管中窥豹之非交换几何
作者: 季候风最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.
历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振.
Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理.
Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚.
http://juang.bst.ntu.edu.tw/BC2008/slides/Cellx3.htm
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生物化學基礎 Biochemistry Basics 2008
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第三節 討論細胞內的分子，其中最大量的就是水分子；水分子是化學酸鹼度的根本，因為水分子會解離成 H+ 及 OH- 兩種離子，而 H+ 的濃度即為 pH 的定義。我們將重新看水分子的構造，可能會與你以前所知道的水分子，不太一樣。
中間一節 3.2 雖然標明是『細胞的組成分子』，但只是在做一文字整理，並不詳細說明，重要的是要引出第三小節 3.3；各種生物分子之間的聯繫或作用力，都是以次於共價鍵力量的『二級鍵』所引導；請一定要明瞭這些力量的生成原因，及其作用的方式與功能。
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在 週期表上，可挑出地球上最豐富的幾種原子 – 碳、氫、氧、氮。因為它們的原子量都不大，容易在宇宙生成，因此方便取得應用。另外，兩個較小原子之間的鍵結，原子核的間距較短，會有較強的鍵能，所生成的化合物比較穩固。因此很自然地，地球上的生物便採取了這種以碳氫氧氮為主的組合系統，也是有機化學的主要探討對象。
碳、氮、氧扣除內層的兩個電子後，其外層電子依序是 4, 5, 6，分布在一個 2s 軌道與三個 p 軌道上繞行，依據量子力學的計算，這四個軌道可以平均起來，重新分配成四個相同的混成軌道，稱為 sp3；基本上碳氮氧都可以看作是這種混成軌道，把上述的 4, 5, 6 個外層電子依序放到四個軌道中，因此碳原子每個軌道都含單一電子，氮有一個軌道含有飽和的兩個電子，氧原子則有兩個飽和。若把上面含單一電子的軌道以氫原子填滿，碳可接四個氫，便是 CH4，氮接三個氫成為 NH3，氧接兩個成為 H2O，這些物質可能是早期地球上最豐富的物質。
上面的 sp3 混成軌道並非特例，許多較大的原子也會產生類似的混成，例如比碳大的同行原子矽，也是以 sp3 的混成方式組成氧化矽晶體，並可用電子顯微鏡觀察到，請見本小節的最後一張圖片 (C3-16)。
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除了 與氫原子結合外，碳也可以與其他原子結合，其中若與其他碳原子結合，在所形成的碳長鏈上，再接上其他原子，便可組成多采多姿的各種有機化合物。碳的這種組合特性極為驚人，因為碳有四個含有單一電子的『半空』sp3 軌道，每個軌道都可以接上另一個原子，如此四個方向連綿不斷，可長可短，可簡單可複雜。有機化學便是研究以碳為主角的各種化合物，及其種種反應。
除了碳之外，氮與氧的角色也很重要。當氮或氧原子接到碳的長鏈上去，配合以氫去填滿原子軌道，便可以組成種種官能基。例如，在兩個碳的分子鏈上 (C-C)，加上一個氧原子 (C-C-O-)，這個氧原子必須再接一個氫 (因為氧有兩個單原子的空軌道)，成為 C-C-OH 便得醇基，寫成 CH3-CH2-OH 就是乙醇。如此，若接上氮原子形成 –NH2 的胺基，或者較複雜的 –COOH 酸基。 有一類分子也是以碳原子為中心，碳的四個鍵結分別接上胺基、酸基、氫以及一個任意基團，因為同時含有胺基及酸基，因此稱為胺基酸，可說是建構生物體的基本磚塊。
當兩個原子接在一起時，雙方各出一個電子，形成共用兩個電子的共價鍵。但是，兩個原子核對這兩個共用電子的吸引力並不相同，使得電子在分子上的分佈不很均勻，經常偏向某個原子，就是分子具有『極性』的原因。原子之間，對電子為何有不同的吸引力？ 這是因為它們的原子核中，帶正電的質子數目不同所致；例如氧原子在週期表的右側，含有八個質子，因此它比只含有六個質子的碳原子，更能吸引電子 (陰電性很高)。
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一直 談碳原子的重要性，對氧原子有點不公平，因為氧原子與兩個氫組成的水分子，可說是無所不在、無處不入的重要生命分子。 大家不要再以簡單的 H2O 來看水分子，因為水分子的性質，不只是表面的這三個英文及數字而已；而其立體構形，也不只是長得像米老鼠頭型的三個連環泡泡。
