Monday, January 26, 2015

时空 （能量）尺度 正规化尺度 固体中的声子本来是晶体格子振动的模式，所以本来是非连续的有限自由度系统。用声子场描述之，是低能近似的结果。在接近及小于晶格间距的尺度上，用以描写声子的场论自然不合用了。所以，晶体本身为声子场理论提供了一个自然的正规化：将时空在晶格尺度上离散化为有限维系统，并宣布理论在此（能量）尺度以上失效。这里的晶格尺度，就是前文提到的正规化尺度Λ

固体中的声子本来是晶体格子振动的模式，所以本来是非连续的有限自由度系统。用声子场描述之，是低能近似的结果。在接近及小于晶格间距的尺度上，用以描写声子的场论自然不合用了。所以，晶体本身为声子场理论提供了一个自然的正规化：将时空在晶格尺度上离散化为有限维系统，并宣布理论在此（能量）尺度以上失效。这里的晶格尺度，就是前文提到的正规化尺度Λ


PDF]第十章：重整化群理论
staff.ustc.edu.cn/~chenzyn/lectures/chapter10.pdf
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以Ising模型为例，（格点）哈密顿量为. 把晶格分为大小的单元块，定义块自. 旋. ，它可写为原来格点的平均：. 变换后新的哈密顿量为：. 这就保持了对称性，只需.
 
 
这个因子正好是一个对数，是两个尺度之比
 
黄淼鑫
2009-9-16 18:31:11
  
 
http://www.swarma.org/swarma/detail.php?id=11545    
第一个问题，多看看资料就知道了。第二个问题有点难度，我胡乱说说看法 供参考。重整化与“标度”密切是相关的。我们看一个强相互作用例子，在Yang-Mills理论中，有一个没有量纲的耦合常数，两个不同尺度上的耦合常数相差一个因子，这个因子正好是一个对数，是两个尺度之比。
g^{-2}[L]=bln (L′/L)+g^{-2}(L′)
显然，如果b是正的，那么尺度越小，耦合常数越小。现在如果我们假设当耦合常数等于1时，这尺度的本身为一个长度量纲，那么这个长度量纲就有了绝对的意义，因为当尺度小于数百倍时，物理现象则完全不同了。[这种耦合常数的因子变化是一种量纲突变]其实，对于广义相对论和量子物理理论，人们也正在梦想通过重整找到那些无量纲标度。标度不同的貌似不相干的系统，存在着无量纲函数联系是具有非常深刻的物理意义的。
再如精细结构常数,是物理学中一个重要的无量纲常数，α=0.007297352533。爱德华·特勒等人提出精细结构常数与万有引力常数之间可能有一定的联系（但在这样的标度来认识，还需要更多的时间的）。所以倒过来看重整问题的话，是由于有重整的存在基础，所以要“重整化群”，并特别关注其临界变化。实际上，不管什么Fourier变换，小波分析，分形等都可以看成是一些变换群，而诸如什么正交、内积等等只是这些变换中的一些定义而已。当然，都有各自的背景，例如，小波在L2 （R）变换以及刚体的在R3运动的正交对应。至于在具体方法上，比如在晶体结构研究中，重整化群就有晶体分形与平移、转动的选择与区分。在标度不变的理论中，无量纲的数是分形不变的。狭义地说，小波，分形是对一类变换群的描述，而重整化群更多地是一种描述的方式。他们的异同也有狭义与广义之分，狭义的说，在各自处理的问题领域，差别还是很大的。广义地说，基于变换群而言，没有什么本质上的差别。至于数据结构问题，都是我们对时间认知的定义（这句说得有点远了，呵呵）

  • 2014-08-06

    律学小记 - [与人乐乐]

    1.
    最近看到不少人人好友转发一篇关于“数学和音乐之关系”的日志，大致涉及到了（例如钢琴琴键的）音高应当如何确定的问题。可在我看来，此文就关键问题只是隔靴搔痒，并未切中要害，且行文并不明净，难以卒读。可另一方面，我相信，诸如“音阶的高度应如何确定”这样的问题，对于和我一样有理科背景的音乐爱好者来说，是极富趣味和吸引力的。于是有了写这篇小文的想法。我自然不是专家，对这些问题的些许知识，仅限于此前读过的一点律学书。好在律学，就其基本内容而言，并非高深的学问。有理科背景的读者若想明白这些道理，应该是易如反掌的[1]。
    简言之，本文要讨论的内容大致起源于这样一些朴素的疑问：
    1、 为何是十二平均律？亦即，一个八度内的音何以需要（按等比数列）作12等分，而不是10等分、或者13等分？
    2、 为何要在12个半音音阶内选出特定的一些音级，以构成大调音阶、或者五声音阶？这种选择是纯然基于文化习俗、还是另有物理的原因？
    3、 何谓谐和的音程？为什么纯五度谐和而增五度不谐和？更尖锐地：为何小三度谐和而增二度不谐和，即使它们依十二平均律是相等的音程？再一次：谐和与否的判据，在何种程度上基于习俗的约定、何种程度上来自物理的考虑？
    4、 据Pythagoras学派说，和谐音程的诸频率具有简单的整数比。但是十二平均律的12个半音级中，任何两个音的频率比都是无理数。这如何解释？
    这些问题的答案，有的很容易想到，另一些则未必。同时，这些问题也相互关联。我并不试图在下文完全回答它们，而只是简单地展开之。

    2.
    让我们以一些老生常谈开始。具有固定频率的单频谐振动，被人耳反应为一定的音高。例如，A4音（旧称a1）的频率通常约定为440Hz。实际上，乐器很少能发出单频谐振动，而往往是在一个较强的单频模式上，叠加若干较弱的高频模式。这里，频率最低、幅度最大的模式，我们称之为基音，而其上较弱的高频模式，称之为泛音。当泛音的频率是基音的整数倍时，它们就不易为人耳所单独察觉，而是起到修饰音色的作用，其总的效果是，我们听到了一个具有固定音高（等于基音频率），同时具有特殊音色（由泛音频谱决定）的乐音。在这方面，弦乐器和管乐器都是典型的例子。反之，如果在基音上方叠加的高频模式并不是基音频率（基频）的整数倍，我们的耳朵通常就不会听出固定的音高，从而将其识别为噪音（这里并非在噪音的日常意义上使用之）。典型的例子如各种打击乐器[2]。
    人耳对频率的响应，如同对响度的响应，具有对数的模式。所谓相等的音程，是指频率比的相等而非频率差的相等。所谓八度，是指频率比为2的音程。如此一来，只要确定一个音的频率，其上下八度间隔的各个音的频率也就确定了——无非是乘以2的整数次幂[3]。请注意这里的逻辑：我们为行文方便计，将2倍频定义为“八度音程”。至于“八度”，则来自大调音阶的约定，并无特殊的理由。而为何是大调音阶，确是有待回答的问题。
    只有八度音程的音乐自然是过于单调了。我们仍需在一个八度之内添入新的音。这些音的频率该如何指定，正是我们现在要解决的问题。
    为叙述方便，让我将频率的单位取为八度之内第一级音的频率。如此一来，一级音的频率就是1，而其上八度音的频率就是2，其下八度音的频率就是1/2。
    另一个重要的约定是，由于此后我们只关心一个八度之内的音，所以将相差若干个八度的两个音视为等同。换言之，我们将频率模掉2的任意整数次幂。这样，我们所关心的频率只在1到2之间取值。例如，前述的自然泛音列具有频率 (1, 2, 3, 4, 5, 6, …)，按照此处的约定，它们在一个八度内所对应音高的频率就是 (1, 1, 3/2, 1, 5/4, 3/2, …)。当然，这并不单纯是约定，而和人耳的听觉特性有关。否则，我们就会问，为什么要模去2的整数次幂而不是，比如说，3/2的整数次幂？一个可能的回答是，2倍频处于自然泛音列的第一级，在所有泛音中，其响度通常最大。这种与基频长期的共生，大概会使我们的听觉倾向于将这两者视为相同的音。

