not every one can invent is nowise mysterious. That not every one can retain a demonstration once learned may also pass. But that not every one can understand mathematical reasoning when explained appears very surprising when we think of it. And yet those who can follow this reasoning only with difficulty are in the majority; that is undeniable, and will surely not be gainsaid by the experience of secondary-school teachers.
And further: how is error possible in mathematics? A sane mind should not be guilty of a logical fallacy, and yet there are very fine minds who do not trip in brief reasoning such as occurs in the ordinary doings of life, and who are incapable of following or repeating without error the mathematical demonstrations which are longer, but which after all are only an accumulation of brief reasonings wholly analogous to those they make so easily. Need we add that mathematicians themselves are not infallible?...
As for myself, I must confess, I am absolutely incapable even of adding without mistakes... My memory is not bad, but it would be insufficient to make me a good chess-player. Why then does it not fail me in a difficult piece of mathematical reasoning where most chess-players would lose themselves? Evidently because it is guided by the general march of the reasoning. A mathematical demonstration is not a simple juxtaposition of syllogisms, it is syllogisms placed in a certain order, and the order in which these elements are placed is much more important than the elements themselves. If I have the feeling, the intuition, so to speak, of this order, so as to perceive at a glance the reasoning as a whole, I need no longer fear lest I forget one of the elements, for each of them will take its allotted place in the array, and that without any effort of memory on my part.
We know that this feeling, this intuition of mathematical order, that makes us divine hidden harmonies and relations, cannot be possessed by every one. Some will not have either this delicate feeling so difficult to define, or a strength of memory and attention beyond the ordinary, and then they will be absolutely incapable of understanding higher mathematics. Such are the majority. Others will have this feeling only in a slight degree, but they will be gifted with an uncommon memory and a great power of attention. They will learn by heart the details one after another; they can understand mathematics and sometimes make applications, but they cannot create. Others, finally, will possess in a less or greater degree the special intuition referred to, and then not only can they understand mathematics even if their memory is nothing extraordinary, but they may become creators and try to invent with more or less success according as this intuition is more or less developed in them.
In fact, what is mathematical creation? It does not consist in making new combinations with mathematical entities already known. Anyone could do that, but the combinations so made would be infinite in number and most of them absolutely without interest. To create consists precisely in not making useless combinations and in making those which are useful and which are only a small minority. Invention is discernment, choice.
It is time to penetrate deeper and to see what goes on in the very soul of the mathematician. For this, I believe, I can do best by recalling memories of my own. But I shall limit myself to telling how I wrote my first memoir on Fuchsian functions. I beg the reader's pardon; I am about to use some technical expressions, but they need not frighten him, for he is not obliged to understand them. I shall say, for example, that I have found the demonstration of such a theorem under such circumstances. This theorem will have a barbarous name, unfamiliar to many, but that is unimportant; what is of interest for the psychologist is not the theorem but the circumstances.
For fifteen days I strove to prove that there could not be any functions like those I have since called Fuchsian functions. I was then very ignorant; every day I seated myself at my work table, stayed an hour or two, tried a great number of combinations and reached no results. One evening, contrary to my custom, I drank black coffee and could not sleep. Ideas rose in crowds; I felt them collide until pairs interlocked, so to speak, making a stable combination. By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series; I had only to write out the results, which took but a few hours.
Then I wanted to represent these functions by the quotient of two series; this idea was perfectly conscious and deliberate, the analogy with elliptic functions guided me. I asked myself what properties these series must have if they existed, and I succeeded without difficulty in forming the series I have called theta-Fuchsian.
Just at this time I left Caen, where I was then living, to go on a geologic excursion under the auspices of the school of mines. The changes of travel made me forget my mathematical work. Having reached Coutances, we entered an omnibus to go some place or other. At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformations I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-Euclidean geometry. I did not verify the idea; I should not have had time, as, upon taking my seat in the omnibus, I went on with a conversation already commenced, but I felt a perfect certainty. On my return to Caen, for conscience's sake I verified the result at my leisure.
Then I turned my attention to the study of some arithmetical questions apparently without much success and without a suspicion of any connection with my preceding researches. Disgusted with my failure, I went to spend a few days at the seaside, and thought of something else. One morning, walking on the bluff, the idea came to me, with just the same characteristics of brevity, suddenness and immediate certainty that the arithmetic transformations of indeterminate ternary quadratic forms were identical with those of non-Euclidean geometry.
Returned to Caen, I meditated on this result and deduced the consequences. The example of quadratic forms showed me that there were Fuchsian groups other than those corresponding to the hypergeometric series; I saw that I could apply to them the theory of theta-Fuchsian series and that consequently there existed Fuchsian functions other than those from the hypergeometric series, the ones I then knew. Naturally I set myself to form all these functions. I made a systematic attack upon them and carried all the outworks, one after another. There was one, however, that still held out, whose fall would involve that of the whole place. But all my efforts only served at first the better to show me the difficulty, which indeed was something. All this work was perfectly conscious.
Thereupon I left for Mont-Valérien, where I was to go through my military service; so I was very differently occupied. One day, going along the street, the solution of the difficulty which had stopped me suddenly appeared to me. I did not try to go deep into it immediately, and only after my service did I again take up the question. I had all the elements and had only to arrange them and put them together. So I wrote out my final memoir at a single stroke and without difficulty.
I shall limit myself to this single example; it is useless to multiply them...
Most striking at first is this appearance of sudden illumination, a manifest sign of long, unconscious prior work. The role of this unconscious work in mathematical invention appears to me incontestable, and traces of it would be found in other cases where it is less evident. Often when one works at a hard question, nothing good is accomplished at the first attack. Then one takes a rest, longer or shorter, and sits down anew to the work. During the first half-hour, as before, nothing is found, and then all of a sudden the decisive idea presents itself to the mind...
There is another remark to be made about the conditions of this unconscious work; it is possible, and of a certainty it is only fruitful, if it is on the one hand preceded and on the other hand followed by a period of conscious work. These sudden inspirations (and the examples already cited prove this) never happen except after some days of voluntary effort which has appeared absolutely fruitless and whence nothing good seems to have come, where the way taken seems totally astray. These efforts then have not been as sterile as one thinks; they have set agoing the unconscious machine and without them it would not have moved and would have produced nothing...
Such are the realities; now for the thoughts they force upon us. The unconscious, or, as we say, the subliminal self plays an important role in mathematical creation; this follows from what we have said. But usually the subliminal self is considered as purely automatic. Now we have seen that mathematical work is not simply mechanical, that it could not be done by a machine, however perfect. It is not merely a question of applying rules, of making the most combinations possible according to certain fixed laws. The combinations so obtained would be exceedingly numerous, useless and cumbersome. The true work of the inventor consists in choosing among these combinations so as to eliminate the useless ones or rather to avoid the trouble of making them, and the rules which must guide this choice are extremely fine and delicate. It is almost impossible to state them precisely; they are felt rather than formulated. Under these conditions, how imagine a sieve capable of applying them mechanically?
A first hypothesis now presents itself; the subliminal self is in no way inferior to the conscious self; it is not purely automatic; it is capable of discernment; it has tact, delicacy; it knows how to choose, to divine. What do I say? It knows better how to divine than the conscious self, since it succeeds where that has failed. In a word, is not the subliminal self superior to the conscious self? You recognize the full importance of this question...
Is this affirmative answer forced upon us by the facts I have just given? I confess that, for my part, I should hate to accept it. Re-examine the facts then and see if they are not compatible with another explanation.
It is certain that the combinations which present themselves to the mind in a sort of sudden illumination, after an unconscious working somewhat prolonged, are generally useful and fertile combinations, which seem the result of a first impression. Does it follow that the subliminal self, having divined by a delicate intuition that these combinations would be useful, has formed only these, or has it rather formed many others which were lacking in interest and have remained unconscious?
In this second way of looking at it, all the combinations would be formed in consequence of the automatism of the subliminal self, but only the interesting ones would break into the domain of consciousness. And this is still very mysterious. What is the cause that, among the thousand products of our unconscious activity, some are called to pass the threshold, while others remain below? Is it a simple chance which confers this privilege? Evidently not; among all the stimuli of our senses, for example, only the most intense fix our attention, unless it has been drawn to them by other causes. More generally the privileged unconscious phenomena, those susceptible of becoming conscious, are those which, directly or indirectly, affect most profoundly our emotional sensibility.
It may be surprising to see emotional sensibility invoked à propos of mathematical demonstrations which, it would seem, can interest only the intellect. This would be to forget the feeling of mathematical beauty, of the harmony of numbers and forms, of geometric elegance. This is a true esthetic feeling that all real mathematicians know, and surely it belongs to emotional sensibility.
Now, what are the mathematic entities to which we attribute this character of beauty and elegance, and which are capable of developing in us a sort of esthetic emotion? They are those whose elements are harmoniously disposed so that the mind without effort can embrace their totality while realizing the details. This harmony is at once a satisfaction of our esthetic needs and an aid to the mind, sustaining and guiding. And at the same time, in putting under our eyes a well-ordered whole, it makes us foresee a mathematical law... Thus it is this special esthetic sensibility which plays the role of the delicate sieve of which I spoke, and that sufficiently explains why the one lacking it will never be a real creator.
Yet all the difficulties have not disappeared. The conscious self is narrowly limited, and as for the subliminal self we know not its limitations, and this is why we are not too reluctant in supposing that it has been able in a short time to make more different combinations than the whole life of a conscious being could encompass. Yet these limitations exist. Is it likely that it is able to form all the possible combinations, whose number would frighten the imagination? Nevertheless that would seem necessary, because if it produces only a small part of these combinations, and if it makes them at random, there would be small chance that the good, the one we should choose, would be found among them.
Perhaps we ought to seek the explanation in that preliminary period of conscious work which always precedes all fruitful unconscious labor. Permit me a rough comparison. Figure the future elements of our combinations as something like the hooked atoms of Epicurus. During the complete repose of the mind, these atoms are motionless, they are, so to speak, hooked to the wall...
On the other hand, during a period of apparent rest and unconscious work, certain of them are detached from the wall and put in motion. They flash in every direction through the space (I was about to say the room) where they are enclosed, as would, for example, a swarm of gnats or, if you prefer a more learned comparison, like the molecules of gas in the kinematic theory of gases. Then their mutual impacts may produce new combinations.
What is the role of the preliminary conscious work? It is evidently to mobilize certain of these atoms, to unhook them from the wall and put them in swing. We think we have done no good, because we have moved these elements a thousand different ways in seeking to assemble them, and have found no satisfactory aggregate. But, after this shaking up imposed upon them by our will, these atoms do not return to their primitive rest. They freely continue their dance.
Now, our will did not choose them at random; it pursued a perfectly determined aim. The mobilized atoms are therefore not any atoms whatsoever; they are those from which we might reasonably expect the desired solution. Then the mobilized atoms undergo impacts which make them enter into combinations among themselves or with other atoms at rest which they struck against in their course. Again I beg pardon, my comparison is very rough, but I scarcely know how otherwise to make my thought understood.
However it may be, the only combinations that have a chance of forming are those where at least one of the elements is one of those atoms freely chosen by our will. Now, it is evidently among these that is found what I called the good combination. Perhaps this is a way of lessening the paradoxical in the original hypothesis...
I shall make a last remark: when above I made certain personal observations, I spoke of a night of excitement when I worked in spite of myself. Such cases are frequent, and it is not necessary that the abnormal cerebral activity be caused by a physical excitant as in that I mentioned. It seems, in such cases, that one is present at his own unconscious work, made partially perceptible to the over-excited consciousness, yet without having changed its nature. Then we vaguely comprehend what distinguishes the two mechanisms or, if you wish, the working methods of the two egos. And the psychologic observations I have been able thus to make seem to me to confirm in their general outlines the views I have given.
Surely they have need of [confirmation], for they are and remain in spite of all very hypothetical: the interest of the questions is so great that I do not repent of having submitted them to the reader.
【庞加莱ZT】
昂利•庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱
庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。
庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。
庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行。
庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。
1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。为了了解时局，他很快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。
1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。
1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。
1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。
1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。
1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。
庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。
庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。
庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。
庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。
庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。
庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。
庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。
1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。
1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。
1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁!
庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。
罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是昂利·庞加莱。“当我最近在盖•吕萨街庞加莱通风的休息处拜访他时，……我的舌头一下子失去了功能，直到我用了一些时间(可能有两、三分钟)仔细端详和承受了可谓他思想的外部形式的年轻面貌时，我才发现自己能够开始说话了。”
这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、预示了柯西的一个后继者的到来的论文作者，这是创办《美国数学杂志》的英国数学家西尔维斯待于1885年见到庞加莱的心情写照。
阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”
庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
【网友评论ZT】
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要说起来这个猜想的术语那是很抽象的，是说“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，但是这让数学的外行害怕，一害怕就不敢研究。但这样就有问题，万一其它专业的人要利用这个原理呢？所以我尝试用通俗的办法来讲一下什么是庞加莱猜想。
首先，我以前一直就是有一个观点，那就是数学家真没有意思，数学家要证明的东西，往往在常人看来，都是废话。什么是废话呢？比如人不吃饭要饿死，汽车没有火车跑得快这样的肯定对头的话，或者在常人看来理当如此的话。但是数学家们偏要证明一下，而且证明起来还挺难。
比方说吧，两点之间直线最近，这件事情不要说每一个人知道，甚至连一条狗都知道。但是你要真正证明它，光大学的高等数学知识还是不够的，还要进修泛函分析，变分法，这才能够证明这件事情，瞧这多麻烦？
好，现在来讲这个庞加莱猜想是什么回事，后面大家会看到，那其实也是一个废话。当然，现在已经证明了，就是庞加莱定理了。因为是在三维空间，因此就好说了。
我们居住的房子，如果里面没有摆放任何家具，当然就是一个长方体的形状的空间，有长，宽，高。当然，我们不讨论这样的通常的房子。
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一下，一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
嗨，我不妨假设这个球形的房子周边其实是钢做的表面，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球型房子里呆着。
现在拿一个汽球来，带到这个球形的房子里。随便什么汽球都可以（我一开始故意这么说，其实对这个汽球是有要求的）。这个汽球并不是瘪的，而是已经吹大成某一个形状了，什么形状都可以（后面要说明这也是胡说，其实对形状也是有要求的）。但是这个汽球，我们还可以继续吹大它，而且假设汽球的皮特别结实，肯定不会被吹炸了。还要假设，这个汽球的皮是无限薄的。当然，又无限薄又能够结实，这本身就是脱离实际了，但是没有办法啊，科学总是要抽象的嘛，不让抽象我们就得不出什么成果。
好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹啊吹。吹到最后会怎么样呢？那个庞加莱先生就猜想了，吹到最后，一定是这个汽球的表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙了。
当然，还要有一些假设，就是我们这个人不能呆在这个球形房子里，否则的话汽球会有一部分贴到人身上，而不是贴到墙壁上了。可是没有人怎么吹汽球呢？哎呀抽象嘛。我们可以假设有一个小精灵躲在汽球里面吹，用一个压缩的空气瓶吹。或者，也可以不是吹这个汽球，而是在这个大球形的，非常结实的钢制的房子外面抽气，把房里的气抽光，则汽球里的空气就能够膨胀，也能够达到效果，反正最后一定是能够汽球的表面和房子墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。
但是这个猜想到现在还不严格。如果这个汽球只是一个长形的，或者球形的，那是可以做到的。但是，如果这个汽球是一个救生圈的形状，那就不行了，因为救生圈在不断吹大的时候，最后有一些表面并不是紧贴在墙面上，而是会相互挤在一起。
因此，这个猜想就必须把类似救生圈一类的汽球排除开。认为拿这样的汽球来吹属于赖皮行为。
最后定的规则是这样，就是，如果我们钻到那个汽球里去（假设我们是小人国里的小精灵，会飞），我们用一只苍蝇，用一根线绑在苍蝇身上，（假设这根线无限细且没有重量。然后让苍蝇随意地到处飞。这样，我手中的线就象风筝线一样不断地放出去，最后那个苍蝇还要飞回来，飞回来以后，我把栓在苍蝇身上的线头解下来，和我手中的线系在一起，这就构成了一个圈，或者叫一个绳套吧，能够把人勒死的那种。然后把这个绳套往自己怀里拉，拉呀拉，最后总能够把这个绳套统统都给拉回来。比如说，救生圈形状就不行，因为如果苍蝇在救生圈里飞了一圈回来，我这个结成的绳套就肯定收不会来，而给挡在那里了。那么，这样的汽球就不符合要求。
因此，我要求的汽球，它的形状虽然可以随意，但是，里面的任何一根封闭的曲线，或者说绳套吧，都不会绕过一根类似柱子这样的东西，或者说，这个汽球看上去没有“孔”，不象救生圈那样，可以把一个头伸进去。这样的汽球，数学家起了一个名字叫“单连通”，之所以要起这么吓人的名子，无非是为的显示自己挺有学问罢了，吓唬人的，无非是一个整个的不带孔的汽球嘛。
也就是说，庞加莱定理，说的就是，一个单连通的汽球（市面上卖的汽球大多数都是单连通的），在一个球形的房子里使劲地吹，最后一定能够使汽球的表面和球形房子的墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。当然，得假设这个球形的房子里的空气，随着汽球的吹大，是会被排光的。
瞧，就这么个事，象不象废话啊？为证明这件事情花了三百多页，是不是有一些吃饱了撑得慌？
不光如此，这说法还如此地学究，什么“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，吓唬人不是？硬要将汽球说成是流型，显摆自己学问深不是？唉，总算球面大家还是知道的。什么叫“同胚”？也够吓唬人的，就是把汽球吹大后两个表面紧紧贴着。
所以啊，诸位小朋友们也可以想一些这样的废话，也就可以给出中国人给出的猜想了。现在光是外国人有猜想，中国人却没有。要我早知道庞加莱瞎猜的东西有这么简单，我就提前猜想了，让别人累得半死去证明去。那我多有名啊。
其实这样的猜想我也已经想到了一个。上面不是讲如果一个汽球是球生圈的形状，就不能够在一个球形的房间里吹大且和球形的墙壁紧密接触吗？那么好了，我这儿也设计一个巨大的房子，不是球形的，是一个球生圈形状的，而且，那个救生圈形状的汽球也套在这个巨大的房子里，这样我再吹这个汽球，它就肯定和这个房子的墙壁紧密接触了吧？
好，现在提出的最伟大的数学猜想如下：
将一个内胎置入一个外胎里，然后对这个内胎使劲打气，最后的结果一定是内胎的外表面和外胎的内表面亲密接触。
shark举的气球例子是2维闭流形
2维闭流形、和m维闭流形(m>3)的彭加勒猜想先证明的
最后是3维闭流形
考虑到时间和膨胀的话、我们生活的时空、可能是一个3维闭流形(即4维时空)
【庞加莱猜想ZT】
http://baike.baidu.com/view/250451.htm
令人头疼的世纪难题
前言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利•庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。现在拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
艰难的证明之路
2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。
提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
一、早期的证明
20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。
30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰•米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”
然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
二、柳暗花明的突破
这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。
1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。
10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。
三、最后的决战
然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？
工具有了。
理查德•汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。
1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”
Ricci流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。
第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间里，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。
1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？
在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
与其同时，地球的另一端，一个叫格里戈里·佩雷尔曼的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后，将3份关键论文的手稿在2002年11月和2003年7月之间，粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。声称证明了几何化猜想。到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成。
“如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博士说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”
佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。
对于佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。此外，他还是一名天才的小提琴家，桌球打得也不错。
从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。大约10年前，他回到斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。
证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。
“我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。”佩雷尔曼说，“我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。
2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太人家庭很少对外开放。
四、最终的解决
就这样，在前人的不断努力下，庞加莱猜想的证明也变得水到渠成。
2006年6月3日，中山大学的朱熹平教授和曹怀东以一篇长达300多页的论文，以专刊的方式刊载在美国出版的《亚洲数学期刊》六月号，补全了佩雷尔曼证明中的漏洞，给出了庞加莱猜想的完全证明。破解了国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想。运用汉密尔顿、佩雷尔曼等的理论基础，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，从而完全破解了困扰世界数学家多年的庞加莱猜想。今后，“庞加莱猜想”就要被称作“庞加莱定理”啦！
但是，因为还有其他人宣称证明了该猜想，包括佩雷尔曼、汉密尔顿都对此问题有着巨大贡献，佩雷尔曼还一度声称自己证明了该猜想，而朱熹平和曹怀东却完成了最后的封顶，因此谁是首个证明者，还有争议。
谁是最重要的证明者？
答案是佩雷尔曼
我们于6月23日到达圣彼得堡，专程采访佩雷尔曼。在这之前佩雷尔曼从未接受过采访。在我们之前，国际数学家联盟主席John Ball秘密拜访了佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。谁都知道这是数学界的最高荣誉，此前共有44位数学家获此殊荣，没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是“我拒绝。”他对我们说：“如果我的证明是正确的，别种方式的承认是不必要的。”