不要忘記氧原子也是用 sp3 混成軌道，其外層電子數為 6，因此有兩個軌道是飽和的，電子分配為 2-2-1-1，後面兩個單電子軌道則分別接一氫原子，成為氧化二氫 (H2O)。 這兩個已經飽和的軌道稱為 lone pair electrons (lp)，經常被忽視，忘記了它們在水分子性質上的重大影響與貢獻。 這兩對 lp 佔據了水分子相當大的體積，約有一半都被 lp 電子所佔據，形成帶有極強負電的一端。
另一方面，氧與氫的陰電性相差甚大，其共價電子幾乎都被氧原子搶去，兩個氫原子幾乎是以質子裸露在外，因此形成帶有正電的一端。如此的兩個正負極端，使水分子具有很強的極性。可把水分子看成具有四隻腳的模型：兩隻較大，帶負電；兩隻較小，帶正電；兩兩則互相垂直。這樣的分子形態，使得水分子具有極強的『介電常數』，很容易介入一對正負離子之間，並分隔這一對離子，就是『水合作用』的基礎。
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水分子 因為其電子的不均勻分配，具有很強的極性，因此也有很強的介電常數，幾乎是自然界中，介電常數最大的生物分子。比較許多有機分子，可發現越是對稱的分子，或者比較飽和的分子，其介電常數越小，都可以用電子分佈的均勻程度來說明。
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因此，在水溶液中，因為水分子的強大介電能力，使得兩個正負基團之間，無法順利形成離子鍵。若此水溶液中含有鹽類，例如 NaCl，則加劇此一現象：鹽類離子被水合作用溶離出來，所溶出的離子被上述正負基團所吸引，更加阻礙其離子鍵的形成。
右上圖提出一個陷阱：既然鹽類離子 (Na+, Cl-) 會大量被吸附到上述的兩個相對正負基團 (-COO-, -NH3+)，則這些離子可聚集成更大的正負聚落，因此可以產生更強的吸引力。 答案當然是錯，但問題在哪裡？
在細胞的水溶液環境中，蛋白質分子間經常要進行專一性的辨認，很多情況都要靠離子鍵的形成，但是如何去避免水分子的干擾？ 主要是因蛋白質可以形成固定的構形，此構形使得兩分子間的正負電結合，是處在一個凹陷的口袋中進行；在此種分子形狀的限定下，水分子或離子無法自由進入，穩定的離子鍵便得以形成。
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但是 高中課本常說，離子鍵的能量大約與共價鍵差不多。這是在真空中的測量結果，若在水溶液中，離子鍵只有 3 kcal/mole 鍵能。另一個受到水分子影響的是氫鍵 (見下圖)，因為氫鍵是利用氫質子與負電基團間產生的吸引力，水分子很容易介入。
凡得瓦爾力幾乎不受水分子影響，是因為凡得瓦爾力是非極性分子之間，所誘導的短暫微弱吸引力所形成，既然是非極性分子間的把戲，那就不會受到極性分子的影響。
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既然 名為氫鍵，當然一定有氫原子涉入。當氫原子與高陰電性的原子 (例如 N) 組成基團 時 (-N-H)，氫的電子會被搶走，露出質子的正電荷；若附近有另一個帶有較強負電性的原子 (:O=)，則正負電荷之間會形成類似離子鍵的鍵結 (–N-H…O=)，就稱為氫鍵。 如此說來，氫鍵也是離子鍵的一種？ 那倒也沒錯，只是一定要以氫原子當作正電荷的來源，而且比真正的離子鍵弱。
上述 –N-H…O= 氫鍵的連線中，若這幾個原子在同一直線，則所形成的氫鍵將是最強的；若因為立體構造的限制，使得三者連線有轉折點，則氫鍵鍵能減弱。這些強強弱弱的氫鍵，在生物的分子構造中，扮演非常重要的角色，以後我們將會提到。其重要性，可能超過你的想像，它決定了生命的複製，組成了活性分子的主要運作力量，甚至是生命泉源的水分子中的主要成份 (下圖)。
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本圖由『時新出版社』重繪
一杯 水中的億萬個水分子，其實都互相以氫鍵連結著，只是這種鍵結非常弱，隨時在斷裂，但也隨時在形成著，只要一般室溫的能量，就可以打斷 (因此在室溫下，水是可流動的液體)。但是，當室溫漸漸下降並接近零度，此時外來能量無法再破壞氫鍵，水分子便以氫鍵搭成一個晶格狀構造，就是凝結成冰的現象。
因此，當我們喝下一杯水，可以想像喝入億萬個氫鍵，會不會覺得活力十足？ (因此『能量水』是真的！ 哈~哈~)
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本圖由『時新出版社』重繪
