所谓绝热消去原理是指当系统处在阈值时，有序结构形成的速度很快，外界对系统的影响可以忽略，而在系统内部，忽略相对衰减很快的快弛豫量的变化，可以使方程大大简化，也就是用慢弛豫参量表示（或近似表示）所有的快弛豫参量，最后得到仅存慢驰豫参量的方程——序参量方程。这样处理不仅消去了大量自由度使方程易于求解，而且深刻反映出子系统之间的协同作用产生了序参量，序参量又支配着子系统的运动，使用权系统出现整体的有序运动状态或结核。

所谓绝热消去原理是指当系统处在阈值时，有序结构形成的速度很快，外界对系统的影响可以忽略，而在系统内部，忽略相对衰减很快的快弛豫量的变化，可以使方程大大简化，也就是用慢弛豫参量表示（或近似表示）所有的快弛豫参量，最后得到仅存慢驰豫参量的方程——序参量方程。这样处理不仅消去了大量自由度使方程易于求解，而且深刻反映出子系统之间的协同作用产生了序参量，序参量又支配着子系统的运动，使用权系统出现整体的有序运动状态或结核。

协同学理论

随机微分方程      系统的基本演化方程 P75

它的一般形式为：

( X, t ) = N ( q ( X, t ), ▽ , α, X, t, F )                         (3-1)

显然，这是一个关于         q及其不同阶导数的动力学方程或方程组，即微分方程。这一模型有如下特点：

1．状态变理q 数目很大。模型（3.1）中的q表示系统的状态变量，它是空间坐标X=（x, y, z）和时间t的函数，即：

q=q(X，t)                                                   (3-2)

对于不同的系统，q代表不同的参量。q可能是微观量，如粒子的坐标、速度等，也可能是宏观量，如经济系统的生产率等。由于协同学研究的是大量了系统组成的巨系统，所双描述它的行为需用的状态变量数目很大。令q记状态变量，它们是X和t的函数：

      （i=1,2,…,n）                              (3-3)

为简便记，常采用状态变量来表示：

                                       （3-4）

2．非线性特性。状态变量的各阶导数与状态变量本身有关，反映系统内部不同因素的相互作用。由于研究的是自组织系统。而线性系统不可能出现自组织，所以基本演化方程是非线性的。

3．依赖于外部控制参量α、β。协同学研究会、开放的、大都是远离平衡态的系统，它们与环境有物质和能量的交换，演化行为受外部条件找影响或支配。当外界对系统的作用在一定时期内保持不变时，这种外部作用将以常量α、β等形式出现于演化方程中，称为控制参量或外部参量。如经济系统中的投资增长率等。

4．包含涨落力F。系统发生时间演化的动因不可完全预见，往往是变化的，导致涨落现象。涨落的基本来源有二个方面。一是经典力学的来源，或者由于我们对系统信息掌握不够，或者由于自由度太大而无法描述。二是量子力学的来源，由于我们原则上不能绝对精确地预见粒子的行为，量子涨落引起的F不确定是不可避免的。所以种种不确定性影响的总和，以涨落力F的形式出现于演化方程中，使数学模型取随机微分方程的形式。

5．由于当系统处于非均匀介质中时必须处理扩散或波传导等因素，空间导数应包含在基本方程中，即包含哈密顿算子▽。有时还包含拉普斯算子

△=                                        （3-5）

如果存在对流，还可能出现V▽V项。所以，基本演化方程采用偏微分方程的形式。

对于不同的具体系统，其中一些项可以忽略，演化方程具有较为简单的形式。在许多情况下，可将模型（3.1）简化为：

                                             (3-6)

