riemann 零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），二阶信息是曲率

http://www.cnblogs.com/misaka01034/p/JMRiemannGeometry.html


John Morgan:黎曼几何、曲率、Ricci流以及在三维流形上的应用二讲

本文是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国立大学欧拉研究所的讲座做的笔记。第一讲以如下内容组成
1. 黎曼曲面上的联络
黎曼流形(Mn,g) 中，M 为n 维流形，而g 为正定的黎曼度量，即gij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxj ，而(gij) 是对称正定的。
∇ 是联络(我们可以把它看成“方向导数”(∇X 为求X 方向))，它的定义域与值域为∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M) ，也即将两个M 上的向量场映射到M 上的向量场，即∇X(Y)∈Vect(M) .且满足如下三条性质：

• 线性性，即关于X 的f∈C∞(M) 线性，有∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)
  但是注意到关于第二个值并没有C∞M) 线性，就是∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y
• X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩ ,这表示“与度量相容”，也就是∇X(g)=0 .为什么会这样呢？我们本来想象需要对Y1,Y2 以及g 分别求“方向导数”，而只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为0 .
• 无挠，也就是∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y] .这个定义Morgan认为他不是很明白，因为∇X(Y) 同样可以定义为∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E) , 其中Γ(E) 是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上，因为∇Y 没有意义。

满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理：

定理：Levi-Civita联络存在唯一

（笔者按：Levi-Civita可以用

2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩

来定义，满足以上条件）
由于在局部，我们可以用∂i(i=1,2⋯n) 来张成TxM|U ,我们可以令∇∂i(∂j)=Γkij∂k ，(从而我们通过前面知道

Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)

,从而惟一性成立）
2.测地线,高斯映射

γ˙(t)∈Tγ(t)M ,其中γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t)) 为M 上的曲线，γ˙=(x˙1(t),x˙2(t),⋯,x˙n(t)) 为速度。曲率线方程即为∇γ˙(t)(γ˙(t))=0 。注意到∇ 作用在M 上的向量场上，而γ˙ 并非向量场，所以我们需要把γ˙ 延拓到全流形上。（笔者按：由于d2xkdt2+Γkijdxidtdxjdt=0 ）
由于常微分方程解的存在惟一性，给定了γ(0) 以及γ˙(0) ,我们就得到一条测地线。也就是说，我们能够构造一个从Tγ(0)M→M 的映射，也即初始向量为此向量的测地线到达的M 上的点。我们设为exp:TxM→M ,在起点的领域B(0,ϵ) 上有定义。
3.曲率
 我们有了零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），那么二阶信息是什么呢？我们认为是曲率
问题如下：一个度量的几何性质是怎么样的（我们能从度量的句子(gij) 中获得什么信息）
在单点上，实际上度量没有任何信息，所有的度量都是等价于标准的欧氏度量，我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵，从而得到标准度量。
这样的标准性能到几阶呢？似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定（也就是局部来说，黎曼曲率包含了所有信息）
我们还没有定义曲率，曲率定义如下：R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y] ,由于Levi-Civita联络的定义我们知道R(X,Y)f=0 成立。

引理：曲率对于X,Y 关于C∞(M) 成立，即R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z ,它对X,Y 反对称。

奇迹的是，我们可以计算,对于Z 关于C∞(M) 成立，也就是R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z 。所以我们可以定义4-张量，⟨R(X,Y)Z,W⟩ ,对于四个变量都是线性的，从而定义Rlijk∂l=R(∂i,∂j)∂k 。
将符号降下来，可以定义Rijkl=gmkRmijk=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩ .,通过前面我们知道Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk) 为在⋀2TM 上的对称2-张量。
黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义

也就是在曲面上一点附近的测地圆（也就是以|x|≤ϵ 为半径的TxM 上的向量用高斯映射映至的区域）和平面上的圆相差多少？高斯认为是

limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4

定义为高斯曲率（实际上我们通常定义不是这样的，定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理）
此时，⋀2TM=R ,而黎曼曲率R:R→R 仅为乘上高斯曲率。

定理(Cartan)：我们有关于黎曼曲率R 对于度量exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn)) （被称为高斯度量）的公式。(Do carmo第八章第2节)