水分子 所形成的動態晶格構造，雖然不是固定的，但也有相當的排它性，通常若不能與水產生氫鍵的分子，都會被排斥 (例如非極性的一些飽和碳氫化合物)。若硬是把非極性分子溶入水中，這些非極性分子便會互相聚集在一起，產生另一類吸引力量，稱為疏水鍵。 雖然疏水鍵可說是被水排斥所產生的，但也有積極的吸引力量，因為非極性分子之間，也可以凡得瓦爾力互相吸引。
疏水鍵在生物的水溶性環境中，也扮演很重要的角色。例如細胞膜就是利用脂質的非極性尾巴，兩兩相吸聚合成薄膜。水溶性蛋白質的中央部份，是一個堅實的疏水性核心，使得蛋白質的正確立體構形得以維持。核酸的鹼基對之間，是以疏水性引力，維持 DNA 的雙螺旋構造，以維護遺傳密碼的安全貯藏，不致外露在水溶性環境中，遭受破壞。
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本圖由『時新出版社』重繪
水分子 間的晶格，是一種動態的氫鍵結構，氫鍵可以說是在各水分子間『流動』著，因此一般室溫下的水是液態的。 但是若水溶液中有非極性的分子溶在其中，則一部份水分子會『凝結』在這些非極性分子的外圍，連結成類似籠子的構造 (水籠)，把疏水性分子隔離在裡面。
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若要 分類自然界中的所有分子，可以大略分成極性及非極性兩大類。
極性分子上的電子分佈不均勻，導致分子上某些部份的電子密度較大，因而產生偶極性，偶極會有暫時性的微弱正負電荷產生；因此兩個極性分子相遇，可利用其偶極性的微弱正負電荷互相吸引，會產生微弱的親和力。
反之，非極性的分子上，其電子密度分佈較為均勻，因此不容易有偶極產生，事實上非極性分子上不會帶有明顯電荷。非極性的分子，比較喜歡與非極性的分子接近，除了形成凡得瓦爾力之外，也可看作因為無法與極性分子形成氫鍵，被極性分子排斥所造成的。
為何極性分子上的電子密度分佈會較不均勻？ 若分子內的任何兩個原子之間，其間的陰電性相差太大，例如 氫 (陰電性 2.1) 與氧 (3.5)，則氫原子上的電子會被氧原子所吸引，使得氫氧附近的電子分佈不均勻 (因此 –OH 是個極性基團)。 反之，碳 (2.5) 與氫 (2.1) 之間的陰電性相差較小，因此飽和碳氫化合物都是屬於極性較小的非極性分子 (如 –CH3)。 陰電性是描述一個原子搶電子的能力，陰電性大者容易搶奪其相鄰原子的電子。這與其原子構造有關，在週期表右方的原子，因為其原子核內的質子數相對上越來越多，正電荷較大，因此吸引電子的能力也較大。
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同一 分子內的原子之間是以共價鍵連接，而蛋白質分子之間，很多是靠一些次於共價鍵的微弱二級鍵，作為聯繫兩個分子的力量。 二級鍵的形成，事實上都與電子有關。 離子鍵是正電基團與負電基團間的吸引力；氫鍵是氫的電子被奪而露出質子，與附近原子上的電子產生吸引力；凡得瓦爾力是兩原子間，瞬間電子分佈不均所形成的微弱引力。
二級鍵的能量都很弱，約只有共價鍵的百分之一到千分之一；因此，兩分子間若要以二級鍵形成有效的鍵結，就要增加其總鍵數。二級鍵的好處是，不用費太大的能量就可打斷，因此適合可逆性的分子間作用模式。
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二級鍵 這種微弱的吸引力，對生物分子間的專一性辨識反應，佔有極重要角色。但是因為二級鍵實在太弱了，因此要靠數量來達成足夠的吸引力量，才能有生理意義。
若兩個蛋白質分子之間，要靠二級鍵進行專一性的吸引與結合，則此二分子的結合面之間，其構形要有互補的關係，有點像兩個互補的積木一樣契合。因此兩個結合面間，必須形成無數二級鍵之結合點，以便共同組成足夠份量的吸引力。
為何要以二級鍵作為分子間的結合力量？ 主要是因為由二級鍵所造成的吸引力，是一種可逆的過程，也就是說兩個分子在結合之後，可以在某調控條件下，隨時把兩者分開，因而終止因結合所誘導的生理現象。 (結合 → on, 分開 → off)
想像一個柔軟又可自由運動的人體，若全身都是由共價鍵所組成，則此人體每次動作，一定要先打斷一大堆共價鍵，然後在動作完成後，再形成另一堆共價鍵。這種過程勢必耗費極大能量，不切實際。是故細胞內許多大小分子之間的結合，多不是以共價鍵為之，而是使用較弱但數目較多的二級鍵：但是，要形成有效的鍵結，二級鍵必須以量取勝。
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魔鬼氈 可說明兩分子間，以二級鍵作為結合力量的最好例子。
