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彩票的逻辑斯蒂映射（全文）
倪大成
摘要：本文用20世纪科学第三次革命的混沌（Lhaos）理论，在涨落中建立彩票的逻辑斯蒂映射（Logistic map），揭示了彩票混沌之谜及其运动规律, 科学地预测了彩票的短期行为。
关键词：彩票 混沌 映射 预测
彩票这个降落在地球巳有一千多年的怪物,在20世纪科学的第三次革命的混沌（Chaos）理论面前，揭开了它真实的面纱。本文用混沌理论在漲落中建立彩票的逻辑斯蒂映射（Logistic
map）, 揭示彩票混沌之谜，描述彩票混沌运动的客观规律，运用彩票结构预测模型科学地预测了彩票的短期行为。（本文以双色球为解剖对象,
文中的彩票指乐透型彩票）
一、一个伟大的方程＿逻辑斯蒂映射
解方程f（x）﹦0, 是数学上一个重要的课题。可是不少物理和工程问题,
特别是非线性问题要得到解析解是非常困难的。如果令 g（x）﹦f（x）＋x, 那么解方程就变成了求g（x）的不动点问题。事实证明, 通过这一简单的变换,
不仅有相当一大批函数, 求不动点比求根更容易, 而且建立起一种有别于四则运算、二进制、三进制等新的迭代运算模式。当我们从某奌x0 出发,
建立一个列数x0 、f（x0）、f（f（x0））、…,
就叫函数的迭代。当有n个f就呌n次迭代。如果这一系列数无限趋于某一个数, 这个数就是函数f的不动点。从解方程到求解不动点这小小的改变, 不仅打开了拓扑学的大门,
而且论证了数理经济学上长期以來蕴酿的“经济均衡理论”的基本问题。美國伯利克加卅大学的德布鲁（G.Debreu）教授把不动奌理论与均衡经济的存在性联系起來,
论证了经济均衡的最优状态的存在,
荣获了1983年的诺贝尔奖。从此,“20世纪是经济学真正大放异彩的时代”到来了。不动点理论成为20世纪70年代科学发展的另一项重大成就。
不动奌理论深入到生物学, 又掀起了一埸逻辑斯蒂映射的生物学、生态学的混沌革命。长期以來,
科学上流传一个笑话：当有人问数学家、物理学家、工程师和生物学家“ ” 时, 数学家说,“它等于园周长除以它的直径” ；物理学家说,“它是3.141593,
误差多为0.000001” ；工程师说,“它大约是3”；而生物学家则反问道,“什么 ”。当然, 这是一种漫画式的笑话, 但现代科学的发展, 己开始了逆转,
原来应用数学最少的生物学, 在20世纪引进了数学以后, 进行了质的飞跃, 甚至有人说20世纪是生物学的世纪。逻辑斯蒂映射（Logistic
map）xn＋1﹦ xn（1－xn）, 己有近一个世纪的历史,
但它的科学内涵最早发现的却是始于生物学。这个方程乍一看每个中学生都知道, 是一个“简单”的单变量二次映射。就是“在0和1之间取一个数字xn
, 将这个数字xn 乘以它与1之差, 再乘以一个固定常数 另一个0与1之间的数xn＋1 。”
数学家们不把这类关係式称为方程, 而是“映射”, 因为它描述了如何把一个初始数字,“映射”为另一个数字,
而这一特殊的區间到區间的上述“映射”称为逻辑斯蒂映射。Logistic“逻辑斯蒂”來自法文Loistigue, 意为部隊宿营地。这个非线性差分方程,
除了一些特殊的参数值外, 它的解并不容易写出来。看起似乎很简单, 却又是蕴藏着复杂动力学行为深奥内涵的映射, 直到20世纪70年代才揭示出来,
有些研究成果更是近几年的事。1974年真正对该方程的整体行为模式变化进行深入研究的,
是由美國物理学家转为生态学家的被称为世界一些领銜科学家之一的罗伯特·梅（Robert May）, 他通过逻辑斯蒂映射,
对世代更替跳跃于各种不同族群的振荡中找到了规律, 成功地全面的揭示了种群演化的非线性动力学特性, 他说：“怎样能够修改‘馬尔萨斯’映射x（下一个）﹦ （这里
）从而使它又实际呢？答案之一就是逻辑斯蒂映射x（下一个）﹦ ，… 这个量表示增长速率, 它的值是池塘环境的特征,
这个新的因子（1－x初始）确保了x（下一个）不会增长太快, 因为当x（初始）上升时,1－x（初始）就会下降,
使得下一代的种群数量x（下一个）处于控制之中（如果x一旦超过3）, 该种群就灭绝了，” “那么,
逻辑斯蒂映射对金魚种群数量的动力学行为（以及它可能适用的其他现象）的预言是什么呢？…让我们为择3个值（你馬上就会看到我为何要选择它们）：2.4、3.4、3.99。…在第一种情况（
