線性代數01 向量空間和其上的線性泛函及對偶空間, 雙線性型式、二次型式及度量向量空間,正交幾何和辛幾何, 內, 積空間

向量空間和其上的線性泛函及對偶空間, 其

上的雙線性型式、二次型式及度量向量空間,正交幾何和辛幾何的分類, 還有大家十分熟悉的內

積空間。

數學傳播31卷4期, pp. 43-56

線性代數五講一一

第三講線性變換

龔昇· 張德健

3.1. 線性變換的矩陣表示

在第一、第二講中, 我們提到線性代數是研究線性空間(向量空間), 模和其上線性變換以

及與之相關的問題的數學學科。在第二講中討論了向量空間和其上的線性泛函及對偶空間, 其

上的雙線性型式、二次型式及度量向量空間,正交幾何和辛幾何的分類, 還有大家十分熟悉的內

積空間。在這一講中將討論向量空間上線性變換以及與之相關的共軛算子及伴隨算子。

設V 及W 分別是體F 上的n 維與m 維向量空間。在這一節中要證明每個T ∈

L(V,W) 與Mm,n(F) 中的一個矩陣對應。這就是T 在Mm,n(F) 中的矩陣表示。不但如此,

還要證明L(V,W), Mm,n(F) 是同構的, 所以對L(V,W) 的討論就是對Mm,n(F) 的討論。

若T ∈ L(V,W), B = {~b1, . . . ,~bn} 與C = {~c1, . . . ,~cm} 分別是V 與W 的基底, 任

給~v ∈ V, 則~v 在基底B 下的座標為

[~v]B = [v1, . . . , vn]T ,

T(~v) 在基底C 下的座標為

[T(~v)]C = [s1, . . . , sm]T .

於是對應於T, 在Fn 與Fm 之間有一線性變換

TA : [~v]B → [T(~v)]C, TA ∈ L(Fn, Fm),

即對應於T, 有一m × n 的矩陣A, 使得

[T(~v)]C = A[~v]B.

現在來決定A。記A = [A1, . . . ,An], 這裡Aj , j = 1, . . . , n 為列向量。取~v = ~bj , j =

1, . . . , n, 則立即得到Aj = [T(~bj)]C, 故

A = [T(~b1)]C, . . . , [T(~bn)]C.

43

 

44 數學傳播31卷4期民96年12月

記A 為[T]B,C, 於是

[T(~v)]C = [T]B,C [~v]B.

[T]B,C 即為當V 的基底為B, W 的基底為C 時, T 的矩陣表示。於是可以定義映射

 : L(V,W) →Mm,n(F)

為(T) = [T]B,C。我們現在來證明這是一個同構映射。先證 為線性映射: 若α, β ∈ F,

T, S ∈ L(V,W), 則對j = 1, . . . , n, 有

(αT + βS)(~bj)C = (αT)(~bj) + (βS)(~bj)C = α T(~bj)C + β S(~bj)C.

故

(αT+βS) = αT+βSB,C = αTB,C+βSB,C = α(T) + β(S)

即 為線性映射。

其次我們來證 為映成: 若A 為一個n × n 矩陣, 且可寫成~A1, . . . , ~An, 這裡~Aj ,

j = 1, . . . , n 為列向量, 定義T : V → W, 使得T(~bj)C = ~Aj , j = 1, . . . , n, 這是可以做

到的, 故 為映成。

最後我們來證 為一對一: 由於TB,C = 0, 導出T(~bj)C = 0, j = 1, . . . , n, 又導

出T(~bj) = ~0, j = 1, . . . , n, 故 = 0。因此,  是一個同構映射。我們得到下面的定理:

定理3.1.1: L(V,W) t Mm,n(F)。

由T 的矩陣表示還可以導出: 若S : U → V 及T : V → W, 且B, C 與D 分別為

U 、V 及W 的基底, 則

T ◦ SB,D = TC,DSB,C.

因此, T ◦ S 的矩陣表示為T 與S 的矩陣表示之乘積。

驗證如下: 由於當~u ∈ U, ~v ∈ V 時, 有

S(~u)C = SB,C~uB,

及

T(~v)D = TC,D~vC,

故

TC,DSB,C~vC = TC,DS(~u)C = T(S(~u))D = TSB,D~uB.

