而光波的繞射，是一種複雜的光學現象。早期的理論，像Young（1773－1829）、Fresnel（1788－1827）、 Kirchhoff（1824－1887）等，都是假定光的障礙物是理想的「吸收體」；也就是說，所有電磁輻射照在障礙物上，都是被完全吸收而不反射，當然這樣的假設是與電磁理論相違背的

純量繞射理論概述

徐國誠

台北市立成淵高級中學

前言

繞射（

diffraction），就是波動在與波長大小相當的障礙物或缺口附近，波的傳遞方向發生變化的現象；而光波的繞射，是一種複雜的光學現象。早期的理論，像Young（1773－1829）、Fresnel（1788－1827）、 Kirchhoff（1824－1887）等，都是假定光的障礙物是理想的「吸收體」；也就是說，所有電磁輻射照在障礙物上，都是被完全吸收而不反射，當然這樣的假設是與電磁理論相違背的。事實上，電磁波在障礙物表面不僅會反射，還會引起擾動，例如表面電流。若我們以馬克士威（Maxwell）方程式為基礎，加上適當的邊界條件（boundary conditions），是可以定義出數學上的邊界值問題（boundary-value problem）（Ref. [1]，P633）；若由此出發，就可解出電場向量在空間中的真正分布，這部份的理論基礎稱為向量繞射理論（vector diffraction theory或rigorous diffraction theory）。但是要解出電場向量在各方向的分布，尤其是電磁波遇到障礙物的擾動因素加進來之後，是非常不容易的工作，必須藉助電腦作大量複雜的計算才行。

底下將針對光遇到小缺口的繞射情形逐一討論。為此，我們可以作一些基本的假設，使這些複雜的計算簡化；亦即光遇到缺口時，此缺口的大小必須大於光波的波長，目的就是將光在缺口邊緣所造成的反射和擾動的影響降至最低。有了這樣的前提，可以導致我們作以下的假設：（

1）電磁輻射碰到缺口以外的障礙物的反射可忽略不計；（2）缺口以外的障礙物表面引起的擾動所造成的電場大小，與原來極化方向的電場大小相比是可以忽略的，則計算繞射的強度時，就可以忽略掉擾動所引起的電場。因此在計算繞射的電場分布時，只把光傳遞的極化方向的電場當成純量加以考慮，而其他擾動所引起的電場忽略不計，這部份的理論基礎稱為純量繞射理論（scalar diffraction theory）。

1.

純量繞射理論

1.1

空間中的電磁波

電磁輻射在空間的傳遞，可以用波函數來描述，這波函數說明了電場的振幅隨著時間和距離而改變。此波函數可以寫為Ψ。在空間中的波函數必須符合波動方程式（

Ref. [2]，P29）： tiertrωψ−⋅)(),(

2222

),(v1),(ttrtr∂Ψ∂Ψ∇（1.1）

－1－

v

為波速等於ω，k是波數等於，∇稱為Laplacian operator。（1.1）式可寫成k/λπ/22

titi

eirre

ωωωψψ−−−∇222))((v1)(

0)()(

22=+∇∴rkrψψ（1.2）

若我們考慮的是球面波，且使用球面座標，則可將∇寫成：

2

22222222

sin1sinsin11φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇rrrrrr

不過，空間中的球面波，就像是以空間中某點為出發點，以球表面形狀為波前往外傳遞（或者是向內傳遞，到達空間中的該點），因此振幅與θ、φ無關，在此假設下，（

1.2）式就可簡化成

01

222=+∂∂∂∂ψψkrrrr

上式第一項可寫成

()

222211rrrrrrr∂∂=∂∂∂∂ψψ

()()

0222=+∂∂⇒ψrkrr （1.3） ψ

而（

1.3）式的解為：

ikr

erAr

=)(ψ（1.4）

或是

ikr

erAr

−=)(ψ（1.5）

其中

A為常數。上面二式的差別在於傳遞方向的不同，（1.4）式為球面發散，傳遞方向為＋r方向；（1.5）式為球面收斂，傳遞方向為−方向。底下我們所討論的皆是以（1.4）式為主。若將時間因素考慮進來，則波函數可成r

(

tkritierAertrωωψ−−=⋅Ψ)(),()

1.2 Huygens

－Fresnel Principle

當電磁波在空間傳遞時，

Huygens原理可以幫我們預測下個時刻波前的位置，亦即波前上每一點都可視為新的點波源，而下個時刻波前的位置，就在這些新點波源所發出的球面波形的包絡面上（Ref. [2]，P103－104）；Fresnel為了解釋繞射，認為在波前上面所有點發出的子波彼此會互相干涉，就是空間中任一點波的振幅為這些子波疊加（superposition）的結果。這樣Fresnel結合Huygens原理的說法，就稱為Huygens－Fresnel principle（Ref. [2]，P434）。