魔鬼氈由兩種不同的表面所構成，其一佈滿小鉤鉤，另一佈滿很多小圈圈；小鉤鉤隨意地去鉤小圈圈，若能鉤上，就形成一個連結點。單一連結點的力量非常小，但若能夠有整面的小鉤與小圈，則其所形成的力量，就足夠讓小朋友穿鞋子不用綁鞋帶。
聽說魔鬼氈的想法是師法植物的種子，有些種子會產生許多小鉤，當人類或者動物經過這些植物的聚落時，就會被種子鉤上，帶到其他地方，然後被拍打後掉下來發芽。
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非常 令人驚訝的照片，居然把 sp3 軌道照了出來，雖然不是碳原子，而是較大一些的矽原子氧化物。當然不可能非常清楚，但是氧化矽的四面體構造可以辨認。原子的電子軌域，是以方程式計算出來的理論，以前的量子化學科學家從沒看過 s 或 p 軌道，乃至混成的 sp3。
1999 年又有人以 X-ray 繞射法，解出 Cu2O 晶體中，銅原子的 d 軌道，的確如以前所計算的，有一個大啞鈴，中間加上幾個小啞鈴軌道。
■ 請參考 Nature (1999) 401:49-52 (News & View)。
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本網頁最近修訂日期： 2008/02/10
管中窥豹之非交换几何
作者: 季候风最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.
历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振.
Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理.
Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚.
应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已.
研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.
一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何.
von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学.
统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态.
为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应:
(微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数.
在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度.
而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.
Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴.
先看一个最简单的例子: X = {a, b}. 那么 C(X) = C "+" C, 这里的 "+" 表示代数的直和, C 表示复数域作为自身上的一维代数. 更好的写法是用矩阵:
C 0
0 C
现在, 如果我们有等价关系 aRb, 即, 我们把这两个点等同起来, 那么有两种看法可以得到商空间对应的代数, (1) 取在等价关系下不变的函数, 即所有函数 f 使得 f(a)=f(b), 所以是常数函数, 这个意义下的 C(Y) = C. 可能有点太平凡了, 并没有反映出 Y 是通过等同 X 中的两点得到的这个 "商" 过程; (2) 把对角矩阵组成的代数扩张到整个 2 x 2 矩阵代数 M_2(C). 这是一个单代数, 只有一个极大理想 0. 所以它的谱正好就是 Y, 所以它是 "C(Y)" 的一个可能的选择.
显然第二种看法会保留更多的信息. 但是我们必须要有直观的几何解释, 要不然这种推广就太过任意. 这个几何解释就是, M_2(C) 是等价关系 R 的图像上所有连续函数组成的代数. 在这个简单情况下, R 的图像是离散的, 包括四个点 (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), 其实也就是笛卡儿积 X x X. 这个图像上的一个连续函数就是一个 2 x 2 矩阵( a,b 是脚标). 这样我们给了矩阵一个几何解释. 矩阵之间的乘法可以解释为在 R 这个群胚上的卷积 ( 一个等价关系自然是一个群胚. Heisenberg 已经告诉我们怎样在群胚上做卷积了).
