作者：李醒民
(中国科学院自然辩证法通讯杂志社， 北京 100039)
庞加莱，J．H．(Poincaré，Jules Henri) 1854年4月29日生于法国南锡；1912年7月 17日卒子巴黎。数学、物理学、天体力学、科学哲学。
庞加莱的父亲莱昂(Poincaré，Léon)是一位第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授，母亲是一位善良、聪明的女性。庞加莱的叔父安托万(Poincaré，Antoine)曾任国家道路桥梁部的检查官。庞加莱的堂弟雷蒙(Poincaré，Raymond)曾于1911年、1922年、1928年几度组阁，出任总理兼外交部长。1913年1月至1920年初，担任法兰西第三共和国第九届总统。
庞加莱的童年是不幸的，也未表现出什么超人的天才。在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调，写字画画都不好看。5岁时，白喉病把他折磨了9个月，从此就留下了喉头麻痹症。疾病使他长时期身体虚弱，缺乏自信。他无法和小伙伴作剧烈的游戏，只好另找乐趣，这就是读书。在这个广阔的天地里，他的天资通过家庭教育和自我锻炼逐渐显露出来。读书增强了他的空间记忆(视觉记忆)和时间记忆能力。他视力不好，上课看不清老师在黑板上写的东西，只好全凭耳朵听，这反倒增强了他的听觉记忆能力。这种“内在的眼睛”大大有益于他后来的工作，他能够在头脑中完成复杂的数学运算，他能够迅速写出一篇论文而无需大改。
15岁前后，奇妙的数学紧紧地扣住了庞加莱的心弦，他曾在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学入奖，1875年底，庞加莱进入综合工科学校深造。1875年，他到国立高等矿业学校学习，打算做一名工程师，但一有闲空就钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒。1878年，他向法国科学院提交了关于这个课题的“异乎寻常”的论文，并于翌年8月1日得到数学博士学位。由于工程师的职业与他的志趣不相投，他又想做一个职业数学家。在得到博士学位后不久(1879年12月1日)，他应聘到卡昂大学做数学分析教师。两年后，他提升为巴黎大学教授，讲授力学和实验物理学等课程。除了在欧洲参加学术会议和1904年应邀到美国圣路易斯科学和技艺博览会讲演外，庞加莱一生的其余时间都是在巴黎度过的。
庞加莱的写作时期开始于1878年，直至他1912年逝世——这正是他创造力的极盛时期。在不长的34年科学生涯中，他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支，这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内。由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏。早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高荣誉。
数 学
庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师。他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作。
1．函数论。如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪。庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角。
所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色。
自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z’＝(az+b)／(cz+d) 或这个群的某些子群作用下的不变函数，其中a, b, c, d可以是实数或复数，而且ad-bc＝1。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。更一般的自守函数则是为研究二阶线性微分方程d2η/dz2+p1•dη/dz+p2η＝0而引进的，其中p1和p2起初是z的有理函数。
1880年以前，F．克莱因(Klein)在自守函数方面作了一些基本的工作，后来他在1881年至1882年与庞加莱合作。庞加莱在受到L. L. 富克斯(Fuchs)有关工作的吸引而注意到这件事后，对这个课题已作了先行的工作。他以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数，即他所谓的富克斯函数，这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数。后来，庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。这些函数有类似于富克斯型函数的性质，但基本域比圆要复杂。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。这样，整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函数来解了。