我們假設有一球面波源在

P_{0點（圖1.1），在距離R的位置其球面波的振幅}

－2－

為，這個位置的波前上各點發出子波傳遞到

P點。波前上面分割成任意小的單元面積dS，由dS發出的子波傳到P點的振幅為RAeikR/

dSreRAeKPdU

ikrikR

)()(χ （1.6）

其中

QP=r，稱為偏斜要素（obliquity factor或inclination factor），是描述Huygens－Fresnel principle中，子波因傳遞方向改變所導致的振幅變化，是Q點的法向量和)(χKQP)(χKχ之間的夾角，稱為繞射角（angle of diffraction）。雖然Fresnel並沒有推導出的真正形式，不過Fresnel預測，當時子波傳遞方向與原方向相同，K為最大值；當0=χ2πχ)(χ時子波傳遞方向與原方向垂直，K為最小值等於0（之後Kirchhoff導出的數學表示式，並得出K = 0時，應該等於π而不是π，見1.4節）。（Ref. [3]，P215） Kχ2/

RrCPQdSSχ

圖1.1 Huygens－Fresnel principle示意圖0P

若對整個球面做積分，就可以求得

P點的振幅大小：

∫∫=

SikrikRdSKreRAePU)()(χ（1.7）

1.3 Fresnel

－Kirchhoff Diffraction Formula

Huygens

－Fresnel principle的想法是，光源P_{0在P點上的電場分佈是利用這二點之間的某一波前（圖1.1的曲面S）所發出的子波在P點疊加的結果。後來Kirchhoff以此為出發，另外任取一個封閉曲面將P點包在裡面，利用高斯定理，將之應用在光通過小孔之後的繞射，並使用一些數學近似（孔的大小須大於λ，且r），推導得到Huygens－Fresnel principle的繞射特定積分形式，見圖1.2（Ref. [3]，P217－220）： λλ>>>R,}

－3－

[

dSrnRnreReiAPUikrikRS),cos(),cos(2)(−−∫∫λ（1.8） ]

（

1.8）式就是所謂的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula，其中cos(n,R)和cos(n,r)分別為Q點法向量（n的方向）與R向量、r向量的夾角。這當中還有一點需要說明的，就是Kirchhoff的積分曲面是一個任意封閉曲面，圖1.2中的封閉曲面包括S、A、B以及。但若我們作以下的假設，就可以將封閉曲面的積分，置換成只對波前曲面S的積分：（1）以P點為球心的曲面，將其半徑取得足夠大，則當發出的子波到達P點時的振幅與曲面S發出子波的振幅相比，可以忽略；（2）曲面B是陰影處，所以並不發出子波；（3）若曲面S的曲率半徑足夠大，使得曲面A的面積<<曲面S的面積，意即使變得很小，則對曲面A的積分亦可忽略。S′S′R′S′χ

RrPSχABB

nQS′R′圖1.2 Fresnel－Kirchhoff diffraction示意圖。因rR>>′，所以S′發出的子波到達P點時的振幅可以忽略；B是陰影處，所以並不發出子波；A的面積比S小很多，因此對曲面A的積分亦可忽略。0P

1.4

球面波與平面波的繞射

球面波的繞射在

1.3節及圖1.2已經做過說明，不過我們還是可以將（1.8）式寫成另一種形式，求得Fresnel所提到的偏斜要素。)(χK

圖

1.2中Q點的法向量與R平行，所以，另外，（1.8）式可寫成1)0cos(),cos(==Rnχχπcos)cos(),cos(−−rn

()

dSreRAeiPUikrSikRχλcos12)(+−∫∫（1.9）

此式為球面波的

Fresnel－Kirchhoff diffraction formula。若與（1.7）式比較，則可表示為)(χK

－4－

(

χλχcos12)(+−iK （1.10） )