    3.
    如此一来，可以立即依定义写出十二平均律中各音高的频率值，如下图：

     这图一目了然：十二平均律即将八度音程（2倍频）按等比序列作12等分。
    由此我们立即明白，十二平均律的明显好处，就是“平移不变性”：将八度之内任意音重新认作第一级音，则其上八度之内的十二个音的间距（在等比例的意义下）仍然不变。这对音乐的移调自然是重要的。
    为了以下行文方便，我们在此借用十二平均律的好处，将其半音音程（2的十二分之一倍频）按等比例作100等分（或者干脆，将频率取对数然后作100等分），并将其中的一份的音差（即2的1200分之一倍频）称为1音分（cent）。如此一来，十二平均律的每个半音都是100音分，每个全音都是200音分，而八度则是1200音分。音分和频率的换算公式，这里就不详列了，因为实在是很简单的算术。
    此刻我们立即遇到之前提到的两点疑问：一是，为何是12平均律，而不是随便的13、14、15平均律？——如果我们想到任何“平均律”都有平移不变性，都适合移调，那么这个问题就很突出了。二是，12平均律的任何两个音的频率比都不是简单的整数比，我们为何会听到和谐的旋律呢？（比如，请试听Bach平均律键盘曲集第一卷的C大调前奏曲[试听][4]。）
    这其实是相互关联的两个问题。音乐的奇迹，律学的纠结，都在于此。其答案，一言以蔽之，就是如下约等式：
    二分之三，显然是自然泛音列第二泛音与第一泛音的频率比，这样简单的整数比，按照Pythagoras学派的看法，当然也依照我们耳朵的意见，是谐和的。另一方面，十二平均律的第八级音，2的7/12次方，与之仅有2音分的差别（即五十分之一个半音）。这微小的差别基本无法为人耳所分辨。因此，十二平均律的纯五度（即700音分），应当是足够谐和了。
    那么其余各音呢？为理解之，这里考虑另一种“有理的”律制。其出发点是：既然“7个半音”很接近3/2倍频，那么不妨就取7个半音的音程为3/2。又因为7与12互质，所以可取3/2倍频为生成元，上下行逐个生出十二个音。如果取C音为第一级音，则向上，我们依次得到：
    G, D, A, E, B, #F, #C, …… ;
    向下依次为：
    F, bB, bE, bA, …… .
    这样，每个音的频率都是第一级音的有理数倍。比如，上行序列前七个音的频率为：

    下行同理可得。这种以纯五度为生成元生出各律的律制，习称为五度相生律(circle-of-fifths system)。
    显然，在五度相生律的生律序列（而不是音高序列）中，距离第一级音（比如C）愈近，则愈谐和。所以，G、F都可与C构成谐和的音程，而#C、bA就不可。依照这种逻辑，我们大概会觉得，构成大三和弦的第二级音（如C-E-G中的E）在生律序列上离第一级音过于远，以致大三和弦不如我们期待的那样谐和。一种解决的办法，是在纯五度=3/2的基础上，引入大三度=5/4，用这两个生成元同时生律。由之而得的另一种更复杂的律制，习称纯律(just intonation)。此不详述。
    五度相生律有一个独特的性质，在十二平均律是没有的。那就是，如过我们按照上下行生律序列继续下去，就会发现，#C和bD并不是等音。实际上，#C比bD高24音分，约合1/4个半音。这似乎有助于理解，为何小三度谐和而增二度不谐和：因为在五度相生律的生律序列中，bE距C较近，而#D距C则远得多。
    你也许早就看出五度相生律的麻烦了：它的生律序列，无论上行下行，在生完12律之后，并不闭合。同时，在这种律制下移调，也是蛮复杂的问题，不若十二平均律那样简单。有趣的是，西方音乐和中国音乐对律制的探索，都以五度相生律始，最终都达至十二平均律。现在，十二平均律公认的最早提出者，是明代的朱载堉（1584年）。
    关于十二平均律，我们尚未回答的问题是：除了纯五度，十二平均律其余各音的谐和性如何？既然我们已经有了一种“有理”的五度相生律，那么不妨将这两种律制中的每个音逐个比较，以见其差别。你大概早已想到，这差别的音分值按生律序列成等差数列，如下图所示。

    此图的纵坐标是音分值。可见，两种律制最多不差15音分，略大于半音的1/7。所以，十二平均律的和谐性，大概不是严重的问题。

    4.
    最后，我们回到本文一开始提到的问题：为何是十二平均律？
    我们已经看到，如果从五度相生律出发，去寻找一种具有周期性和平移不变性的律制，大抵会找到12平均律，而不是别的。但这并不意味着十二平均律是唯一可能的平均律，换言之，在其它平均律中，我们也常能找到与（比如说）纯五度相近的音程。
    A. Schoenberg用自然泛音列来说明十二平均律、大调音阶，以及半音音阶的由来[5]。按照他的说法，基音（比如C）上的前六个自然泛音，加上其上属音（即基音上方纯五度，比如G）上的前六个自然泛音，以及其下属音（基音下方纯五度，比如F）上的前六个自然泛音，除去冗余的音（即模2的整数次幂相等的音），即得大调音阶。（请读者自己验证。）这就是为什么要在12个音中选出那7个音（C,D,E,F,G,A,B）作为“白键”的原因。
    Schoenberg继续说，如果将基音及其上下属音上方的自然泛音列从前6个扩展到前12个，就得到了12个半音音阶。按照他的说法，就像物理规律挑出了我们听来十分谐和自然的大调音阶一样，他的十二音作曲法，也有物理规律的支持。这种说法有多少道理，我并不清楚。比如，这种辩护至少也可用于中国的五声音阶。同时，我们还可以怀疑两点：一是，第七个、以及更高的自然泛音，在通常情况下都极弱，难以为人耳分辨。二是，从第7到第12泛音中的好些音，与十二平均律的半音有相当显著的差异。比如，基音上方第11泛音合551音分，介于十二平均律的F与#F之间。
    事实上，我们完全可以考虑其他可能性，6平均律，19平均律，24平均律，等等。可以想象，这些律制将产生非常特别的调性音乐——至少对于熟悉西方音乐传统的耳朵来说。比如，6平均律正好对应于八度之内的全音阶。一个应用全音阶的例子是Debussy的《前奏曲》第一卷第二首的开始两小节[试听]。再如，24平均律[试听]是阿拉伯音乐的基本的生律法。考察其他文化传统中的音乐，或者考察20世纪以来的各种探索，种类繁多的平均律更是不胜枚举。
    简单总结之，单从物理的角度看，律学的主要问题是谐和性、周期性与简单性三者之间的矛盾[6]。十二平均律相当漂亮而平衡地调和了这组矛盾，从而能够成为一种广泛使用的律制。
    同时我们不应忘记，律制的选择和差异，并不单纯是物理或数学的问题，它同时还受到不同文化背景的影响。我以为，单纯从物理规律出发为某一种律制辩护的方式往往是十分可疑的。
    另外，人耳对音高的听辨显然有一阈值[7]。低于10音分的差别，一般来讲就很难听出了。作为对比，小提琴手揉弦的幅度，通常在50音分左右。在实际操作中，注意到不同律制间的差异有时是重要的。比如，纯律和十二平均律可有十几音分的差异。所以，普遍使用纯律的小提琴与使用平均律的钢琴在合奏时可能就需要注意到这差别。可是，如果离开这些实际问题，单纯讨论这些相当平凡的算术，就显得过于学究气了。
    所以我们不妨就此停住。