回忆 Heisenberg 怎样得到他的q数, 就是把 Fourier 系数解释为 {所有谱线} 这个群胚上的函数而非通常情况下的 {所有整数} 这个交换群上的函数. 现在, Connes 所做的是把商空间 Y 加强为定义这个商空间的等价关系 R, 而把非交换的 C(R) (R 上的函数以对 R 的群胚结构的卷积作为乘法) 作为商空间 Y 所对应的 Banach 代数.
这种处理可以推广到拓扑流形. 一个紧致拓扑流形 M, 如果我们取定一个有限开覆盖 {U_i}, i=1,...,m. 那么 M 可以看做一个商空间 --- 设 X 为 U_i 的无交并, 等价关系 R 就是 U_i 之间的粘合. 大家现在可以想象一下 R 的图像 (作为 X x X 的子空间). 其实这个图像就是所有 (U_i 交 U_j) 的无交并, 从而 C(R) 中每个元素可以写成一个 m x m 矩阵, 其 (i,j) 元是 (U_i 交 U_j) 上一个在边界趋于零的连续函数. C(R) 的乘法就是矩阵乘法, 而矩阵元 f(i,j) 和 g(j,k) 的乘积显然是 (U_i 交 U_k) 上消失在边界的函数. 所以乘法是定义好的.
当然, 这种构造必须要有好处, 要不然我们就白白牺牲了交换性这么好的性质. 这个构造最表面的好处就是, 一旦我们有 M 的一个开覆盖了, 我们不用理会 M 的任何整体性质就能构造出 C(R), 所涉及到的只是开覆盖的组合结构. 这就像用 Cech 上同调一样, 在某些情况下会方便很多.
理解 Connes 关于测度论的描述花了不少时间。测度的概念看似简单，但比较深入的思考让我意识到以前的理解有多么肤浅。当然，认识到自己肤浅并不代表现在就不肤浅，Connes 的好多议论还是让我一头雾水。
测度是长度，面积，体积，概率这些古典数学概念在二十世纪的统一的建立在集合论基础上的表述。Lebesgue 本人的动机是为了定义积分，所以现在普遍接受的观点是，要定义一种积分，首先要定义一个测度。比如 Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度，一些随机积分对应于 Wiener 测度，等等。（说到这里，应该提一下，为了给物理学中常用的路径积分建立一个数学基础，也许需要推广现有的测度概念，这当然也是 Connes 建立非交换几何这个框架的动机之一。）
在一个测度空间 X 上，有一个自然的交换 C* 代数，就是 L^无穷，所有 X 上本性有界的可测函数组成的空间，上面的乘法就是函数之间的点点乘法。有意思的是，所有的交换 C* 代数都可以实现为某个测度空间的 L^无穷。（这是一个深刻的定理，在寻找这个定理证明的过程中我接触到了所谓一般表示论，获益匪浅。）这个定理说明，经典的测度空间对应到交换 C*代数。
很自然的想法是，非交换的 C* 代数会不会是测度论的自然推广呢？Connes 认识到，这并不是空泛的推广，而有着深刻的经典几何背景。在各个几何分支里面，对于商空间的研究都产生出漂亮的理论，比如几何不变量理论，辛商空间，等变上同调等等。商空间可能会有很坏的性质，比如一个流形的商空间可能不仅不是流形，甚至都不是 Hausdroff 的，或者一个代数流形的商空间可能不再是代数流形。在测度论意义下，一个测度空间的商空间可以坏到无法谈论测度的地步。
一个非常有趣的例子就是环面 T 上的无理流。环面可以看作由所有经线组成，或者看成由所有纬线组成，数学上把这种结构叫“分叶”。现在我们来看环面上其它一些曲线。有一些曲线，绕经圆 p 圈，绕纬圆 q 圈，我们把这种曲线叫做斜率为 p/q 的曲线，所有这些曲线也组成整个环面。这个分叶叫做“有理流”。（之所以叫“流”是因为这些曲线可以看作环面上某个微分方程的积分曲线。）现在斜率的概念已经很直观了，所以我们可以看看斜率为无理数的那些曲线。这些曲线不是闭合的－－－环面上的闭曲线必然绕经圆和纬圆整数次。实际上这些曲线同胚于直线。固定斜率 m, 所有这个斜率的曲线也组成整个环面，这个分叶叫做“无理流”。它的动力学可以从它同一个经圆的相交看出来：这样一条曲线每绕纬圆一周，就绕经圆 m 周，也就是说，连续两次同一个经圆的交点相差 2pi m 的距离。由于 m 是无理数，所以交点永远不会重复，而且根据 Poincare 回归定理，交点会无限次回到任意小邻域，所以交点会稠密地分布在这个经圆上。
如果我们想看看这个分叶的所有“叶子”的空间 X，也就是说，把每条斜率 m 的曲线看作一个点，组成一个空间，它是原来环面的一个商空间。X 上的一个可测函数应该对应于环面 T 上一个在每片叶子上为常数的可测函数，也可以看作经圆上的一个可测函数，在跟同一片叶子的所有交点上取值相同。但是根据回归性质，这样的函数必然几乎处处跟一个常数函数相等。所以说，这个商空间上的测度性质是平凡的。学过实变函数的同修也许会认识到这跟“不可测集”有点关系－－－如果在每一片叶子上取一个点组成 T 的一个子集（根据选择公理这个子集存在-所有叶子的笛卡儿积非空，从而非空），那么我们得到的是一个不可测集。