自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广的理论的出发点。他在1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡(E．Picard)定理结合在一起，通过J．阿达玛(Hadamard)和E．波莱尔(Borel)的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，这个理论在80年之后仍然尚未研究完。
自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理函数的级数，这导致后来被波莱尔和A．当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。
尤其是，庞加莱是多复变解析函数的创始人，这理论在他之前实际并不存在。他得到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商。在1898年，他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中加以应用。他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽。庞加莱也对多复变函数的重积分的“残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题做了多次尝试而揭示出严重困难之后进行的。多年后，他的思想在J．勒雷(1eray)的工作中产生了完满的结果。
2．代数拓扑学(组合拓扑学)。庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人。可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽。
庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Rendus)中发表了一些短文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的。庞加莱认为，他在代数拓扑学方面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如谠是研究n维几何的一种系统方法。我们现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造：其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂(E. Betti)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在称之为欧拉—庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的概念。在这些论文中，他还定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，叙述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理。有人这样正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思想和方法。
此外，庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题。在两篇论文中，他定出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2＝F(x，y)(F是多项式)的方程定义的曲面的基本群，从而为后来S．莱夫谢茨(Lefschetz)和W．V．D. 霍奇(Hodvge)的推广铺平了道路。
3．阿贝尔函数和代数几何学。当庞加莱一接触到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域发生了浓厚的兴趣。他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差不多，时间是从1881年到1911年，这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化”。庞加莱把J．雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般的“完全可约性定理”。并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结果和研究某些函数特殊性质的出发点。
庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(x，y，z)＝0中所包含的代数曲线的几篇论文。他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和F．塞韦里(Severi)的深刻结果，并首次正确地证明了由G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)、F.恩里格斯(Enrlques)所陈述的著名定理。在其他问题上，他的方法也极有价值，看来它的有效性还远远没有穷尽。
4．数论。在这个领域，庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义。他的最后一篇数论论文(1901年)最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇论文。这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题，即求一条曲线f(x, y)＝0上具有有理数坐标的点，其中f的系数是有理数。庞加莱定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有限的。这个基本事实由L．J．莫德尔(Mardell)在1922年予以证明，并由A．韦伊(Weil)推广到任意亏格的曲线(1929年)。他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆(或阿贝尔)函数的半分性质；庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点。莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为基本的定理，但是与庞加莱引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地钻研他的论文也许会导出新的结果。
5. 代数学。庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分析问题中需要代数结果时才去研究它。例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数≥3的型，其上作用着连续自同构群。与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E．施图迪(Study)和E．嘉当(Cartan)关于超复系的文章。庞加莱在1903年关于线性微分方程的代数积分的文章又回到交换代数的研究上来。他的方法使他引进一个方程的群代数，并把它分解为C上的单代数(即方阵代数)。他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和。
庞加莱是当时能够理解并欣赏S．李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家。1899年，庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李代数的“包络代数”，并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述，这个定理在近代李代数理论中成为基本的定理。
6. 微分方程。微分方程及其在动力学上的应用显然处于庞加莱数学思想的中心地位，他从各种可能的角度研究这个问题，他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中。几乎每年都要就此发表论文。事实上，整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系数的线性微分方程的思想引起的。他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇点的邻域中的局部问题，首次证明了怎样得到积分渐进展开．他还研究了如何决定(复数域中)所有一阶微分方程关于y和y’是代数的且有固点的奇点，这后来被皮卡推广到二阶方程，并在20世纪初期导致P．潘勒韦(Painlev)及其学派的成果。
庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论，它是在其创造者手中立即臻于完善的。他发现在分析微分方程可能解的类型时，奇点起着关键性的作用。他把奇点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心，并阐述了解在这些点附近的性态。在1885年后，他关于微分方程的论文大都涉及到天体力学，特别是三体问题。