 

也就是在指数映射exp:Rn→M 拉回,我们在Tp(M)=Rn 原点附近有度量exp∗(g)=g^ 。g^ 有基于R 的公式。（g^ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思）也就是度量在坐标变换，也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。
所以我们可以知道，如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0.
最后我们给出Ricci曲率的定义：Ricijdxi⊗dxj 为对称2-张量，有Ricij=gklRiklj .
4.整体性质
局部来看，在坐标变换的意义下，度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样，一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下：
对于紧平的曲面（黎曼曲率为0且有界），我们考虑环面(T2,g) ,(R2,g) 为欧氏空间,万有覆盖映射π:R2→T2 .由于T2 的同伦群π1(T2)=H1(T2)⊂R2 是格Λ .从而T2≅R2/Λ 为等距同构。
我们就来研究格，格的基为v1,v2

用复数表示为v2=τv1,τ∈C ,我们选择定向，使得τ∈H2 .而由于在行列式为1 的整数矩阵变换下格不变，所以[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞} .同时R+=area(T2) ，所以我们有一族平的环面构成的3维实空间，它们都有相同的度量（平整度量）
对于更高的亏格会如何呢？对于Σg(g>1) ，我们用(H2,g),g=dx2+dy2y2 进行覆盖，而H2 在实2×2 的矩阵下不变。所以Σg 有H2/Γ,Γ⊂PSL2(R) 给出。这样的双曲度量形成了6g−6 维的空间。
但在更高维，情况就不一样了。我们可以类似地定义Hn 以及它的度量。同样具有常截曲率−1 。而同理得到的流形Hn/Γn 由于Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中Γn 为基本群。也就是说，例如在3维，固定了基本群，我们只能得到至多一个度量。
5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限
如何定义一族流形{(Mn,gn,xn∈Mn)}∞n=1 趋近一个极限流形(M∞,g∞,x∞) (其中x 为基点)?我们通过一个例子进行讲述：假如Mn=M,xn=x ,只有gn=λ2ng,λ2n→∞ ,在平常我们的想象中，应该有流形趋近于它的切空间，也就是(TxM,g|x) ,就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。
我们来定义几何极限，也就是存在开区间Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯ ,且 ⋃nUn=M∞ ，其中Un 满足存在嵌入φn:Un↪Mn,φn(x∞)=xn ,且φ∗n(gn)→g∞ 在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子：

在基点选为红色的点，我们不断拉长拉瘪中间的柄，得到就是红色的流形，这也说明极限流形的拓扑性质会改变，亏格由3变为1。
如果点在右边那段上，则收敛到的流形亏格为2.
但如果放在中间的柄上，最后会怎么样的？我们期望它收敛到一条直线，而这显然不可能由几何收敛做到，我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。

以下是第二讲的内容。
首先我们回顾了黎曼曲率的定义R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩ ,其中R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y] .而截曲率是定义在TxM 的二维子空间P 上，令X,Y 为P的基，那么截曲率定义为R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩ (这样定义黎曼曲率是由于，如果定义为⟨R(X,Y)X,Y⟩ ,球的黎曼曲率会变为−1 ,与历史上定义球的高斯曲率为1 不符。我们将在下面的计算中看到这点。)
6.球的截曲率的计算
我们考虑球的赤道，只需要计算赤道上每一点的截曲率，由于对称性，我们就可以解出所有点的截曲率。令y 为“经度”，x 为“纬度”，且令X=∂x,Y=∂y ,有

⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩

由于Y 是测地线，则∇Y(Y)=0 ，我们需要计算∇X(Y) .而由于我们需要对Y 求方向导数，即考察y 方向在水平面上的投影向量求导，为−siny∂x ,再乘以圆的半径cosy ,得到∇X(Y)=−cosysiny∂x .由于我们再考虑的是在y=0 的值，所以不考虑∇Y(∂x) 因为前面系数为0.从而有