佩雷尔曼于1992年访问美国，他的生活极为俭朴，只吃面包，芝士和牛奶。在纽约大学他结识了年轻的中国数学家田刚，每星期他们一起开车去普林斯顿参加高等研究院的讨论班。佩雷尔曼读了哈密尔顿关于瑞奇流的文章，还在高等研究院听了他给的一个报告。佩雷尔曼说：“你不用是大数学家也可以看出这对几何化会有用。”
1993年佩雷尔曼开始在伯克莱进行为期两年的访问，适逢哈密尔顿来校作系列演讲。一次报告后，哈密尔顿告诉佩雷尔曼他所遇到的最大的一些障碍，其中之一是叫做“雪茄”的一类奇点。佩雷尔曼意识到，他写的一篇没有发表的文章可能对解决这个问题有用，问哈密尔顿是否知道这篇文章。但哈密尔顿似乎没有了解这篇文章的重要。
1994年，佩雷尔曼因写出了几篇非常有原创性的论文而被邀请在国际数学家大会作报告。好几家大学，包括斯坦福和普林斯顿，邀请他去申请职位。但是他拒绝了一些学校提供的职位，于1995年夏天回到圣彼得堡。他说：“我意识到我在俄国会工作得更好。”斯坦福的Eliashberg 说他回俄国是为了解决庞加莱猜想，佩雷尔曼对这种说法没有表示反对。
在俄国他独自工作，只通过英特网搜集他所需要的知识。Gromov,一位曾与佩雷尔曼合作过的着名几何学家说：“他不需要任何帮助，喜欢一个人工作。他使我想起牛顿，着迷于自己的想法，不去理睬别人的意见。”1995年，哈密尔顿发表了一篇文章，其中描述了他对于完成庞加莱猜想的证明的一些想法。佩雷尔曼对我们说，从这篇文章中“我看不出他在1992年之后有任何进展。可能更早些时候他就被卡在哪儿了。”然而佩雷尔曼却认为自己看到了解决问题的道路。1996年，他给哈密尔顿写了一封长信，描述了他的想法，寄希望于哈密尔顿会同他合作。但是，佩雷尔曼说，“他没有回答。所以我决定自己干。”
2002年11月11日，佩雷尔曼在网络数学文库arXiv.org上张贴了他的第一篇文章，之后他通过电子邮件把文章摘要发送给在美国的一些数学家，包括哈密尔顿，田刚和丘成桐。之前他没有同任何人讨论过这篇文章，因为“我不想同我不信任的人讨论我的工作。”对于随意地在网上发表如此重要的问题的解答可能带来的风险，例如证明或有纰漏而使他蒙羞，甚至被他人纠正而失去成果的优先权，佩雷尔曼表示：“如果我错了而有人利用我的工作给出正确的证明，我会很高兴。我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。
11月19日，几何学家Kapovitch在电子邮件中询问佩雷尔曼：“我是否理解正确：你在哈密尔顿的纲要中已经可以做足够多的步骤使你能解决几何化猜想？”佩雷尔曼第二天的回答只有一句话：“这是正确的。”
田刚写信给佩雷尔曼邀请他到MIT作演讲。普林斯顿和石溪分校的同事们也发出类似邀请。佩雷尔曼全部接受了，并于2003年4月开始在美国做巡回演讲。数学家们和新闻界都把这看作一件大事。使他感到失望的是，哈密尔顿没有参加这些报告会。
佩雷尔曼告诉我们，“我是哈密尔顿的门徒，虽然还没有得到他的认可。”当哥伦比亚大学的John Morgan邀请他去演讲时他同意了，因为他希望在那里能见到哈密尔顿。演讲会在一个星期天早上举行，哈密尔顿迟到了，并且在会后的讨论和午餐中没有提任何问题。“我的印象是他只读了我的文章的第一部分。”佩雷尔曼说。
到2003年的7月，佩雷尔曼已经在网上公布了他的后两篇文章。数学家们开始对他的证明艰苦地进行检验和说明。在美国至少有两组专家承担了这一任务：田刚（丘成桐的对手）和Morgan；还有密西根大学的两位专家。克莱研究所对他们都给与资助，并计划把田和Morgan的工作以书的形式出版。这本书除了为数学家们提供佩雷尔曼的证明的逻辑外，还是佩雷尔曼能够获得克莱研究所一百万美元奖金的依据。
2004年9月10日，在佩雷尔曼回到圣彼得堡一年多后，他收到田刚发来的一封很长的电子邮件，田在其中写道：“我想我们已经理解了你的文章，它完全正确。”佩雷尔曼没有回信。他向我们解释，“人们需要时间去适应这个有名的问题不再是猜想这样一个事实。。。。。重要的是我不去影响这个过程。”
2003年春天，丘成桐召集中山大学的朱熹平和他的一个学生，里海大学的曹怀东，承担解释佩雷尔曼的证明的工作。丘还安排朱在2005-06学年访问哈佛大学，在一个讨论班上讲解佩雷尔曼的证明并继续与曹一起写他们的文章。2006年4月13日，《亚洲数学杂志》编委会的31位数学家收到丘成桐和另一位共同主编的电子邮件，通知他们在3天内对丘打算在杂志上发表的朱熹平和曹怀东的一篇文章发表意见，题目是“瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论:庞加莱和几何化猜想”。电子邮件没有包含这篇文章，评审报告或者摘要。至少一位编委要求看这篇文章，却被告知无法得到。4月16日曹收到了丘的邮件告诉他文章已被接受，摘要已在杂志的网站公布。一个多月后，朱和曹的文章的题目在《亚洲数学杂志》的网页上被改成“庞加莱和几何化猜想的一个完整证明：瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的应用”。摘要也被修改了，新加的一句话说，“这一证明应看作为瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的最高成就”。
朱和曹的文章中说，他们不得不“用基于自己研究的新方法取代佩雷尔曼的几处关键步骤，因为我们不能理解他的本来的推理，而这些推理对几何化纲领的完成是要紧的。”熟悉佩雷尔曼证明的数学家不同意朱和曹对于庞加莱猜想做出重要新贡献的说法。Morgan说：“佩雷尔曼已经做了证明，这个证明是完整和正确的。我看不出他们做了什么不同的事情。”
两位作者到达圣彼得堡后经历了一番曲折才见到佩雷尔曼。佩雷尔曼反复说他已经退出了数学界，不再认为自己是职业数学家了。他提到多年前他同一位合作者就如何评价某个作者的一项工作所发生的争执。他说他对于学界松懈的道德规范感到非常沮丧。“不是那些违背道德标准的人被看作异类，”他说，“而是象我这样的人被孤立起来。”当被问及他是否看过曹和朱的文章时，他回答“我不清楚他们做了什么新贡献。显然朱没有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。还有人做得比这更糟。当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。他们容忍那些不诚实的人。”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。这就是为什么我要退出。”当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。你只能想数学。其他一切都属于人类的弱点。”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。“理想的科学家除科学之外不关心其他的事情。他希望生活在那样理想的境界。虽然他做不到，但他希望那样。”
庞加莱猜想的意义
庞加莱猜想的证明意义重大，该猜想的证明，凝结了中国五六个科学家的贡献，是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
其他难题的解决情况
我们再来看看和庞加莱猜想同样被列为“世界七大数学难题”的其他问题都解决得怎么样了：
黎曼假设：很多人攻关，没看到希望
霍奇猜想：进展不大
杨—米尔理论：太难，几乎没人做
P与NP问题：没什么进展
波奇和斯温纳顿—戴雅猜想：有希望破解
纳威厄—斯托克斯方程：离解决相差很远
【第三次数学危机ZT】
http://www.ikepu.com/book/hzx/thirdly_maths_crisis_total.htm
罗素悖论的出现，使得这一派遭到的攻击更大。彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了:):)”。罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1，说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道1的人:):)”，别人也说这一套完全是中世纪的教条。更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任何自然之处。尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。
【戴建平：在形式主义与直觉主义之间：数学与后现代思想的根源ZT】
http://www.7stu.com/LunWen/6/8/02152P362008.html
科学文化与人文文化之间的论战已是当今世界文化论争的热点，实际上，如果我们沿着历史向回追溯，我们会很快辨认出这种对抗构成人类思想文化史的一个逐渐由隐到显的线索，用G•霍耳顿的话说，这是“一场古老的、持久的、顽固和难以好转的战斗” 。20世纪末爆发的科学战（Science War）把两种文化的对立推向了新的高峰。科学家一方以数学家列维特和数学物理学家索卡尔为代表，列维特于1994年与生物学家格罗斯合作出版了《高级迷信——学界左派及其与科学之争》一书，指责某些人文学术对科学进行了恶意的攻击和歪曲 ，掀起了科学战并激发了索卡尔的著名诈文；人文学者一方则是以发表索卡尔诈文的著名文化研究杂志《社会文本》以及科学元勘的某些极端分支为代表。
科学家一方认为，后现代主义的某些分支是当下反科学情绪严重泛滥的主要原因，但这些学术时尚只不过是一堆无聊的胡说，奇怪的杂烩，这从索卡尔与布里克蒙特合编的《时髦的胡说——后现代知识分子对科学的滥用》一书的书名就可看出。他们认为，后现代主义者在完全没有基本知识背景的情况下随意引用数学、物理学的某些理论，为他们的意识形态偏见论证，如德鲁兹和瓜塔里自信地谈论着混沌理论，雅克•拉康论微分拓扑，利奥塔谈论宇宙学，乃至德里达对爱因斯坦常数的装模作样的解释，这些都成为他们讥笑的对象。因此，无论是参与争论的科学家还是人文学者，甚至整个学术界，似乎都形成了如下印象：在这二者之间确实存在着难以逾越的鸿沟。
但是，如果二者之间真的有一条无法逾越的鸿沟，自然会产生如下问题：为何后现代知识分子一次次地引用数学？这个问题自然会使我们想到，是否存在这样一种可能性，即二者之间也许有着某种思想上和历史上的深刻关联。下面，我将着重考察几位重要的后现代主义思想家，看看他们的主要观点和数学有哪些相似性。
一
首先，从历史上看，某些哲学基本问题和数学一直有着复杂的共鸣。我们可以从一个古老的问题开始，这一问题与数学的本质有关。理性主义者认为，数学仅仅是理智的发明，那么问题是，为什么数学会具有实践上的效能？问题也可以这样理解，即在纯粹的推理和逻辑之外，是否还有其它的内容。如果数学只是纯粹的逻辑关系，并没有其他的内容，那么它只是无足轻重的同义反复。笛卡尔采用了辩证的解决办法。他认为，在认识过程中，除了理性，还需要经验的内容，经验与理性不能完全分离，我们在观察的基础上提出一个理论，反过来，观察又在某种循环中证明了这一理论。这就是著名的笛卡儿循环。对他来说，真理不纯粹是理性，也不纯粹是经验，而是在理性与经验之间的循环。到18世纪后期，哲学家们已经明确认识到，对于数学来说，存在着某些超逻辑的、纯粹理性之外的内容。
康德对这一问题进行了极其重要的探索。他明确把主体意识摆在认识过程中的核心地位。一方面是外在的世界本身，一方面是主观的王国，知识从何而来？康德认为存在某些超逻辑的东西成为知识的先决条件，就像维柯的“具有想象力的普遍本质”（imaginative universal）那样，把经验和概念综合为知识。他指出，人们先天具有的空间直观和时间直观发挥着模型的功能，塑造着我们的经验，人们据此提出描述这些经验的概念框架，如数学就是这样的概念框架。
但困难接着出现了。按照康德的说法，我们的大脑先天具有某种能力，但是我们如何确定事情就是如此？这个问题意味着我自己成为我的认识的对象，因此我不得不面对自己。因此，我们需要比内省更多的东西来支持对这些内容的确认。康德的解决办法求助于共同体，把自我的认识交于他人来裁决。但显然康德本人对这一办法并不十分满意，因为他认为如果个体毫无批判性地接受共同体的信念就是“不成熟”或“未开化”的。
早期浪漫主义思想家很快注意到这一困难。费希特认识到，没有非我，就没有我（without the not-I，there can be no I）。他认为，我是由认知的我（knowing-I）和某种其他的东西构成，这种其他的东西是一种创造性的力量，尽管我永远不能知道它，但我可以把它设想为某种连续的活动。也就是说，“在我之中还有比我更多的东西”。其基本意思是指，在我之中，有超越于我的客观知识的内容。不论它是什么，它先于所有的知识，甚至超越经验。
这样，浪漫主义提出了一个基本原则：自我的这种不可还原的“活动成分”是知识不能达到的。也就是说，它是可感觉、可猜想的对象，但不是科学能够研究的对象。如果科学、逻辑与数学能捕捉到这种力量，就不会有自由来进行创造性的活动，结果将是一切都进入某种严格决定论的框架之中。
值得强调的是，正是在这个问题上，塔西奇敏锐地把握住文化冲突的最深层根源。哲学家们强调这些不能被理性征服的创造力、想象、美学成分的意义，而科学家们却致力消除它们，并试图用理性的途径来代替。这种冲突以不同的形式贯穿了整个19世纪的浪漫主义思想，并一直持续到今天。
在这个冲突中，数学处于重要的地位。尽管康德提出了他自己的数学哲学，却受到很多数学家和科学家的讥笑。 但是，如果康德的目的是指出一般意义上的想象是“心灵不可缺少的一项功能，没有它知识就是不可能的”，那么康德就算得上是试图调和这种冲突的第一人。
有些哲学家试图消除知识中的幻想成分，尽管这会引起无穷的麻烦。功利主义者边沁就试图通过分析语言中的虚构成分以便把它们消除，他的策略是所有有意义的陈述都能还原为简历在直接经验上的逻辑结构。他的这一观点在20世纪初的逻辑经验主义中得到复兴。当然这一学说面临很多困难，而且把数学置于一个尴尬的境地，因为，显然数学中的很多概念（如点、线、面等）就很难直接应用于经验。于是，莱布尼兹提出一种极端的方法，他试图把数学活动处理为纯粹的符号操作，一种语言，其意义不在于与实在的关系，而在于逻辑上的自洽。这成为20世纪流行的结构主义和形式主义的先河。