線性代數五講45

假設T ∈ L(V,W)。我們現在來討論當V 與W 的基底變換時, T 的相應的矩陣之間的

關係。若B 與C 分別是V 與W 的基底, B′ 與C′ 也分別是V 與W 的基底, T 對基底B

與C 及B′ 與C′ 分別有矩陣表示TB,C

及TB′,C′ , 於是有: 對任意~v ∈ V, 下式成立:

T(~v)C = TB,C~vB , T(~v)C′ = TB′,C′~vB′ . (3.1.1)

在第二講中已討論過, 對任意~v ∈ V, 我們有:

~vB′ = MB,B′~vB , T(~v)C′ = MC,C′T(~v)C.

將這兩等式代入(3.1.1), 我們便得到

T(~v)C′ = MC,C′T(~v)C = MC,C′TB,C~vB.

而

T(~v)C′ = TB′,C′~vB′ = TB′,C′MB,B′T(~v)B.

由於~v 為V 中任意的向量, 故

TB′,C′MB,B′ = MC,C′TB,C,

也就是

TB′,C′ = MC,C′TB,CM−1

B,B′ .

換句話說, TB′,C′ 與TB,C

是等價的。特別當V = W 及T ∈ L(V), 且B = C 與B′ = C′

時, TB,B = TB, TB′,B′ = TB′ , 於是有

TB′ = MB,B′TBM−1

B,B′ ,

也就是說TB

與TB′ 是相似的。在第五講中我們將討論T 在相似意義下的分類。

3.2. 伴隨算子

由線性變換T ∈ L(V,W), 可以導出各種與之相關的線性變換來。在這一節中先來定義

與討論在一般向量空間上的線性變換的伴隨算子。

若T ∈ L(V,W), 可定義W 的對偶空間W∗ 到V 的對偶空間V∗ 的的映射T× :

W∗ → V∗ 為

T×(f) = f ◦ T = fT, ∀ f ∈ W∗.

46 數學傳播31卷4期民96年12月

這是有意義的, 因為T : V → W, f : W → F, 故fT : V → F, 於是屬於V∗, 即對任意

~v ∈ V, 我們有:

T×(f) (~v) = f(T(~v)).

T× 稱為T 的伴隨算子。我們非常容易證明下面的命題。

命題3.2.1: (1). 對任意T, S ∈ L(V,W), 有

(T + S)× = T× + S×.

(2). 對任意α ∈ F 及T ∈ L(V,W), 有

(α T)× = α T×.

(3). 對任意T ∈ L(V,W) 及S ∈ L(W, U), 有

(S ◦ T)× = T× ◦ S×.

(4). 對任意可逆之T ∈ L(V), 有

(T−1)× = (T×)−1.

證明:(1) 與(2) 是顯然成立的。對於f ∈ U∗,

(S ◦ T)×(f) = f S T = T×(fS) = T×(S×(f)) = (T× ◦ S×)(f),

故得(3)。由(3), 我們知

T×(T−1)× = (T−1 T)× = I× = I,

這裡I 為恆等映射。同樣(T−1)×T× = I, 故得(3)。命題因而證畢。

命題3.2.2: 若V 為有限維向量空間, T ∈ L(V,W), 且假設V∗∗ 與V 等同, W∗∗ 與W

等同, 則T×× = T。

證明: 由定義, T×× : V∗∗ → W∗∗。對任意f ∈ W∗, 我們有

T××(~v∗∗)(f) = ~v∗∗T×(f) = ~v∗∗(fT) = fT(~v) = T(~v)∗∗(f),

這裡~v∗∗ 由2.2節中定義: ~v∗∗ 由~v 而來, ~v∗∗ ∈ V∗∗, 定義為~v∗∗(g) = g(~v), 這裡g ∈ V∗。

由上式即得

T××(~v∗∗) = T(~v)∗∗.

線性代數五講47

如果V∗∗ 與V 等同, W∗∗ 與W 等同, 則上式即為

T××(~v) = T(~v)

對所有~v ∈ V 都成立, 故T×× = T, 命題因而證畢。

此外, 伴隨算子與2.2節中定義的零化子還有以下一些結果。

命題3.2.3: 若T ∈ L(V,W), 則

(1) ker(T×) = Im(T)◦;

(2) Im(T×)◦ = ker(T);

(3) 當V 與W 均為有限維向量空間時, Im(T×) = ker(T)◦。

證明: 由定義, T : V → W, T× : W∗ → V∗, 故

f ∈ ker(T×)⇔T×(f) = 0 = fT

⇔f(T(~v)) = 0, ∀ ~v ∈ V

⇔f(Im(T)) = 0

⇔f ∈ Im(T)◦.