∇Y∇X(Y)=(sin2y−cos2y)|y=0=−1

从而⟨R(X,Y)Y,X⟩=1 成立
7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化
接下来我们讨论是当度量放大λ2 倍后，即h=λ2g ，各个曲率将会如何变化？我们计算得知黎曼曲率R(X,Y,Z,W) 放大了λ2 倍，而Ricci曲率Ric(X,Z) 与原来相等。这是注意到前面提过的
∇∂i(∂j)=Γkij∂k ，且Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij) 成立，也就是说，由于gij 变为原来的λ2 倍，而glk 变为原来的λ−2 倍，也就是Γ 没有变化。那么∇X(Y) 也没有变化。但是由于内积⟨,⟩ 变为原来的λ2 倍，就是R(X,Y,Z,W) 变为原来的λ2 倍。
但是我们会观察到，当球面增大的时候，它的高斯曲率反而变小了，这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下，原来的单位向量X,Y 必须变为新的单位向量λ−1X,λ−1Y .对于截曲率我们就有

sech(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg(P)

而且对于Ricci曲率，我们计算得到

Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi)

是由于Yi 是正交向量场，在原坐标下是λ−1Yi 才是正交向量场，也就是Ricci曲率没有变化。
8.Bishop-Gromov不等式
我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理：Bishop-Gromov不等式

M为n 维完备流形，且Ricci曲率满足Ric≥(n−1)k ,那么对于Hnk ,也就是常截曲率k (换言之，常Ricci曲率(n−1)k )的n 维流形。（k<0 双曲空间，k=0 欧氏空间，k>0 球面），那么对于∀x∈M,∀x0∈Hnk ,有函数

f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))

是关于R 非增的函数。其中

这个定理在全局的意义下也成立，是由于M 在R 增大的时候B 会倒塌。
9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解
Ricci流的定义如下：在M 上的度量g(t) 满足

∂g(t)∂t=−2Ric(g(t))

是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是：
存在性：给定Mn 为紧的，度量g0 ,则∃ϵ>0, 存在光滑的g(t)(0≤t≤ϵ) ,满足g(0)=g0 且满足该方程。
惟一性：对于g(t),h(t) 为解，且g(0)=h(0) ,那么在共同的定义域上g=h 。
对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形，也就是(M,g) 为流形，且满足Ric(g0)=λg0 ,其中λ 为常数。
那么该Ricci流的解为g(t)=(1−2λt)g0 。因为∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t)) ,最后一个等号成立是由于g(t) 是g0 的倍数，利用前面的放大性质得到。
所以当λ>0 ,在t=1/2λ 的时候为奇点，由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上，这种现象对于λ>0 的黎曼流形都成立。
当λ<0 ,g(t) 对与所有t 成立。考虑g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0 是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上，取缩小为1/t ,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。
其他可以计算Ricci流的方程为积流形，也就是两个流形的笛卡尔积。例如S2×R ,有度量gs2+dt2 ,在t→∞ 时候，原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为，我们没法给出更多整体的Ricci流的性质
10.怎么研究Ricci流？
怎么研究Ricci流？我们有三种方法可以使用：

1. 直接计算方程，正是我们前面使用的
2. 极大值原理——在一定范围内控制数量曲率
3. Bishop-Gromov不等式的双曲形式

 第一个方法，我们使用对于体积的估计，我们知道，体积的定义是

vol(U)=∫U(det(g))1/2dx⃗,U⊂ coordinate patch

那么如果∂g(t)∂t=−2Ric(t) ,则ddtvol(U)=∫U−Rdvol ,其中R 为数量曲率。这是由于

ddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvol

所以这也表明了，正的数量曲率代表这体积在变小，负的数量曲率体积变大
第二个方法，就是

∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2

其中Ric0=Ric−Rng 为迹0的Ricci曲率（也就是正交分解）。所以对于Rmin(t)=minx∈M(R(x,t)) ,我们有

dRmin(t)dt≥2nR2min(t)

成立，是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的y ,dR(y,t)dt≥2nR2(y,t) .通过这里我们有两个推论。
1.Rmin(t) 单调递增
2.若Rmin(0)>0 ，那么在有限时间内会爆破，也就是Rmin 达到无穷。而若Rmin(0)<0 ,则

Rmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+n

也即它的渐进下界为−n/(2t) .