对立的另一方，即浪漫主义却坚持一种不同的真理观。他们认为，真理不能与语言、共同体与历史相脱离；所有的真理都包含着解释的行为，其中有个体的想象、共同体的信念与实践以及其他非客观的事物。只有通过一种“非理性”的个人的想象活动，把经验综合成一个严密的符号整体，理性才获得分析的可能性。对浪漫主义者来说，压制这种个体的想象力，分析其中不变的“科学”意义，就是剥夺基本的自由。这样，浪漫主义就把两个重要的基本问题置于科学的议程之上：一是语言，二是连续性（不能言说的流动，连续的创造活动等等）及其与语言的关系。
二
这些问题在数学中得到认真对待。首先我们看一下连续性问题。荷兰数学家L.E.J.布劳威尔说，我们总是习惯于用对待空间的方式来对待时间，但这是具有高度欺骗性的。在布劳威尔看来，时间是最原始的直观，是我们的内在应验，是一切生命意识的基础，不能用我们处理空间的科学方式来把握。这种直观是对创造性自我的感觉，它只在自己的私有时间中展开。这种生命的瞬间是不能用原子的方式枚举的，而是破碎为消逝的部分和生成的部分。这构成了数学的基础。很明显，布劳威尔的连续统观念与欧陆哲学特别是浪漫主义有很大的相似之处，特别是柏格森，他对时间和绵延区分和描述与布劳威尔的观念如此接近，以致塔西奇把布劳威尔的直觉主义“归于柏格森的直觉主义，因此归于整个浪漫主义传统” 。这样我们可以概括出布劳威尔连续统观念的两个要点：1，连续统不是作为原子点的集合而被直观的；2，连续统的构造包含着个人的自由和创造性活动，而这种活动的本质是“非语言的”，也就是不能用语言来描述。
在布劳威尔看来，数学总是一个积极的决定，总是创造性主体在“它最深刻的家”中开展的工作，远离任何言说和推理。也就是说，数学是意志的活动，是创造的活动，而语言顶多是一辆传达意志的有缺陷的工具。他说：
直觉主义数学应该彻底从数学语言中分离出来，并因此也从理论逻辑的语言中分离出来，同时要认识到，直觉主义数学是一种本质上无语言的心灵活动，它起源于对时间流动的直觉。
在著名的1928年维也纳讲演中，布劳威尔说：“在意志转达的过程中，既没有精确性也没有确定性，特别是在用语言转达意志的时候[…]。因此，在数学中也没有确定的语言[…]” 。布劳威尔的这些观念好象是尼采的回声，而当他说没有人可与他人进行确定性的交流的时候，他似乎又是在重新提出洪堡的观点，并在后来的维特根斯坦那里产生共鸣。
不只是布劳威尔和浪漫主义哲学有着千丝万缕的联系。魏尔也接受了浪漫主义的某些观点，并和哲学家胡塞尔也有很密切的交流。众所周知，胡塞尔早年曾在当时某些最重要的数学家的指导下学习数学，并和魏尔一直保持着联系。塔西奇指出，尽管直觉主义和现象学之间存在着重要的分歧，但二者之间也可能存在着关联。如胡塞尔的一位数学教授克罗奈克（Kronecker）在某种意义上是直觉主义的先驱，而魏尔所说的 “自由生成的媒介”正是胡塞尔的“媒介”，他通过双重序列来定义连续统也是来自胡塞尔的思想。
与布劳威尔和魏尔一样，彭加勒也被塔西奇置于浪漫主义同情者的地位。罗素与弗雷格坚持数学可以被还原为逻辑推理，这暗含着数学是与人类的实践相脱离的。彭加勒对此坚决反对。他认为把数学还原为逻辑就像把象棋还原为棋子在棋盘上的行走的规则。在他看来，数学不是语法规则所能够完全掌握的：在数学活动中总是存在某些无法确定的主观因素，某种创造性的直觉活动。在这个意义上，彭加勒也可以被放在欧陆哲学的框架之中。
不仅如此，彭加勒还有更为深刻的思想。他注意到，几何对象的同一性并不是由公理逻辑系统所给予的：它只是一个假设；它是未言明的，先于逻辑的“前者”。因此这些公理并非是充分的，它们在有关对象的同一性的信念中已包含了意志与“偏见”，而这些意志与“偏见”等只能意会的东西却是逻辑得以运用的前提。塔西奇指出，彭加勒的这些思想可以在尼采等哲学家那里找到很好的表达 。
我们将看到，受到浪漫主义影响的布劳威尔、魏尔以及彭加勒等数学家站在直觉主义立场上对“逻辑中心论”数学的批评如何构成某些后现代思想的方法论先驱。而另外一位重要的数学家希尔伯特提出的数学基础纲领也同样成为另外一些后现代思想的理论渊源。
三
在希尔伯特提出的著名的形式主义纲领中，能指和所指的关系是无关紧要的，人们只需关注能指间的形式结构关系，他相信所有的数学都可以用这种方式来形成。但与罗素和弗雷格不同的是，他并不认为直观是可有可无的，但他的直观又与康德的直观并不相同。他的先天直观是对符号的直观而不是对空间和时间的直观。也许只在这个意义上，希尔伯特和布劳威尔等浪漫主义者存在着一致。但也仅仅如此。因为布劳威尔相信连续性的直观，而希尔伯特却相信离散的、有限的直观，这些离散的、间断的对象能够被我们的符号直觉所把握。
对希尔伯特来说，无论这些离散直观给予的对象是什么，它们构成康德意义上的真实判断（genuine judgments）。希尔伯特区分出数学中的两个部分：现实数学和理想数学。现实数学对应着实在的知识，而理想数学只是有助于刺激和指导知识的增长，其自身却不是知识探讨的对象。也就是对于理想数学来说，尽管它是推理的必要成分，但我们却不能赋予它们以“客观”的意义。塔西奇指出，正是这种限制性要求构成了希尔伯特把数学视为空洞的形式游戏的思想根源。希尔伯特这样做是出自哲学上的考虑，如果要回避诸如数学的本性这样的问题，一个方便的途径就是把数学视为符号的语言，其对象是语法上的虚构物。如对于陈述“It is raining”，问正在下雨的那个“It”是什么是没有意义的。
希尔伯特的目标是建立一种元数学，关于证明的理论，任务是证明理想数学的形式系统内的所有演绎都不会导致矛盾，它将成为所有数学的裁判者。这样一种元数学将保证：1，抽象（理想）数学推理的形式结构系统是连贯的，是真实推理的相容的、无矛盾的扩展；2，至少一部分的数学交流是可能的，因为对于数学共同体来说，真实数学处理的有限对象是所有成员都可以同等地、普遍地达到，这与布劳威尔针锋相对；3，如果上述两点得到保证的话，那就可以大大减少有关数学符号之意义的哲学纠纷。
尽管希尔伯特有意拒绝考虑某种哲学反思，但他的形式主义纲领还是需要面对一些质疑。首先，即使他的纲领获得成功，也只能证明有限数学结构的相容性；其次，他不能回答数学为什么会有效？第三，这种形式系统完全忽略了数学发展过程中的特殊历史与人性内涵，那么这种研究是否使它们变得没有意义？
不管希尔伯特提出了什么方法来解决这些困难都对当下的讨论并不重要，因为他的形式主义由一位法国哲学家推向极端，并对法国乃至欧陆哲学产生了重要影响。在这里，塔西奇挖掘出历来被学界忽视的一位人物，此人就是卡瓦耶斯（Jean Cavailles）。
卡瓦耶斯是数学哲学家和科学哲学家 ，他的哲学立场是坚决反对直觉主义和存在主义。从其观点上看，他明显受到希尔伯特形式主义的影响。如希尔伯特计划建立一种元数学，一种关于证明自身的数学，而卡瓦耶斯同样也谈论“科学的科学”，并坚持真理在于证明，在于方法自身。塔西奇认为，卡瓦耶斯是福柯思想的隐秘来源。除去二者观点上的相似外，还有一条有力的历史关联，那就是福柯曾承认他受益于他的导师科学史家乔治•康吉莱姆，而后者很仰慕卡瓦耶斯的工作和人格勇气。
希尔伯特曾受到理想元素的启发，认为这些虚构的实体是数学家在数学运算的过程中发明的。因此，这些对象如果脱离了它们所在方程的语境，实际上就什么也不是。它们只是语法上的虚设，是由语法自身产生的。“对象是由方法产生的”这样一种形式主义观点在卡瓦耶斯那里被推向极端。他明确指出，对于虚数、电话等诸如此类东西的出现，没有什么特别的个人需要我们给予感谢：它们只不过是科学自身运动的结果。福柯更加极端，他甚至说没有什么文本有自己的作者，它们是自己在书写自己。
这种极端的形式主义观点有某种意识形态上的危险性：否认这些过程中有任何人类的创造。按照卡瓦耶斯的激进观点来看，好象是数学自身扩展了它的方法论的必然性，自身引导着形式上的理想化，这种过程是超越于个人的。因此，卡瓦耶斯写道：“一个理论的真正意义不在于个体科学家的理解，而在于不能停止的概念生成。” 意义在于方法，而方法在历史中扩展自身，因为数学真理的不断变化，因此超出了个体理解的范围。福柯接受了这一观点，并认为它可以运用到所有科学，人文学和哲学。
但是，如果按照这种形式主义观点，真理在于方法自身，那么谈论“知识”或“真理”就变得毫无意义了。我们不能保证这两个词在历史中保持一贯不变的意义。因此福柯号召人们回到“快乐的实证主义”，用实证主义的方式来处理历史。人们会问，如果那些内容不是“知识”或“真理”，那么它们是什么？福柯说，那是“论述实际”（discursive practice），即那个时代人们实际上谈论的东西。但是鉴于福柯上述形式主义的立场，问题出现了：是什么把论述实际维系在一起？又是什么使得它们不断变化？
对这一问题，实际上有一个很容易的回答，那就是人给予论述实际以惰性，但也改变它们。人们根据信仰、传统、习俗、制度、教育来组织自己的活动，但也通过自己的创造、错误、发明等等来改变它。这像是浪漫主义-人文主义的观点。但福柯不想这样做。
首先看福柯对第一个问题的回答。是什么把论述实际维系在一起？福柯认为，有某种东西把论述实际联结在一起，他称之为“事物的秩序（order of things）”、“知识场(episteme)”、“力(power)”等。这很像是希尔伯特的有限直觉，但被福柯形式化了。这种东西潜藏在论述实际的边缘，使得概念的形成得以可能，它超出我们的控制之外，不能通过我们的语言完全表达出来，但语言却是我们理解它的唯一途径。在此基础上，福柯认为，人文科学研究的并非实际的人，而只是研究他们在语言中的表现，却假装这些就是有关人的所有东西，这是很不严格的。因此，福柯提出一种新的人文科学的纲领，它将放弃这个浪漫主义的幻觉，通过语言学的回归，使得人文科学将具有数学的精确性，这是快乐的实证主义一直梦寐以求的。
第二个问题，是什么使得论述实际不断变化？对于这个问题，福柯的解决办法是，放弃连续性的观念。在这一点上，福柯把形式主义观念推到了极端。时间-直觉，连续统等浪漫主义-直觉主义的观点被福柯作为浪漫主义-人文主义的幻觉予以屏弃。
这样，福柯呼吁结束所有那些赋予人类以特殊地位的思想观念，在他看来，人——作为某种特殊的东西——显然是浪漫主义的发明。事情不是人们认为的那样，是浪漫主义发现了语言不能把握人性。正相反，是语言自身的工作导致了新的“理想元素”的产生，这些理想元素包括“人”、“潜意识”、“欲望”、“我”以及内在时间等等，它们仅仅是语法上的虚设，出现于语言的过程中。他说：“人只不过是一个新近的发明，还不到二百年的时间，是我们知识中的一个革新，并且一旦当知识发现了一个新的形式它很快就会消失。” 这个创造物将被抹去，就像画在沙滩上的脸一样。
因此，看来形式主义与直觉主义的最深层的分歧就在于直觉主义者相信人能够以某种创造性的、不可磨灭的方式对言说作出贡献，而福柯恰恰反对这一点，他声称，并不存在诸如“作者”这样的东西（荣誉应该归于言说自身）。显然福柯的理论面临着形式主义的所有困难，同时，他的学说也使他与海德格尔和德里达等后现代思想家有了根本性的差别，这方面内容塔西奇在书中有详细的讨论。不过，对我们当下的任务来说，知道他的思想方法来自数学形式主义及卡瓦耶斯的基本观念，就已经足够了。
人们一般认为，结构主义哲学思想主要是来自瑞士语言学家索绪尔的著作。但塔西奇指出，尽管结构主义运动经常不合理地引用这位语言学家的著作，但他们的立场实际上更接近于卡瓦耶斯，而不是索绪尔本人的观点。
塔西奇表明，索绪尔结构主义语言学的基本观念实际上在他之前已经由哲学家以及特别是数学家分别表达过。不过，他并不认为索绪尔仅仅是在鼓吹来自数学的观点。他关心的是，索绪尔是如何被结构主义运动误读的。简单说来，索绪尔把语言分为几个层次：一是元语言层次，包括言说和语言，前者是实际发生的言说活动，后者是互相共享的“社会事实”；二是语言的形式结构，索绪尔称为“语图（la langue）”，即语言学能指的形式结构，这是语言的非时间性的句法蓝图，它使语言的理解成为可能。在索绪尔看来，元语言层次是语言的意义和变化发生的源泉。这里，问题的关键是，是否索绪尔认为，语言学能指的结构区分不但是意义产生的必要条件，也是充分条件？
答案是否定的。索绪尔承认“没有语言就没有思想”，但他并不认为语言自身足以产生思想。对索绪尔来说，形式结构的区分是必要的，但不是充分的。他说：“这个同一性经常包括一个不可确定的主体性因素”，此外，“一定存在解释的第一个行为，它是主动的……。” 在他看来，形式和语法社会地存在着，但变化源自个体。
因此，结构主义运动的教条诸如“语言决定思想”、“语言自己在说”、“没有作者”等等并不是索绪尔本人的思想。当然，塔西奇无法追溯这些误读发生的具体历史过程，但他指出，部分原因可能是索绪尔身后出版的《普通语言学教程》被人做了随意的改动，另外，除了卡瓦耶斯的激进观点之外，结构主义人类学家列维-施特劳斯也发挥了重要的影响。
四
维特根斯坦的后期思想也在直觉主义-浪漫主义和形式主义的对立间摇摆，像是要在形式主义和浪漫主义之间达成一个妥协。一方面维特根斯坦证明，个体意志是语言不能理解的，这表明他接受了布劳威尔的观点，即不存在私人语言这样的东西，但与布劳威尔不同的是，维特根斯坦认为，任何行动的辩白标准总是社会的，这表明维特根斯坦承认每一个理解的活动都包含着普遍性和个体性的混合，个体的作用使得理解的行为不能辩白为公共知识。但另一方面，维特根斯坦又认为，意义最终在于辩护，既然自我的某一部分无法用语言来掌握，那么就从他的语言游戏中分离出去，因为它不是一个对象，没有什么辩护可以求助于它。
那么，是什么给陈述以意义？显然不是文化习俗，这意味着语义在于文化的句法，这已经由维特根斯坦证明为失败了，因为要用外部标准为我的语义进行辩护同同样也要求更高的外部标准。那会是什么呢？直觉主义和浪漫主义者会说，意义部分地来自个体的作用，来自语言和习俗之外的个体行为。但在维特根斯坦的语言游戏中没有给创造性的主体活动留下空间，因为它不是一个对象，不能被命名。最终维特根斯坦采用了实用主义的方式：既然主体性是语言不能达到的，那我们也就应该忽略它。