    ----------------------------------
    [1] 即使如此，仍然得说，我无法像在此前关于物理的日志那样，保证这篇文章的专业性。以我有限的经验看，此类知识性的文章，若非出于本行专家之手，即使可以做到叙述正确无误，也不易保证纯正的品味。所以我请读者提防这个危险。另外，这篇文章不是科普，我无意为每个术语作花哨的名词解释。所以请读者去wiki自行搜索那些不明白的概念。
    [2] 对波动方程有经验的读者会很容易理解这一点：管乐器的振动体是空气柱，弦乐则是琴弦，所以都是一维的。一维波动方程的模式呈等间隔排列，所以高频模式的频率自然是基频的整数倍。与此相对，打击乐的振动体通常是二维（鼓、钹），其高频模式往往不是基频的整数倍，所以很难被耳朵听出确定的音高。在轴对称的情形（如大鼓），请回忆Bessel函数的节点。当然，如定音鼓、编钟等乐器能奏出近似但不纯净的乐音。这是由于它们的形状经过了特别设计，接近整数倍频的模式被特意强化了。
    [3] 暂不考虑人耳的听觉在远离中频时的非线性。
    [4] 1、Bach的十二平均律钢琴曲集，依原文Das Wohltemperierte Klavier，本意是为调律良好的键盘乐器所写的音乐，并无平均律之意。但这些遍历24个大小调的作品的确显示了十二平均律在移调方面的优势。2、本文所用各音频资源均来自wikipedia或IMSLP，以下不再标注。
    [5] A. Schoenberg, Style and Idea, Philosophical Library, New York, 1950.
    [6] 这让我们立刻想到另一个非常相似的例子，即历法学。在那里，需要调和的矛盾是地球自转、公转，以及月球转动的周期不可“通约”。
    [7] 请试听相差1音分的两个音首先分别演奏、然后叠加演奏的效果[试听]。再试试6音分[试听]和10音分[试听]。你应当能够听出这些细微音差在叠加后形成的拍。你也可以用诸如mathematica之类的软件试验更多的例子。

    Tag：音乐 律学
    鲜于中之 发表于19:31:00 | 阅读全文 | 评论 0 | 编辑 | 分享 0

  • 2014-02-20

    重整化辨义（一） - [且来悟理]

    §1 引言
    如果说相对论和量子论代表了现代物理学的两大理论基石，那么从这根基上成长出的最丰硕的成果，大概非量子场论莫属了。作为当代理论物理的标准范式之一，量子场论在好些方面都超出了早前的物理理论。首先是其应用的范围。从基本粒子物理，到凝聚态物理与生物物理，再到宇宙学，几乎穷尽了经验世界所有的尺度。其次是其精确性。作为量子场论典范理论的量子电动力学，是人类迄今所创造出的最精确的理论，其理论与实验十几位有效数字的吻合，为人津津乐道。
    或许有人会说，量子场论之复杂艰难，也超过了任何早前的理论。而这倒未必。我觉得，这复杂和艰难很有可能只是由于场论的建立相对晚近，我们理解它的方式仍不够恰当、不够直接。也许物理学家需要经过更久的反刍，才能降低目前理解场论所需的势垒。不过可以聊以自慰的是，似乎任何全新的理论在初创时都是难懂的：我们都知道，Einstein在发明广义相对论后不久，有人对Eddington爵士说，世界上仅有2.5个人懂得它。可是，如果现在还有谁试图用这个故事来鼓吹相对论有多么难懂，我倒想和他分享另一个故事：《自然哲学的数学原理》成书时，有人评价道，Newton写了一本自己都看不懂的书。
    不过话说回来，对多数初学者而言，量子场论的曲折繁复，是确凿无疑的。就我极有限的观察，在那些纷繁芜杂的概念中，没有什么比“重整化（renormalization）”引起了更多的误解。有意思的是，初学者的那些典型误解，正是老一辈学者的观点。最典型的例子是Dirac。他说：
    “多数物理学家对此状况已非常满意。他们说：‘量子电动力学是个好理论，我们不必再为它苦恼了’。我必须说，我对这状况非常不满意，因为这个所谓的‘好理论’要忽略无穷大，要任意地忽略方程中的无穷大。这不是好的数学。好的数学是，你忽略一个量是因为它小——而不是因为它无穷大、而你又不想要它！”[1]
    很明显，Dirac根本没有理解重整化的正确涵义。请注意，他说这话时已是1975年，彼时Wilson关于重整化群的文章业已发表。不过我们自然不可强求Dirac去理解重整化群，因为老一辈学者经常是无可救药的[2]。可是，如果今天还有谁要坚持Dirac的这种看法、还因为自己不正确的理解而攻击重整化本身，那又何异于成天反相对论的民科呢？
    所以，我希望在此文中讨论重整化群理论的若干细节，以期有助于澄清某些常见的误解，包括刚才提到的Dirac式误解，也包括我自己在初学场论时时所持有的误解。如我的其它同类文章，在正文前，有必要作几点声明。
    首先，我避免将本文做成教科书或讲义。所以，阅读本文不可代替阅读严肃的教科书，更不可代替亲自推导。事实上，若想对量子场论的任何概念有较扎实的理解，亲自推导是不二法门。我以为，单是数学推导的硬功夫有时就足以消除一些习见的误解。
    同时，我也避免将本文做成科普，因为我希望澄清误解而不是创造误解。可是据我看，没有什么比科普创造了更多误解。所以，我会尽力将故事的逻辑解释清楚，但偶尔也会不加解释地使用一些并不初级的概念。我当然欢迎所有读者，但我设想读者至少有物理专业的背景。对于离理论物理较远的读者，我只能抱歉地说，读到哪里算哪里。如果遇到奇怪的符号或概念，就当作咒语吧。
    为了清晰起见，我们只讨论量子场论的传统理论。此处所谓传统理论，在历史上是指物理学家从量子电动力学到重整化群理论的建立这段时间（1940s-1970s）所发展的场论，在技术上，则指相对论性的、具有经典极限的微扰量子场论。虽然更现代的非微扰方法提供了更有趣、并且也许是更重要的视角，但对本文而言，传统的微扰量子场论已经足够。
    最后，我绝不敢妄称自己对这些理论有怎样完备的理解，所以错漏实在难免。不当之处，请读者指正。

