1 [ ] 2 量子测量理论是量子理论的基础支柱。它联系着理论计 算和实验测量，是两者之间的必经桥樑。按现在文献情况 可以说，不熟习量子测量理论就难以很好地理解许多近代 重要的实验工作。更何况，量子测量理论本身就蕴含着量 子理论几乎全部的未解决重大基本问题。这些问题都如此基 本，以致于它们的解答必定会从根本上纠正我们现有的时空 观念和某些基本概念，导致我们对世界有一个崭新的再认 识。 鉴于我国量子力学教材中很少谈及测量问题，所以这里 全面简要地介绍了量子测量理论。共分4讲：包括扼要介绍 测 量公设，阐述量子测量的基本要义，介绍量子光学的实验基 础，广义量子测量和POVM，测量带来的量子效应，无破坏 测量，退相干的测量模型，最后指明一些未解决问题。讲解 重点在于阐述和分析物理概念，以及明确近代量子测量理论 的认知边界。 3 目 录 一，量子力学的第三公设——测量公设 五大公设中的测量公设，初步分析 二，测量理论的三个阶段──姑娘出嫁: 纠缠分解 波包塌缩 初态制备 三，深邃的塌缩阶段——具有四大特征： 随机性 斩断相干性 不可逆性 空间非定域性 四，Von Neumann正交测量模型 模型 一个典型例算——Stern-Gerlach装置 4 五，广义测量——POVM 1, 开放系统与不完备描述 2，广义测量的物理概念 3，局域测量——POVM（正值算符测度） 1）直和子空间解释 2）直积子空间解释 3）POVM举例 六，量子测量分类 局域测量、关联测量、联合测量 开放系统测量 七，量子测量的物理效应之一——量子Zeno效应 参考文献 5 一，量子力学的第三公设 一，量子力学的第三公设—— ——测量公设 测量公设 非相对论量子力学的五大公设 量子状态公设 量子算符公设 量子测量公设(平均值公设) 量子运动方程公设 全同性原理公设（？） 6 第三公设——测量公设 “对状态 进行力学量A 的测量，总是将 按A 所 对应算符 的正交归一本征函数族 展开: 单次测量所得A 的数值必随机的属于 本征值中的某一个 （除非 是它的某个本征态）；测量完毕， 即相应 突变(塌缩)为该本征值 的本征态 。对大量同样态构 成的量子系综多次重复实验时，某本征值 出现的概率是 此展式中对应项系数的模平方 。即有 对系综多次重复测量的统计平均值为 ” ψ x ˆ A ˆ i i i i A = a , i i i i ψ x = c x k a k a k x 2 k c ˆ A k a ψ x i x ψ x ψ x 2 2 2 , , , 1 1 2 2 i i 1 1 1 2 2 2 i i i ψ x a , x , a , x , , a , x , ψ x a , x c , a , x c , , a , x c , 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 c a + c a + + c a + A= c + c + + c + 7 注意1：单次测量所得力学量的数值必为本征值。单次 测量不可能得到本征值之外的数值。 量子测量必为本征值测量！ 注意2：单次测量所得力学量的数值究竟为哪个本征值， 是或然的，理论事先无法预测。迄今无任何迹象显示， 测量过程的或然性是由某种隐变数所决定。量子测 量过程体现了“上帝玩掷骰子”！ 注意3：除非本征态，否则，测量完毕后，态即不可逆 地塌缩（投影）到相应本征态上！多次测量时，不同塌 缩之间互相不干涉。 注意4：若对同一个态进行不同种类的测量，将会导致 不同种类的塌缩，从而表现出不同样的实验现象！ 注意5：（测量导致的）量子塌缩，以及（体现在量子 干涉中的）量子叠加都是“概率幅的塌缩”和“概率幅 的叠加”！不同于宏观的概率叠加。 8 这种“概率幅的塌缩”和“概率幅的叠加”完全不同于经 典 的概率叠加。它们在测量中所表现出的或然性也完全不 同于经典概率叠加在测量中所表现出的或然性。 