那么这种商空间到底有没有跟测度论类似的结构可以研究呢？Connes 告诉我们，有，就是从这个分叶构造出的非交换 C* 代数。这个构造的原理我们在最简单的例子（两个点被等同为一个点）里面已经看到了。分叶是一个等价关系，两个点等价如果它们在同一片叶子上。等价关系决定了一个群胚，这个群胚上的函数在卷积下形成一个非交换 C* 代数。对于环面上的无理流，这个非交换的 C* 代数就是著名的“非交换环面”。
如果这个分叶比较好，比如环面 T 上的有理流，以至于商空间 X 上有非平凡的测度论，那么以上构造的这个 C* 代数就有一个中心子代数，正好同构于 X 上的 L^无穷 函数代数。这说明如此构造的 C* 代数的确是经典测度论的一个推广。
[附录一] 也许我应该更仔细地解释一下群胚的概念. 以 Ritz-Rydberg 原理为例子, 记从 n 能级到 m 能级的跃迁发射光子的频率为 v(n,m), 那么 v(n,m)+ v(m,l) = v(n,l). 但是 v(n,m) + v(l,k) (m 不等于 l) 就不是另一条谱线的频率. 所以群胚就好像一个 "图", 顶点之间有箭头, 这些箭头就是群胚里的元素, 它们能乘起来当且仅当一个箭头的终点是另一个箭头的起点。群就是只有一个顶点的群胚, 这样所有的元素都能相乘。从对群胚的描述来看, 它不仅是一个集合 (箭头的集合), 还需要指定每个箭头是从哪个顶点到哪个顶点的. 所以群胚最好被视为一个范畴而不仅仅是一个带有运算的集合.
[附录二] 遍历假设并不意味着 (微观时间演化 <---> 系综) 这个对应. 这个对应只对热平衡态有效 ... 经典情况, Boltzmann 分布就是这种对应的所有例子. 量子统计, 在有限粒子情况, 有 Boltzmann 分布的类似物, Hamilton 量决定了分布, 但是在热力学极限 Hamilton 量不能决定分布, 可能有多个分布都反应微观态的时间演化. Kubo-Martin-Schwinger 条件就是对唯一性失效的补偿.
管中窥豹之非交换几何
作者: 季候风最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.
历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振.
Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理.
Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚.
应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已.
研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.
一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何.
von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学.
统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态.
为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应:
(微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数.
在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度.
而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.
Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴.
先看一个最简单的例子: X = {a, b}. 那么 C(X) = C "+" C, 这里的 "+" 表示代数的直和, C 表示复数域作为自身上的一维代数. 更好的写法是用矩阵:
C 0
0 C
现在, 如果我们有等价关系 aRb, 即, 我们把这两个点等同起来, 那么有两种看法可以得到商空间对应的代数, (1) 取在等价关系下不变的函数, 即所有函数 f 使得 f(a)=f(b), 所以是常数函数, 这个意义下的 C(Y) = C. 可能有点太平凡了, 并没有反映出 Y 是通过等同 X 中的两点得到的这个 "商" 过程; (2) 把对角矩阵组成的代数扩张到整个 2 x 2 矩阵代数 M_2(C). 这是一个单代数, 只有一个极大理想 0. 所以它的谱正好就是 Y, 所以它是 "C(Y)" 的一个可能的选择.