    §2 QFT in practice: 一切都是输入输出！
    让我们以一个问题开始，即，作为一种物理（而不是数学或者形而上学）理论，量子场论如何工作。
    大体上，和其他物理理论一样，量子场论可被视为输入输出系统。输入和输出端是可观测量，而其内核，则是一套数学公式体系。一种理论的物理意义就在于，将有限的可观测量输入理论后，理论可以通过公式体系的演绎，给出确定的、可供实验与观测检验的输出。至于这理论内核中的概念是否有经验世界的对应物，则不是物理理论所要解决的问题。
    在量子场论的情形，输入输出端是关联函数。粒子探测器的计数、材料对激发的响应、宇宙的大尺度结构，这些可观测量在量子场论中都可化为关联函数。因此，将场论与实验观测建立联系，需要做两件事情：一是将观测量与关联函数建立联系，二是用理论计算关联函数。前者依赖于具体应用的场合且与本文关系不大，所以我们假设这一步已经做到，从而将关联函数径直视作可观测量。而后者，就是本文的中心问题。现在让我们讨论之。
    至少在本文所关心的情形，关联函数总可被表达成路径积分，且这路径积分总能从配分函数通过泛函微商求得。因此，问题划归为计算配分函数。配分函数也是路径积分，它由两部分构成：被积泛函与积分测度。被积泛函是以经典作用量为相角的纯相位，而积分测度，一般来说是没有定义好的。我们或许可以像定义有限维线性空间的积分测度那样，将每个方向的微分形式简单地“乘”起来，但对于无穷多自由度来讲，这样做没有定义：正如简单地将所有自然数相加没有定义一样。因此需要其它更聪明的方式来定义这个测度。在场论中，为路径积分的测度赋予定义，就叫做正规化。
    至于在实际应用中，我们极少直接定义此测度，因为我们通常并不计算配分函数，而是用微扰论，亦即Feynman图的方式，去逐阶计算散射矩阵元。这逐阶展开的参数，通常就是Planck常数h， 而展开的阶数，就是Feynman图的圈数。通常，领头阶，即“树图”，亦即h的零次项，并不依赖于泛函积分测度的定义，换用物理学家的术语，就是不依赖于正规化。所以，如果你只关心这一阶的结果，那的确不需要去为定义泛函积分的测度而费神[3]。但是，当我们计算圈图的时候，就会遇到麻烦：泛函积分测度无定义，在此就表现为圈积分的无穷大。这就是一切麻烦的根源。
    于是，在圈图计算中，正规化的意思是，为圈积分找到合适的定义。这个问题很像为所有自然数的和找到一个定义。一旦被定义好，原来发散的圈积分就收敛于有限大的值了。
    表面上看，这里所谓合适的定义，有相当大的自由度。因为，正规化只是将理论定义好的一种手段，不属于可直接观测的物理。但不难想见的是，正规化手续，即下定义的方式，会以某种方式与真实的物理相联系。事实上，当加入来自物理的限制（例如对称性）之后，合用的正规化方式往往相当有限。特别是当理论的对称性很强、从而其限制也很强时，合适的正规化时常求之不得。比如我们至今似乎还不知道如何正规化一个超对称的规范理论，使超对称与BRST对称性同时得以保持。
    尽管如此，让我们暂时搁下这个问题，且假设已经找到了合适的正规化方法，并继续讨论量子场论如何工作。为确定起见，我们以量子电动力学（QED）为例。

    §3 QED: 如何输入？如何输出？
    QED的Lagrangian有两个未知参量（至少在表面看来如此[4]），即“电子质量项”的系数m0与电磁相互作用项的系数e0。所以我们需要至少两个输入量，才可以去计算更多可观测量。不要忘记，我们总是以关联函数为窗口做输入。所以，这里所谓的两个输入量，应该是出现在关联函数中的参量。若称这两个参量为A和B，则用 QED计算的结果应有如下形式：

    从中反解出m0和e0，则Lagrangian中的未知参数就变为已知了。于是，我们可以用这个Lagrangian去计算更多关联函数，并和实验结果比对。
    这就是QED工作的一般方式。当然，这是一个抽象且过分简化的叙述。现在，让我们在微扰论中逐阶解释之。
    在第一阶（即树图），一切都很简单：我们选取电子的两点关联 ，以及双电子-光子的三点关联，作为输入量。除去并不重要的运动学与对称性结构，这两个关联函数就是电子的质量m与电磁作用的强度e。在树图阶，对这两个关联函数的计算结果，就是出现在Lagrangian中的参数m0和e0。于是，以上方程简化为，

    的确，一切都很简单。但是请注意这个细节！我们并没有将m和e的测量结果直接赋给Lagrangian中的参数，而是赋给了关联函数。只是在树图近似下，这关联函数的理论结果恰好就是Lagrangian中的参数。无论如何，Lagrangian中的参数并不是可观测量。
    现在让我们将以上操作做到下一阶（一圈图）。在操作上，一切都照旧：我们需要通过两点及三点关联函数输入m和e两个参量，然后用它们反推Lagrangian中的未知量m0和e0。
    然而此时有两个新麻烦。一是，一圈图结果依赖于正规化，这一点前已述及。为确定起见，让我们将这结果对正规化的依赖记作对截断尺度Λ的依赖。另一个麻烦是，以上用作输入量的关联函数Γ，在一圈图中不仅仅依赖于参量m0与e0，还依赖于外动量p。考虑到这些复杂性，可知考虑进树图与一圈图之后，的计算结果应有如下形式：
    这里不写等号，是因为m与m0，以及e与e0，都是不依赖于外动量的数。但是它们的差，即F与G，却依赖于外动量。所以以上表达式显然不够正确。正确的表达式，需要考虑如何测量m与e。如果它们是在低能实验中被测量的，则应取p=0。可这并非绝对的限制。假如实验是在某个相当高的尺度μ完成的，那更自然地选取应当是p=μ。即，
    这个尺度μ被称为重整化尺度，而这种从理论上定义可观测量的方式（即，将关联函数中冗余的外动量固定在一个尺度的方式），叫做一种重整化方案。需要注意的是，重整化尺度无论如何不是由实验完全决定的，而可以人为选取。反解以上方程，可得，

    这样，我们就获知了Lagrangian中的未知参数m0与e0，并可以用它们来计算其他可观测量，如电子的反常磁矩。
    可是我们立刻会想到一个问题：经过这一套手续所得的Lagrangian的参数m0与e0，不仅依赖于实验输入m和e，还依赖于两个人为选取的参量μ和Λ——当然这本身不是问题，因为m0与e0属于理论的“内核”而非“接口”。我们的担心在于，用它们算出的可观测量是否也依赖于这两个人为选取的参量。当然，一个“好的”理论，其预言不应当强烈依赖于这些人为因素。
    我们将在下一节解释，对于QED而言，重整化的奇妙之处，就在于用m0和e0算出的任何可观测量，对重整化尺度μ和截断尺度Λ的依赖都很弱。（当然，从重整化群理论的观点看来，这个“奇妙之处”完全在情理之中。）你会对这种很弱的依赖感到不适吗？如果会，请不要忘记，我们在使用微扰论做计算，所以在有限阶，本不应期待精确的结果。