有了基本方程就可以通过求出状态变量对时空的依赖关系研究系统的演化行为。从数学上看，只要给定适当的初始条件或边界，原则上可以求解基本方程。

线性稳定性分析  P77

所谓线性稳定性分析就是在略去方程（3.6）中F项方程：

                                                （3-7）

原解上加上小的扰动后观察系统是否回到原状态（即原解），以寻找系统相变点的过程。具本过程如下：

设对于控制参量q是代表原结构或均匀态的解，并且在控制参量从变到α时， 仍是解，即均匀态可以延伸到令：

                                                 （3-8）

w是一个微扰。将（3.8）代入（3.7）中，则有：

                                       （3-9）

写成分量形式：

                                     （3-10）

由于w 很小，可以按wk把函数展开

                      （3-9）

忽略二阶以上的项，并考虑到：

                                             （3-12）

由（3.11）可得：

                                          （3-13）

引入矩阵：

                                                    （3-14）

其元素为：

                                            （3-15）

于是得到微扰方程：

                                                   （3-16）

方程（3.16）的解为：

W                                                   （3-17）

I为L的特征值。当系统远离临界点时，L的所有特征根都具有负实部，系统是稳定的。当控制参量a沿趋向于临界值的方向变化时，在某个a值处，L的特征根至少有一个取正实部，这就是线性失稳点。从这一点起，特征根及其对应的运动模将分为两类，对应于Rel≥0的模叫做不稳定模，对应于Rel＜0的模叫作稳定模。

伺服原理  P78

对于由大量子系统构成的巨大系统来说，基本演化方程（3.1）中包含的变量数目极大，即基本演化方程的维数非常高。要处理这样高维的方程，实际上是不可能的。因此，如何对维数极高的基本演化方程进行简化，以适当的低维方程近似描述原来系统，是协同学的一个重要研究内容。为此，协同学发展了微观方法的基本原理——伺服原理。它包括绝热消去原理、慢流形定理和中心流形定理等三个方面内容，但核心是绝热消去原理。

协同学把表重征子系统状态及它们之间耦合的所有量的临界行为，分为两类：一类是临界处阻尼大衰减快的快弛豫参量，它们虽然在临界过程中此起彼伏、活跃异常，但它们对系统演变过程的性质并不起主导作用，处于次要地位。系统中的变量成千上万，但绝大多数的状态变量的临界行为都是这类快弛豫参量。另一类临界行为是慢弛豫参量，这类所谓的“慢”弛豫参量，在临界点前的行为不见得快弛豫参量有什么明显区别，但当系统达到临界点时，它们出现了临界无阻尼现象（这往往是由于环境条件和边界条件对它们的生长有利）。这类参量数晨极少，但却驱使着其它快弛豫参量的运动，系统演变的最终状态或结构是由它们决定的。

所谓绝热消去原理是指当系统处在阈值时，有序结构形成的速度很快，外界对系统的影响可以忽略，而在系统内部，忽略相对衰减很快的快弛豫量的变化，可以使方程大大简化，也就是用慢弛豫参量表示（或近似表示）所有的快弛豫参量，最后得到仅存慢驰豫参量的方程——序参量方程。这样处理不仅消去了大量自由度使方程易于求解，而且深刻反映出子系统之间的协同作用产生了序参量，序参量又支配着子系统的运动，使用权系统出现整体的有序运动状态或结核。

在研究系统的演化序列时，协同学了又发展了绝热消去原理，提出慢流形定理和中心流形定理。这两个定理都是针对系统在相空间轨道而言的。慢流形是指代表着系统的演变结果的那些稳定的吸引子流形，相当于系统中的慢弛豫参量的轨道。慢流形定理告诉人胶如果相空间存在快流形和慢流形，系统最终会稳定地运动到慢流形上。所谓中心流形定理，是指在该流形的轨道上，系统的行为是属于中性的，即对外界的扰动即不放大也不缩小，该状态相当于处于指数增大和指数衰减之间的边缘状态，如果出现这种情况，系统会稳定在中心流形上。

通过伺服原理的应用可以说明，系统从无序转变为有序以及从有序转变为更为复杂的有序过程，也就是在一再形成新的自组织过程中，总是由序参量支配其它稳定模而形成了一定的结构或序，总是序参量起了主导作用的结果。如果不存在序参量的支配中心，系统将是乌合之众的混乱状态。因此，序参量的地位和作用是显而易见的。

哈肯对此已给出了详细的数学论证。在此，我们仅通过简单的数学符号说明伺服原理的基本的思想。考虑到复杂系统的一再演化的实际情况，尤其是经过一再分岔进入频谱越来越复杂的准周期运动的情况，我们把系统中的临界点处的“不稳定的”或“临界无阻尼”的模用一个矢量来表示，把临界点处的稳定模用矢量表示，把模相联系的相角用一矢量表示。我们假定它们遵众常微分方程组：