显然第二种看法会保留更多的信息. 但是我们必须要有直观的几何解释, 要不然这种推广就太过任意. 这个几何解释就是, M_2(C) 是等价关系 R 的图像上所有连续函数组成的代数. 在这个简单情况下, R 的图像是离散的, 包括四个点 (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), 其实也就是笛卡儿积 X x X. 这个图像上的一个连续函数就是一个 2 x 2 矩阵( a,b 是脚标). 这样我们给了矩阵一个几何解释. 矩阵之间的乘法可以解释为在 R 这个群胚上的卷积 ( 一个等价关系自然是一个群胚. Heisenberg 已经告诉我们怎样在群胚上做卷积了).
回忆 Heisenberg 怎样得到他的q数, 就是把 Fourier 系数解释为 {所有谱线} 这个群胚上的函数而非通常情况下的 {所有整数} 这个交换群上的函数. 现在, Connes 所做的是把商空间 Y 加强为定义这个商空间的等价关系 R, 而把非交换的 C(R) (R 上的函数以对 R 的群胚结构的卷积作为乘法) 作为商空间 Y 所对应的 Banach 代数.
这种处理可以推广到拓扑流形. 一个紧致拓扑流形 M, 如果我们取定一个有限开覆盖 {U_i}, i=1,...,m. 那么 M 可以看做一个商空间 --- 设 X 为 U_i 的无交并, 等价关系 R 就是 U_i 之间的粘合. 大家现在可以想象一下 R 的图像 (作为 X x X 的子空间). 其实这个图像就是所有 (U_i 交 U_j) 的无交并, 从而 C(R) 中每个元素可以写成一个 m x m 矩阵, 其 (i,j) 元是 (U_i 交 U_j) 上一个在边界趋于零的连续函数. C(R) 的乘法就是矩阵乘法, 而矩阵元 f(i,j) 和 g(j,k) 的乘积显然是 (U_i 交 U_k) 上消失在边界的函数. 所以乘法是定义好的.
当然, 这种构造必须要有好处, 要不然我们就白白牺牲了交换性这么好的性质. 这个构造最表面的好处就是, 一旦我们有 M 的一个开覆盖了, 我们不用理会 M 的任何整体性质就能构造出 C(R), 所涉及到的只是开覆盖的组合结构. 这就像用 Cech 上同调一样, 在某些情况下会方便很多.
理解 Connes 关于测度论的描述花了不少时间。测度的概念看似简单，但比较深入的思考让我意识到以前的理解有多么肤浅。当然，认识到自己肤浅并不代表现在就不肤浅，Connes 的好多议论还是让我一头雾水。
测度是长度，面积，体积，概率这些古典数学概念在二十世纪的统一的建立在集合论基础上的表述。Lebesgue 本人的动机是为了定义积分，所以现在普遍接受的观点是，要定义一种积分，首先要定义一个测度。比如 Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度，一些随机积分对应于 Wiener 测度，等等。（说到这里，应该提一下，为了给物理学中常用的路径积分建立一个数学基础，也许需要推广现有的测度概念，这当然也是 Connes 建立非交换几何这个框架的动机之一。）
在一个测度空间 X 上，有一个自然的交换 C* 代数，就是 L^无穷，所有 X 上本性有界的可测函数组成的空间，上面的乘法就是函数之间的点点乘法。有意思的是，所有的交换 C* 代数都可以实现为某个测度空间的 L^无穷。（这是一个深刻的定理，在寻找这个定理证明的过程中我接触到了所谓一般表示论，获益匪浅。）这个定理说明，经典的测度空间对应到交换 C*代数。
很自然的想法是，非交换的 C* 代数会不会是测度论的自然推广呢？Connes 认识到，这并不是空泛的推广，而有着深刻的经典几何背景。在各个几何分支里面，对于商空间的研究都产生出漂亮的理论，比如几何不变量理论，辛商空间，等变上同调等等。商空间可能会有很坏的性质，比如一个流形的商空间可能不仅不是流形，甚至都不是 Hausdroff 的，或者一个代数流形的商空间可能不再是代数流形。在测度论意义下，一个测度空间的商空间可以坏到无法谈论测度的地步。