當，；當，

K = 0。這與1.2節敘述過的Fresnel預測的時，K = 0不相符合。（Ref. [3]， P220） 0=χ2/πχλ/iK−πχ

我們另外考慮有一平面波通過小孔，其行進方向與

z軸平行，見圖1.3。小孔上任意點Q的座標為，觀察光屏上P點的座標為，z軸的原點在小孔的中心點C。此時在（1.8）式中，小孔上的波函數這一項，必須改成平面波的形式：ψ，因z = 0，所以ψ，而且)0,,(ηξz),,ηξ),,(0zyxRAeikR/)0,,(ηξikzeA),((ηξ),(ηξA=

rzznrnRn

01cos),cos(),cos(),cos(+=+=−χ

而（

1.8）式中的面積分dS，因此ηξdd=

ηξηξλddrzreAiyxU

ikraperture+⋅−∫∫01),(2),( （1.11）

（

1.11）式就是平面波的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula。

C

RrPnQ0zaperturescreen)0,,(ηξ),,(0zyxz axisχ圖1.3 平面波通過小孔的Fresnel－Kirchhoff繞射。C點為小孔上的座標原點，Q)0,,(ηξ是小孔上任意點，P),,(0zyx是光屏上的觀察點，0z為小孔到光屏的距離，n是小孔上的法向量，R為C到P的距離，r為Q到P的距離。

1.5 Fresnel Diffraction

與Fraunhofer Diffraction

我們回顧（

1.8）式的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula：若r與R皆遠大於孔的大小的話，則[)]這一項就整個積分曲面來說，變化將,cos(),cos(rnRn−

－5－

會很小。以圖

1.4說明，由圖中可知，cos(，且φ、φ都很小，趨近於0；δ是平面法向量與)cos(),cos(1φδ−RnPP0)cos(),2φδ=rn1PP012的夾角，φ是R與的夾角，φ是r與2PP0cos(的夾角。因此（Ref. [1]，P425）：δcos(δ2φcos(= cosP,rnφ1

δφφδ2))cos()cos(),

21≈+−−Rn

0

P

現在我們在平面小孔上取一座標系，如圖

1.5，O為座標原點。（1.8）式積分的分母1可以用1近似，rR/rR′′/OPR0=′，POr=′。

於是（

1.8）式就可寫成

dSerRiAPU

SrRik

∫∫+′′−≈)(cos)(δλ（1.12）

RrP

􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀􀀀0PξηzOQR′r′S圖1.5 P0發出的光被平面上的小孔所繞射。 圖1.4 δcos2 ) , cos() , cos(≈−rnRn說明圖。由圖中可 知) cos( ) , cos( 1 φδ− R n ，) ) , cos( 2 φδ+ r n 。 plane screen n δR r

－6－

設

P_{0和P的座標分別為和，(是小孔上Q點的座標，則),,(000zyx),,(zyx)0,,ηξ}

+−−+−−

22222020202)()()()(zyxrzyxRηξηξ

++=′++=′

22222020202zyxrzyxR

+++−′=+++−′=⇒

2222220022)(2)(2ηξηξηξηξyxrryxRR

2/1222200

21′+′−′∴RRyxRRηξηξ

接著利用二項式定理，可以將上式表示為

LL−′−′+′−′≈

320022002)(2RyxRRyxRRηξηξηξ（1.13）

同理，

r亦可表示為

LL−′−′+′−′≈

32222)(2ryxrryxrrηξηξηξ（1.14）

將（

1.13）和（1.14）式帶入（1.12）式，可將積分簡化為

ηξλδηξ

dderRAeiPUSfikrRik∫∫′′−≈′′),()(cos)( （1.15）

其中

LL

3232002222002)(2)(22),(ryxRyxrRryxRyxf′−′−′++′+′−′−ηξηξηξηξηξηξηξ（1.16）

接著我們令四個變數分別取代

x、x0、y、y0：

′′−=′=′−

rymRymrxlRxl,,0000 （1.17）

（

1.16）式可寫成

LL′−′−′′−−

rmlRmlrRmmllf22002200)()()(1121)()(),(ηξηξηξηξηξ（1.18）

（

1.18）式可以決定（1.15）式積分的精準程度：假如我們將上式ξ、η的

－7－

二次項和高次項略去（前面已經假設ξ和η），這種情形則稱為遠場繞射（

far-field diffraction）或Fraunhofer diffraction；若ξ、η的二次項不可忽略，則稱為近場繞射（near-field diffraction）或Fresnel diffraction（Ref. [1]，P425－426；Ref. [2]，P437）。rR′′<,η()20−′Rmηξ22′+r)(2020ξ≤ml[]20220)m≥ξη[]ξη′≈R22)ηξd( ξ)(0ll+−rR′′<,η)2<<′rmπ2+[]20)

