考察在一定几何变换之下物体的不变性，使
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
两点距离不变的变换：
11 12 13
21 22 23
31 32 33
'
'
'
x a a a x
y a a a y
z a a a z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i
11 12 13
21 22 23
31 32 33
i j
a a a
A a a a
a a a
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
其中Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交
变换的是：绕固定轴的转动
(Rotation about an axis)
绕z 轴旋转θ角
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
Ai j
θ θ
θ θ
⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个
变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多，
它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称
操作：绕4 条体对角线可以旋转共8个对称操作；
绕3 个立方边可以旋转共9个对称操作；绕6 条棱
对角线可以转动π，共6 个对称操作；加上恒等操作共24个。
立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演
后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。
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