比如 按量子力学，沿Z轴测此态自旋，肯定发现自旋在+Z方向，并 且右边的分解是振幅叠加、相干叠加；但按经典力学，右边应 理解为以或然的方式（各有1/2概率）处在态 和 态。 由 此接着进行下面分解 又可知，如进一步测 态可得自旋朝上、朝下各1/2概率， 测 也如此。综合起来，经典力学认为：沿Z轴测得自旋朝 上朝下的概率应当各占1/2！这与上面量子力学结果完全不同！ 1 + z = +x + -x 2 1 +x = +z + -z 2 1 -x = +z - -z 2 +x -x + x -x 9 二，测量理论的三个阶段─ 姑娘出嫁： 纠缠分解；波包塌缩；初态制备 量子体系状态改变的两种方式──量子理论的两种因果观: U 过程──决定论的、可逆的、保持相干性的 R 过程──随机的、不可逆的、斩断相干性的 有人用U 过程代替R 过程。这种思路是不正确的。 理想的完全测量的三个阶段──姑娘出嫁 纠缠分解 波包塌缩 初态制备 “纠缠分解”：ψ(r)按被测A本征态分解并和测量指示器可区分态纠缠； “波包坍缩”：ψ(r)以A展式系数模方为概率向本征态之一随机突变； “初态制备”：坍缩后态作为初态在新环境哈密顿量下开始新一轮演化。 实验经常对大量相同量子态所组成的量子系综进行同类重复测量并读出 结果。多次重复测量将制备出一个混态──不同塌缩得到的φ i (x)之间不存 在任何位相关联，彼此是非相干的。这个混态也称做纯态系综──一个纯态 系列：{出现纯态φ 1 (x）的概率为p 1 ; 等等} 10 三，深邃的塌缩阶段─具有四大特征 随机性 斩断相干性 不可逆性 空间非定域性 状态塌缩过程是一个极其深邃的、尚未了解清楚 的过程。 其中存在一系列根本性的open问题。 塌缩过程的四大特征 按测量公设，每次测量并读出结果之后，态ψ(r)即受严重干扰，并 且总是向该次测量所得本征值的本征态突变（塌缩）过去，使波函数约化 到它的一个成分（一个分枝）上。这种由单次测量造成的塌缩称为第一类 波包塌缩。除非ψ(r)已是该被测力学量的某一本征态，否则在单次测量 后，被测态ψ(r)究竟向哪个本征态塌缩，就象测得的本征值一样，是随机 的、不能事先预计的。 随机的──原则上就无法预见和控制的 不可逆的──有人说，测量是熵增加过程 切断相干性的──切断被测态原有的一切相干性 非定域的──波函数的塌缩总是非定域的 11 塌缩中，表现出是粒子状态的突变，实质 上是体系演化时空的塌缩！ 近来实验表明：塌缩与关联塌缩是同一个 事件，其间不存在因果关联！ 塌缩中存在的未解决的问题： 塌缩随机性的根源是什么？──或者有根源吗？！ 为什么（不论自旋态或空间态、单粒子或多粒子） 所 有塌缩过程总是非定域的？ 塌缩过程中微观体系的熵真的增加了？ 塌缩——关联塌缩和相对论性定域因果律有没有深 刻 的矛盾？！认为是同一个事件就能解决问题吗？ 相互作用过程和测量过程的明确界线？ 12 Von Neumann 为了测量子系统可观测量A，要建立“测量哈密顿 量 ”。办法是接通子系统可观测量A 和（作为测 量仪器的）指示器X 。在A-X 之间存在某种耦合， 它在可观测量本征态和指示器的可区分态之间建立起 量子纠缠。正是这种量子纠缠，使我们能够通过测量 指示器变数x 去制备可观测量a 的本征态。 设初始时刻子系统处于A的一个叠加态 ， 而指示器波包有关变量的状态为 。合成的大系统 处于尚未纠缠的可分离态， i i i a c i H x x a c x i i i 13 由于 中A 和X 的耦合项存在，在t 时刻 后，这个量子态将从可分离态演化成为纠缠 态， 所造成的量子纠缠使X 和A 的测量值x （和a）关联起来。如果位置变量x 的观测 精度足以分辨的全部本征值a ，就实现了通 过测量，造成可区分态塌缩并得到 造成 可观测量态的关联塌缩并得到相应本征态 和数值 。 t a x x t a x a c x a c t U i i i i i i i i i , i H i x i a i a i H 14 ——Stern-Gerlach 测 自旋粒子的 ，使它通过z 轴方向为非 均匀磁场 。