对于物理学问题的持久兴趣肯定把庞加莱引向数学物理学的偏微分方程所导出的数学问题，在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义。他在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷(Diichlet)问题，发明了“扫散方法”，这种极其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用。
此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(例如，他最先使用了“遍历性”的概念，这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所建树。
物 理 学
庞加莱讲授物理学达20年以上，发表文章和书籍70多种，涉及毛细管理论、弹性力学、流体力学、热的传播、势论、光学、电学、磁学、电子动力学等等。他能深刻地洞察每个课题，并揭示其本质。他特别偏好光理论和电磁理论，他的关于电磁理论的教科书成为麦克斯韦理论在欧洲大陆得以广泛传播的范本。
尤为引人注目的是，庞加莱对19世纪末20世纪初的物理学革命直接起到了推动作用。这主要表现在以下四个方面。
1．对经典力学和经典物理学基础的批判以及对物理学危机的分析和论述
在世纪之交，庞加莱属于批判学派(与之对立的是机械学派，即力学学派)。在E．马赫(Mach)、A．卡利努(Calinon)、H．R．赫兹(Hertz)的影响下，他对经典力学的基本概念和基本原理(例如绝对时间和绝对空间、力、惯性定律、加速度定律等)进行了批判，也对当时占统治地位的力学自然观提出质疑。他指出，力学自然观实际上是想把自然界弯曲成某种形式，但是自然界并不是这么柔顺的。庞加莱在分析了力学解释的非普遍性和非唯一性后指出，我们追求的目标“不是机械论，真正的、唯一的目标是统一性”。与马赫不同的是，庞加莱还审查和批判了经典物理学的基础，并揭示出经典力学和经典物理学之间无法弥合的裂痕。
在实验事实和理论分析的冲击下，整个物理学的理论基础动摇了，导致了所谓的物理学危机。老一辈的物理学家囿于力学自然观，看不清物理学发展的形势，只是在旧理论的框架内进行修补，找不到摆脱危机的出路。在当时著名的科学家当中，对物理学发展形势看得比较清楚的是庞加莱，他在本世纪初第一个明确地指出物理学的危机，并对它进行了全面的分析和论述。他认为，物理学危机是好事而不是坏事，危机能加速物理学的变革，是物理学进入新阶段的前兆。他指出，要摆脱危机，就要在新实验事实的基础上重新改造物理学。同时，他一再肯定经典理论的固有价值，认为它们在有效适用范围内还是大有用处的，并且旗帜鲜明地批评了“科学破产”之类的错误观点。他还预见了新力学的大致图景，对物理学的前途表示乐观。这一切，对于澄清物理学家的糊涂认识，使他们看清物理学发展的形势，显然是大有裨益的，也有助于抵制当时流行的实用主义和非理性主义。
2．在物质结构研究方面的贡献
1895年12月28日，W．K．伦琴(R6ntgen)发现了X射线。庞加莱对此感到十分振奋，他在1896年1月20日的周会上展示了伦琴寄给他的x射线照片。当A．H．贝可勒尔(Becquerel)问他射线从管子的哪一部分发出时，庞加莱回答说，射线似乎是从管子中与阴极相对的区域发出的，在这个区域内玻璃管变得发萤光了。庞加莱还在1月30日发表了一篇关于X射线的论文，他在论文中提出：“是否所有萤光足够强的物体，不管它们的萤光的起因如何，都既发射可见光又发射X射线呢?”尽管庞加莱的预想并不完全正确，但是它毕竟是导致贝可勒尔发现放射性的直接动因。
对于世纪之交分子实在性的争论，庞加莱基本持中立态度，因为还没有确凿的实验事实证明分子是真实的。不过，他早就意识到用实验来验证分子运动论的可能性。他在1900年提醒大家注意L. G. 古伊(Gouy)关于布朗运动的有独创性的观念.他指出：“那些无规则运动的粒子比致密的网孔还要小；因此，它们可能适用于解开那团乱麻，从而使世界逆行。我们几乎能够看到麦克斯韦妖作怪呢。”1904年，他在提到运动和热在布朗运动中相互转化而毫无损失时说：“如果情况如此，为了观察世界逆行，我们不再需要麦克斯韦妖的无限敏锐的眼睛，我们的显微镜就足够了。”后来，A．爱因斯坦(Einstein)和M．von斯莫卢霍夫斯基(Smoluehowski)分别于1905年和1906年给出了布朗运动的理论，导出了计算分子大小的公式。1908年，J．B．佩兰(Perrin)和他的合作者通过用显微镜观察藤黄树脂微粒的布朗运动，证实了分子的实在性。庞加莱面对这一事实，坦率地承认：“长期存在的原子假设已具有充分的可靠性”，“化学家的原子现在已经是一种实在了”。
3．相对论的先驱