                             （3-18）

                               （3-19）

                                 （3-20）

符号“~”是指经变换后可化为没有“~”号的标准型，、和分别是它们的与时间无关的矩阵或矢量。但是，把我们的讨论方法开拓到偏微分方程组以及、、是时间函数的情况并不困难。为了比较各量的数量级，以便在适当的情况下作近似，我们引入同数量级的微参数‘，则为的数量级或更小。并且，函数

是它相角j的2p周期函数。方程中的代表随机驱动力。于是可把

展开为和S第二幂级数，比如：

                （3-21）

上式是把表示为矢量形式：

                                             （3-22）

其中的矢量：

                                                （3-23）

的j分量是：

                                            （3-24）

系数可能是j的2p周期函数，亦可是时间t的连续函数，即：

=（j，t）                                         （3-25）

同样对也可作成类似于（3-21）的展开。如将分解为：

                                 （3-26）

则为的数量级。现在就可通过变换：

                                             （3-27）

                                                  （3-28）

把方程（3-18）——（3-20）变换为标准形式：

                                        （3-29）

                                  （3-30）

                                        （3-31）

我们的目的是把S表示成U、’和t的显函数，一般可写

    S=S（U（t），j（t）,t）                                   (3-32)

由于S经U和j依赖于时间t,而且S还直接依赖于时间，则圣（3-32）的微商得到：

                                  （3-33）

                                              （3-34）

                                              （3-35）

由（3-30）知（3-33）的右边等于：

                     （3-36）

用（3-29）和（3-31）式代替和则上式简化为：

               (3-37)

左边的括号是作用于S上的算子，可把（3-37）的形式解写为：

            （3-38）

这时利用等同关系就可把S作成幂级数。令：

                                             （3-39）

                                           （3-40）

用形式幂级数展开式：

              （3-41）

上式中使用了定义：

                                                （3-42）

于是可将s表示成幂级数：

         （3-43）

 

在实际应用中，吸取级数的前几项便可得到很好的近似，勿需计算展开的无穷级数。但需在理论上证明只保留级数的前几项时，可以勿略剩余项。为此，我们根据（3-41）把s分解为

                    （3-44）

或明显写成：

                                     （3-45）

可证剩余项：

                                    （3-46）

在实际应中，无论是通过迭代法或其它方法得到的剩余项的具体公式中，其幂指数中含有因子m，所有其它因子也带有 m的幂次，因此有临界点处的U非常小的情况下，它们的贡献也很小。另一方面，当s的前m项近似的m取得足够大时，剩余项中的m!反而使它变大。从严格的数学意义上讲，这是一种半收敛级数，研究它的近似问题颇有实际意义。现在的研究表明，只要U足够小，取前几项作似仍然是一种很好的方法，但若m太大时剩余项的高阶项反而降低了近似的效果。为此，哈肯教授设计了一种对半收敛级数的快速收敛的迭代步骤，以此得到了普遍关系：

                                              （3-47）

消去了之后的剩余项，其思想是稳定模S受其它因素的影响很小，它的状态主要取决于U的变化，即S跟随着U，S伺服于U。因此，慢变量——即序参量对子系统的支配作用只能在知道了它自身的行为规律时，才有可能知道它如何支配着子系统跟着它的发展而变化。伺服和支配本来是一个事物的两个方面，有此便有彼，去此便无彼，但在自组织过程中，系统如何演变并没有外界的强制手段，因此伺服原理的处理过程形象地反映出首先要证明子系统是否伺服于序参量，序参量对它的支配作用只能在序参量方程的建立和求解之后，知道了序参量本身的行为之后才能明确它对子系统的支配作用。

序参量原理 P84

序参量概念

在平衡相变理论中，序参量是用于表征相变后的系统有序的性质和程度的。在相变前的旧结构下，序参量为0，从相变点起序参量取非零值。

协同学也引入了这一概念，并作了进一步泊阐述，使用权得序参量概念更另丰富和深刻。

与相变理论相比，协同学序参量变概念有如下特点；

（1）       由于协同学研究的是由大量组分构成的系统的宏观行为，所以引入的序参量是

宏观参量，用于描述系统的整体行为；

（2）序参量是微观子系统集体运动的产物、合作效应的表征和度量；

（2）       序参量支配子系统的行为，主宰着系统演化过程。