亥姆霍兹定理回答了这个问题。
电磁场与电磁波
主编姚 毅
参编程雪梅 刘密歌
http://218.22.197.10:8200/date%5CO%5CA2086417.pdf
在有限区域
τ内的任一个矢量场A
_
,
由它的散度、旋度和边界条件( 即限定体积τ的闭合
面
S 上矢量场分布) 惟一确定, 这就是亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理的另一种说法是, 在空间
有限区域τ内的任一个矢量场
A
_
,
若已知它的散度、旋度和边界条件, 则该矢量场就被惟一确
定
, 并可表示成一个无旋场( A
_
1
= - è ) 和一个无散场( A
_
2
= è × B
_
)
的叠加。即
A
_
= A
_
1
+A
_
2
= - è + è × B
_
( 1. 6 . 3)
必须指出
, 只有在矢量场A
_
( x, y, z)
是连续的区域内, è ·A
_
和è ×
A
_
才有意义
, 因为它们
都包含着
A
_
对空间坐标的导数。在区域τ内如果存在
A
_
不连续的表面
, 则在这些表面上就不
存在
A
_
的导数
, 因而也就不能使用散度和旋度来分析表面附近的场的行为。
亥姆霍兹定理告诉我们
, 研究一个矢量场的性质时, 需要从矢量的散度和矢量的旋度两方
面去研究
, 一个矢量场A
_
可能既有发散源、又有旋涡源
, 根据亥姆霍兹定理一定有
è ·
A
_
=
è ·A
_
1
+ è ·A
_
2
= è ·A
_
1
= ρ ( 1. 6 . 4)
è ×
A
_
=
è × A
_
1
+ è × A
_
2
= è × A
_
2
= J
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