若（

1.18）式的二次項可以略去，則下面不等式必成立

ξξηξ

2()(1121022−′′⋅llrRk （1.19）

ληξηξηξ

)()(220022<<′−′−′⇒rmlRmlR

我們應用這個不等式： ，可以得知上式絕對值內的二項皆，因此可以合理推論這二項都遠小於波長λ，而第一項：

()(22200ηξηml0≥)

20202022202022

(1()(1zyxzRmlRlR++⋅′=+−′+−′ηξηξηξ

我們可以任取且，而上式不等式仍然成立，則

00zx<<00zy<<

ληξηξ<+−′mlR

20022()(1

ληξ22+>>′

R （1.20）

同理也可以得到

ληξ

22+>>′r （1.21）

ξ是小孔上任意

Q點O點距離的平方值（22η2OQ），若此值的最大值仍然符合（1.20）、（1.21）式，則這樣的繞射就是Fraunhofer diffraction（Ref. [1]，P427），而這兩個不等式正是提供我們判斷Fraunhofer diffraction的準則。

2. Fraunhofer Diffraction

我們知道了

Fraunhofer diffraction的判斷準則之後，可以將（1.15）式寫成

ηξ

deCPUSfik∫∫=),()

其中

rRAeiCrRik′′−=′′)(cosλδ，，現在我們令兩個新ηηξ)(),(0mmf−

－8－

的變數：

00

,mmqllp−− （2.1）

則

Fraunhofer diffraction的積分可以寫成下列形式

ηξηξ

ddeCPUSqpik∫∫+−=)()( （2.2）

底下將針對小孔的形狀：方孔和圓孔，以（

2.2）式出發，對Fraunhofer diffraction的繞射情形作一說明。

2.1

方孔的繞射

在圖

1.5中，我們考慮繞射的小孔是一個邊長分別為2a和2b的方孔，座標原點O位於方孔的中心位置，如圖2.1，則（2.2）式可以寫成二個獨立的積分

)()()(

qWpCVdedeCPUbbqikaapik==∫∫−−−−ηξηξ

其中

()

kpakpaaeeikpdepVikpaikpaaapiksin21)(=−−=−−−∫ξξ，kqbkqbbqsin2)(=W

ξη

2a 2b O(0,0)圖2.1 繞射的方形小孔

而繞射的相對強度

I(P)取電場分布的平方值：

2202

sinsin)()(==kqbkqbkpakpaIPUPI （2.3）

2220

16CbaI=，是繞射圖的中央強度。

由（

2.3）式可以看出，x方向和y方向的相對強度分布是獨立的，而且都是同一數學函數的平方值：。f的最大值在t處，此時；其餘當sin時，為f的最小值，此時t。2)/(sinttf=0=LL1=f0=t0=f,2,ππ±±

－9－

以

0mm的方孔為例，光波波長0.5，觀察光屏與方孔的距離為2m，所得到Fraunhofer diffraction的繞射圖形與相對強度圖如圖2.2與圖2.3。2.01.×mμ

2.2

圓孔的繞射

同樣在圖

1.5中，將繞射小孔改為半徑為a的圓形小孔，座標原點O位於圓心處，同時為了計算上的方便，將直角座標改為極座標。

令（）為圓孔上的極座標系統，（）為觀察光屏上的極座標系統。則： θρ

,φ,w

ηθρξθρ

sin,cos （2.4） = φ

qwpw

==φ

sin,cos （2.5）

10cm5cm

圖2.2 2.01.0×mm的方孔繞射圖形。光波波長0.5mμ，觀察光屏與方孔的距離為2m。

圖

2.3 2.01.0×mm的方孔繞射相對強度圖。00.250.50.751-2-1012cmx方向y方向

－10－

在（

2.5）式中的22qp+=w，若我們將光源位置選定在靠近對稱軸上，則

rymmqrxllp

′≈−′≈−

00,

rsryxw

′′=⇒

222

其中

22yxs+=，為P點與繞射圖形中心點之間的距離。則（2.2）式可以寫成

∫∫==−−=

awikddeCPU020)cos()(ρπθφθρθρρ

上式積分很明顯與φ值無關，因此可簡化為

∫∫==−=

awikddeCPU020cos)(ρπθθρθρρ（2.6）

接著我們利用所謂的

Bessel function ：(xJn)

∫+−=

παααπ20)cos(2)(deixJnxinn （2.7）

因為偶函數，，因此（

2.6）式可以寫成J)(0xJ)()(00xJxJ−_0的形式

∫=

adwkJCPU00)(2)(ρρρπ（2.8）

接著再利用

Bessel function的再生關係式（recurrence relation）：

[]