）中, x（下一个）很快就平稳下来, 停留在一个稳定值, …这意味着池塘里的鱼的种群数量会变得恒定, 。下一种情况（ ）中,
x（下一代）不断地在一个最高值和一个最低值之間上下跳跃。金魚群落中的数量不断地回到同一个值（这就是所谓的周期性）, 并且每隔一代就会发生一次。最后一种情况（
）很奇异：x（下一代）上下跳跃, 遍及所有值。这就是‘混沌’＿金魚种数数量是波动的, 看來好像没有节奏或原因,
完全是不可预知的。”《注一》 他应用逻辑斯蒂映射虽然己经揭开了种群演化的“混沌”之谜，开辟了现代生态学的新篇章,
但是他当时并不知道。1975年美籍华人科学家李天岩和他的导师约克首次提出“混沌”这个科学内涵的术语, 并揭示出“周期3则混沌” 以后,
罗伯特·梅的重大贡献和混沌理论一起才开始爆炸性地发展起來。1978年美國科学家费根鲍姆（Feigenbaum）对逻辑斯蒂映射倍周期分岔过程的研究,
发现前后分岔纵向间距之间、横向间距之间的比值都各趋于一个常数
4.669201609…、﹦2.502907875…，又把逻辑斯蒂映射推向了顶峰。逻辑斯蒂映射这个简单又具有深奥内涵的变换模式,
很快在数学、物理、微生物、种群、人口、社会等各个领域得到了广泛的应用,
并出现了多种书写形式和等价的变换模式。如《注2》
Pn＋1﹦Pn＋rPn（1－Pn）
P﹦P0 〔1＋r（1－P0／M）〕n
Xn＋1 ﹦μXn（1－Xn）
Xn＋1﹦ Xn －bXn2
Xn＋1﹦1－μX2
Xn＋1﹦μ－X2
……………
现代科学的发展表明, 逻辑斯蒂映射不仅经得起理论推导与实踐结合的检验,
而且又被譽为当代最杰出的科学理论中11个伟大方程之一。这11个现代科学之伟大方程, 如果按时间顺序排列,
它们是：普朗克·爱因斯坦方程、六分仪方程E﹦mc2
、爱因斯坦的广义相对论方程、薛定格的波动方程、狄拉克方程、香农方程—杨·米尔斯基方程、德雷克方程、生命的方程＿进化论的数学、逻辑斯蒂映射、莫利纳—罗兰化学方程和CFC问题。《注1》
当今, 无论在理论上, 还是实騐上研究复杂现象、非线性现象, 都常把逻辑斯蒂映射作为原型,
并常写成Xn＋1﹦λXn（1－Xn）的形式。彩票作为一种多体、多元、多形式、多层次、多要素的非线性的复杂现象是否也存在逻辑斯蒂映射的关係,
自然摆在了彩票研究的面前。
二、彩票的逻辑斯蒂映射
诺贝尔奖金获得者伊里亚·普里戈金（llya prigogine）说：“通过涨落达到有序”《注3》。“涨落”, 指系统的状态自发产生的与平均态的暂时的、微小的偏离。彩票是否存在涨落现象，我们可以用一张坐标纸按开奖顺序逐期记录双色球的33个红球，16个蓝球的中奖号码、涨落高度和每期6个红球涨落的总高度、平均总高度。详见表（一）。符号“※”和“ ”分别表示相应期摇出的红球和蓝球，未摇出的用整数1、2、3、4、5、……,表示涨落高度。如，2008年第133期的中奖红球为8(X1)、11（X2）、16（X3）、19（X4）、24（X5）、26（X6），它们的涨落高度分别等于5（h1）、6（h2）、0（h3）、4（h4）、3（h5）、7（h6），这期6个红球涨落的总高度（即高度和）为H=h1+h2+h3+h4+h5+h6=5+6+0+4+3+7=25,平均总高度H = ==4.2(精确度0.1，4舍5入）。表（一）记录了00080130期到20080154期的涨落情况，发现每期6个中奖红球涨落的总高度Hi都不相同，且在20080130—20080154期的平均总高度 H = =4.2的上下偏离，即是说每期开奖的6个红球的整体行为都出现离开原来状态的涨落现象，这种现象源于摇奖机启动以后彩球不断从外界吸收运动的能量和信息，但当关闭摇奖机的电源，所有彩球逐渐在摇奖机的底部静止下来，处于平衡状态。这时每个彩球在表（一）中都表现出在相应开奖期的涨落高度。因此我们说, 彩票系统的运动存在涨落现象, 而且通过无穹的涨落达到有序的, 涨落是彩票有序结构的源泉。所谓“涨落高度”h（t）, 指某个或某期彩球在相邻两次中奖期的间隔。涨落高度在数量上等于相邻两次中奖时开奖期期数之差再减1 。
h（t）=（n＇﹣n）-1
其中n＇表示第n+1期的开奖期数，n 表示第n期开奖期数。值得注意的是，中奖期不等于开奖期。
为了探讨彩票在涨落运动中的规律, 我们继续分析表（一）所记录的20080130—20080154每期红球的涨落情况。例如，20080133期33个红球的涨落高度分别为3、2、4、7、5、20、9、0、1、8、0、2、1、7、2、0、18、2、0、5、9、2、12、0、1、0、1、3、8、3、12、2、1，33个红球在第20080133期的涨落总高度H=3+2+………+1=150，平均总高度= =4.6