维特根斯坦试图调和直觉主义和形式主义，对他来说，意义有时与虚构相似，但有时又需要辩护；理解有时近于艺术，但在其它场合又与形式语言辩护相接近。塔西奇说：“也许可以说，就是这种摇摆不定，维特根斯坦分裂人格的幽灵萦绕和渗透在大多数后现代主义者的思想之中。”
像维特根斯坦一样，德里达也周旋于形式主义和直觉主义之间，但与维特根斯坦最终滑向实用主义立场不同的是，他采取了另一种策略：他实际上是在寻求一个针对直觉主义和形式主义二者的共同批评，而同时借用了两者对对方的批评。
德里达看到，结构主义不能忽略这样一个事实：它所处理的结构不断地产生这个结构的新元素。而这些新元素的产生，将有可能改变原有结构各项元素的意义，因此不能保证具有期望的稳定性、不变性和一贯性。因此，结构主义定义结构单元同一性采用的是非直谓的方式，通过参照总体来来定义，但这个总体并不能被“总体化”，因为“写作”引起了变化和新单元的出现。塔西奇指出，德里达对同一性的批评与彭加勒对同一性的批评是非常相似的。
另外，与那些反对把数学还原为逻辑与语言的数学家一样，德里达也承认有些东西超出语言之外，说他“总是关注语言的‘他者’” 。德里达把这个“语言的他者”称为“延异”。由于新结构单元产生的无穷可能性，原来被认为僵硬的结构符号系统把自己向意义连续统开放，这个无尽的开放被魏尔成为“自由生成的媒介”，德里达用了一个相似的术语：“普通生成的媒介”。这样，德里达的“延异”有点像是布劳威尔的连续统，但他并不在个体构造的意义上来构想。他说，延异指示着普通结构单元间的差异游戏和一定的疏远、推延和意义从自身的剥离。最终，德里达像是寻求在静止的结构主义方法论中引入“直觉主义”的动力学观点。语言的他者，延异，连续统是超出语言之外的，但并非是一团漆黑，它有某种结构。他把延异视为某种可以想象的理想化可读写作之前的东西，是意义变化的可能性空间。因此，他并不是对结构主义进行解构，而是进行某种方式的重构，以允许意义连续变化的可能性。所以，塔西奇认为，连续统问题好象是后结构主义的隐秘主体。
在德里达的延异中，没有原子，没有开始，并且没有结局，因此他反对终极的、源初的原因这样的观念，因此他责备布劳威尔的神秘个人主义、胡塞尔的原始直观甚至还有海德格尔的起源概念。在他看来，没有纯粹的差别和同一性，它们统一在延异中。因此，他一方面承认主体的存在，另一方面，他又说“我呈现给自己……是在语言之后” 。这样，形式主义的“符号”和浪漫主义的“行动”总是先于对方，语言和“他者”也就消融在延异的连续图画之上。
最后，塔西奇的结论是，后现代思想的大多数观念都可以追溯到浪漫主义时代，这些作品的共同特征，就是拒绝一个启蒙运动的观念，那就是法则是永恒的、普遍的；而同时，后现代思想的最流行的形式看起来却像是著名的“逻辑中心”信条的勇敢变种。他说：
后现代文化（不论这个含混的术语告诉人们什么）看来没有与它之前的任何事物有决定性的断裂。相反，它只不过是一个被推向极端的有害的形式主义，并补充歪曲了一些人们在很多年前对形式主义的批评。在它几乎完全缺乏数学-历史意识的情况下，它勉强把形式主义的还原论和直觉主义激进运动结合在一起。简单地说，它恰恰把二者最糟糕的方面结合在一起，在它大部分的快乐时光中，对其中的任何一点都没有任何认识。
尽管塔西奇并不对后现代思想持赞同的态度，但他最终的目的并不是参与所谓的“科学战”，而是尝试打开一种沟通与对话的可能。他相信，数学毫无疑问以复杂的方式与大陆哲学纠缠在一起，因此，一方面要注意到数学广泛的文化意义，另一方面，也要珍视对话和沟通的信念。
【范·弗拉森与后现代科学哲学 郑祥福】
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范·弗拉森的科学哲学，在当今西方科学哲学发展过程中，起着重要的中介作用。他不仅影响着科学实在论从“正统”走向“修正”，而且促成了科学哲学的第三条道路--后现代科学哲学。本文将就此问题作出论述，并指明和解决范·弗拉森思想中的悖论。
一、范·弗拉森与当代科学哲学转向
科学实在论的发展，是当今西方科学哲学的主流。但是，近二、三十年来，由于科学实践的实际状况不断与科学实在论的科学观相分离，因而其阵营内部发生了严重的分化：一方面，科学实在论纷纷转向修正的实在论；另方面，在反实在论的强劲冲击下，形成了后现代的科学哲学。
众所周知，较为正统的科学实在论的基本学说是：“科学关于事物本质的说明为真，那些事物的本质是真实存在的”[1]；科学理论真理性的唯一说明是科学预见的成功；后继理论是典型地建立在前驱理论的观察知识和理论知识之上的；从关于可观察现象的论断之真理性可以推出关于不可观察现象的论断之真理性；如此等等。
然而，当代科学实践却提供了许多反对科学实在论的事实。第一，在当代科学实践的发展过程中，科学家们并不懂得如何做一个实在论者。现代物理学家在研究物理领域时，并没有确定的本体论承诺，他们所说的理论，其本体论承诺是经常改变的，或者说，“物理学家本体论承诺的性质似乎是随着他们集中注意于他的理论而变化的”；任何观察也只能给含糊的本体论图景提供量上的丰富性，“当一个物理学家用一个理论从事于某一方面的研究时，或者集中于某一层次的理论之仔细说明和详尽阐述时，他的言谈像个实在论者；而在和另一层次有特别联系的本体论承诺方面，则不太像个实在论者”。[2]当代物理学中的本体论承诺有着大量的结构，这些结构来自于经常转变的表述、解释和理想化的范围，来自于物理学家所从事的不同种类的活动、不同水平的表述和不同的理论运用，来自于物理学家活动的变化从而改变本体论的特征。
第二，由于当代科学尤其是量子力学、当代物理学，已经涉及了一些非充分决定论的领域，所以，虽然科学认识的本质要求得出决定论的结论，但量子领域的随机性现象与低概率特征、量子测量的相互作用性质的明显化，使人们无法以往日的科学认识本质来要求量子力学。在这些科学领域，理论的理想化程度比任何以往的科学都要高，我们既无法证明其真理性，更无法确证它所指称的实体的本质是否客观地存在。在量子力学中所产生的不同的多种解释，突破了以往的科学以一个模式或某些普遍规律囊括一切的框架。
鉴此，反实在论者对科学实在论发起了攻击。前后说来，有库恩、劳丹、施太格缪勒、范·弗拉森等。相比之下，范·弗拉森则是较为容易被人接受的反实在论者。
范·弗拉森对科学实在论作了如下反驳：（1）“不存在任何提供证据的说明之成功的问题”[3]，我们当作证据的东西本身不是无可置疑的”[4]。（2） “没有任何根据使我们相信所接受的理论为真，因为它不是一个认识论的原则”[5]，“理论具有不可观察的含义，证据并不保证得出理论为真的结论”[6]，真理是科学认识的产物，而相信则是一种心理作用。（3）“科学家的目的是发现关于世界的事实[7]，而“做一个经验论者就是要抑制置于超越实际可观察现象之上的信念，认识到自然界没有任何客观的形态”[8]；“科学活动是……适合于现象的模型建构，而非发现关于不可观察物的真理”[9]。因此，任何断定科学理论与实际世界的一致性、断定科学理论的真理性的作法都是形而上学的，与科学的实际是不相容的。范·弗拉森对科学实在论的反驳，其实质在于：其一，从语义学的角度理解科学理论的结构；其二，从语用学角度理解科学理论的接受运用。这两个方面也是范·弗拉森对当代科学哲学的杰出贡献。
范·弗拉森认为，科学哲学的中心任务是要理解科学理论的结构，理解科学知识的增长问题。这两个问题也就是科学理论是什么与做什么的问题，“是什么”的问题涉及理论与世界之间的关系，“做什么”涉及理论与其运用者之间的科学活动关系。他指出：“科学哲学的研究大致可以分为两类：一类是所谓的基础研究，关心理论的内容和结构；另一类是一方面解决理论与世界的关系，一方面解决理论与其应用者之间的关系。”[10]前者属于认识论领域，后者则属于非认知的领域。范 ·弗拉森作出这种区分，具有特殊的重要意义。因为，科学是由语言构成的，理解科学就是理解科学语言，科学知识的增长也就是科学语言的不断创造与丰富。但是，语言一方面具有所指，另方面它又起交流作用，两者都与理解相关。由于人们在理解或交流中存在不同的语境，因而就具有不同的意义。范·弗拉森把科学理论区分为语义的和语用的方面，使人们对科学的理解有了新的进展。
根据范·弗拉森的见解，理论与世界之间并非一一对应关系，理论只是大致地反映了实在世界。语义方法的重要性之一，就是能用比传统的逻辑经验主义更令人满意的方式来处理意义问题，因而形成一种前景可观的经验论意义理论。范·弗拉森坚持认为：“我们的观点就是：在自然语言和科学语言中，那些不仅仅具有外延关系的术语之间有着意义关系，……并且，这种意义结构是根据模型（始终是数学结构，最通常的是某种数学空间）而得到表述的。”[11]在《科学理论的语义探讨》一文中，他进一步认为，指导科学理论意义结构的模型可以包容大量与实在的任何要素不相一致的结构。因此，在语言和实在之间的联系是以数学模型为中介的，它也许是一个极不完全的联系，哪怕是最好的理论，也是如此。这说明了人类在认识物理世界时所起的建构作用是不容忽视的，经验的意义是同模型的概念结构相联系的。
由于范·弗拉森使用了语义方法来理解科学理论，因此，真理仅仅属于语义学，而不属于科学实践的评价。在科学实践中，理论之真或假，是受语境影响的，即受到语用因素的制约。换言之，在科学实践中，理论必然会受到各种因素与先入之见的污染。
范·弗拉森认为，“就命题而言，真是最重要的语义性质。如果实际世界适合于这个命题，那么这个命题就是真的：但是，如果某些词或在语法安排中，命题具有依赖语境的语义作用，那么真理就绝对没有意义。我们必须向着语用学再进一步。”[12]语用的因素是与科学语言的使用相关的，任何与说话者或听众相关联的因素都是语用的因素。
科学的语用学是探讨科学理论的运用者和理论之间的关系的，这种关系即理解与说明的关系。范氏认为，运用科学理论与论证理论是有重要区别的：第一，科学理论只是一个关于实在世界的大概模型，当我们论证科学时，我们可以把它看作真或假，但在运用理论时则不然。正因理论是个模型，所以它不可能完全按照某种模式说明具体现象。况且，说明现象时，是与使用理论的人相关的。正如维特根斯坦的后期思想一样，这是一个类似语言游戏的问题。第二，理论作为模型，包含着对可能世界的认识，而说明则要针对具体的现象。第三，如果理论使用规范的语言或逻辑，把实在世界作为其摹本，那么，理论的运用则是使用自然语言的，是与使用这种语言的场所、语境等因素密切结合在一起的。
范·弗拉森的这种见解，已经给当今的科学哲学指明了另一道路。自从逻辑经验主义产生以来，科学哲学一直徘徊在客观性问题上，沉湎于证实。而自汉森、图尔敏之后的历史主义学派则揭示了科学的主观性。科学的本质是客观抑或主观？自古以来这都是一个难解之谜。建构主义在这个谜上亮出了一个谜底：没有纯粹的客观，只有通过主观的建构。那么，究竟如何建构科学理论呢？范·弗拉森已经向我们表明：必须从两方面来丰富和补充科学这部巨著，一方面，是依赖于可观察现象建构关于实在世界的模型：另方面是依赖于使用者别出心裁的理解与解释。这样，古老的科学哲学问题就转变成了我们如何丰富、理解科学语言的问题了。这恰恰是当代科学哲学语言转向的显著特征，即后现代科学哲学的显著特征。
二、范·弗拉森对后现代科学哲学的推进
从总体上说，范·弗拉森实现了当代科学哲学的语言转向；而具体说来，范·弗拉森又制订了后现代科学哲学的初步纲领，从而推进了后现代科学哲学的发展。纵观今天的范·弗拉森的思想，他的这种推进作用主要表现在：
第一，范·弗拉森反对基础主义、本质主义，坚持要摆脱传统经验论的束缚。他认为，基础主义是一种认识论“幽灵”，应当摒弃。他说：“现代哲学是一种对基础的探求，而当代哲学则广泛地把这种探求作为错误加以摒弃”；“上一代哲学的错误是缠绵于证实，总的说是囿于认识论的基础主义”[13]。在范·弗拉森看来，基础主义退出历史舞台是理所当然的。但是，在今天，基础主义仍是一个时刻骚扰我们的幽灵，特别是认识论的相对主义，是一种新的基础主义形式。他批判库恩与费耶阿本德的思想，坚持认识论与实用主义相结合。他主张：“只要可能，就把这些问题明确地与科学联系起来，在任何情况下，都关注科学的某些实用方面，并认为科学是给我们提供模型的。”[14]
然而，范·弗拉森并非要完全放弃认识的基础，他需要一定的认识基础，需要经验论。所不同的是他拒绝基础主义的极端性、素朴性，而主张科学理论是建构，一方面，这种建构要有可观察现象为基础，另方面，它又需要概念框架的推动。不仅理论是建构的，而且实验也是建构的。因此，科学是人与自然的对话。
第二，范·弗拉森反对科学的目的是求真，提倡以理论在经验上的适当性、理论在实践中的履行情况来代替对真
理的论证。否认真理，是反对基础主义、本质主义的直接结果。亚瑟·法因曾说：“如果我们中止相信真理是那些与实质性事物相适合的理论、解释或图景，那么，我们就能中止基础主义”[15]。与之有别，范· 弗拉森对真理的否定则基于以下根据：首先，从总体上要求科学理论为真是没有根据的。科学理论如同一部巨著，它是关于自然的，每代人都在对这部巨著作修正或补充，“科学理论是一个开放的文本，是有分歧的解释--即理论把现象描绘成什么，这本身不是一种硬证据。”[16]其次，真理属于语义学范畴，而科学理论并不只限于语义学分析，纯科学是可以向应用科学转化的。在应用科学中，应用者可以在理解、解释与说明现象时大展雄姿，就如同进入语言游戏一般，其理论的意义是由习惯形成的游戏规则和游戏者各自的语境来决定的。因此，承认科学理论是真理，这是一种赌博与冒险。实际上，人们承认一个理论，只是觉得这个理论是好的、适当的、有用的，具有很多优点而已。