    §4 正规化方案？重整化方案？
    我们在上一节看到，在一圈图水平，QED对可观测量的计算结果依赖于两个人为的参量：截断尺度Λ和重整化尺度μ。其实这只是整个故事的冰山一角。请回忆这两个人为的尺度是如何被引入的。截断尺度来自正规化方案，而重整化尺度来自重整化方案。所以，可观测量的一圈图结果，不只是依赖于两个人为的尺度，而且是两种人为的计算方案。为理解这种依赖性的意义，让我们稍稍进入细节。
    先说正规化。前文已反复说明，正规化是定义路径积分测度的手续，在微扰论中，则表现为定义圈积分的手续。这种定义本身，原则上与经验世界并无直接对应，而纯粹是人工的产品。至于这样从心所欲的定义是否恰当，则要看由此导致的理论是否能通过实验观测的检验。实践中，最重要的检验来自对称性。我们在经验世界中观察到了很多很好的对称性，如相对论的时空对称性；我们在理论的构造中还可能因自洽性要求而不得不引入一些形似对称性的冗余自由度，如规范对称性。为了在量子场论中保持这些对称性，在定义正规化时自然要小心。对于时空对称性这种经验世界中的对称性，如果我们再做正规化时能保持它，自然很好；如果不能，亦非大碍，只要由此计算出的可观测量与实验结果吻合即可（这其实相当不容易！）。但是，对于规范对称性这类由理论自洽性要求的产物，正规化非保持它们不可。
    但在实际操作中，我们选取正规化方案，时常也会受到物理的启发。姑举一例说明之。固体中的声子本来是晶体格子振动的模式，所以本来是非连续的有限自由度系统。用声子场描述之，是低能近似的结果。在接近及小于晶格间距的尺度上，用以描写声子的场论自然不合用了。所以，晶体本身为声子场理论提供了一个自然的正规化：将时空在晶格尺度上离散化为有限维系统，并宣布理论在此（能量）尺度以上失效。这里的晶格尺度，就是前文提到的正规化尺度Λ [5]。
    由此不妨设想，时空本身也是离散的格子，只是这格子的间距极小，比当前对撞机所能达到的尺度还小得多，所以尚未被看到。如此一来，我们便可用晶格的方式做正规化，只要正规化的尺度Λ足够高，比高能实验中的典型能量尺度还高得多，则这种正规化方案似乎就合用，无论时空本身是否真的是晶格。
    然而在粒子物理中，我们极少使用晶格正规化（除非做格点计算），而是它的各种修改版，因为晶格正规化显然破坏时空的连续对称性。但是，这些修改版中，截断尺度Λ的物理意义保留了下来（虽然在维数正规化(dimensional regularization)中这不甚明显）。所以，总的想法是，只要这截断尺度足够高就行了。
    再说重整化方案。它比正规化方案简单地多。请回忆，在前一节中，我们用电子质量m与电磁作用强度e这两个观测量，在关联函数的外动量p等于一个特定的尺度μ时，为理论做初始输入。但这不是唯一的做法：只需注意到Lagrangian中有两个未知量，所以我们大可取任意两个“相互独立的”可观测量（比如各种四点关联函数），在任意的尺度μ做输入，然后将两个未知量反解出来即可。这种对输入量和输入尺度的选择，就叫做重整化方案。
    明白了这些，我们就可以解释，用QED的一圈图所算出的可观测量，在多大程度上依赖于正规化方案和重整化方案。
    仍然先讨论正规化。在上一节末，我们提到，用QED的圈图展开计算可观测量的结果，对截断尺度Λ的依赖很弱。现在我们来刻画这里的“很弱”有多弱。如果我们选择的正规化方案正确（比如，保持了所需的对称性），则由此计算出的可观测量对截断尺度Λ的依赖，总是形如，其中E是可观测量所在的典型能量尺度，而n是正整数。现在，既然Λ是一个任取的高（能量）尺度，则总可以将其取得任意高[6]，从而可观测量对截断尺度的依赖就任意弱，所以总可以弱到实验测量的精度之内。因此，对正规化的依赖，不是问题。
    请注意，我们单是陈述了这种依赖很弱，但并没有解释其原因。此处我们暂时不解释它，并将这视为一种“奇迹”。物理学家管QED的这种“奇迹”叫做“可重整性”，即是说，QED是一个“可重整化”的理论。反之，我们也有不可重整的理论，如广义相对论。如果说可重整性是奇迹，那么不可重整就是灾难。然而物理理论不是圣经，充满“奇迹”或“灾难”的故事自然无法令人满意。然而事实上，直到七十年代之后，物理学家借助重整化群理论，才理解了，为什么可重整的理论不是奇迹，而不可重整的理论不是灾难。这一点，我们将在以后解释。
    现在我们讨论可观测量的理论计算结果对重整化方案的依赖性。按照前文，重整化方案包含两部分，一是选取作为输入的可观测量，二是选取输入的尺度μ。
    关于输入量的选取，我们在QED中看到，选取电子的质量m和电磁作用的强度e，（至少在树图）可以简化表达式。然而在实践中，简化表达式的选取并非最佳，因为输入量自身携带着实验精度的限制。所以，最佳的方案，时常是选取那些实验上测量地最精确的量。事实上，这正是电弱理论的标准做法。所以，选取不同的输入量所引起的差别，一部分来自实验的误差，另一部分，来自微扰计算的误差，也就是忽略了更高圈图的误差。
    至于输入尺度μ，一般而言，圈图结果对它的依赖时常形如，其中E是实验的典型能量。所以，在理想情形下，选取μ=E可使圈图结果为零，亦即，树图结果就足够精确了。然而，可观测量所对应的关联函数时常依赖于好几个能量E。所以在实际操作中，选取μ的方法往往是使得高圈图的修正尽量小。
    所以，尽管对可观测量的计算结果依赖于人为地重整化方案，但这依赖是可控的：它们一方面来自实验误差，一方面来自微扰计算的误差。所以，如果假设实验误差为零，同时假设我们能算完微扰论的所有阶，那么结果应当完全不依赖于重整化方案。实践中，虽然这两假设都不成立，但此结论告诉我们，计算到微扰论的越高的阶数，使用不同重整化方案所造成的差别就越小。下面两张图来自QCD的实际计算[7]，它们形象地展示了这个结论。
    点击查看原始尺寸
    这两张图展示的计算结果是标准模型的Higgs粒子衰变到一对正反b夸克的衰变宽度（即衰变率的倒数），作为Higgs粒子质量的函数。两张图使用了两种不同的重整化方案。在每张图中，自上而下的曲线对应于微扰计算的阶数逐渐升高的结果。可以明显看到，随着计算到微扰论的更高阶，两种方案的结果越来越接近。同时，这两张图也清晰地展示了，随着阶数的升高，每一阶产生的修正在逐渐减小。这意味着，量子场论的微扰计算方法是可行的。