设想摇奖机每期不摇出任何一个中奖号码，那么在表（一）中所表现出的33个红球涨落都各增加1个单位，33个红球共增加33X1=33个单位。如果每期都摇出完全相同的6个中奖号码，那么这6个红球从第n期到第n+1期的涨落高度均等于0，6X0=0（个）单位。换句话说，每期摇出6个相同的中奖号码后，33个红球涨落的总高度应会从第n期到第n+1期减少6个单位，这时第n+1期的涨落总高度Hn+1比第n期的涨落总高度Hn会增加（33-6）＝27（个）单位。
显然，这种增长是线性的。令第n期到第n+1期的增长率为r
r = = Const
则 Hn+1=Hn+rHn=(1+r)Hn
此时，该方程对于任何一期n 都成立
即 Hn=(1+r)Hn-1
∵ Hn-1=(1+r)Hn-2代入上式得
Hn=Hn-2(1+r)2
又Hn-2=(1+r)Hn-3
∴ Hn=Hn-3(1+r)3
同理 Hn=Hn-m(1+r)m
令n-m=0 则 m=n Hn-m=H0 代入上式得
摘要：本文用20世纪科学第三次革命的混沌（Lhaos）理论，在涨落中建立彩票的逻辑斯蒂映射（Logistic map），揭示了彩票混沌之谜及其运动规律, 科学地预测了彩票的短期行为。
关键词：彩票 混沌 映射 预测
Pn＋1﹦Pn＋rPn（1－Pn）
P﹦P0 〔1＋r（1－P0／M）〕n
Xn＋1 ﹦μXn（1－Xn）
Xn＋1﹦ Xn －bXn2
Xn＋1﹦1－μX2
Xn＋1﹦μ－X2
……………
二、彩票的逻辑斯蒂映射
诺贝尔奖金获得者伊里亚·普里戈金（llya prigogine）说：“通过涨落达到有序”《注3》。“涨落”, 指系统的状态自发产生的与平均态的暂时的、微小的偏离。彩票是否存在涨落现象，我们可以用一张坐标纸按开奖顺序逐期记录双色球的33个红球，16个蓝球的中奖号码、涨落高度和每期6个红球涨落的总高度、平均总高度。详见表（一）。符号“※”和“ ”分别表示相应期摇出的红球和蓝球，未摇出的用整数1、2、3、4、5、……,表示涨落高度。如，2008年第133期的中奖红球为8(X1)、11（X2）、16（X3）、19（X4）、24（X5）、26（X6），它们的涨落高度分别等于5（h1）、6（h2）、0（h3）、4（h4）、3（h5）、7（h6），这期6个红球涨落的总高度（即高度和）为H=h1+h2+h3+h4+h5+h6=5+6+0+4+3+7=25,平均总高度H = ==4.2(精确度0.1，4舍5入）。表（一）记录了00080130期到20080154期的涨落情况，发现每期6个中奖红球涨落的总高度Hi都不相同，且在20080130—20080154期的平均总高度 H = =4.2的上下偏离，即是说每期开奖的6个红球的整体行为都出现离开原来状态的涨落现象，这种现象源于摇奖机启动以后彩球不断从外界吸收运动的能量和信息，但当关闭摇奖机的电源，所有彩球逐渐在摇奖机的底部静止下来，处于平衡状态。这时每个彩球在表（一）中都表现出在相应开奖期的涨落高度。因此我们说, 彩票系统的运动存在涨落现象, 而且通过无穹的涨落达到有序的, 涨落是彩票有序结构的源泉。所谓“涨落高度”h（t）, 指某个或某期彩球在相邻两次中奖期的间隔。涨落高度在数量上等于相邻两次中奖时开奖期期数之差再减1 。
为了探讨彩票在涨落运动中的规律, 我们继续分析表（一）所记录的20080130—20080154每期红球的涨落情况。例如，20080133期33个红球的涨落高度分别为3、2、4、7、5、20、9、0、1、8、0、2、1、7、2、0、18、2、0、5、9、2、12、0、1、0、1、3、8、3、12、2、1，33个红球在第20080133期的涨落总高度H=3+2+………+1=150，平均总高度= =4.6
设想摇奖机每期不摇出任何一个中奖号码，那么在表（一）中所表现出的33个红球涨落都各增加1个单位，33个红球共增加33X1=33个单位。如果每期都摇出完全相同的6个中奖号码，那么这6个红球从第n期到第n+1期的涨落高度均等于0，6X0=0（个）单位。换句话说，每期摇出6个相同的中奖号码后，33个红球涨落的总高度应会从第n期到第n+1期减少6个单位，这时第n+1期的涨落总高度Hn+1比第n期的涨落总高度Hn会增加（33-6）＝27（个）单位。