)()(111xJxxJxdxdnnnn+++= （2.9）

當

n = 0時，上式可變成

∫′′′

xxdxJxxxJ001)()( （2.10）

於是（

2.8）式便可寫成

=

kawkawJaCPU)(2)(12π（2.11）

最後計算繞射的強度分布：

2102

)(2)()(==kawkawJIPUPI （2.12）

其中，為繞射圖形中心點的強度。由（

2.12）式可知，要計算繞射的強度分布，只需計算即可；由（2.7）式可得2420CaIπ)(1kawJ

－11－

()

2120)cos(12121)(iIIideikawJkawi+==∫+παππαα

其中

+=+=

∫∫ππαααααα202201)cossin()coscos(dkawIdkawI

因此

()

222122141)(IIkawJ+=π

以半徑

0.1mm的圓孔為例，光波波長0.5，觀察光屏與圓孔的距離為2m，所得到Fraunhofer diffraction的圓孔繞射圖形與相對強度圖如圖2.4與圖2.5。其中圖2.5（b）為圖2.5（a）在相對強度0.1以下的放大圖。在圖2.5（b）可見到第一個暗環的位置大約在s = 0.61cm處，0.61約是mμDrλ′的1.22倍，D為圓孔的直徑（= 2a），即

Dr

λ′≈Δ

22.1 （2.13）

其中Δ為第一個暗環的位置。

4cm

圖2.4 半徑0.1mm的圓孔繞射圖形。光波波長0.5mμ，觀察光屏與圓孔的距離為2m。

－12－

00.51-2-1012

s(cm)0.1圖2.5（a） 半徑0.1mm的圓孔繞射相對強度圖。

00.050.1-2-1012

圖2.5（b） 圖2.5（a）中在相對強度0.1以下的放大圖。)1075.4,61.0(8−×s(cm)

3. Fresnel Diffraction

在

1.5節我們已經討論了Fresnel diffraction的判斷準則，就是（1.18）式的函數必須計算至ξ和η的二次項以上，而繞射的積分（1.15）式可寫成),(ηξf

)()(

),(iSCBddeBPUSfik+==∫∫ηξηξ（3.1）

其中

rRAeiBrRik′′−=′′)(cosλδ，而C、S分別為

[][]

==∫∫∫∫SSddkfSddkfCηξηξηξηξ),(sin),(cos （3.2）

－13－

於是

P點的強度分布2)()(PUPI=可寫成以下形式

(

222)(SCBPI+= （3.3） )

上述是

Fresnel diffraction的一般式，在實際運算時需計算cos和sin的重積分，尤其必須考慮中ξ和η的二次項或高次項，當然可以藉助電腦來做這些複雜的計算。不過，底下我們考慮了更簡單的情況，以平面波通過方孔和圓孔的繞射為例，推導Fresnel diffraction更簡單的積分式。),(ηξf

3.1

方孔的繞射

首先回到（

1.11）式和圖1.3，平面波的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula：

ηξηξλ

ddrzreAiyxUikraperture+⋅−∫∫01),(2),(

這裡的繞射小孔，仍然是

2.1節所提到的邊長分別為2a和2b的方孔，座標原點位於方孔的中心位置。假設繞射角不大的情況之下，積分式中的分母r基本上變化並不大，因此可以用zχ_{0取代；但積分式中的自然指數（exponential）變化是以波長為週期，振盪很快，因此不能用zλ0取代。是方孔上平面波電場的振幅，可假設為常數（= A）。因此繞射的積分式可改成),(ηξA}

ηξλddeziAyxU

aperturerki∫∫−0),( （3.4）

接著我們由圖

1.3的參考座標可得

2022

)()(zyxr+−−ηξ（3.5）

20200

1−−=⇒zyzxzrηξ

上式可利用二項式定理得到（這裡利用了繞射角很小的假設，因此和是成立的）： χ

0zx<0zy<

02020

2)(2)(zyzxzrηξ−−≈（3.6）

（

3.6）式已經計算至ξ和η的二次項，符合Fresnel diffraction的判斷準則。將（3.6）式代入（3.4）式，可將電場的分布，分解成兩個獨立的積分式：