    §5 正规化和重整化是严格的理论吗？
    我希望上文已将量子场论工作的逻辑，以及正规化与重整化的初步想法讲清楚。在这过程中，我有意避免重复标准教科书的内容，而另取一种进路，介绍了量子场论，作为一种可以实际工作的理论，而不是板着脸吓唬人的理论，是如何运转的。请注意，自始至终，我们没有遇到“无穷大”的概念。所以Dirac式的质疑不攻自破。
    与此同时，我想着意说明的是，我们面对的是一个精度有限的世界，所以并不在意绝对精确的结果，而允许有误差。只是，我希望通过上文已讲清楚，量子场论的微扰计算，尽管有误差，这误差却是可控的。的确，正是有了这套良好可控的计算手续，量子电动力学才有机会成为人类迄今为止所创造的最精确的物理理论。
    如果有时间，我会在以后的文章中继续讨论更晚近的重整化群理论。但在此之前，我想谈谈，上文所描写的这套量子场论是否是严格的理论。之所以讨论这个问题，是因为我时常见到两种相反的意见。第一种意见说，量子场论中到处是无穷大，一片混乱。我们已经花了很大篇幅解释，为什么这种意见应该被扫进历史的垃圾堆。但另一种意见说，量子场论是可以被严格化的，同时，他们搬出处理路径积分的各种高深数学理论，并对那些认为重整化是耍流氓的同学说，读完这些艰深的数学，你就明白为什么路径积分是正确的了。
    出于物理的角度而不是数学的角度，我个人对此问题的认识是这样。以本文描述的正规化的方式所建立起来的量子场论，可以被做成数学上严格的理论。——毕竟，如果用晶格正规化，我们所做的不过是有限维线性空间中的微积分。所以，这种严格化的方式甚至不需要借助任何高深的数学工具，也许大学一年级的数学知识就足够了。
    但是有同学会问，如果换用另一种正规化呢？如果用动量截断正规化、或者维数正规化呢？——在这种情形下，这些正规化很可能只在微扰论的固定阶上有效，对于整个路径积分而言，它们很可能是没有被定义好的。但是，只要我们在做微扰计算，那就不是问题。这就是物理学家明知regularization by dimensional reduction（维数正规化的改进版）在高圈图是不自洽的，却仍然用它来处理超对称理论的原因。
    但是，我得说，本文所描写的这套做法，极有可能不是量子场论在数学上的最终形式，即使它可以被严格化。事实上，我们这样处理量子场论的方法，很像Newton当年用几何学的无限分割处理微积分的方法。Newton用这套办法建立的力学是严格的理论吗？——如果我们承认实际测量的总是有限长的时间和有限长的距离，那么用Newton力学和实验比照时，就只需涉及有限量的比和有限量的求和，所以根本不需要导数和积分——你只要把那个区间做得足够小，就可以获得足够的精度。在这种意义上，由于只涉及四则运算，可以说这样的理论在数学上是严格的。换言之，我们用有限区间为Newton的那套涉及无穷量的运算提供了一种“正规化”。
    我们当然知道，这不是最终的故事。实际的情形是，19世纪的数学家为Newton的微积分建立了严格的数学基础。至于物理学家，他们也从来不用有限区间的方式，亦即Newton在《原理》中所描写的那套繁琐的方式，去理解Newton力学，而是径直使用微积分。但是我想说，之所以如此，绝不是因为数学家已将微积分严格化，而是，使用微积分比处理有限区间的求和要简便得多。
    所以，我的想法很清楚：也许数学家会在将来找到一种将量子场论以不借助于正规化的方式而严格化的方法，并且，这种方法比正规化的方式要简便地多容易地多。但是在此之前，对于物理学家来讲，如果单是为了理解重整化理论，那些高深的数学就纯属多余。

    -------------------------------
    [1] 本文作者译自renormalization的Wikipedia词条，转引自Kragh, Helge ; Dirac: A scientific biography, CUP 1990, p. 184。
    [2] Max Planck说：“新生的科学真理并非通过说服它的反对者而取得胜利，而是，它的反对者最终死去、熟悉这真理的新一代成长起来。”
    [3] 至于为何树图结果不依赖于泛函积分测度的定义，有一种直观的理解。如所周知，在通常的配分函数中，被积泛函是经典作用量的指数，它包含经典理论的所有信息。而路径积分的测度，则包含相应的量子理论的信息。正文中又提到，树图结果通常不依赖于Planck常数，所以基本上是经典理论的结果，所以自然不会依赖于路径积分的测度。
    [4] 更仔细的讨论，须考虑电子场与光子场的归一化。但由于QED的规范对称性，它们并不是独立的量。所以为清晰起见，我们在下文中亦不考虑这两种归一化的量子修正。
    [5] 我们使用自然单位制，所以混用空间尺度和能量尺度。
    [6] 我请内行的读者在此暂时忘记QED的Landau极点。
    [7] A. L. Kataev and V. T. Kim, arXiv: 0902.1442。

    Tag：物理 场论 正规化 重整化
    鲜于中之 发表于04:48:00 | 阅读全文 | 评论 0 | 编辑 | 分享 0

  • 2013-11-29

    [译] 捷尔吉•里盖蒂：练习曲 - [翻译作品]


