Saturday, January 31, 2015

取热力学极限时，由于体积趋于无穷大，因此，实际处理的是一开放系统。在这一开放系统中，取有限大小的体积V。系统的其它部分相当于一个reservoir，保持温度和压强不变。这时候，子系统V和其它部分有接触，它的总质量和能量不再是常数，而会有涨落

取热力学极限时，由于体积趋于无穷大，因此，实际处理的是一开放系统。

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Beautiful Models 2

2010/01/10 in Beautiful Models | 发表评论

1.2 An experiment – ballistic expansion

考虑一个容器，其中充满了气体分子。系统的状态可用温度 $T$ 和化学势 $\mu$ 描述。去除容器，气体会向外界（真空）自由膨胀。时间足够长之后，气体将充分稀薄，使得气体分子之间无相互作用，动量也不会再变化。并且动量大的分子弥散在外围，动量小的分子在内部。这样，动量分布和密度分布就联系起来了。用 $\rho \left( k \right)$ 描述分子的动量分布密度，并假设动量为 $k$ 的分子在 $t$ 时刻分布在范围 $r - r+dr$ 之内， $d\left( {r,t} \right)$ 用来描述分子数密度。有：

$d\left( {r,t} \right) \cdot 4\pi {r^2}dr = \rho \left( k \right) \cdot 4\pi {k^2}dk$

粒子的速度 $v\left( k \right) = k/m$ ， $t$ 时刻飞行距离 $r = vt = kt/m$ ，代入上式，得：

$\rho \left( k \right) = \frac{1}{{{m^3}}}\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {t^3}d\left( {kt/m,t} \right)$

于是可写出系统的能量表式：

Beautiful Models 1

2010/01/03 in Beautiful Models | 2 条评论

Chapter 1 Overview

Mathematical physics: too mathematical to be ‘respectable’ physics, yet not rigorous enough to be ‘real’ mathematics.
量子多体问题的严格解属于数学物理领域：该领域太过于数学化，以至于物理图象显得不是那么清晰；同时，和“真正的”数学相比起来，又显得不太严格。

1.1 Orientation

The proper language to discuss these problems is the language of statistical mechanics.
讨论量子多体问题的语言，是统计力学。
考虑一个封闭的容器，其中装满了化学纯的液体（比如说，水）。在热平衡态下，液体各处的温度和压强都是相同的。（如果存在重力场，则液体各处的压强会有差异，此时，取代压强，液体的化学势是均匀的。）这个系统称为micro canonical ensemble（微正则系综）。
描述液体状态的物理量有：总质量、能量、体积（以上都是广延量）；温度、压强（以上是强度量）。
The state of the system is really determined by two intensive densities – say $E/V$ and $M/V$ – rather than three extensive quantities.
只需要2个强度量就可以决定系统的状态： $E/V$ 和 $M/V$ ，而不需要3个广延量。
理想化条件：thermodynamic limit – $M,E,V \to \infty$ with $M/V \equiv {\rho _M}$ and $E/V \equiv u$ fixed. 热力学极限：总质量、能量、体积均趋于无穷，此时密度、能量密度趋于一常数。
取热力学极限时，由于体积趋于无穷大，因此，实际处理的是一开放系统。在这一开放系统中，取有限大小的体积 $V$ 。系统的其它部分相当于一个reservoir，保持温度和压强不变。这时候，子系统 $V$ 和其它部分有接触，它的总质量和能量不再是常数，而会有涨落。热力学极限下，相对涨落趋于0： $\delta E/\left\langle E \right\rangle$ -> 0, as $1/\sqrt V$ 。这样的系统称为grand canonical ensemble（巨正则系综）。
给定系统的化学势（作为温度和压强的函数），就可以知道系统的所有热力学性质。 $\mu \left( {T,P} \right) \equiv \left( {E - TS + PV} \right)/N$ 。
接下来看这个系统的微观图像。液体是有很小的微粒组成的，这些微粒做无序运动。定义动量分布函数 $n\left( p \right)$ ， $Nn\left( p \right)4\pi {p^2}dp$ 给出了动量处于 $p < \left| {\bf{p}} \right| < p + dp$ 范围内的粒子数。定义对关联函数（pair correlation function） $g\left( r \right)$ ，取定一个粒子， $g\left( r \right)4\pi {r^2}dr$ 给出了距离该粒子 $r < \left| {\bf{r}} \right| < r + dr$ 范围内的粒子数。定义对关联函数的意义在于：势能使两个处于不同位置的粒子产生关联，这个关联是和粒子间的距离有关的。动量分布函数、对关联函数都取决于系统的状态，因此将它们表示成 $n\left( {p|T,\mu } \right)$ 和 $g\left( {r|T,\mu } \right)$ 。
给定哈密顿量，就能确定整个系统的状态。上述系统的哈密顿量可表示成

$H = \frac{1}{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^N {\left| {\bf{p}} \right|_j^2}$ $+\sum\limits_{j > i = 1}^N {v\left( {\left| {{{\bf{x}}_j} - {{\bf{x}}_i}} \right|} \right)}$

即动能与势能之和。借助动量分布函数和对关联函数，系统的能量为

写出系统的哈密顿量后，根据统计力学知识，就可以计算出系统的所有热力学量。

phymath999