粒子磁矩 ，它和磁场之间的耦 合项（“测量哈密顿量”）为 这里是可观测量 和位置 相耦合。由于 中 含 ，不同 值处附加能数值不同，这产生一个 力沿 轴，正负视 而定。在测量(穿过磁场) 时间 内给粒子冲量 1 2 z z B = λz μσ z H = -λμzσ z z z H z H F = - = λμσ z z σ = 1 z P = F t z t z 15 这就是说，耦合使指示器（z方向的位置）偏 转。通过观察粒子向 z 轴正向、反向的偏转 距离，投影出粒子自旋态 或 。 这里 。注意，此处仍有 1 1 1 1 0 i i i i i h i i t U 位置指示 位置指示 z z exp exp exp z z i i i U t z t F t z P z m t F t m P z z i 2 2 z p z p m p m p t E z z z z 16 五，广义测量——POVM 1, 开放系统与不完备描述 这时的量子力学出现三个新特点： a）量子态可能是混的； b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的； c）量子测量造成的投影分解可能是非正交的分解— POVM 2，广义测量的物理概念 孤立系正交投影测量 子体系的广义测量 广义测量，又称为局部测量。它是指，在一个由若干子系统 组成的大系统上进行正交测量时，在某个子系统上所实现的 片面性测量。由于子系统是个开放系统，广义测量也可说成 是对开放系统的量子测量。 一般在大系统上进行的正交投影测量，折射到子系统上 就成为对子系统的片面观测、局部观测、局域观测。 17 如果计入所有与此子系统有相互作用的外部系 统，构成足够大的系统，总能以足够好的近似将这 个大复合系统看作孤立系。对此大系统中某组相互 对易力学量完备组进行量子测量，必定是正交投影 测量。测量所得必是这个完备组共同本征态的量子 数，测量所实现的也必定是向这个完备组共同的相 互正交本征态族的随机投影。 但是，大系统相互正交本征态族在子系统所属 子空间的对应态未必仍然相互正交！设想根本就不 知道（或是不想知道，或是难以知道）大系统、只 知道子系统的观察者，会认为：普遍的量子测量将 投影出一组非正交态，而不是一组正交态。这就是 常说的“广义测量不一定是正交投影”的原故。 3, 局域测量——POVM（正值算符测度） 18 1）直和子空间解释 假设考虑的态空间 是一个更大的直和空间 的一部分。设 是 的一个可观察量，有正交分解关系 注意，虽然不同 值的 彼此正交，但它们在子空间中投影 部分 却不一定彼此正交，也不一定归一。但由于 记 。注意 均不会为负值。于是可令 由此，这里态 已归一。现在假设，在大空间中对子空间 的态 执行正交投影测量 。这些测量从“生活” 在 中的观察者来看，只得到以概率（ 不属 ，作用为零） 获得测量结果 和态 。特别是，塌缩投影过去的这些测量 末态 不见得彼此正交。 A H A H = H H A H A M 0 A A M M ~ ~ u α u ~ 1 u u ~ ~ 1 α λ ~ α α α E = u u A H A ρ A ρ H α A α α A α α α A α Prob α = u ρ u = ψ ρ ψ = λ ψ ρ ψ α ψ ; ; : : : A α H i H μ i μ = 0, i, μ H u α ψ 19 设 是子空间 的单位算符，它也是大空间 向子空间 的投影算符。于是利用它可将中的正交投影算符系列向投 影。即定义 中的一组算符 利用此定义式，可以把上面观察所得结果为的概率重新写为 这些 是厄密的、非负的，但迹却不一定为1（ ） 而且也不一定彼此正交，所以不能算是正交投影算符系列。 然而它们总和等于子空间的单位算符 因此，这些在子空间中执行着类似于在大空间中的投影分解 任务，但它们却不是正交投影。