一个非常有趣的例子就是环面 T 上的无理流。环面可以看作由所有经线组成，或者看成由所有纬线组成，数学上把这种结构叫“分叶”。现在我们来看环面上其它一些曲线。有一些曲线，绕经圆 p 圈，绕纬圆 q 圈，我们把这种曲线叫做斜率为 p/q 的曲线，所有这些曲线也组成整个环面。这个分叶叫做“有理流”。（之所以叫“流”是因为这些曲线可以看作环面上某个微分方程的积分曲线。）现在斜率的概念已经很直观了，所以我们可以看看斜率为无理数的那些曲线。这些曲线不是闭合的－－－环面上的闭曲线必然绕经圆和纬圆整数次。实际上这些曲线同胚于直线。固定斜率 m, 所有这个斜率的曲线也组成整个环面，这个分叶叫做“无理流”。它的动力学可以从它同一个经圆的相交看出来：这样一条曲线每绕纬圆一周，就绕经圆 m 周，也就是说，连续两次同一个经圆的交点相差 2pi m 的距离。由于 m 是无理数，所以交点永远不会重复，而且根据 Poincare 回归定理，交点会无限次回到任意小邻域，所以交点会稠密地分布在这个经圆上。
如果我们想看看这个分叶的所有“叶子”的空间 X，也就是说，把每条斜率 m 的曲线看作一个点，组成一个空间，它是原来环面的一个商空间。X 上的一个可测函数应该对应于环面 T 上一个在每片叶子上为常数的可测函数，也可以看作经圆上的一个可测函数，在跟同一片叶子的所有交点上取值相同。但是根据回归性质，这样的函数必然几乎处处跟一个常数函数相等。所以说，这个商空间上的测度性质是平凡的。学过实变函数的同修也许会认识到这跟“不可测集”有点关系－－－如果在每一片叶子上取一个点组成 T 的一个子集（根据选择公理这个子集存在-所有叶子的笛卡儿积非空，从而非空），那么我们得到的是一个不可测集。
那么这种商空间到底有没有跟测度论类似的结构可以研究呢？Connes 告诉我们，有，就是从这个分叶构造出的非交换 C* 代数。这个构造的原理我们在最简单的例子（两个点被等同为一个点）里面已经看到了。分叶是一个等价关系，两个点等价如果它们在同一片叶子上。等价关系决定了一个群胚，这个群胚上的函数在卷积下形成一个非交换 C* 代数。对于环面上的无理流，这个非交换的 C* 代数就是著名的“非交换环面”。
如果这个分叶比较好，比如环面 T 上的有理流，以至于商空间 X 上有非平凡的测度论，那么以上构造的这个 C* 代数就有一个中心子代数，正好同构于 X 上的 L^无穷 函数代数。这说明如此构造的 C* 代数的确是经典测度论的一个推广。
[附录一] 也许我应该更仔细地解释一下群胚的概念. 以 Ritz-Rydberg 原理为例子, 记从 n 能级到 m 能级的跃迁发射光子的频率为 v(n,m), 那么 v(n,m)+ v(m,l) = v(n,l). 但是 v(n,m) + v(l,k) (m 不等于 l) 就不是另一条谱线的频率. 所以群胚就好像一个 "图", 顶点之间有箭头, 这些箭头就是群胚里的元素, 它们能乘起来当且仅当一个箭头的终点是另一个箭头的起点。群就是只有一个顶点的群胚, 这样所有的元素都能相乘。从对群胚的描述来看, 它不仅是一个集合 (箭头的集合), 还需要指定每个箭头是从哪个顶点到哪个顶点的. 所以群胚最好被视为一个范畴而不仅仅是一个带有运算的集合.
[附录二] 遍历假设并不意味着 (微观时间演化 <---> 系综) 这个对应. 这个对应只对热平衡态有效 ... 经典情况, Boltzmann 分布就是这种对应的所有例子. 量子统计, 在有限粒子情况, 有 Boltzmann 分布的类似物, Hamilton 量决定了分布, 但是在热力学极限 Hamilton 量不能决定分布, 可能有多个分布都反应微观态的时间演化. Kubo-Martin-Schwinger 条件就是对唯一性失效的补偿.
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