早在1900年之前，庞加莱就掌握了建立狭义相对论的一切必要材料，并在1904~1905年间找到了它的数学表示。作为相对论的先驱，他比马赫和H．A．洛伦兹(Lorentz)更前进了一步。
在1895年，庞加莱就对当时以太漂移实验的解释表示不满，他批评洛伦兹过多地引入特设假设。他相信，用任何实验手段——力学的、光学的、电学的——都不可能检测到地球的绝对运动。他已经意识到，采取这种立场相当于在理论上提出一个普遍的物理定律：“不可能测出有重物质的绝对运动，或者更明确地说，不可能测出有重物质相对于以太的运动。人们所能提供的一切就是有重物质相对于有重物质的运动。”1900年，他把这个定律称 为“相对运动原理”：“任何系统的运动必须服从同样的定律，不管它是相对于固定轴而言还是相对于作匀速直线运动的可动轴而言。”在1902年的《科学与假设》中，首次出现了“相对性原理”的提法。不过，相对性原理的正式提出和标准表述是庞加莱1904年9月在圣路易斯讲演中做出的。他把它作为物理学六大基本原理之一提了出来：“相对性原理，根据这个原理，物理现象的定律应该是相同的，不管观察者处于静止还是处于匀速直线运动。于是，我们没有、也不可能有任何手段来辨别我们是否做这样一种运动。”也就是在这次讲演中，他惊人地预见了新力学的大致图景：惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限。原来的比较简单的力学依然保持为一级近似，因为它对不太大的速度还是正确的，以致在新力学中还能够发现旧力学。
在1898年的“时间的测量”(La mésure de temps)一文中，庞加莱不仅批判了绝对时间、绝对空间和绝对同时性的概念，而且还提出了建设性的建议：承认光速不变是一个公设，并用爱因斯坦后来使用的术语讨论了远距离的同时性的确定问题。他说：“(光具有变的速度，尤其是它的速度在一切方向上都是相同的，)这是一个公设，没有这个公设，就无法测量光速。”庞加莱利用两个观察者(爱因斯坦的讨论只用一个观察者)、光讯号和时钟，讨论了时钟同步和同时性的定义问题，得出了与爱因斯坦1905年的结论相同的结果。
1904年后期到1905年中期，庞加莱给洛伦兹写了三封信，这三封信的基本思想在“论电于动力学”(Sur 1a dynamique de iélectron)一文中得到发展。这篇论文的缩写本于1905年6月5日不发表，全文则发表于1906年。他在文中第一个提出了精确的洛伦兹变换，指出该变换的群的性质。“洛伦兹变换”、“洛伦兹群”、‘洛伦兹不变量”等术语，都是他首先使用的。他还得到了正确的电荷和电流密度的变换(洛伦兹得出的变换式是错的)，证明了速度变换，考虑了体积元的变换，得到了电荷密度和电流的变换。这样一来，麦克斯韦-洛伦兹方程首次在洛伦兹变换下严格地变成不变量。庞加莱还导出了电磁标量势和矢量势、单位体积的力、单位电荷的力的变换，这些公式甚至在60年代前后的文献中也难以找到。尤其是，庞加莱为了利用在具有确定的正度规x2+y2+z2+τ2的四维空间中的不变量理论，还引入了四维矢量，使用了虚时间坐标(τ＝ict)。他还揭示出洛伦兹变换恰恰是四维空间绕原点的转动。庞加莱的这一工作，对H．闵可夫斯基(Minkowski)后来的四维时空表示法有直接影响。庞加莱也是第一个在他的电子动力学中研究牛顿引力定律的人，他甚至使用了“引力波”这个词。
4．量子论的积极倡导者和热心研究者
1911年的索尔维物理学会议，使量子论越出了德语国家的国界。庞加莱应邀参加了这次最高级会议，首次了解到量子论。他在很短时间内就成为量子论的积极倡导者和热心研究者，他在逝世前的半年多时间内，完全沉浸在这个奇妙的量子世界里。
1911年12月4日，即索尔维会议一个月之后，庞加莱向科学院提交了一篇论述量子论的长篇论文的缩写本，全文于翌年1月发表。他在论文中指出，量子论的出现“无疑是自I．牛顿(Newton)以来自然哲学所经历的最伟大、最深远的革命”。他坚持认为，旧理论不只是在能量能够连续变化的假定上是错误的，而且物理定律本性的概念也要经受根本的变革。他在论文的最后指出，人们必须寻求差分方程，对于不连续的几率函数的情况，它将起哈密顿微分方程的作用。后来，他还就量子论发表了几篇文章和讲演。他甚至猜想，任何孤立系统乃至宇宙也象粒子一样，“会突然地从一个状态跃迁到另一个状态；但是在间歇期间，它依然是不动的。宇宙保持同一状态的各个瞬时不再能够相互区分开来。因此，这将导致时间的不连续变化，即时间原子。”庞加莱的工作大大推动了非德语国家的物理学家接受和研究量子论。
天 体 力 学
在19世纪之前，天文学家在处理天体力学问题时还是沿用牛顿、L．欧拉(Euler)、J．L．拉格朗日(Lagrange)和P．S．M．拉普拉斯(Laplace)的方法。19世纪，A．L．柯西(Cauchy)发展了复变函数论，数学家为天文学家提供了有利的工具。庞加莱首先运用分析学的方法来研究天文学，而直至40年后，还没有几个天文学家能够掌握这种数学工具。庞加莱的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状(1885)；太阳系的稳定性，即n体问题(1899)；太阳系的起源(1911)。