于是推广开来看，引入 定义：系统A的一组POVM{positive operator valued mesure}是 一组能对A的单位算符进行分解的非负厄密算符系列： 这里态 是系统A的任意态。 A H A A E = I A H H ~ ~ E E E F A A A A A F tr ob ~ ~ Pr F 0 1 TrF A A A A I E E E E F n A A A I F F F F n F 1 ; , 0 ; ; , , 2 , 1 , A F 20 根据这里的广义测量理论，当对中态作广义测量时，相应每 个测量结果 的概率由上式表示。特别是，有 为保证概率正定和总概率为1， 的正定性和 都是必需 的。由于任何投影算符的平方等与它自己，所以开根也是它 自己。于是对投影算符 ，广义测量前后态的改变 此式是正交投影情况 向POVM情况的推广。注意，由于“ 等于大空间的 向子 空间 的投影”，所以有 的维数目 数目 数目= 维数和 个数可能少于 个数的原因是：可以有这样的 ，它只向 正交子空间 投影，于是与这种 相应的 便是零。 F F Pr A ob tr F 1 F α α α F = ψ ψ F F A A A A A A α A α α ρ ρ = E ρ E A H α F α E A H = H + H F α E α E H F α E F α E A H 21 2）直积子空间解释 考虑一个 维系统A，处在态 上。并假设另有一个辅 助系统B（常称为“附属系统”，其维数这里并不重要，予 以 略去）处在已知态 上。设这两个系统组成一个“未关联” 的 张量积大系统，初态为 。现在对这个张量积系统 进行某种正交投影测量 。在单次测量中得到测量 结果为 中的某一个，相应概率为 简单直接地说，即有 这里 这一组算符 就被称作为一组POVM——正值算符测度。这 里， 既是张量积大系统在正交测量中得到结果 的概 率，也是在子系统A中执行相应POVM并得到 的概率。 A B B A AB AB I E E ; E N N n m A A nm A mn N n m s r sr B nm A ns mr B A AB F Tr F E E Tr ob 0 , 0 , , , Pr A A B A AB F Tr E Tr ob Pr mn B A B s r sr B ns mr mn I E Tr E F , , F ob Pr E F 22 由于 ，以及 任意和非负的，可知全体 都是非负的，有时就简单称它们为正的。按上式，它们 也是厄米的、总和为1。后者为对 求和即得，分量形式 为 这正是对 的单位分解。但对于直积情况，POVM中 个 数的上限与直和情况不同。这时有 维数积 当对大系统 测量之后，塌缩结果为 时，大系统的 态相应塌缩到下面状态， 但与此同时，对于只知道子系统A的观察者而言，当测量 塌缩到 时，密度矩阵变化为 A I 0 Pr ob A F mn A mn B B mn s r s r sr B rs mn sr B ns mr mn mn I Tr E F F , , , μ F B A A H H E Number F Number H dim dim B A E B A AB B A AB E Tr E E F B A B A A AB A B Tr E E Tr E 23 3）POVM举例——单qubit两维态空间中的POVM 选择N个3维单位矢量 和N个正实数 ，使它们满足： 由此便可构造一组N个元素的POVM： 这里 是态的极化矢量。 自旋态的投影算符和 关系为 共计N个，都是非负的、厄密的，并且 。 这N个 就在此qubit二维态空间中定义了一个POVM。 注意，在两维态空间中作单位算符POVM分解时，若是两个分 解，分解虽有无穷多种，但必定都是正交的： 只有多于所在空间维数的分解，即 的分解，才必定是非正 交分解。比如N=3，若取任意三角形的三个边作为（首尾相接 的）三个矢量 ，有 ，再选比如 ，便 得到一组三个如下POVM， 。由乘积知， 它们已不再是正交投影，各自迹也不是1。 