3. 布洛赫波函数中的
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对
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可见, 波矢差为倒格矢的波函数都对应相同的本征值. 为了使
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而且, 电子波函数
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所以
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单电子近似与布洛赫波(Bloch wave)
(本节重点:什么是布洛赫波?它有什么性质?)
用量子力学来解决多体问题是非常复杂的, 而且严格解是不可能的。要解决这些问题, 只能抓住主要矛盾, 建立模型, 作充分的近似, 才可以求解。 其中把多体问题简化为单电子问题, 需要经过多次简化:
第一步是把原子核与核外内层电子考虑成一个整体——离子实,使原子中的多体问题简化为离子实与外层电子的问题;第二步是绝热近似,考虑到离子实的质量比较大,离子运动速度相对慢,位移相对小,在讨论电子问题时,可以认为离子是固定在瞬时的位置上, 这样, 多种粒子的问题就简化成多电子问题; 第三步,忽略电子之间的相互作用(理想电子气),利用哈特里-福克自洽场方法, 多电子问题简化为单电子问题, 每个电子是在固定的离子势场和其他电子的平均场中运动; 第三步的简化是认为所有离子势场和其他电子的平均场是周期性势场。
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其中:
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如果,
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这就回到索未菲模型。
对实际晶体,
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或
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布洛赫定理的证明详见(课本P154-157)。
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〖
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设普通解为:
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讨论:
1. 电子不再是属于局域的特定原子, 而是扩展于整个晶体,
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2. 电子的波函数
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3. 布洛赫波函数中的
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对
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可见, 波矢差为倒格矢的波函数都对应相同的本征值. 为了使
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而且, 电子波函数
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所以
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4. 应使用周期性边界条件, 则
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从(5.2.5)式得:
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可应用量子力学的微扰论, 对晶体的特性作推算。
5.【对接近布里渊区边界的情况, (为简单起见, 对一维情况采用方法3.)
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波函数为:
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把它代入薛定谔方程,
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两边分别乘以
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要使A及B有非零解, 其系数行列式必须为零, 从而有:
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或
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其中,
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当D=0,
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对D¹0, 同时假设 TnD << |Vn| < Tn, 即偏离得很小,把(5.3.36)式用项式定理展开,保留到D2项, 得:(用到:
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这说明在禁带之上的一个能带底部, 能量E+ 随相对波矢D的变化关系是向上弯的抛物线. 在禁带下边能带顶部, 能量E- 随相对波矢D的变化关系是向下弯的抛物线.
不难证明, 如果
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这个结果同非简并微扰结果相近, 在其他所有波矢状态中保留一个k’, 它对状态k有特别大的影响。】
怎样理解布洛赫电子?修改
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4 个回答
Bloch波总可以写成
When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.前面有答案从完备基的角度解释Bloch电子, 这自然是正确的. Bloch波作为厄米的哈密顿量算符的本征态, 自然具有正交完备性. 除此之外, 我还想补充几点.
bloch 波函数是电子波函数方程(例,薛定谔方程)在周期势能条件下的一个“本征解”。也就是说,任何可能的电子的波函数,都必须是这一组无穷波函数的线性组合。
bloch 波函数是电子在这个方程中的正交分解的基。还存在其他分解方法(例如紧束缚,wannier 波函数)等。bloch 波函数主要是基于傅立叶的分解理论。在光学周期结构中也有类似的分解,叫做Rayleigh-Bloch wave.
李巨格 赞同
Bloch 定理的三个条件:
Bloch 电子的波函数: u_n是r的周期函数,也就是调幅平面波,电子分布周期性变化,同时电子是弥散在整个空间中的。平移一个格矢,波函数有e^{i k R_l}的相位变化。电子的散射是相干的,没有能量损失(无电阻),需引入晶格振动修正。 |
Tuesday, March 24, 2015
把多体问题简化为单电子问题, 需要经过多次简化: 布洛赫波函数中的是波矢量, 可用它来标记电子的状态, 电子波矢只需取一个布里渊区范围
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