庞加莱在1885年发表的长篇论文中讨论了由雅可比椭球体派生出来的、角动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。他认为，这种体系演化的下一个阶段可能是一大一小相互围绕着旋转的两个天体的平衡状态，该假设肯定不能用于太阳系，但某些双星却会呈现出这样的过渡形式。后来有人证明梨形是不稳定的。
庞加莱在天体力学上的最大成功表现在对“n体问题”的处理上，这是瑞典国王奥斯卡二世(OscarⅡ)在1887年提出的悬赏问题。设n个质点以任意方式分布在空间中，所有质点的质量、初始运动和相互距离在给定的时刻都是已知的。如果它们之间按照牛顿力有引力定律相吸引，那么在任何时刻，它们的位置和运动怎样呢?
“二体问题”已被牛顿解决了。自欧拉以来，人们把“三体问题”视为整个数学领域最困难的问题之一。从数学上讲，该问题归结为解九个联立微分方程(每个都是二阶线性的)。拉格朗日成功地把这个问题加以简化，可是其解即使存在，也不能用有限项来表示，而是一个无穷级数。如果级数在形式上满足方程组，并且对于变数的某些值收敛，那么解将存在。庞加莱在他1889年的论文中提出了一种新的强有力的技巧，其中包括渐近展开和积分不变性，并且对微分方程在接近奇点附近的积分曲线性状获得重要的发现，尽管他没有解决n体问题，但对三体问题已有明显的突破，因此获得了奥斯卡奖。
庞加莱在天体力学方面的早期工作汇集在他的三卷专题巨著《天体力学的新方法》(Les méthodes nouvelles de 1a mécanique cleste，1892，1893，1899)中。1905~1910年又出版了另外三卷著作《天体力学教程》(Lecons de mécanique céleste)，它具有更为实用的性质。稍后又出版了讲演集《流体质量平衡的计算》(Sur les figures d’équilibre d’une masse fluide)和一本历史批判著作《论宇宙假设》(Sur les hypothèses cosmogoniques)。
庞加莱的传记作者、法国数学家G．达布(Darboux)断言：这些著作的头一部事实上开辟了天体力学的新纪元，它可与拉普拉斯的《天体力学》和J．I．R达朗伯(d’Alembert)的关于二分点岁差的工作相媲美。英国天文学家G．达尔文(Darwin)爵士在评论《天体力学的新方法》时说：“很可能，在即将来临的半个世纪之内，一般研究人员将会从这座矿山发掘他们的宝藏。”
庞加莱的《论宇宙假设》被这个领域的研究者视为经典，书中对建立在拉普拉斯星云说上的模型的性质作了全面的分析。这本书作为回顾了太阳系起源的各种理论，即使在今天也值得一读，但是它忽略了20世纪初其他天文学家提出的一些理论。庞加莱关于宇宙演化的观点在19世纪末是有代表性的：实在世界的进程是渐变的、不可逆的；不连续的变化也会明显地发生，但只是在确实需要时才发生，而且不是以大变动的形式。这种观点显然与今天流行的“大爆炸”宇宙学说格格不入。
科 学 哲 学
由于庞加莱长期在科学前沿从事创造性的探索和开拓性的奠基工作，因此他不得不经常对科学的哲学基础进行批判性的考查，对已取得的科学成果进行恰当的哲学解释。而且，他所研究的问题的深度和广度使得他的思考不可能限制在狭窄的专业领域，他必须去考察一个更加困难得多的问题，即分析思维的本性问题。庞加莱在谈到自然观、科学观、认识论和方法论等问题时，往往鞭辟人里、深中肯綮，爱因斯坦称这位具有广阔哲学视野的科学家是“敏锐的、深刻的思想家”。
庞加莱有四本科学哲学著作：《科学与假设》(La science et I’Hypothese，1902)、《科学的价值》(La valuer de 1a science, 1905)、《科学与方法》(Science et mothode，1908)、《最后的沉思》(Derniéres penseés，1913)。最后一本书是在庞加莱逝世后，由他人集其九篇遗著编辑而成的，反映了庞加莱后期的思想。
约定论(convetionalism)是庞加莱的哲学创造，也是他的主导哲学思想．这种思想发轫于1887年发表的论几何学基础的论文，但是更为系统、明确的表述，则见于《科学与假设》，这是根据他对数理科学基础进行的敏锐的、批判性的审查和分析而提出来的。
庞加莱指出，几何学公理既非先验综合判断，亦非经验事实，它们原来都是约定。物理学尽管比较直接地以实验为基础，但是它的一些基本概念和基本原理也具有几何学公理那样的约定特征。但是，他也抱怨有些哲学家推广得太过分，把原理视为全部科学，从而相信整个科学都是约定的。他反对把约定在科学中的作恣意夸大，以致说定律、科学事实都是科学家创造的。
