phymath999: 等價類這個等價關係所構成的商集合\Omega(X,x_{0})/R記為\pi_{1}(X,x_{0}).我們可以在這個商集合上面定義一個運算, 則\pi_{1}(X,x_{0})構成一個群，稱為(X,x

Friday, July 31, 2015

等價類這個等價關係所構成的商集合\Omega(X,x_{0})/R記為\pi_{1}(X,x_{0}).我們可以在這個商集合上面定義一個運算, 則\pi_{1}(X,x_{0})構成一個群，稱為(X,x_{0})的基本群(fundamental group)。

尼斯的靈魂

[代數拓樸]基本群

In 拓樸學 on 05/23/2012 at 8:56 下午

假設 $X$ 是一個拓樸空間。連續函數 $c:[0,1]\to X$ 稱為 $X$ 上的一條曲線(或路徑)。如果 $x_{0}$ 是 $X$ 上的一點。任何起點跟終點都在 $x_{0}$ 的路徑都叫做迴圈(loop)，換句話說，曲線 $c:[0,1]\to X$ 是一個通過 $x_{0}$ 的迴圈的充要條件是 $c(0)=c(1)=x_{0}.$ 如圖所示:

如果 $c:[0,1]\to X$ 與 $d:[0,1]\to X$ 是兩條 $X$ 上的曲線，並且 $c(1)=d(0).$ 我們可以把這兩條曲線給接合起來，新的曲線就稱為 $c,d$ 的接合曲線，並記為 $c*d.$ 為了讓 $c*d$ 的定義域是 $[0,1]$ ，我們令:當 $1\leq t\leq 1/2$ 時， $(c*d)(t)=c(2t)$ 且 $1/2\leq t\leq 1$ 時， $(c*d)(t)=d(2t-1).$

如果 $c:[0,1]\to X$ 是一條曲線，我們可以定義這條曲線的逆曲線 $(-c)$ 如下。 $(-c):[0,1]\to X,$ 定義為 $(-c)(t)=c(1-t),$ $0\leq t\leq 1$ 。換句話說，新曲線的起點為原曲線的終點，新曲線的終點為原曲線的起點。(想成運動路徑的話，就是沿著原來的路徑逆向跑回去原點)

假設 $c,d:[0,1]\to X$ 是 $X$ 上的兩條曲線，並且 $c(0)=d(0),$ $c(1)=d(1).$ 如果 $c$ 可以透過連續變形(continuous deformation)的方式變成曲線 $d,$ 則我們稱曲線 $c$ (固定端點式)同倫於(homotopic)曲線 $d.$ 並且記為 $c\simeq d.$

固定觀點的同倫的數學定義如下。如果存在連續映射 $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ 使得

(1) $F(0,t)=c(t)$ 且 $F(1,t)=d(t),$ $0\leq t\leq 1,$

(2) $F(s,0)=x_{0}$ 且 $F(s,1)=x_{1}.$

我們稱 $c$ 同倫於 $d$ 。而我們稱連續函數族 $\{F_{s}\}_{0\leq s\leq 1}$ 是從 $c$ 形變至 $d$ 的同倫。

我們定義 $\Omega(X,x_{0})$ 為所有通過 $x_{0}$ 的迴圈所成的集合。則我們可以驗證同倫 $\simeq$ 在 $\Omega(X,x_{0})$ 上定義出一個等價關係 $R$ ，如果 $c$ 是一個迴圈，我們記 $[c]$ 為 $c$ 的等價類(equivalent class)。這個等價關係所構成的商集合 $\Omega(X,x_{0})/R$ 記為 $\pi_{1}(X,x_{0}).$ 我們可以在這個商集合上面定義一個運算 $\cdot$ 如下:

$[c]\cdot[d]=[c*d].$

則 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 構成一個群，稱為 $(X,x_{0})$ 的基本群(fundamental group)。其單位元定義如下。令 $e_{x_{0}}(t)=x_{0}$ 為常數映射，則 $[e_{x_{0}}]$ 是基本群的單位元。如果 $[c]$ 是基本群的一個元素，則 $[c]^{-1}=[-c].$ 如果 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 與選取的 $x_{0}$ 無關，則我們記 $\pi_{1}(X)=\pi_{1}(X,x_{0}).$

範例1. $\pi_{1}(S^{1},1)=\mathbb{Z}.$

這個證明會等到我引入拓樸空間的universal cover時會介紹。

範例2. $\pi_{1}(\mathbb{R}^{n},0)=0.$

證明:假設 $c:[0,1]\to \mathbb{R}^{n}$ 通過原點的一個迴圈。定義 $F(s,t)=sc(t),$ $(s,t)\in [0,1]^{2}.$ 則 $F$ 定義出從 $c$ 到 $e_{0}$ 的同倫。因此，任何的迴圈都同倫於常數迴圈。所以 $\pi_{1}(\mathbb{R}^{n})=0.$