)()(),(

020200)()(0yWxViAededeeziAyxUzkibbyziaaxzizki−−=∫∫−−−−ηξληλπξλπ（3.7）

其中

－14－

==

∫∫−−−−bbyziaaxzidezyWdezxVηλξληλπξλπ2020)(0)(01)(1)( （3.8）

（

3.8）式是兩個相同的積分形式，我們只需解V或W，即可知觀察光屏上的電場分布。接著定義一個新的變數，可將V或W更為簡化： )(x)(x)(y)(y

)(2

0xz−ξλα（3.9）

由（

3.9）式可得到αλξdz20=d，因此（3.8）式中的V可以寫成)(x

+==

∫∫∫+−−−αααααααπααπααπαdiddexVi)2sin()2cos(2121)(2222 （3.10）

其中積分的上、下限α、α分別為：

+−)(20xaz−+λα，)(20xaz−−−λα。在將（3.10）式寫成4個單獨的積分

−−

∫∫∫∫−−+ααααααπααπααπααπ02020202)2sin()2sin(2)2cos()2cos(21)(ddiddxV （3.11）

（

3.11）式中的4個積分就是所謂的Fresnel integrals，我們用更簡潔的形式：C表示cos的積分，S表示sin的積分， )(α)(α

[][]

)()(2)()(21)(−−−−ααααSSiCCxV

則繞射的強度分布為

[][

{}222)()()()(21)()(−−−−=ααααSSCCxVxI （3.12） ]

而

W也是經由此過程解出。最後光屏上的繞射強度分布可以寫成)(y),(yxI

2222

)()(),(),(yWxVAyxUyxI== （3.13）

以

30的正方形小孔為例，光波波長0.5，觀察光屏與方孔的距離為變數，所得到Fresnel diffraction的繞射圖形如圖3.1。由圖中（e）和（f）可以看出當光屏與方孔的距離為1600與3200μ時的繞射圖形，與圖2.2的Fraunhofer diffraction的繞射圖形很相似。那是因為當距離拉遠的時候，（1.21） mμ30×mμm

－15－m μ45 m μ45 m μ60 m μ60 m μ240m μ480 (c) (b) (a) (d) (e) (f) 圖 3.1 mμ3030 ×正方形小孔的 Fresnel diffraction繞射圖形。光波波長 －16－ 0.5 mμ，觀察光屏與方孔的距離為 0 z 。（a）m z μ1000 = ；（b）m z μ2000 = ；（c） m z μ4000 = ；（d）m z μ8000 = ；（e）m z μ16000 = ；（f）m z μ32000 = 。

式的

Fraunhofer diffraction的判斷準則就會成立，所以不論是Fresnel或Fraunhofer的繞射圖形就會趨於一致；但是距離拉近時，（1.21）式就不成立，因此Fraunhofer diffraction的理論在此不適用，必須用Fresnel diffraction的理論計算，而繞射圖形如圖中的（a）、（b）、（c）、（d）。在圖3.2，我們可以見到上述繞射圖形的相對強度圖。00.250.50.751-30-20-10010203000.250.50.751-30-20-10010203000.250.50.751-30-20-10010203000.250.50.751-30-20-10010203000.250.50.751-120-80-400408012000.250.50.751-240-160-80080160240(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖3.2 圖3.1繞射圖形的相對應繞射相對強度圖。)(mxμ)(mxμ)(mxμ)(mxμ)(mxμ)(mxμθρ,φ,w=θρηθρξsincos=φφsincoswywx

3.2

圓孔的繞射

在這裡我們仍然是以極座標，來計算平面波通過半徑為

a的圓形小孔的繞射，座標原點位於圓心處。

令（）為圓孔上的極座標系統，（）為觀察光屏上的極座標系統。則：

， （

3.14）

－17－

於是（

3.6）式寫成極座標形式：

[

)cos(2212200φθρρ−+≈wwzzr （3.15） ] −

而（

3.4）式的平面波繞射的積分式為

∫∫==−−⋅

awzkizkiddeeCwU020)cos(2020)(ρπθφθρρθρρ

其中

+−02020zwzikeziAλC，且上式積分與φ值無關，因此

∫∫==−⋅

awzkizkiddeeCwU020cos2020)(ρπθθρρθρρ（3.16）

回顧零次的

Bessel function ： )(0xJ

∫=

πααπ20cos021)(dexJix

所以（

3.16）式可寫成

∫⋅

azkidzwkJeCwU0002)(2)(20ρρρπρ（3.17）

最後，繞射的強度分布為

2)()(wUwI=。

以半徑

10μ的圓孔為例，光波波長0.5μ，所得到Fresnel diffraction的圓孔繞射圖形如圖3.3；其相對應的繞射相對強度圖如圖3.4。由圖中可知，Fresnel diffraction的繞射圖形中央不一定是亮區（相對極大值），這與Fraunhofer diffraction由（2.12）式計算出來的中央為極大值是不同的。mm