庞加莱认为，“约定是我们精神自由活动的产物”，它贯穿在整个科学创造活动中。但是，这种自由“并非放荡不羁、完全任意”，“并非出自我们的胡思乱想”，而是要“充分发挥我们的能动性”。他还指出，约定的选择要求方便，这是因为有些实验的确向我们表明一些约定是方便的，而且以简单性作为选择标准也是出于方便，经验向我们表明它往往不会使我们受骗。庞加莱还认为，提升为约定的公理或原理不再受实验检验，它们无所谓真假。因为实验证伪既可以通过把实验的否定结果归咎于一个辅助假设来避免，也可以通过改变语言来避免。庞加莱的这种观点后来被称之为庞加莱命题，即没有构成两个基本因素——语言的和实在的(经验的)假设——的实验体制，经验检验是不可能的。
在庞加莱的约定论中，经验(狭义地讲是实验)的意义是双重的：它是科学理论的源泉或基础；它对约定的形成起引导或提示作用。约定论认为约定不是经验唯一地给予的，又认为约定也不是我们思想的结构唯一地给予的，它汲取了经验论和理性论的合理因素(庞加莱既要人们注意约定的实验根源和实验的指导作用，又要人们大胆假设和自由创造)，从而成为一种卓有成效的科学认识论和方法论。这种科学认识论和方法论预示了现代科学发展的理论化和持续进步的大趋势，并对现代科学和现代科学哲学的发展产生了较大的影响。
在庞加莱的科学哲学思想中，也掺杂着其他一些成分。就他有关算术的认识论地位而言，他是一个康德主义者，因为他宣称算术的一些公理，特别是数学归纳原理是先验综合真理。另一方面，他在空间哲学、几何学哲学和物理学哲学中却抛弃了康德主义，并且用发生经验论(几何学与物理学的概念及陈述起源于经验)和约定论的结合来代替它。在数学哲学方面，他是一位结构主义者和前直觉主义者。在物理学哲学中，他的约定论为经验要素留下了余地，以致处于经验论传统的范围内。他也带有许多康德主义和进化论思想的色彩(进化认识论)，如他最富有哲学意义的时间学说。此外，就他视探索真理和追求科学美为人的活动的唯一价值，以及倡导“为科字而科学”而言，有人认为他是理性论者和理想主义者。就他把相对性原理仅仅看作是可被实验否证的暂时性假设而言，有人认为他是证伪主义者和归纳主义者。当然，人们也能从他的思想中发现毕达哥拉斯主义(对自然先定和谐的信念)、操作主义(要使定义有用，它必须能指示我们如何测量)、工具主义(科学是一种整理事业，两种对立的理论也都可以作为研究的有用工具)、马赫主义(他赞同马赫思维经济原则和操作定义的观点)的色彩。
庞加莱认为，要进行创造性的科学研究，首先需要创造方法，因为没有一个方法会自行产生。庞加莱不仅对前人提出的方法作了发展，而且他自己也有一些独创性的科学方法，从而形成了他的颇有特色的方法论体系。
作为一种方法的经验约定论，在事实的选择，以及在由未加工的事实过渡到科学事实和由科学事实过渡到定律的过程中，都具有方法论的意义，尤其在由定律提升为原理的过程中，约定的作用表现得尤为明显。庞加莱在谈到这一点时说：“当一个定律被认为由实验充分证实时，我们可以采取两种态度。我们可以把这个定律提交讨论；于是，它依然要受到持续不断的修正，……或者，我们可以通过选定这样一个约定，使命题肯定为真，从而把定律提升为原理。”庞加莱认为，用这种方法“常常能得到巨大的好处”。
谈到假设，庞加莱指出：“没有假设，科学家将寸步难行。”他还把假设按其特性和功用分为三类。第一类是极其自然的假设，人们几乎不能避免它。例如，假定十分遥远的物体的影响可以忽略不计，结果是原因的连续函数，小位移遵循线性定律。这类假设只是表面看来是假设，实质上可化归为伪装的定义或约定。第二类是中性假设，例如假定物质是连续的或是由原子构成的。只要中性假设的特性不被误解，它们便不会有什么危险。它们或者作为计算的技巧，或者有助于我们理解具体的图像，或者可以坚定我们的思想。第三类假设是真正的概括，它们是实验必须证实或否证的假设。这类假设总是应该尽可能经常地受到检验。当然，如果它们经不起这种检验，人们就应该毫无保留地抛弃它。此外，庞加莱要人们最好只引入少数基本假设，而不要不加限制地引入许多特设假设。
庞加莱也十分崇尚科学美或数学美。他认为，科学美根源于自然美。正因为如此，追求科学美才不是纯粹的浅薄涉猎，才不会使科学家偏离对真理的追求。但是，科学美并不等于自然美，科学美是“比较深奥的美”，是“潜藏在感性美之后的理性美”，“这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它”。在他看来，科学美包含这样一些内容：雅致、和谐、对称、平衡、秩序、统一、方法简单、思维经济等。但是，他最强调的还是和谐，并认为“普遍和谐是众美之源”。他还认为，科学美是激励科学家忘我工作的强大动力，是选择事实和评价理论的重要标准，是科学发明的神奇工具。