第三，范·弗拉森极力主张拒斥形而上学，放弃传统的科学哲学范畴，认为抛弃旧科学哲学就是对当代科学哲学的贡献。拒斥形而上学，是早年逻辑经验主义的口号。然而到今天，范·弗拉森把所有假定科学是真理、假定理论的指称是实在的等科学哲学都称为形而上学的科学哲学，这种形而上学科学哲学的基本特点就是：从关于可观察物的论断之真理性推出关于不可观察物的论断之真理性。八十年代初，范·弗拉森一再声明自己的建构经验论是在批判形而上学科学哲学基础上形成的，是对形而上学科学哲学的替代。到最近几年，他则极力主张摒弃形而上学，认为科学哲学家应该携起手来，对形而上学科学哲学范畴弃之不用。他认为科学的目的是寻求理论的经验适当性，这样的态度不仅涉及科学是什么，也涉及了对科学实践的辩护。1985年，在科学哲学家们讨论他的《科学的形象》一书时，他针对一些人的见解，在发言中号召科学实在论者与反实在论者共同抛弃旧科学哲学的范畴。他说：“三位一体、灵魂、殊相、共相、第一物质、潜能等这些概念使你困惑是吗？它们在封闭的时空的不可想象的他性、事件界面、EPR关联和自主的模型旁边显得苍白无力。让实在论者和反实在论者一样，把他们的认识论、本体论的承诺悬置起来，对这些概念之谜的理解作出贡献吧！”[17]
从以上几个方面来说，范·弗拉森对后现代科学哲学作出了积极的论证。虽然，在许多方面，他不是一个彻底完全的后现代科学哲学家，但他的观点是和后现代科学哲学大致相容的。范·弗拉森和后现代科学哲学的代表法因的“自然的本体论态度”是基本一致的。他在谈到法因的观点时，明显地表露出他对法因的赞同。他说： “法因企图找到介于实在论和经验论之间的观点，他把这种观点称为NOA。NOA是这两个阵营都应当能够接受的，每一方都可以理解超越它之后的错误。正如现在所阐述的那样，NOA与建构的经验论不可比较，但却与我愿意作出少量修正的观点可以相容。”[18]而法因也认为，范·弗拉森的建构经验论对真理的解释等观点，避免了早期经验论企图把所有真理都基于感觉证据和现象论基础的还原论与基础主义倾向，也避免了逻辑经验主义关于理论意义的可观察与不可观察的认识论区别。法因虽不完全满意范氏的“经验适当性”概念，但他毕竟是受到范·弗拉森的启发。法因作为后现代科学哲学的代表，其思想与范氏是有区别的，法因诉诸科学实践、祈求科学家来解决科学的目的与本质等，主张放弃哲学的紧箍咒。而范氏则试图通过后现代科学哲学的方法来理解科学的本质与科学知识的增长，把科学理论的内部的研究与外部的理解结合起来。
由此可见，范·弗拉森虽未将自己的哲学称为后现代科学哲学，但却充满了后现代科学哲学的思想，是一个后现代科学哲学的代表人和推进者。
三、范·弗拉森思想中的悖论及其解决
传统科学哲学探讨最一般本质的总体性、统一性框架，已与当今科学的经验主义特征日益相悖。改造传统的科学哲学，重建适合科学实际的新科学哲学观，准确地理解科学哲学的本质，推进科学知识的增长，已成为当今科学哲学家的根本任务。
但是，对科学哲学的改造涉及了一个难以解决的悖论：一方面，科学哲学以概括性、统一性为特征，没有概括性、统一性就没有科学哲学；另方面，当代科学的发展已经证明，在自然界、在科学理论中，并没有一个囊括一切的统一模式。这种两难正是当代科学哲学出现激烈争论、派别林立的根源。
范·弗拉森对科学哲学的改造同样面临着这样的悖论：一方面，范氏要把基础主义作为错误加以摒弃，另方面，他又想强调可观察性作为其理论的基础；一方面，他想摒弃真理概念，另方面，他又提出了一个理论的“经验适当性”概念来代替；一方面，他主张摒弃形而上学，另方面，他又试图重建一个经验论科学哲学体系。
对于这些悖论，法因通过他的“自然的本体论态度”来解决，把科学实在论与反实在论的争论置之不顾。尽管他的思想具有很大的启发性，但他完全抛弃哲学的做法则是消极的。理查德·胥拉格尔曾批评法因的NOA说：“我并没有发现它（NOA）给科学的说明增添更多的东西”[19]。在此，我不想对法因横加指责，而是充分地肯定：后现代科学哲学的形成是现代西方科学哲学在形式探讨与方法研究上的失败，它意味着科学实在论与反实在论的争论必然要以无结果而告终，并且也意味着一种新的科学哲学观的孕育与萌发。
如何解决范·弗拉森思想中的悖论？如何形成一种适合科学实际的新科学哲学观呢？要建立一种适合于当今变化着的科学实践的科学哲学似乎已不可能。因为，要重建与科学的实际形象相一致的科学哲学，就是要建构一种无统一模式的科学哲学。当前的科学发展状况表明，科学哲学正围绕形形色色的科学实践这个中心，形成了语义学的理论观与语用学的科学说明观、运用观相结合的研究方法。在这两个方面，范·弗拉森与萨普已经作了很大努力。
笔者认为，在后现代知识状况下，我们可以对以往的科学哲学作出两个方面的改进，并因此来解决范·弗拉森思想中的悖论。
第一，从分类研究出发，建立“多个世界”的科学哲学模式。迄今为止，自然科学已经为我们提供了一个五光十色的世界。从目前看，我们至少可以将科学所认识的实在世界分类为决定论的世界、非充分决定论的世界和可能世界三大类。科学的世界是实在世界与可能世界，实在世界的不同类型决定了关于真实世界理论的结构，科学实验和科学推理则构成了可能世界的理论结构。由此，我们可以把理论分成关于决定论的必然现象、关于决定论的或然现象、关于非充分决定论现象和关于可能世界第四类。而理论的真理性不仅是由客观实在世界的内容决定的，而且也是由理论在实践中的应用情况所决定的。于是，我们就可以把真理分类为：关于决定论世界的必然真理、关于决定论世界的或然真理、关于非充分决定论世界的真理、关于可能世界的真理与语用的真理等。以此类推，我们也可对规律作相应的分类，从而上升到对科学哲学的分类研究，建立关于决定论世界的科学哲学、关于非充分决定论世界的科学哲学、关于可能世界的科学哲学、关于科学理论实际运用的科学哲学等模式。
分类研究的直接目的是：（1）对实在世界的分类提供了科学哲学对某些现象进行具体研究的基础，任何造成以往哲学统一模式的弊端，都是从把世界作为一个统一整体出发的。（2）对理论和真理的分类，既是为了解决理论在经受实验检验中证实率较低或以例外现象否认理论真实性的问题，也是为了解决类似范·弗拉森等人提出的可几真理、经验适当性概念的含糊性与不确切性。（3）对科学哲学的分类，则是为了解决统一模式的形而上学科学哲学与具体的科学实践的变化不相适合的矛盾，从而解决以往在归纳与演绎之间的对立。分类研究可以避免以统一模式包摄决定论程度不等的领域的模糊作法，但又不至于产生抛弃科学哲学的消极见解，不致使科学成为记录学而失去寻求客观世界本质、规律的基本特征。
分类研究可以为当今科学在不同领域内的研究起导向作用。从分类研究的优点来看，它所要求达到的是人们对自然界较为满意的认识，而非最优的认识结果。尤其是在当今量子力学的争论中，分类研究把现代决定论科学和量子力学的非充分决定论领域归类为不同的模式中，避免了对立双方无休止的争论。后现代科学以及后现代科学哲学的显著特征乃至整个西方后现代主义的特征，就是以当今知识领域中出现的变动不居的状况来否定以往的一切成就，例如科学哲学中的以量子力学中的非充分决定论现象来否定以往宏观领域的经典力学和相对论的决定论要求。分类研究的科学哲学观将在解决这些问题中起着根本性作用。
第二，从当代知识状况出发，建立辩证的科学认识论。正如前面所述，当代科学哲学的发展是以突破传统认识论为动力的。这种突破表现在认识的基础、真理概念分析与标准、理论的语义观与语用观的关系、科学知识的增长等方面。这种突破性的关键是发现了“不确定性”。由于在认识中“不确定性”因素的介入，传统的认识论框架便面临着一场脱胎换骨式的改造。这一改造的中心问题是：我们是以“不确定性”来取消科学认识论，抑或把不确定性作为认识论研究的新领域来改进科学认识论？如果我们坚持前者，那么就走向后现代科学哲学阵营；如果坚持后者，那么就必须建立一种逐步改进的辩证的科学认识论。
根据分类研究的科学哲学观，建立改进的辩证的科学认识论，就是要确立科学认识论的分类研究的任务，改进与完善科学认识的方法与目标。首先，这种辩证的科学认识论的首要任务是区分并确定决定论的世界与非充分决定论的世界、实在世界与可能世界、语义学理论观与语用学的理论意义观、分类研究与统一模式等等关系。只有承认了科学理论及科学活动的各个方面，我们才能进行有效的研究，才能真正确立一种适合于当今知识状况的科学认识论。其次，辩证的科学认识论需要改进传统认识论的研究方法与目标：（1）把形式分析与非形式分析、抽象分析与实际分析结合起来，废除一个模式、一种基础的观点。（2）从理论与世界的关系、理论与其运用者之间的关系、理论与科学实验之间的关系分析理论的意义，确立理论在多重关系中的意义与标准，把握其真理性的程度与类型。（3）从科学史的发展和科学理论在结构上的发展，分析理论在量上的变化和质上的更替，研究科学知识增长的正反面规律。确立科学理论总的性质。总之，辩证的科学认识论是试图通过方法的不同形式、理论的不同层次、真理的不同类型、理论变化规律的不同类型与性质等维度，克服后现代科学哲学的消极方面，激活科学认识论研究。
从今天的科学世界图景看，多维度的研究将具有广泛的前景，特别是科学认识论，面对奇迹般的新领域的逐一开拓，扩大了自己研究的对象与辖域。一旦我们能在此基础上改变自已研究的方法、转换视角，那么，科学认识论就会比任何时候都显得生气勃勃，显得有活力，而绝非像后现代科学哲学家们所认为的那样走向“死亡”。
今天，范·弗拉森的科学哲学仍在继续发展，虽然其思想有不少悖论，但却在一些方面开拓了我们新的思路，启迪我们在重建新科学哲学观的道路上迈进一步。
（作者单位：浙江师范大学政法系）
参考文献
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【彭加勒科学方法论的特色ZT】
李醒民
（中国科学院自然辩证法通讯杂志社， 北京 100039）
朱尔•昂利•彭加勒(Jules Henri Poincaré，1854~1912)是法国著名的科学家。他不仅在数学、物理学、天文学的众多分支有开创性的贡献，而且在科学哲学上也有重要建树。在本世纪初，彭加勒先后出版了几本科学哲学著作：《科学与假设》(1902年)、《科学的价值》(1905年)、《科学与方法》(1908年) 和《最后的沉思》(1912年) ，广泛地探讨了有关科学哲学问题，其中也大量涉及到科学方法论问题。本文拟评介一下彭加勒科学方法论中几个有特色的方面——假设、直觉、科学美和事实的选择。
一、没有假设，科学家将永远寸步难行
关于假设，在彭加勒之前，许多科学家在科学实践中都自觉或不自觉地运用过，一些哲学家也对此作了不同程度的论述。特别是恩格斯在《自然辩证法》中明确指出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。一个新的事实被观察到了，它使得过去用来说明和它同类的事实的方式不中用了。从这一瞬间起，就需要新的说明方式了——它最初仅仅以有限数量的事实和观察为基础。进一步的观察材料会使这些假说纯化，取消一些，修正一些，直到最后纯粹地构成定律。如果要等待构成定律的材料纯粹化起来，那么这就是在此以前要把运用思维的研究停下来，而定律也就永远不会出现。” ，彭加勒通过自己科学活动的实践，也达到了类似的认识。他不仅明确地肯定了假设在科学中的地位和作用，而且比较深入地探讨了假设问题，他甚至把他的第一部科学哲学著作取名为《科学与假设》。
彭加勒认为，假设并不是荒诞无稽的东西，人们略加思索就会发觉，假设在科学中所占的重要地位，数学家不可能没有它，实验家也少不了它，因为它能够使我们想像比我们感觉所能向我们表明的大得多或小得多的对象。顾忌假设的科学家无法去发现某些真理。因此，彭加勒指出：“我们应当仔细审查假设的作用，不要对假设简单地加以责难，这样我们才能认识到，它不仅是必需的，而且往往是合理的。”提出“建筑在假设之上的科学是否牢固，是否吹一口气就会使之倾倒”的怀疑是“肤浅的见解”([1]，pp.27~28)。彭加勒断言：“没有假设，科学家将永远寸步难行。”([1]，p.6)
值得注意的是，彭加勒对假设进行了分类研究([1]，pp.135~136、28)。在他看来，假设共有三种：第一种是“极其自然的假设”。这是一种很普遍的假设，人们几乎不可能回避它们，我们用它来做相关判断(judgement of relevance)。例如，我们不得不假定遥远物体的影响完全可以忽略，小位移遵守线性定律，结果是原因的连续函数等等。这类假设只是表面看来是假设，其实只不过是一种隐蔽的约定或定义而已，这类假设在数学及与数学相关的学科中常常遇到。第二种是“中性的假设”。在大多数问题中，解析家在计算之初，或者假定物质是连续的，或者相反，假定物质是由原子构成的。无论他做那一种假定，其结果是一样的，只是求得结果的难易程度不同。当假设是可选择的，而它又不能用实验区分时，它们就是这类假设。这类假设只要它们的特征未被误解，就不会使我们误入歧途。它们对于计算或通过具体图像帮助我们理解是有用的，即有助于整理和坚定我们的思想，从而不存在排除它们的机会。第三类假设是“真正的推广”。它们是实验必须证实或推翻的假设。它们是观察和实验的直接推广，无限期地敞开着通向进一步检验的大门。不管实验宣布其合理或不适用，就它们的启发作用而言，它们总是有价值的。玛丽•妮厄(Mary Jo Nye)在彭加勒论述的启示下，根据假设在科学知识体系中所起的作用，把假设分为“说明性假设”(保留在物理理论中，是一种协调手段，有益于提示不同现象之间的相互关系)， “启发性假设”(不具有存在的意义，仅有建议作进一步实验、观察或探索纲领的联接方式中的信息的启发意义)、“实在论假设”(具有实在论的或存在的意义) 并能由实验直接地或间接地加以验证) 。这两种分类方法在形式上尽管不同，但却具有大致相同的内容。
彭加勒重视假设，但是并未把它强调到不适当的程度。他明确指出：“不凭实验，基于某些不成熟的假设来说明宇宙，长期以来只是幻想。” ([1]，p.280) “假设应当尽可能迅速、尽可能经常地受到检验。当然，它如果经不起这种检验，就应当毫无保留地抛弃它。”([1]，p.133)在彭加勒看来，科学家在抛弃他的假设时，不仅不要有病态情绪，而且应当感到高兴，因为他从中正好找到了未曾料想到的发现机会。由于科学家的假设并不是在毫无考虑的情况下做出的，他顾及到了可能参与该现象的所有已知因素。如果经验不支持它，那肯定是遇到了未曾料到的、非同寻常的东西，正是在这里，存在着有待发现的新奇事物。这样看来，被抛弃的假设远不是无用的，可以说它比真实的假设贡献更大。它不仅为判决实验提供了机会，而且若不作此假设，只是偶尔作了这个实验，则人们将会一无所获，至多不过是把一件事实编入目录中，不能从中得出应有的结果。由此可见，彭加勒不仅看到了假设的正面助发现作用，而且也看到它的反面助发现作用。