    练习曲[1]
    捷尔吉•里盖蒂 / 鲜于中之 译
    我是怎样想到去创作高度技巧化的钢琴练习曲呢？最初，首要的动机是我自己钢琴技巧的不足。在我小时候，家里唯一的乐器是留声机。我对着录音狼吞虎咽。十四岁以前，我都无法说服父母让我上钢琴课。由于没有钢琴，我只好每天去熟人家练琴。十五岁时，我们终于租了一台大钢琴。
    我渴望成为了不起的钢琴家！我懂得很多击键的细节、分句、弹性节奏和形式结构。而且我绝对热爱弹奏钢琴，不过只弹给我自己。为了获得干净的技术，钢琴练习必须从青春期之前开始。但我已经错过机会，没有希望了。
    所以，到目前为止，我的十五首练习曲（我还想写更多！）正来自于我自己的无能[2]。塞尚的透视技术有问题。在他的静物画中，苹果和梨快要滚起来了。他对实物笨拙的描摹把桌布的褶子弄成了硬邦邦的石膏。然而，那些和谐的色彩，感情充溢的几何构造，线条、形体和重量，当塞尚将这一切结合起来之后，他创造了一个怎样的奇迹！“化腐朽为神奇”，这正是我想实现的。
    我将十指搁在琴键上，想象音乐。当我按键时，手指将内心的图像复制出来，但这复制很不精确：于是形成了心像和触动（taktil-motorischer）间的反馈。这个反馈回路运转多次，间或通过记谱丰富起来：一个运转在我内心之耳、手指和记谱之间的水轮。结果听上去与我最初的构思完全不同：我双手的解剖学结构同琴键的结构一道改造了我的构想。此外，所有细节之间还需相互密合，齿轮必须相互咬住。至于密合的判据，这部分取决于我的想像力，在某种程度上它还依赖于钢琴的本性——我必须用手去感觉。
    对于一首恰当的钢琴曲而言，触觉概念与声学概念几乎同等重要。我从四位伟大作曲家那里寻求支持：斯卡拉蒂，肖邦，舒曼，和德彪西，他们皆以钢琴的方式思考。一段肖邦式的旋律线或伴奏型不止能被听到，它也是可触的形体，一连串的肌肉紧张。好的钢琴作品能导致身体的快感。
    在许多撒哈拉以南非洲文明的音乐中，这种丰富的声学与动力的快感有待探索。乌干达、中非共和国、马拉维等地的复调式木琴合奏，以及津巴布韦、喀麦隆等地的舌片琴（lamellophone，又称为mbira，likembe或sanza）独奏，促使我探索钢琴键盘上类似技术的可能性。（我深深受惠于Simha Arom，Gerhard Kubik，Hugo Zemp，Vincent Dehoux和许多其他民族音乐学者的录音与理论文章。）对我来说有两点重要的洞见：一是通过运动模式去思考（独立于欧洲式的节律观念）；另一点是，在两种或更多声音的组合中，捕捉旋律-节奏的错觉的可能性——没有弹奏，但能听见的错觉（类似于Maurits Escher “不可能”的透视法）。
    在《华沙的秋天》（Automne à Varsovie）[3]中，钢琴家用两只手似乎同时弹奏出两三种不同的节奏，有时甚至是四种。这段音乐是从3到4到5到7的某种增减值赋格。非洲音乐思想中超快的“基础脉搏”使这首练习曲中的复节奏（以及“复速度”）成为可能。但我只是借用了非洲式的律动技术，而非其音乐本身。在非洲音乐中，规律的击拍（通常通过舞蹈而不是演奏）支持着恒定时值的循环或周期。单独的击拍可被分成两三个，有时是四到五个“基本单元”或曰快速搏动。我运用基础脉搏，而非周期和击拍，作为根本的框架。我在《混乱》（Désordre）[4]中对重音的转移运用同样的原则，于是产生了模式变形的错觉：钢琴家演奏固定的节奏，但是重音的不规则分布导致貌似混乱的形态。对我来说，非洲音乐中另一个显著的基本特色是：对称与不对称的同时性。周期总是被赋予不对称的结构（比如，12个搏动被划为7+5），然而音乐家所构想的拍子按偶数次搏动进行。
    此外，几何领域（拓扑学的图形扭曲以及分形几何学的自相似样式）也影响了我，在这方面我深受Benoît Mandelbrot和Heinz-Otto Peitgen的激励。
    然后，是我对Conlon Nancarrow的钦佩！从他的《自动钢琴的研究》[5]中，我学到了节奏和小节的复杂性。他展示了一个节奏-旋律微妙性的完整世界，远远超出我们当时所认识的“现代音乐”的界限。
    爵士钢琴对我来说也是重要的因素，尤其是Thelonious Monk和Bill Evans。《虹》（Arc-en-ciel）[6]几乎就是爵士乐。
    不过我的练习曲既不是爵士乐也不是肖邦-德彪西式音乐，既不是非洲音乐也不是Nancarrow，并且肯定不是数学构造。我已经写了[有关这些《练习曲》的]影响和路数，但我实际创作的东西却很难归类：它既非“先锋”也非“传统”，既不是调性的也不是无调性的。而且绝不是后现代，因为将过去作讽刺性的戏剧化对我而言是陌生的。这些是技巧性的钢琴曲，在钢琴演奏和作曲意义上的练习曲。它们产生于非常简单的核心想法，但从简单性中产生了巨大的复杂性，就像成长中的有机体。

    ------------------------------------
    [1] 译者按：1) 这是匈牙利当代作曲家捷尔吉•里盖蒂（György Ligeti，1923-2006）于1996年为自己的《练习曲》而写的介绍性文章，载于SONY公司出版的唱片“GYÖRGY LIGETI EDITION 3”中的小册子。这里从David Feurzeig和Annelies McVoy的英文翻译，参照Ligeti的原文译出，省去了最后一段对几部作品标题的解释，以及对唱片中另一部作品的简短介绍。2) 对于专有名词，有定译的地名与历史人名，皆译出且不附原文；当代人名则使用原文。3) 本文的翻译未经任何授权，仅供学习参考，请勿以其他目的使用。欢迎指正。
    [2] 作曲家生前共创作了18首练习曲，最后一部作于2001年。
    [3] 《练习曲》卷一，第六首。Youtube的视频。
    [4] 《练习曲》卷一，第一首。Youtube的视频。
    [5] 优酷有若干《自动钢琴的研究》的视频。
    [6] 《练习曲》卷一，第五首。Youtube的视频。
    Tag：音乐
    鲜于中之 发表于22:31:00 | 阅读全文 | 评论 0 | 编辑 | 分享 0

  • 2013-11-26

    近作选四 - [风花雪月]



    上午八点
    每个人都得体
    餐具熟稔于回应恭维
    阳光试图溜进来
    报以微笑
    然而必须谨慎
    不知名的鸟唱着熟悉的调子
    一如家乡的午后
    风懒于流动
    躲进时间的褶皱
    忘记了呼吸
    10.15

    威斯敏斯特地铁站
    三维空间被钉在钢铁管道上
    灰色的呼啸从四周锻压
    口袋里书斜挤着犯着强迫症
    黑风衣的托卡塔
    总是被匆匆揉成一团被驱逐
    被固定在遗忘的绞刑架
    十二音序列咬紧牙冲撞翻飞
    头顶上钟声徐行
    10.16

    情歌
    下陷
    像语词陷入概念
    陷入梦境
    陷入遗忘
    陷入无可救药
    陷入，如同
    血液渗透肌肤
    星空浸于白昼
    愤怒凝为化石
    永恒烧成灰烬
    一瞬陷入永恒
    月梢陷入眼眸的一瞬
    10.27

    你所说的孤独
    多么灵活而流畅地扭动
    绒毛闪耀着白光的身躯
    一支单簧管用颤音调皮
    故意泄露出脚垫的余温
    阴影还躲在地球侧面
    胡须却碰到宇宙中心
    永远不知道它的来处
    秋风正翻过滑铁卢桥
    阳光精准于八小时转动
    声音沉淀在跳动的指尖
    据说有规律将世界固定
    好在它总能无视规律
    凝眸凭狡猾溜过栅栏
    轻柔地握住你的心跳
    10.30

    Tag：诗
    鲜于中之 发表于06:39:00 | 阅读全文 | 评论 0 | 编辑 | 分享 0

  • 2013-09-03

    神话 - [胡言乱语]