α α α F = λ 1+n σ 1 2 α α λ = 1 n 0 n α α α α 1 E = n n = 1+ n σ 2 I n I F α α α F = 2λ E F 2 1 F F n n n n I ) 3 , 2 , 1 ( n 0 3 2 1 n n n 3 1 3 2 1 3 , 2 , 1 ; 3 2 1 3 1 n E n F 3 N n α α F E α 0 < λ < 1 24 另一个在三维执行正交投影在两维观察的POVM例子。 设有Descartes坐标架转动 这里 。其中 为三个Euler角， 为矢 量表示的三个角。于是有 现执行一个向二维空间的投影，即以投影算符P 作用，得三 个POVM如下 R αβγ 1 , 2 , 3 = 1 , 2 , 3 R R 3 2 1 2 3 i i =1 1 2 3 Φ = c 1 + c 2 + c 3 , c = 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 = I = 0 1 0 0 0 1 E = 1 1 , E = 2 2 , E = 3 3 , i i F = PE P = P i i P , i = 1,2,3 25 六，量子测量分类 ■ 以往量子力学常只研究 孤立、封闭量子体系 此时量子测量都是 von Neumann 正交投影——按测量 公设，是向被测力学量的本征函数族投影: i.e., ■ 量子测量，按不同情况和不同分类标准，有不同分类： i) 封闭系统的量子测量与开放系统的量子测量； ii) 两体及多体有局域测量、关联测量、联合测量； iii) 完全测量与不完全测量。 。 1 , , , , i j ij j i i i i i trE E E E I E i i E E , , , , 1, 2, 3, i i ij E E i i i j i j 26 ■ 两体局域测量、关联测量、联合测量 1）局域测量：只对两体中的某一方作测量，比如只对A 测量。相应力学量是 所有测量结果只和约化密度矩阵ρ A 有关。 2）关联测量：同时对A 和B 作局域测量（并比较相应 的结果）: 此时只对未纠缠态——可分离态，有 3）联合测量：测量不是局域进行的，类似于下面不可 分离类型的力学量测量 B A I A A A r A AB B r A r B A AB B r A r AB r T T T I T T T B A B A 2 , i i i B i A 27 ■ 开放系统测量 出现三个新特点： 1）态可能是混的； 2）演化可能是非幺正的、不可逆的； 3）测量可能是非正交投影分解—POVM POVM ──正算符取值测度 POVM是（针对封闭系统的von Neumann正交投影理论） 向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。 大系统进行正交测量时，在子系统上实现的测量称为广 义测量。 1 , , , a a trF F I F F F F 之间不一定正交， 不同 28 七，量子测量的物理效应之一——量子Zeno效应 11））原以为是量子Zeno佯谬 初始以为是个量子力学的佯谬——Zeno佯谬； 2）量子Zeno效应——“量子水壶效应” 现为一个地道的纯量子效应——量子Zeno效应， 理论研究发现，频繁地对一个不稳定系统进行量子测量 会抑制或阻止它的衰变（跃迁）。极端而言，连续的量子测 量将使不稳定系统稳定的保持在他的初态上，完全不发生衰 变或跃迁。这种不稳定初态的存活几率随测量频度的增加而 增加的现象就是量子Zeno效应。 “量子水壶效应”——越看越烧不开的的““量子水壶 量子水壶””。。 3）量子Zeno效应存在性的理论论证 ii））分两步证明。先证： 任何含时量子系统初始的衰变速率必为零。 含时量子系统问题的类型和相关计算尽管都很复杂，但此结 论却是一个共同的结论。 