彭加勒还要求人们注意：“不可滥用假设，并且只能依次而用，这是很重要的。” ([1]，p.135)他认为最好引入少数基本假设，而不要引入多数特殊假设。例如，在1900年召开的巴黎国际物理学会议上，他在谈到洛伦兹的电子论时说，该理论是现存理论中最使人满意的，但是也有修正的必要。为了解释迈克耳孙-莫雷实验，需要引入新的假设，那么每当出现新的实验事实时，同样也发生这种需要。无疑地，对于每一个新的实验结果提出一种特殊假设的作法是不自然的。假使能够利用某些基本假设，并且不用忽略这种数量级或那种数量级的量，来证明许多电磁作用都完全与系统的运动无关，那就更好了。这实际上是要求在作假设时贯彻简单性原则，而简单性原则也是彭加勒所坚持的一个方法论原则。
在本世纪初，扬言要把一切“形而上学”的东西从科学中排除出去的实证主义思潮依然根深蒂固，彭加勒一反其道，强调假设在科学中的意义，显然有积极意义。
二、直觉是发明的工具
彭加勒主要是一个数学家，他在函数论、代数几何学、数论，代数学，微分方程、代数拓扑学等分支都作出了杰出的贡献。他也是数学直觉主义的创始人(也具有经验主义的传统和逻辑主义的成分)。通过亲身实践，他充分肯定了直觉在数学和其他学科中的作用，在《科学与方法》中，他专用一章论述了这个涉及到发明心理学的问题。
彭加勒认为，对于纯粹数学家而言，直觉的本领是必要的。他说：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”我们面前有无数条可供选择的道路，“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们那一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的本领是直觉。没有直觉，数学家便会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。” ([1]，p.438)
在彭加勒看来，数学创造不是一项机械工作，它并不在于用已知的数学实在造成新的组合。任何一个人都会做出组合，但是组合的数目是无限的，它们中的大多数完全无意义。创造恰恰在于不作无用的组合，而作有用的，为数极少的组合，而且最富有成果的常常是从相距很远的领域引出的元素所形成的组合。发明就是在这些组合中进行辨认、选择。但是，纯粹的逻辑不能完全作到这一点，为此必须求助于直觉。只有直觉，才能发现各元素隐微的关系及和谐。
为了把问题引向深入，彭加勒进而提出了“潜在的自我”(the subliminal self)和“自觉的自我”(the conscious self)的概念。在这里，前者是指无意识(或下意识)工作的自我，后者则指有意识工作的自我。潜在的自我能够产生灵感的直觉认识，有可能一下子洞察到事物的本质和规律。彭加勒认为：“潜在的自我无论如何也不比自觉的自我低下，它不是纯粹自动的，它能够辨认，它机智，敏锐，它知道如何选择、如何凭直觉推测。……它在自觉自我失败的地方取得了成功。一言以蔽之，潜在的自我难道不比自觉的自我优越吗?”([1]，p.390)
彭加勒以自己如何发明富克斯函数(Fuchsian function)的亲身经历说明了这个问题。他说他曾有两星期之久欲证明此种函数是否存在，每天坐在桌前用一两小时作各种组合，仍一无所获。某天晚上偶饮黑咖啡，兴奋得不能入睡，此时各种想法纷至沓来，相互冲突、排斥，终于得到二元素相缔合而结成牢固的联系。第二天早晨即证明有一类富克斯函数存在，可由超几何级数推出，待写出结果，只费数小时而已。类似的情况还有几次。一次是作地质考察旅行登公共汽车时，突然想到定义富克斯函数的变换式与非欧几何的变换式等价。一次是在悠闲散步时，忽然想到不定三元二次式的算术变换式与非欧几何的变换式等价。一次是在接受军事训练行经大街时，顿悟到解决构造一切富克斯函数的障碍。
彭加勒因此得出结论说：“关于这种无意识的工作条件，尚可说明如下：如果一方面有意识的工作在它之前，另一方面又被有意识的工作尾随其后，那么这就是可能的，而且肯定是富有成果的。”([1]，p.389)彭加勒关于直觉在发明中的作用以及潜在的自我与自觉的自我的作用的论述是颇有意思的。它告诉我们，产生直觉的条件是：对所要解决的问题进行过一段时间的认真研究，十分渴望找到解决方法；然后在作无关的事情时，或处于轻松的思想状态中，突然顿悟到解决问题的方法，从而使问题迎刃而解。它也告诉我们，直觉产生于大脑的下意识活动，这时大脑也许不再自觉地关注问题了，而还在通过下意识的活动(潜在的自我)思考它。它还告诉我们，直觉出现在意识的边缘，而不是出现在意识的中心，要不失时机地捕捉它。
三、作为理性美的科学美
彭加勒对科学美(或数学美)具有浓厚的兴趣，他说：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的，工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。” 这种“伟大的东西”就是与艺术美可以相提并论的科学美。在彭加勒看来，数学的目的有三个，除了实用的目的和哲学的目的而外，它还具有美的目的。这就是，“数学家能由此获得类似于绘画和音乐所给予的欢乐。他们赞美数与形的微妙的和谐；当一个新发现向他们打开了未曾料到的视野时，他们惊奇不已；他们感到美的特征，尽管感觉没有参与其中，他们难道能不高兴吗?” ([1]，p.280)
在彭加勒看来，科学美根源于自然美。正因为如此，“数学家把重大的意义与他们的方法和结果的美联系起来”的作法才“不是纯粹的浅薄涉猎” ([1]，p.372)。正因为如此，我们才“毋需担心，这种本能的和未公开承认的偏见将使科学家偏离对真理的追求。”彭加勒认为，科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。可是，什么是“自然美”呢?彭加勒断言，自然美不是“感性美”，即不是“给我们感官以印象的美，也不是质地美和表观美”；自然美在于其“深奥的美”(profounder beauty)，即“潜藏在感性美（sensuous beauty）之后的理性美(intellectual beauty)”。彭加勒说他完全不是小看感性美，只是“这种美与科学无关”。而深奥的美“在于各部分的和谐，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，那些倏忽即逝的梦幻之美其结果就是不完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为此缘故甚于为人类未来的福利。”([1]，pp.366~368)
科学美在于自然的理性美，而这种理性美必须由人的理智来把握，因此科学美必然带有浓厚的主观色彩。彭加勒看到了这一点，他说：“美的事物是其本身最适合于我们理智的事物，因此它们同时是这种理智最了解如何使用的工具。”([1]，p.367)“一言以蔽之，数学的美感只不过是由于解与我们思想需要的任意一致的满足，正因为这种真正的一致，这个解在我们看来才能够成为工具。”([1]，pp.372~373)而且，科学美像艺术美一样，并非每一个人都能领略和体会到的，“只有少数有特殊能力的人才能充分地享受它” ([1]，p.280)。
与科学有关的理性美，即科学美的含义和内容是什么呢?彭加勒对此虽未做出十分肯定的回答，但是他却把“雅致”(elegance)、“和谐”(harmony)、“对称”(symmetry)、“平衡” (balance)、“秩序”(order)、“统—”(unity)、“方法的简单性”(simplicity of the means)、“思维经济”(economy of thought)等赋予科学美。彭加勒说： “在解中、在证明中，给我们以美感的东西是什么呢?是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。总而言之，就是引入秩序，给出统一，容许我们清楚地观察和理解整体与细节的东西。”这种科学美也表现为“方法的简单性和问题集合的复杂性的对立”，而且“与思维经济密切相关” ([1]，p.373)他还说：“被我们赋予优美和雅致特征的、能够在我们身上激起美的情感的数学实体是什么呢?它们是这样的实体：其元素和谐地配置，以致当思想认识到细节时，能够毫不费力地包容整体。这种和谐立即满足了我们的审美需要，有助于它所证实和指导的思想。与此同时，一个秩序井然的整体处于我们的双目之下，使得我们能预见数学定律。”([1]，pp.391~392)但是，在这形形色色的含义中，彭加勒最为强调的是“和谐”，他甚至把其它含义也包容于“和谐”的概念之中，有时干脆认为，“普遍和谐是众美之源”([1]，p.209)，“内部和谐是唯一的美”([1]，p.285)。
彭加勒把科学美作为选择理论的一个标准和科学发现的奇妙工具。他说，在由潜在的自我盲目形成的组合之中，几乎所有的都毫无兴趣，毫无用处；正由于这样，它们对美感毫无影响，意识将永远不了解它们。只有某些组合是和谐的，因而同时也是有用的和美的。它们将激起数学家的特殊感觉，特殊感觉一旦被唤起，就能把我们的注意力引向它们，从而为它们变为有意识的提供机会([1]，p.392)。彭加勒详细说明了这种审美判断能从类似、新奇，对立中做出新发现。他说，我们愈清楚地一瞥即见这种集合体，我们就愈能更好地觉察它与其他邻近现象的类似性，因而也就有更多的机会预言可能的推广。在意外地遇到我们不习惯于汇集的对象的情况下，美可以产生未遇见到的东西的感觉；它再次是富有成果的，由于它向我们揭示出未被认识到的亲缘关系。即使当它仅仅起因于方法的简单性和问题集合的复杂性的对立，它也是富有成效的。于是，它能促使我们思考这种对立的原因，并且每每促使我们认识到，机遇并不是其原因，该原因能在某一未曾料到的规律中发现([1]，pp.372~373)。彭加勒断言：“正是这种特殊的审美感，起着微妙的筛选作用”，“这就充分地说明，缺少它的人永远不能成为真正的创造者。”([1]，p.392)
彭加勒指出，追求科学美是激励科学家的巨大精神力量。作为一个理想主义者，他在这方面甚至讲得有些过分。他说：“我们所作的工作，与其说像庸人认为的那样，我们埋头于此是为了得到物质的结果，倒不如说我们为了感受这种审美的情感，并把这种情感传给能体验这种情感的人。”([5]，p.140)他甚至认为，真理是美与真的统一，追求科学美也即是追求真理。他说：“唯有真理才是美的”([1]，p.205)，“为真理本身的美而忘我追求真理也是合情合理的，这种追求能使人变得更好”，“理性美能使理性变得可靠、有力”([1]，P.368)。
马克思在《1844年经济学哲学手稿》中指出：“动物只是按照它所属的那个种的尺度和需要来建造，而人却懂得按照任何一个种的尺度来进行生产，并且懂得怎样处处把内在的尺度运用到对象上去；因此，人也按照美的规律来创造。” 彭加勒关于科学美的论述不期而遇地涉及到“人也按照美的规律来创造”的问题。科学创造中的审美判断说明，人们在提出新理论时，主观的和心理的状态起着重要的作用。诚如爱因斯坦所说：“科学作为一种现存的和完成的东西，是人们所知道的最客观的，同人无关的东西。但是，科学作为一种尚在制定中的东西，作为一种被追求的目的，却同人类其他一切事业一样，是主观的，受心理状态制约的。” 彭加勒关于科学美的观点是比较深刻的、有见地的，值得进一步探讨与发掘。
四、事实与事实的选择
彭加勒关于事实和事实的选择有不少比较重要的论述，其中有些具有启发性，现分述如下：
1.未加工的事实和科学的事实
彭加勒对 “事实”这一概念并未下一个明确的定义，不过他把事实区分为“未加工的事实”(the crude fact)和“科学的事实”(the scientific fact)。他举例说，借助于可动的反射镜观察电流计的偏转，反射镜把明亮的光点投射到刻度尺上。在这种情况下，来加工的事实是光点移到刻度尺上，而科学的事实则是电流通过回路。又如做实验时得到某些原始数据，然后通过取平均值校正偶然误差，并通过弄清其产生的原因校正系统误差而得到最终数据，那么前者是未加工的事实，后者则是科学的事实。
彭加勒认为，未加工的事实和科学事实之间的界限既不能严格地，也不能精确地划定。他以日蚀为例说明这个问题：
1)不学无术的人说：天变暗了。
2)天文学家说：日食发生在九时。
3)天文学家又说：日食发生在根据牛顿定律制定的表格中所推算的时间内。
4)伽利略最后说：日食是地球绕太阳旋转的结果。
可是，未加工的事实和科学事实之间的界限在那里呢?人们也许会说，它在第1)和第2)之间。可是，2)和3)之间存在着较大的间隔，而3)和4)之间的间隔更大。
况且，2)还可以再细分为：
2)我说：日食发生在九时。
2a)当我的钟表指向九时，日食发生了。
2b)我的钟表慢十分钟。日食发生在九时十分。
彭加勒认为，这还不是全部。2)的两个分段也还不是最小的间隔，1)也可以细分。一个目睹日食的人感觉到昏暗的印象，这种印象又促使他做出天空变暗了的结论，必须把印象和结论区别开来。在某种意义上，头一个事实才是未加工的事实，而第二个事实已经是一种科学的事实了。甚至在天空色彩的浓淡方面，也能想象出许多细微的差别，以代替实际显示出来的差别。
但是，两种事实之间毕竟还有相对的差别。彭加勒认为，两种事实陈述的差别正如同一个未加工的事实用法语陈述和用德语陈述二者的差别一样，科学的事实无非是把来加工的事实翻译成另一种语言。每一个科学事实都是由许多未加工的事实形成的。科学家不能凭空创造科学的事实，他用未加工的事实制作科学的事实，因而他不能自由而随意地制作科学的事实。彭加勒得出结论说：“总而言之，事实就是事实，如果它们以证实了某一种预言而出现，这并非是我们自由活动的结果。在未加工的事实和科学的事实之间不存在精确的界限；我们只能说，事实的这样一种陈述比另外一种陈述更为粗糙，或者相反地，更为科学而已。”([1]，p.333)彭加勒关于未加工的事实和科学的事实之间的分类澄清了在“事实”这一概念上的某些混乱。当今有人建议：把作为在空间和时间中客观存在的事件、现象或事物的事实标记为“事实Ⅰ”，而把用某种语言对事实的描述标记为“事实Ⅱ”。这与彭加勒的分类有相似之处。