    （借用网上的一张图：藻井与大型强子对撞机上的探测器。因为它与本篇的主旨有某种奇妙的吻合。出处不详。）
     
    我周围的许多人，包括我自己，都有一颗被科学教育所改造过的头脑。你可以换用富于感情与偏见的词语，说这是训练，或者毒化。但总之是改造。这种改造使我们无法像古人那样虔信女娲补天嫦娥奔月的故事、或者上帝分开红海的奇迹。同时，我们藉此获得了这样的印象，那就是科学竟可以使我们比古人更高明，至少在关于经验世界的认识上。
    不论这种印象的对错，至少有一点可以确信：无论变得如何高明，我们关于世界的知识仍然是有限的。这一点与古人并无二致。自古至今，人必须习惯与虚茫无垠的无知共存。在这样的世界中，人似乎就获得了创造知识的本能，以抵御无知的恐惧。
    于是就有了神话。神话的叙事超越了经验世界，超越了人的有限性。它们填补在宇宙中各个黑暗的角落，以安慰渺小的我们。自古至今无不如此。只是，如果这安慰还算有些许效力的话，那么神话就必须在某种程度上为人所相信。而为了做到这一点，神话故事最好能和人的经验知识相容不悖。因此，随着人的经验知识的改变，神话故事的内容也要变化。——盘古开天后羿射日，在今天看来实在是不好使了。
    为了适应这种变化，请允许我在本文中暂时扩展“神话”一词的范围。当我提到神话时，我是指与当时的知识结构相容的、但未经验证的知识。在历史话语或宗教话语盛行的古代，这类未经验证的知识就沾上了我们在朴素意义上所谓的“神话色彩”。而在今天，在科学话语主导的世界里，未经验证的知识则应当有科学叙事的一般特点。
    在下文中我将放弃固执的科学所坚持的那些经验标准，以试图描摹出与我的知识结构相容的一套神话。无论如何我并不指望将它做成完整的故事，因为未知世界的开放性意味着它本不该完整。我也绝不妄称这是唯一的可能，因为每个人都可以编织一个不同的版本。再者，对于这样的故事，我们相信的程度也要大打折扣：这不是基于经验观察的相信，不是基于逻辑推理的相信，也不是基于宗教力量的相信，而是由于本身就无法验证、而被迫选择的相信。
    在我看来，故事应当这样开始：
    我们生活在一个已经存在了137亿年的宇宙——根据Planck卫星，也许137亿年并不确切，但我姑且这么用。在这137亿年的开端，宇宙极其炽热与致密。在经历了数万年的膨胀之后，它慢慢地冷却下来、同时也变得透明。引力使物质逐渐结成团块，形成恒星。再后来，大约46亿年前，有了地球这个复杂系统。它经过几十亿年的演化，居然可以形成我们称之为生命以及智能的结构。这些被称为生命的物质并非通过“记忆”，而是通过“观察”和“推理”，居然可以“知道”宇宙在137亿年前的创生。更不可思议的是，他们也逐渐“知道”了宇宙未来的命运：这个宇宙正经历着加速膨胀。以后，这加速的进程将越来越快，一切星系都将被甩到视野之外——当然，地球此时早已毁灭。最后，加速膨胀变得如此疯狂，几乎所有结构都将被撕裂并复归于虚无。在这疯狂的膨胀中，新的时空被构造出来，也许预示着下一个宇宙的创生。
    看上去是不是很像细胞的分裂、生命的传承？——当然也许还有“更大一盘棋”。比如，宇宙的创生演化和毁灭，都可以解释成高维空间中膜的碰撞。但我不打算继续编织这种故事。在我看来它并不比乌龟驮平板的见解更美妙。
    无论如何，宇宙的演化似乎有一套规律。我所谓的规律是指某种节制的初始条件与算法，使得你不必花费整个宇宙的物质去记录它们。关于初始条件，可以打个比方：生命的大部分规律都可以通过细胞中的核酸来编码——你只消拿出一个细胞，大体上就能知道这个生命的全部信息，而同一个生命个体上的所有细胞无非是单纯地执行相同的指令。至于算法，它也许比初始条件更凝练更简单，记录它所需花费的物质也更少。
    很有可能，这种初始条件与规律的二分，或者说数据与算法的二分，过于人为。无论在物理理论中还是计算机程序中，我们都见到了初始条件与规律、或者数据与算法彼此互渗的例子。但我们仍然能够谈论这两者的统一体，而这统一体就是我之前所谓的规律。
    宇宙的演化存在规律，这事实意味着，一旦知道了它们，原则上我们就可以用某种计算机模拟出一个大体上相同的宇宙——因为你不需要整个宇宙的物质去复建它。但我们只能做到“大体上”，因为在任何情况下我们只有近似的规律和近似的数据。“完全的精确”是一个人造概念，它与我们此处的讨论无关。在目前看来，不同尺度下的物理规律，在原则上既能逐层递推，又保持了相对的独立性。这保证了近似规律与近似数据的有效性。比如，为了获得江河与气流的流体力学知识，在几乎所有情况下你并不需要知道分子的构成——牛顿力学足矣。
    而所谓的生命和智能，也不能逃离这个祛魅的进程：我们大可以设想，生命和智能，无非也是足够多层次、足够复杂系统演化的结果而已。我不知道如何计算我们的宇宙花费一百多亿年的时间创造出文明的概率，所以无法判断这是否算是奇迹。但在我的知识结构中，也就是上文所勾勒的图像中，这并不奇怪。也许，我们的宇宙还有机会创造出其它形式的文明，甚至不需要生命为载体——如果我们可以敏锐到以独立于生命的方式去定义文明。然而，更可能的是，生命和智能只是复杂系统的个例。我们还能设想出其它的复杂系统，其复杂与精微的程度也许不输于“智能”或者“文明”，但又超出这些概念的传统内涵。如果说现今这个宇宙的物理规律已被固定、从而不允许出现这样奇怪的复杂系统，我们或许还可以寄望于宇宙在可见范围之外的区域，或者多宇宙（multiverse），或者弦论的景观（landscape）。
    当然，论及此处已经过于渺远了。可是，我们还能问一个相对现实、但也许更诱人的问题：我们可以模拟出人的意识吗？我们可以模拟出一个人吗？虽然这需要巨量的数据，但在原则上并非不可能。在我自己所认同的神话里，为做到这一点，甚至不需要很深层次的物理学。也许薛定谔方程就足够了。如果我们做得足够好，我们将可以模拟出人的降世、生长、衰老与死亡，人的语言、行为、理智和情感。即使这无法在可见的未来实现，也不妨碍我们如此设想：人的一切生死无常，都是宇宙在物理规律支配下绵延中的涨落而已。而所谓的自由意志，不过是一种美妙的幻觉。
    我不知道该如何评估这种认识的伦理意义，因为伦理本身也是一种构造。但至少，它使我震惊，并在使我震惊之余给予我安慰。与传统的神话不同，这安慰并非是在无知的虚空中填补人性的温情，而是将我们从日常生活中接受并熟习的一切消解。这似乎很像某种佛教神话的叙事。但我并不愿将它与佛教的教义做更多类比。
    也许，一切事物都有它的诞生、成熟与凋亡。生命个体如此，恒星如此、宇宙如此，而人类自身亦如此。总之，我不禁设想，“人类”整体作为一种生命，也在逐渐走向成熟。我们的观念应当成熟到足以包容多元的话语，不再为争论谁是上帝的使者而大动干戈。我们的心智应当成熟到适应这种祛魅的神话故事，我们的精神力量应当成熟到对抗一切科学话语的消解。
    言及此处，让我想起一篇广为流传的散文，其中有这样一句：
    “美国航天局用了很大的劲爬上了月亮，只抓了几块冰冷的石头拿回来让人类看，让人类扫兴，让人类的神话和童话破灭，让孩子们面对冰冷的石头再不做美丽的梦。”
    当然，每个人都有追忆童年的诗意的权利，都有耽溺于童话的权利。但对于一种成熟的、负责任的生命群体，追忆远非故事的全部。
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    鲜于中之 发表于13:51:00 | 阅读全文 | 评论 2 | 编辑 | 分享 0
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