事實上，

Fresnel提供了一個所謂Fresnel zones的概念，可以預測繞射圖形中央是否為極大值，見圖3.5。就是在繞射小孔上，區分成許多到達P點波程差為的區域，每一個相鄰的區域波程差皆為，因此到達P點時，相鄰的區域成完全相消干涉。而P點的電場分布可以為2/λ2/λ

n

UUUUPU

++++=LL321)( （3.18）

1

U為第一個區域到達P點的電場分布，U為第二個區域到達P點的電場分布，依此類推；且U。因此中央是否為極大值，可依以下式子作判斷： 2LL,,3412UUU−≈−≈

nzaz

=−+

2/0220λ（3.19）

若

n為趨近整數中的奇數，則中央為極大值；若n為趨近整數中的偶數，則中央為極小值；其餘的n值則在極大值和極小值之間。如圖3.3的（b）、（c），n分別為3.96和1.99，很接近整數的4和2，皆符合極小值的條件；（d）的n值為1，

－18－

符合極大值的條件。但是（

a）的n值為7.7，並不符合極大值和極小值的條件，不過由圖3.4可看出中央為極小值，那是因為我們取Fresnel diffraction的積分式，只取到ξ和η的二次項，當繞射小孔與觀察光屏的距離縮短時，誤差就會開始顯現出來。因此我們知道，Fraunhofer和Fresnel的繞射，基本上都是在數學上取近似值，只不過Fresnel的繞射誤差比較小。

m

μ

32(c)(b)(d)mμ32mμ32mμ32(a)圖3.3 半徑10mμ圓孔的Fresnel diffraction繞射圖形。光波波長0.5mμ，觀察光屏與圓孔的距離為0z。（a）mzμ250=；（b）mzμ500=；（c）mzμ1000=；（d）mzμ2000=。

－19－

m

μmμ

00.250.50.751-16-80816(a)00.250.50.751-16-80816(b)00.250.50.751-16-80816(c)00.250.50.751-16-80816(d)圖3.4 圖3.3繞射圖形的相對應繞射相對強度圖。)(mwμ)(mwμ)(mwμ)(mwμ

PO

0z20λzλ0zλ230+z圖3.5 Fresnel zones示意圖。每一個相鄰的區域波程差皆為2/λ，因此成完全相消干涉。a

4. Fresnel

－Kirchhoff Diffraction

－20－

前面已經說明了

Fraunhofer diffraction是（1.18）式的函數只計算至ξ和η的一次項為止，而Fresnel diffraction則是計算至二次項以上，同時在前文第2部分和第3部分，也比較了這兩種繞射的差異。這一節我們打算從（1.11）式的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula開始，計算平面波的純量繞射，在繞射積分式中不取任何近似值，這樣的模擬結果應該更能接近實際的繞射現象。),(ηξf

4.1

方孔的繞射

首先將（

1.11）式平面波的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula寫成以下形式：

[

),(),(),(21yxiUyxUCyxU+= （4.1） ]

其中常數λ

2iAC−，U和U分別為),(1yx),(2yx

+⋅+⋅

∫∫∫∫ηξηξddrzrkryxUddrzrkryxU202201)sin(),()cos(),( （4.2）

（

4.2）式積分中的距離為2022)()(zyx+−−ηξr（可參考圖1.3的座標），r在積分式中相當重要，若取近似值，便發展為Fraunhofer diffraction或Fresnel diffraction；不取近似值，則在計算繞射的電場分布時，就顯得複雜許多，尤其是在繞射孔較大或者是短距離繞射的情況下，（4.2）式的被積函數在繞射孔的振動就會非常快速，因此我們利用電腦模擬繞射的電場分布時，所花的時間會較長。雖然如此，但其結果會更接近實際的繞射現象，於是計算繞射的強度分布可用),(yxI

]),(),([),(

222yxUyxUCyxI+= （4.3） 2 1

為了區別

Fresnel－Kirchhoff diffraction與Fresnel diffraction的差別，我們以的正方形孔繞射為例，距離分別為1和3，光波波長0.5，用電腦所模擬出來的Fresnel－Kirchhoff diffraction和Fresnel diffraction繞射圖形如圖4.1以及圖4.2。這兩圖的繞射相對強度圖見圖4.3與圖4.4，其中圖4.3是指觀察光屏x軸上的相對強度。mμ33×mμmμ

由這些繞射圖可以比較

Fresnel－Kirchhoff diffraction和Fresnel diffraction，在不同的距離下的繞射情形。這兩圖的（a）是在距離為兩個波長下的繞射，繞射圖有相當明顯的不同；而兩圖的（b）已經有點類似。因此我們可以利用（1.21）式的判別方式，和前文第2部分和第3部分的結論，作為區別繞射的判斷準則：

