ustc01 解析几何 绕固定轴的转动 正交变换

http://staff.ustc.edu.cn/~gzwang/Crystal_Structure_2.pdf

考察在一定几何变换之下物体的不变性，使

用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持

两点距离不变的变换：

11 12 13

21 22 23

31 32 33

'

'

'

x a a a x

y a a a y

z a a a z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i

11 12 13

21 22 23

31 32 33

i j

a a a

A a a a

a a a

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

􀁈􀁇

其中Aij 为正交矩阵

从解析几何知道，符合正交

变换的是：绕固定轴的转动

(Rotation about an axis)

绕z 轴旋转θ角

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

Ai j

θ θ

θ θ

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个

变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多，

它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称

操作：绕4 条体对角线可以旋转共8个对称操作；

绕3 个立方边可以旋转共9个对称操作；绕6 条棱

对角线可以转动π，共6 个对称操作；加上恒等操作共24个。

立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演

后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。