qm01 氢原子内部的受激电子态在室温下并不提供任何比热，这是由于热能kBT（大概是0.025 eV）比最低及下一高能阶之间的差（大概是10 eV）要小得多的缘故

能量均分定理

目录

定理简介

定量预测

详细内容

应用价值

量子效应引起的失败

编辑本段定理简介

在经典统计力学中，^[1]能量均分定理是一种联系系统温度及其平均能量的基本公式。能量均分定理又被称作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或仅称均分。能量均分的初始概念是热平衡时能量被等量分到各种形式的运动中；例如，一个分子在平移运动时的平均动能应等于其做旋转运动时的平均动能^[2]。

应用波尔兹曼统计方法可以得到：气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为kT/2,这就是能量按自由度均分定理，简称能量均分定理。

  由能量均分定理得到能量密度曲线

  能量均分定理

在古典统计力学中，能量均分定理是一种联系系统温度以及平均能量的普遍方案。能量均分定理又被称作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或仅称均分。能量均分的原始概念是热平衡时能量被等量摊分成各种形式，例如分子平移运动的平均动能应等于旋转运动的平均动能。

编辑本段定量预测

能量均分定理能够作出定量预测^[3]。类似于均功定理，对于一个给定温度的系统，利用均分定理，可以计算出系统的总平均动能及势能，从而得出系统的热容。均分定理还能分别给出能量各个组分的平均值，如某特定粒子的动能又或是一个弹簧的势能。例如，它预测出在热平衡时理想气体中的每个粒子平均动能皆为(3/2)kBT，其中kB为玻尔兹曼常数而T为温度。更普遍地，无论多复杂也好，它都能被应用于任何处于热平衡的经典系统中。能量均分定理可用于推导经典理想气体定律，以及固体比热的杜隆-珀蒂定律。它亦能够应用于预测恒星的性质，因为即使考虑相对论效应的影响，该定理依然成立。

尽管均分定理在一定条件下能够对物理现象提供非常准确的预测，但是当量子效应变得显著时（如在足够低的温度条件下），基于这一定理的预测就变得不准确。具体来说，当热能kBT比特定自由度下的量子能级间隔要小的时候，该自由度下的平均能量及热容比均分定理预测的值要小。当热能比能级间隔小得多时，这样的一个自由度就说成是被“冻结”了。比方说，在低温时很多种类的运动都被冻结，因此固体在低温时的热容会下降，而不像均分定理原测的一般保持恒定。对十九世纪的物理学家而言，这种热容下降现象是表明经典物理学不再正确，而需要新的物理学的第一个征兆。均分定理在预测电磁波的失败（被称为“紫外灾难”）导致普朗克提出了光本身被量子化而成为光子，而这一革命性的理论对刺激量子力学及量子场论的发展起到了重要作用。

编辑本段详细内容

能量均分定理作出对数量相关的预测。跟均功定理一样，可由指定的系统温度计算出系统热容从而得出系统的总平均动能及势能^[4]。

  中子星

但是，均分定理还能分别给出能量各个部份的平均值，如某粒子的动能又或是弹簧的势能。例如说，它预测出在热平衡时一理想气体的每个粒子平均动能皆为(3/2)kBT，其中k 或kB为玻尔兹曼常数而T为温度。更普遍地，无论多复杂也好，它都能被应用于任何热平衡的古典系统中。能量均分定理被用于推导古典理想气体定律，以及固体比热的杜隆珀替定律。 它亦能够被应用于预测恒星的性质，由于甚至不受相对论效应影响的关系亦适用于白矮星及中子星。

  白矮星

编辑本段应用价值

尽管均分定理能对某些状况提供非常准确的预测，但是当^[5]量子效应变得重要的时候就不会成立。均分定理只于热能kBT比量子能级间的间隔要大得多时才有效。当它比某自由度的量子能级间隔要小的时候，该自由度的平均能量及热容会均分预测的值要小。如此的一个自由度则说成被“冻结”了。比方说，在低温时很多种类的运动都被冻结，因此固体低温时的热容会下降，而不像均分定理原测的一般保持恒定。由于此时古典物理不再正确，对十九世纪的物理学家而言，这样的一个热容下降是他们需要新物理的第一个征兆。均分定理在预测电磁波的失败（又称“紫外灾难”）引导爱因斯坦去提出光本身被量子化而成为光子，这是一个革命性的理论，对刺激量子力学及量子场论的发展起到了重要作用。

  量子化时能量均分定理不适用

由于气体分子本身有一定的大小和较复杂的内部结构，分子除平动外，还有转动和分子内部原子的振动。研究分子热运动的能量时，应将分子的平动动能、转动动能和振动动能都包括进去。它们服从一定的统计规律——能量按自由度均分定理。

  能量守恒提出者焦耳

编辑本段量子效应引起的失败

当热能kBT比能阶间的差要小得多的时候，均分法则就会失效。均分此时不再成立，是因为能阶组成平滑连续能谱的这个假设跟实际情况不近似，而这假设^[6]在上面均分定理推导中有用到。 历史上，古典均分定理在解释比热及黑体辐射时的失败，对表明需要一套物质及辐射的新理论（即量子力学及量子场论）起了关键性的作用。

要说明均分的失效，可考虑一单（量子）谐波振荡子的平均能量，古典个案在上文已讨论过。它的量子能阶为En=nhν，其中h为普朗克常数，ν为振荡子的基本频率，而n则为一整数。某指定能阶正被置于正则系综的概率可由其波兹曼因子得出于高温时，当热能kBT被能阶差hν大得多的时候，指数变量βhν比一要小得多，所以平均能量成了kBT，跟均分定理一致（见图十）。然而于低温时，当hν>>kBT的时候，平均能量走向零——高频能阶被“冻结”了（见图十）。作为另一例子，氢原子内部的受激电子态在室温下并不提供任何比热，这是由于热能kBT（大概是0.025 eV）比最低及下一高能阶之间的差（大概是10 eV）要小得多的缘故。

相近的考量可用于任何能阶差比热能大得多的状况下。例如，^[7]艾尔伯特·爱因斯坦就是用这套论证解决黑体辐射的紫外灾难。 由于在一封闭容器下的电磁场有无限个独立模态，每一个都能被当作谐波振荡器看待，因而就形成了悖论。如果每一个电磁模态皆有平均能量kBT，容器内的能量将为无限大。 然而，根据以上的论证，高ω模态的平均值当ω趋向无限时趋向零；而且描术模态实验中能量分布的普朗克黑体辐射定律，也是根据同一组论证所中得出的。。

此外，^[8]更微妙的量子效应可引起均分定理的修正，例如全同粒子及连续对称。全同粒子效应可在非常高密度且低温时有着显著的效果。比方说金属的价电子可以有几个电子伏的平均能量，正常情况一般对应数万开尔文的温度。如此的状态，密度高得让泡利不相容原理使得古典门径无效化，被称为简并态费米子气体。这种气体对白矮星及中子星的结构很重要。在低温时，玻色-爱因斯坦凝聚（此凝聚中大量全同粒子占据了低能量态）的费米子类比能够形成；这种超流体电子是引起超导现象的成因。