<−>

000000:~::RzndiffractioKirchhoffFresnelRzndiffractioFresnelRzndiffractioFraunhofer純量繞射（4.4）

－21－

其中ληξ

max220)(+=R。（4.4）式中的Fraunhofer diffraction：z，原則上大約在一個數量級左右，而Fresnel－Kirchhoff diffraction不寫成，是因為距離如果縮得很短，則必須使用向量繞射的積分方式，才有辦法真正模擬實際的繞射情形。00R>>0Rz<<0

m

μ

5.4(b)(a)mμ5.4圖4.1 mμ33×正方形孔的Fresnel－Kirchhoff diffraction繞射圖形。光波波長0.5mμ，觀察光屏與方孔的距離為0z。（a）mzμ10=；（b）mzμ30=。

m

μ

5.4(b)(a)mμ5.4圖4.2 mμ33×正方形孔的Fresnel diffraction繞射圖形。光波波長0.5mμ，觀察光屏與方孔的距離為0z。（a）mzμ10=；（b）mzμ30=。

－22－

00.51-3-2-1012300.51-3-2-10123

(a))(mxμ(b)圖4.3 圖4.1中繞射圖形相對應的繞射相對強度圖。)(mxμ

00.51-3-2-10123

(b)00.51-3-2-10123(a)圖4.4 圖4.2中繞射圖形相對應的繞射相對強度圖。)(mxμ)(mxμ

以本例子的方孔來說，，（

b）圖的為3，與相近，所以在這個範圍內的繞射，基本上可以使用Fresnel diffraction計算繞射的強度分布；而（a）圖的1與差距較大，因此利用Fresnel－Kirchhoff diffraction較為恰當；如果距離再縮短，則必須使用向量積分才行。mμ33×μmRμ5.40=0zmμ0Rm0R

4.2

圓孔的繞射

和

3.2節一樣，令（）為圓孔上的極座標系統，（）為觀察光屏上的極座標系統： θρ,φ,w

=θρηθρξ

sincos ， =φφsincoswywx

則（

1.11）式的Fresnel－Kirchhoff diffraction formula可以寫成以下形式：

[

),(),(),(21φφφwiUwUCwU+= （4.5） ]

其中λ

2iA−C，U和U分別為),(1φw),(2φw

－23－

+⋅+⋅

∫∫∫∫θρρφθρρφddrzrkrwUddrzrkrwU202201)sin(),()cos(),( （4.6）

上式中的

r由極座標可寫為)cos(22220φθρρ−+=wwzr ，積分變數θ範圍為0，因此積分值與φ無關，而r可以簡化為π2~ρρcos22220wwz−+])wθ。最後計算繞射的強度分布。()([)222UwUCw+=(I −

我們可以想像（

4.4）式用來判斷圓孔繞射，作為區別三種繞射的判斷準則，仍然相當有用。例如以半徑2的圓孔繞射，光波波長0.5，其，因此可以推斷距離若為1μ的繞射，應該使用Fresnel－Kirchhoff diffraction的計算才行，見圖4.5。圖中的（a）為Fresnel－Kirchhoff diffraction，（b）為Fresnel diffraction，兩者繞射圖大不相同。圖4.6為其繞射相對強度圖，二者的強度分布不同，且中央的強度值，一為最大值，另一個卻為最小值；若我們由3.2節Fresnel zones的判斷方式，其n為4.94，應該接近最大值才對。mμ≈mμmRμ80=m5

另外用相同的圓孔，距離取

6的繞射，因其與相近，所以可以用Fresnel diffraction作近似，見圖4.7。由圖中可知其強度分布雖不同，但已經很接近。mμ0R

m

μ

6(b)(a)mμ6圖4.5 光波波長0.5mμ，圓孔半徑2mμ，距離為1mμ的繞射。（a）為Fresnel－Kirchhoff diffraction，（b）為Fresnel diffraction。 2 1

－24－

00.51-3-2-10123

)(mwμ(a)圖4.6 圖4.5的繞射相對強度圖。00.51-3-2-10123(b))(mwμ

00.51-4-2024

)(mwμFresnel-KirchhoffFresnel圖4.7 光波波長0.5mμ，圓孔半徑2mμ，距離為6mμ的繞射相對強度圖。藍色曲線為Fresnel－Kirchhoff diffraction，紅色曲線為Fresnel diffraction。

參考文獻：

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