2．必须在事实中做出选择
彭加勒认为，自然界的事实是无穷无尽的、形形色色的。不仅如此，针对同一个未加工的事实，科学家原则上可以制作出无数的科学的事实。而且，不管我们能动性如何，事实跑得比我们快，我们不能够捉住它们。当科学家发现一种事实时，在他身体一立方毫米内已发生了数以亿计的事实。另一方面，科学家的头脑只能顾及宇宙的一隅，而不能包容整个宇宙。因此，在自然界提供的无限的事实中；科学家必须抛弃一些，保留一些。
事实是有等级的，有秩序可寻的，于是科学家才有可能从中做出明智的选择。一些事实没有影响，除了它本身而外，它们不能告诉我们任何东西，弄清它们的科学家除这一事实外学不到任何东西，并且科学家也不能预言新事实，这样的事实一旦出现，肯定不会复现。另一方面，也有产生许多成果的事实，它们中的每一个都能告诉我们新定律。由于必须做出选择，科学家就可以把注意力放在这些事实上。
3．选择事实的标准
彭加勒说，如果对于事实的选择仅仅取决于任性或直接的实用，那么就不会有为科学而科学，其结果甚至无科学可言。在他看来，人们应以下列几点作为选择事实的标准。
第一，要选择那些有观察和了解价值的事实，这些事实有助于做出预言、发现定律。彭加勒指出，一个孤立的事实独自并没有什么重要性。如果人们有理由设想，它能使某些未完成的和谐完满起来，有助于预言其他事实，或者更好些，如果在做出预言时，它的检验是一个规律的证实，那么它就变得使人感兴趣了。
彭加勒认为，这种能使人做出预言、发现定律的事实，它们与许多其他在我们看来并非孤立的，而是和另外的紧密结合在一起的事实是类似的。孤立的事实吸引着大家的眼睛 ——外行人的眼睛和科学家的眼睛，这些事实的类似是深奥而隐蔽的。唯有真正的物理学家才知道如何去观察连结许多事实的结合物，分辨出隐藏在未加工的事实中的精髓。彭加勒以数学为例。他说，我们从各种元素能得到亿万个不同的组合。但是，这些组合之一若是孤立的，则其毫无价值可言。当这一组合在一类相似的组合中找到位置，当我们注意到这一相似时，它就完全是另外一个样子了。我们就不再是描述一个事实，而是一个规律。
第二，要选择那些多次运用的事实，即具有一再复现机会的事实。在彭加勒看来，假定不是六十种元素(当时已知的元素数目)，而是六百亿种，它们没有什么共同之处，另一些很稀有且均匀分布。那么每当我们捡起一块石子时，它都十分可能由某种未知的元素组成，我们所知道的其他石子的情况对它毫无用处。在每一个对象面前，我们会像新出生的婴儿一样，照此办理，我们便只能服从我们的任性或实用了。假定事实不能复现，科学家便会茫然无措。这样便不会有科学，也许连思想，甚至连生活也不可能，因为进化在这里不能发展保持的本能。幸好人们没有出生在这样的世界上。
可是，哪一些事实是很可能复现的事实呢?彭加勒指出：“它们首先是简单的事实” ([1]，p.364)。有简单的事实吗?人们只能二者择一：或者这种简单性是真实的，或者元素密切混合起来，以致于无法区分。在第一种情况下，存在着重新遇到同一简单事实的机遇，无论它在整体上是纯粹的，还是它本身作为元素进入复杂的复合体中。在第二种情况下，这种密切的混合同样比异质的混合复现的机遇更多。机遇只知道如何混合，而不知道如何分解，不知道如何用许多元素建造秩序井然的大厦。而复杂的事实是很少有成果的，各种情况对它们都有敏感的影响，情况为数极多且变化多端，以致我们无法辨认它们。因此，彭加勒得出结论说：“似乎是简单的事实——即使它们并非如此一－将更容易被机遇恢复。这证实了科学家本能采取的方法，进一步确证它的也许是，经常复现的事实对我们来说似乎是简单的，恰恰因为我们经常用到它们。”([1]，p.364)
但是，简单的事实在那里呢?彭加勒回答说：“科学家在两种极端情形下寻求它，其一是无限大，其二是无限小。”([1]，P.364)天文学家找到了它，因为星球之间的距离极为遥远，以致于每个星球都可视为质点，它们之间质的差别完全可以忽略不计，质点总比有形状和质地的物体简单。物理学家也找到了基元现象，他们想象把物体分割为无限小的立方体，问题的条件在从物体的一点到另一点缓慢而连续地变化着，因此在每一个小立方体内，条件可以视为恒定。以同样的方式，生物学家本能地认为细胞比整个动物更有趣，结果证明它是明智的，由于对于能够认出细胞相似性的人来说，属于各种有机体的细胞比有机体本身更相象。
第三，彭加勒认为：“对于美的渴望也导致我们作相同的选择”。在他看来，美的事实就是“简单”的事实和“壮观”的事实。人们乐于追寻星球的壮观路线；人们乐于用显微镜观察极其微小的东西，这也是一种壮观；人们乐于寻找过去地质时代的遗迹，它之所以吸引人，是因为它年代久远。彭加勒指出，正是对于美的追求，即对于宇宙和谐的追求，促使科学家选择那些最适合于这种和谐(众美之源)起一份作用的事实。这正如艺术家在他的模特儿的特征中使图画完美并赋予它以个性和生气的事实。
综上所述，不难看出，彭加勒选择事实的几个标准并非毫不相干，而是彼此关联、互相渗透的。而且，像复杂的事实和简单的事实的区分也是相对的。关于事实的选择，彭加勒还进而议论道：“以规则的事实开始是合适的。但是，当规则牢固建立起来之后，当它变得毫无疑问之后，与它完全一致的事实此后就没有意义了，因为它们不能再告诉我们任何新东西。于是，正是例外变得重要起来。我们不去寻求相似，我们尤其要全力找出差别，在差别中我们首先应选择最受强调的东西，这不仅因为它们最为引人注目，而且因为它们最富有指导作用。”([1]，p.365)彭加勒的这些论述也具有方法论的意义。
参考文献
这三本书的英译本是H. Poincare，The Foundations of Science，Authorized Translation by G.B. Halsted，The Science Press，New York and Garrison，N.Y., 1913.
该书是彭加勒逝世后由其他人集其遗著编辑而成的，英译本是H. Poincare，Mathematics and Science：Last Essays，Translated by John W.Bolduc，Dover Publications，Inc., New York，1963.
恩格斯：《自然辩证法》，北京：人民出版社，第216页。
M.J.妮厄：《十九世纪关于原子的争论与一种“中性假设”的二难推论》，北京：《自然科学哲学问题丛刊》，1980年第4期。
ポアンカレ(H.Poineare)著：《科学者と詩人》，平林初之輔訳，岩波書店，1927年，p.139．
《马克思恩格斯全集》第42卷，北京：人民出版社，第97页。
《爱因斯坦文集》第1卷，许良英等编译，北京：商务印书馆1976年版，第298页。
（原载北京：《哲学研究》，1984年第5期，第37~44页）
【数学为什么难以理解？——彭加勒问题及其解答】
郝宁湘
http://www.ljxw.com/edu/read.asp?NewsID=6719&ArticlePage=1
一、彭加勒问题与彭氏解答
数学为什么难以理解？这是世界著名数学家、科学家和哲学家彭加勒在其《科学与方法》一书中提出的问题（以下简称彭加勒问题）。尽管彭加勒的科学哲学思想和数学哲学思想在我国已得到了不同程度的研究，但他提出的数学为什么难以理解这一问题尚未引起人们的注意。笔者希望通过本文的论述以引起数学哲学界，尤其是从事数学方法论和数学教育研究的人们对彭加勒问题的关注。
彭加勒问题首先是在《科学与方法》的第一编第三章出现，彭加勒指出：“有人不理解数学，这是怎么发生的呢？既然数学有求助于所有正常思想都能接受的逻辑规则，既然数学的证据建立在对一切人都是共同的原理的基础上，既然没有一个不发疯的人会否认这一点，那么在这里为何出现如此之多的不开化的人呢？并非每一个人都能够发明，这决不是难以理解的。并非每一个人都能够记住一次学到的证明，这也可以略而不提。但是，当把数学推理加以解释之后，并非每一个人都能够理解它，我们想想这件事，似乎是十分奇怪的”（［１］Ｐ３７４）。随后，彭加勒又在第二编第二章进一步提出：“如此之多的人不愿理解数学，这种情况是怎么发生的呢？这难道不是一种悖论吗？……他们没有发明的能力尚可谅解，但是我们向他们说明的论证，他们竟不理解，在我们看来是十分明亮的闪光出现在他们面前时，他们竟视而不见，这是多么奇怪的事呀”（［１］Ｐ４２４）。彭加勒认为，“这是一个不容易解决的问题，但是它应当引起所有献身于数学的人的注意”（［１］Ｐ４２４）。
那么彭加勒自己是如何解答这一问题的呢？这里我们先来看看彭加勒对“理解”一词是如何理解的。在彭加勒看来，理解首先意味着弄清一个定理的每一步的演绎推理，搞清它的正确性，它与数学规则、逻辑规则的一致性；以及弄清楚一个定义的全部意义。这是最浅层的理解，是对概念和定理“知其然”的理解。这种理解事实上是远远不够的，对于大多数学习数学的人来说，不仅要知道一个定理是怎样证明的，而且更重要的是要知道这个定理为什么要这样证明，是怎样想到用这个方法、这个原理来证明的。这是彭加勒关于理解一词的又一解释，是“知其所以然”意义上的理解。在学生心目中，老师证明一个定理似乎具有很大的任意性，他们不理解老师为什么这样来证，他们不知道一个定理的“所以然”。另外，彭加勒对理解还作了直观理解和抽象理解的区分（尽管彭加勒没有明确使用这两个词）。他说：对于一个数学概念，一般人“都希望提出明显的图象；定义必须唤起这个图象，以致在证明的每一个步骤中，他们可以看到它的变换和进展。只有在这一条件下，他们才能理解和记住”。“如果他们在实践中或自然界中找不到它们，他们将不能理解这样的数学概念的正当理由”（［１］Ｐ４２５—４２６）。这显然指的是一种直观的形象的理解。除此之外，我们还有“把空洞的形式组合起来的定义，这些形式是完全不可理解的、纯粹不可理解的（指不可作直观的理解——引者注），抽象剥去了全部内容”（［１］Ｐ４２６）。这就要求理解是一种抽象的理解。
在了解了彭加勒关于理解的意义之后，我们来看看彭加勒是怎样解答自己提出的这个问题。彭加勒回答数学为什么难以理解这一问题，是结合着另一个与之密切相关的问题展开的，即数学推理为何会出错？在他看来数学推理出错的原因是多方面的，其中之一在于一个人的记忆力和注意力出了问题，他认为，在一个长系列的三段论推理过程中，人们很可能把一个开始是结论而随后不久又作为前提的命题忘掉，或记错它的意义，于是错误就由此而来。另外，对于常常使用的数学法则，在开始证明的时候，人们还能够清楚地理解它的意义和使用范围，但后来如果对其的意义记忆不清了就会把它用错。（［１］Ｐ３７５）不过彭加勒并不把记忆力和注意力的欠缺看成是数学推理出错和数学难以理解的主要原因，他指出：“数学证明不是演绎推理的简单并列，它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更为重要。如果我具有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉，以便一眼就觉察到作为一个整体的推理，那么我已无需害怕我忘记这些元素之一，因为它们之中每一个都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人费心思记忆”（［１］Ｐ３７６）。可见，有没有这种数学次序的感觉或直觉，被彭加勒看作是数学推理会不会出错和能不能理解数学的关键。因为根据这种数学次序的感觉或直觉，就能够以在数学推理过程中隐藏着的各种命题和法则之间的和谐关系，推测出所需的命题和法则，而不要死记硬背它们。由于这种直觉“并不是每一个人都具有的。有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉，或者没有超常的记忆力和注意力，因此，他们绝对不可能理解较高级的数学”（［１］Ｐ３７６—３７７）。更重要的是，在彭加勒看来，只有超常的记忆力和注意力，而没有数学直觉的人，他们能够理解数学，有时还能应用数学，但不能创造数学；而具有这种特殊的数学直觉的人，尽管记忆力和注意力毫无非同寻常之处，他们也能理解数学，并且可以成为数学创造者。另外，数学直观不仅能帮助人们推测出数学证明所需的但又记忆不清的命题和法则，而且更重要的是能够帮助人们从整体上或全局上选择一条走向成功的道路。彭加勒正确地指出，你如果只能辩认一个推理过程是否正确，而不知道为什么要选择这种推理而不是那种推理，那么你便会陷入困境。而逻辑只能告诉我们一个推理是否正确，“但是它不会告诉我们那一条路能达到目的。为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的能力是直觉”（［１］Ｐ４３３）。可见，彭加勒认为，缺乏数学直觉是数学为什么难以理解的根本原因。最后，数学直觉还有一个作用，它能使完全抽象的、符号化的数学思维依附于一定的形象思维、直观思维。彭加勒认为，“正是通过直觉，数学世界才能依然与真实世界保持接触，……以填平把符号与实在分隔开的鸿沟”（［１］Ｐ４３２）。人们（尤其是学生）的思维往往负担不起形式化较高的抽象思维，需要有一种形象的直观的实在作为抽象思维的依附，数学直觉在此就起到一种“桥梁”的作用。不过彭加勒也没有过高地看重直觉的这层作用，因为在他看来，过于依赖形象与直观，是造成数学出错和数学难以理解的又一原因。其理由是，形象的、直观的东西往往是粗糙的、不可靠的，而数学需要的是严格与精神；数学推理也常常不顾人的直观想象，推论出与直观相违背的结论。我们认为还有一条同样重要的理由，即长期过于依赖形象的直观的思维方式，会使这种思维方式成为一个人的思维定式，从而严重影响这个人的抽象思维能力的发展。最后，彭加勒认为，缺乏正确的推理技艺也是数学出错与数学难以理解的一大原因。指出“数学教师首先应当培养正确推理技艺，……我们应该不断地仿效和赞美这些模式（指数学家已经给出的数学推理模式——引者注）”。认为要“有足够的机会使学生练习数学那一部分中的正确推理”（［１］Ｐ４３３）。在此彭加勒十分强调了练习的重要性。
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