29 含时系统问题可普遍化地提为 定义： 定义：任意不稳定量子系统，演化到t时刻，初态仍存活着而不衰变（不 跃迁）的几率为 P(t)=|<ψ(0)|ψ(t)>| 2 命题：任何不稳定量子系统的初始衰变（跃迁）速率必定为零。 证明(1)：由于 于是 令t→0，取极限，即得 这是量子力学中具有普遍性的结论之一， 当然也是各类含时微扰论的共同特征。 t =0 d | ψ(t) > i = H(t) | ψ(t) > dt | ψ(t) >| =| ψ(0) > d | ψ(t) > 1 d < ψ(t) | 1 = H(t) | ψ(t) >, = - < ψ(t) | H(t) dt i dt i dP(t) d = ψ(0) ψ(t) ψ t ψ 0 + h.c. dt dt 1 1 = ψ(0) H(t) ψ(t) ψ t ψ 0 - ψ 0 ψ t ψ(t) H(t) ψ(0) i i t =0 dP t = 0 dt 30 ii) 第二步论证。用测量公设中测量必将制备初态。 设一个含时量子系统初态为|ψ(0)>。由一般分析可以知 道，随着这个不稳定系统的演化，其初态的存活几率 将越来越小。 当然，这个P(t)按其物理含义应当只适用于：自t=0开始 演化之后，直到t 时刻才执行初态存活与否的量子测量（假 设测量是理想的瞬间完成的，以下同此），在(0,t)时间间隔 内不再另行插入这类测量。 现在问：如果在(0,t)之间再插入N 次这类量子测量，相 应的初态存活几率P N (t)实测值会不会发生变化？下面根据量 子测量理论所作的分析表明： P N (t) 的数值随N 增加而增加。 证明(2)：将[0,t]区间等分成N份，在每一时刻t n =nt/N进行一 次量子测量，以确认体系是否仍在|ψ(0)>上。按上面关于P(t) 含义的叙述，在t/N时刻的第一次测量时，初态存活概率为 P(t/N) 2 P t = ψ 0 ψ t 31 按测量理论，除衰变或跃迁的已经不予记入了以外， 剩下的这P(t/N)部分将塌缩成为初态|ψ(0)〉，并以此时刻 t/N 为初始时刻,再次重新开始演化。演化到2t/N时刻，再 次作类似测量。于是，经上一次测量后，到2t/N 时刻又作 第二次测量时，初态存活几率为 P 2 (t/N) 如此继续，在[0,t]内经受(N-1)次测量后，到t 时刻作第N 次 测量时，初态|ψ(0) 〉的存活几率将成为 P N (t)＝[P(t/N)] N 。 当N 足够大时t/N 足够小，可将P N (t) 展开: t t t N N N P = P 0 + P 0 + = 1+ P 0 + 32 令N —>∞，就过渡到在[ 0, t ]内连续测量极限情况 ——理想的连续测量情况。设这时存活几率为P c ， 注意 ，最后得到 P c ＝1 即： 当不稳定体系经受连续量子测量时，将会 一直呆在它的初态上，而不发生（本应发 生的）衰变或跃迁。 *Zeno效应的原来证明见：B. Misra and E. C. G. Sudarshan, J. Math. Phys., 18(1977)756, 但证明十分繁复；这里简洁普适证明取自：Y. D. Zhang,et.al., Some studies about quantumZeno effects, included in 〈Fundamental problems in quantumtheory〉, edited. by D. M. Greenberger and A. Zeilinger, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 755, 353(1995). 实验证实之一：W. M. Itano, et.al., PRA,41(1990)2295; 1989年美国家标准和技术所, 〈时间之箭〉, p.130；稳定核内的中子不衰变，至少有此因素。 t P N N t N C e P P 0 0 1 lim
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