庞加莱十分注重直觉在科学中，尤其是在数学中的功用。他指出，直觉是发明的工具，逻辑是证明的工具。因为发明即是辨认、选择，逻辑只能提供所有组合或结构，要在其中作出明智的选择，则要靠直觉。不仅作为某些逻辑推理前提的公理渊源于直觉，而且直觉也渗透在推理的过程之中。因为数学证明不是演绎推理的简单并列，它是按某种次序安置演绎推理，只有具有这种次序的直觉，才能洞察到作为一个整体的推理。庞加莱还把直觉分为两种类型：一是所谓“纯粹直觉”，即“纯粹数的直觉”、“纯粹逻辑形式的直觉”、“数学次序的直觉”，这主要是解析家的直觉；二是“可觉察的直觉”即“想像”，这主要是几何学家的直觉。这两种类型的直觉似乎发挥出我们心灵的两种不同的本能，它们像两盏探照灯，引导陌生人来往于数学世界和实在世界。庞加莱还通过自己发明富克斯函数的切身体验，探讨了数学发明的心理机制。
庞加莱说过，热爱真理是伟大的事情，追求真理应该是我们活动的唯一目标和唯一价值。他言行一致，为追求真理奋斗到生命的最后一息。他不关心荣誉，不喜欢用自己的名字命名他的任何发明。
到1911年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上的日子不会很长了。可是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑孕育的新思想太多了，他不愿让它们和自己一起埋葬。在索尔维会议之后，他投身于量子论的研究，并撰写论文，发表讲演。同时，他还在思考一个新的数学定理，即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题。
临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演。他说：“人生就是持续的斗争”，如果我们偶尔享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争的结果。假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果。”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生。
1912年7月17日，庞加莱因血管栓塞突然去世。当时他正处在科学创造的高峰时期。V．沃尔泰拉(V01terra)中肯地评论道：“我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士，直至他的逝世。”
原始文献
[1]Oeuvres de Henri Poincaré. 11 vols, Paris, 1916~1954．这部11卷的《昂利•庞加莱全集》包括庞加莱的重要科学论文、他对自己工作的部分叙述、达布写的传记(第2卷)以及在他诞辰100周年纪念会上人们就他的生平和工作所作的讲演(第11卷)。
[2] Henri Poincaré, La science et I’Hypothese, Paris, 1902, Ernest F1ammarion Éditeur, 1902.
[3] Henri Poincaré, La valuer de 1a scienc, Paris, 1902, Ernest F1ammarion Éditeur, 1905.
[4] Henri Poincaré, Science et mothode, Paris, 1902, Ernest F1ammarion Éditeur, 1908.
[5] Henri Poincaré, Derniéres penseés, Paris, 1902, Ernest F1ammarion Éditeur, 1913.
（其中文献[2]、[3]、[4]有中文版。H. 彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，北京：光明日报出版社，1988年5月第1版）
研究文献
[1] G. Darboux, Éloge historique d’ Henri Poincaré, Mémoires de I’Académie des science, 52(1914).
[2] E. T. Bell, Men of Mathematics, Dover Publications Press, New York, 1937.
[3] J. Giedymin, Science and convention，Pergamon Press, Oxford ed., 1982.
[4] A. 1. Miller, Imagery in scientific thought, Birkhäuser Boston lnc., 1984
[5] 李醒民:《理性的沉思——论彭加勒的科学思想与哲学思想》，沈阳：辽宁教育出版社，1992年第1版。
[6] 李醒民：《彭加勒》，台北：三民书局东大图书公司，1994年第1版。
（本文是为《科学家传记大辞典》写的条目。原分两部分分别载钱临照、许良英主编：《世界著名科学家传记》（物理学家Ⅰ），北京：科学出版社，1990年第1版，第182~195页；吴文俊主编：《世界著名数学家传记辞典》（下集），北京：科学出版社，1995年第1版，第1168~1176页）