這就證明了(1)。由於

~v ∈ ker(T)⇔T(~v) = ~0

⇔f(T(~v)) = 0, ∀ f ∈ W∗

⇔T×(f)(~v) = 0

⇔~v∗∗(T×(f)) = 0, ∀ f ∈ W∗

⇔~v∗∗ ∈ Im(T×)◦.

若V∗∗ 與V 等同, 我們便證明了(2)。

最後來證明(3)。對所有~v ∈ ker(T), f ∈ W∗, 有

T×(f)(~v) = f(T(~v)) = 0.

所以T×(f)(ker(T)) = 0, 即T×(f) ∈ ker(T)◦, 這裡對所有的f ∈ W∗ 都成立, 故

Im(T×) ⊂ ker(T)◦.

若向量空間為有限維, 則由命題2.2.4以及上述(2), 我們得到:

Im(T×) t Im(T×)◦◦ t ker(T×)◦.

48 數學傳播31卷4期民96年12月

因此, Im(T×) = ker(T)◦。命題因而證畢。

由此還可得到如下命題。

命題3.2.4: 若T ∈ L(V,W), V 與W 均為有限維向量空間, 則T 與T× 的秩滿足

rank(T) = rank(T×)。

證明: 由命題2.2.6 中的(1) 知道

ker(T)◦ t 􀀀ker(T)c
∗

,

這裡ker(T)c 為ker(T) 在V 中的餘集。另一方面, 由命題3.2.3中的(3), Im(T×) =

ker(T)◦, 故

dim(Im(T×)) = dim􀀀ker(T)◦
= dim􀀀ker(T)c
∗

= dim􀀀ker(T)c
= dim􀀀Im(T)
,

這是因為ker(T)c t Im(T)。於是rank(T) = rank(T×), 命題因而證畢。

若V 與W 均為有限維向量空間, T ∈ L(V,W), T× ∈ L(W∗, V∗), B = {~b1, . . . ,~bn}

與C = {~c1, . . . ,~cn} 分別為V 與W 的基底, 而B∗ = {~b∗

1, . . . ,~b∗

n} 與C∗ = {~c∗

1, . . . ,~c∗

n}

分別為對偶基底, 於是T 有矩陣表示TB,C, T× 有矩陣表示T×C∗,B∗ , 這兩個矩陣之間關

係如何?

已知

TB,C = [T(~b1)]C, . . . , [T(~bn)]C,

及

T×C∗,B∗ = [T(~c∗

1)]B∗ , . . . , [T(~c∗

n)]B∗,

由於T(~bj) ∈ W, 故在基底C 下, 這可表示為

T(~bj) = β(j)

1 ~c1 + β(j)

2 ~c2 + · · · + β(j)

n ~cn,

即[T(~bj)]C = β(j)

1 · · · β(j)

n T

, j = 1, . . . , n, 於是

TB,C =



β(1)

1 · · · β(n)

1

 

β(1)

2 · · · β(n)

2

 

...

. . .

...

β(1)

n · · · β(n)

n

 



.

線性代數五講49

由於T×(~c∗

j ) ∈ V∗, 故在基底B∗ 下, 這可表示為

T×(~c∗

j ) = α(j)

1

 

~b∗

1 + α(j)

2

 

~b∗

2 + · · · + α(j)

n

 

~b∗

n,

即[T×(~c∗

j )]B∗ = α(j)

1 · · · α(j)

n T

, j = 1, . . . , n, 於是

T×C∗,B∗ =



α(1)

1 · · · α(n)

1

 

α(1)

2 · · · α(n)

2

 

...

. . .

...

α(1)

n · · · α(n)

n

 



.

由T× 的定義知

T×(~c∗

j )(~bk) = c∗

j􀀀T(~bk)
, j, k = 1, . . . , n,

而這就是

α(j)

k = β(k)

j .

於是我們得到下面的定理:

定理3.2.1: T×C∗,B∗ = (TB,C)T , 即T 的伴隨算子T× 所對應的矩陣表示是T 所對

應的矩陣表示的轉置。

3.3. 共軛算子

在上一節中對於一般的向量空間上的線性變換, 定義並討論了其伴隨算子。當向量空間是

內積空間, 對其上的線性變換, 則可定義並討論其共軛算子。這是內積空間中十分重要的算子,

由此可以導出一系列的結果, 這是本節的內容。由內積空間的Riesz 表示定理(見2.4節), 若

V 是有限維內積空間, f ∈ V∗, 則存在唯一的~x ∈ V, 使得

f(~v) = h~v, ~xi, ∀ ~v ∈ V.

由此可以定義映射φ : V∗ → V 為φ(f) = ~x, 即φ(f) 定義