定理:假設 $(X,x_{0})$ 與 $(Y,y_{0})$ 是兩個具有基點(base point)的拓樸空間。則

$\pi_{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi_{1}(X,x_{0})\times \pi_{1}(Y,y_{0}).$

利用上述定理可以立即推出:

範例3. 令 $T=S^{1}\times S^{1}$ 表示輪胎面，則 $\pi_{1}(T,(1,1))=\mathbb{Z}^{2}.$

如果兩個連續映射 $f,g:X\to Y$ 滿足下列關係，則我們稱 $f,g$ 是同倫的:

假設存在一連續映射 $H:[0,1]\times X\to Y$ 使得

$H(0,x)=f(x),$ $H(1,x)=g(x),$ $x\in X.$

如果 $f,g$ 同倫，我們記 $f\simeq g.$ 如果 $f:X\to Y$ 與 $h:Y\to X$ 是連續映射，並且 $h\circ f\simeq 1_{X}$ 且 $f\circ h\simeq 1_{Y}.$ 則我們稱 $X,Y$ 是同倫等價。

定理:如果拓樸空間 $(X,x_{0})$ 與拓樸空間 $(Y,y_{0})$ 是同倫等價的(homotopy equivalent)，則 $\pi_{1}(X,x_{0})=\pi_{1}(Y,y_{0}).$

利用這個定理我們可以推論出，兩個同胚的拓樸空間他們具有相同的基本群。換句話說，基本群是拓樸不變量(topological invariant)。

定理:如果 $f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ 是一個連續映射，我們定義

$\pi_{1}(f)[c]=[f\circ c].$

則 $\pi_{1}(f):\pi_{1}(X,x_{0})\to \pi_{1}(Y,y_{0})$ 是一個群同態(group homomorphism)。

令 $\mathcal{C}$ 表示所有由具有基點的拓樸空間所成的範疇，並且 $\mbox{GROUP}$ 是所有群所成的範疇。利用上述定理我們可以得到

$\pi_{1}:\mathcal{C}\to \mbox{GROUP}$

是一個從 $\mathcal{C}$ 映至 $\mbox{GROUP}$ 的函子(functor)。

範例4.令 $S$ 表示一個緊緻可定向的曲面。則存在 $\pi_{1}(S,*)$ 中的元素 $a_{1},b_{1},\cdots,a_{g},b_{g}$ 使得 $\{a_{1},b_{1},\cdots,a_{g},b_{g}\}$ 是 $\pi_{1}(S,*)$ 中滿足關係 $a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\cdots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1$ 的一組生成元。而 $g$ 決定於 $S$ 的拓樸，稱為 $S$ 的虧格數(genus)。如果以群論的寫法，我們可以寫

$\displaystyle\pi_{1}(S)=\langle a_{1},b_{1},\cdots,a_{g},b_{g}|\prod_{i=1}^{g}[a_{i},b_{i}]=1\rangle.$

其中 $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ 是 $a,b$ 的對易子(commutator)。

本圖為虧格數為 $3$ 的緊緻可定向曲面。

本圖虧格數為 $1$ 的緊緻可定向曲面(也就是輪胎面)。

我們可以取迴圈 $a,b$ 如上圖。而 $[a,b]=1$ 等價於 $ab=ba$ 。換句話說，利用這個關係可以知道 $\pi_{1}(T,*)$ 是一個交換群，並且 $a,b$ 是一組生成元。那麼我們可以知道 $\pi_{1}(T,*)$ 是由 $a,b$ 生成的自由交換群(free abelian group)，也就是說 $\pi_{1}(T,*)\cong \mathbb{Z}a\oplus\mathbb{Z}b.$ 跟我們先前得到的結果相符合。

附註:拓樸不變量的定義是:給定某個代數量，如果他在同胚映射的作用下不變，那麼，我們就稱他是一個拓樸不變量。

phymath999

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等價類這個等價關係所構成的商集合\Omega(X,x_{0})/R記為\pi_{1}(X,x_{0}).我們可以在這個商集合上面定義一個運算, 則\pi_{1}(X,x_{0})構成一個群，稱為(X,x_{0})的基本群(fundamental group)。

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等價類 這個等價關係所構成的商集合\Omega(X,x_{0})/R記為\pi_{1}(X,x_{0}).我們可以在這個商集合上面定義一個運算, 則\pi_{1}(X,x_{0})構成一個群，稱為(X,x_{0})的基本群(fundamental group)。

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