卷积01 f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分,随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积,把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

  

卷积运算图

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与经过翻转和平移的g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

目录

基本内涵

定义

1. 快速卷积算法
2. 多元函数卷积

性质

卷积定理

在群上的卷积

应用

展开

基本内涵

定义

1. 快速卷积算法
2. 多元函数卷积

性质

卷积定理

在群上的卷积

应用

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编辑本段基本内涵

简单介绍

  卷积的定义

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分（如右图）：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g 一般要比f 和g 都光滑。特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。