但是在有外场的情况下就不同了。以Phi4理论为例，其中的外场可以写为：V=g/4!*phi^4，因而将破坏泛函积分中的Gaussian型，从而无法简单地得到解析解。
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最近在看Mosel的《Path Integrals in Field Theory An Introduction》，感觉他的书很容易上手。
其中第九章讨论的是phi4理论的重整化问题，因而这里就来简单介绍一下什么是重整化。
在介绍重整化以前，我们先来说一下量子场论中的路径积分（学Peskin的书的话，正规化与重整化在介绍路径积分以前就已经出现了，是通过Dylson展开来得到Feynman规则与Feynman图的，随后在第九章再用路径积分的观点重述一遍）。
路径积分，说白了就是把从初态到末态的所有可能状态都经历一遍并求和的一种方法，是对作用量的e指数（带i）的泛函积分。
而在场论中我们最感兴趣的就是相互作用过程中的所谓S矩阵（当然，如果再考虑我们需要的是振幅平方而非振幅的话，那还能对S矩阵做简化，得到所谓的“Cut图”），而这个S矩阵可以用关联函数（或者顶角函数，是去掉外线的关联函数）来表达，而关联函数（也所以顶角函数）则可以通过路径积分来求出——找出生成泛函（和前面说的那个泛函积分有关），然后对N点关联函数就取N个泛函微分。从而也就是说，一旦生成泛函知道了，那么你就可以知道关联函数与顶角函数，那么从而你也就知道的S矩阵——也即散射截面。而这个生成泛函则是作用量的泛函积分。因而在量子场论中，作用量决定一切。
在Free Field的路径积分中，没什么大的问题，最后一般都能得到Gaussian积分（比如KG方程、Dirac方程等等），从而得到一个确定的解析结果。
但是在有外场的情况下就不同了。以Phi4理论为例，其中的外场可以写为：V=g/4!*phi^4，因而将破坏泛函积分中的Gaussian型，从而无法简单地得到解析解。
这个时候就需要利用微扰展开。以Phi4理论为例，外场V的作用是对Free作用量加上V的修正，而在生成泛函中作用量是在e指数上的，因而外场就是对Free生成泛函的exp(∫iV)修正（这里需要将V中的参量修改为泛函微分算符，否则这一项需要算入泛函积分中，不能独立出来）。由于这个e指数是一个算符，因而直接计算无法完成，从而就可以用Taylor展开来做微扰展开（为什么是“微扰”，这个是高数问题了，这里就不废话了）。
这个过程与Dylson展开（利用正规排序等手续）的结果是完全相同的。
微扰展开以后，我们就得到了一系列（无穷多个）路径积分的泛函微分，每一个都可以对应一张“Feynman图”。Feynman图与Feynman规则的好处就在于节约了你计算泛函微分的时间，直接用画图来代替计算，这是一个很好的方法（让我想到了我高中数学老师的名言：遇到问题，想不出来，就考虑数形结合）。
当然，Feynman图中无法直观表达出来的就是“对称化因子”，不过这个可以通过对图几何性质的分析来计算——一个排列组合问题。
好了，说道这里还没重整化什么事，但是这是进入重整化所必须知道的铺垫。
在微扰展开以后，我们得到了很多路径积分，或者说传播子。其中有一些的结构很好：从初态开始，然后分叉，然后与别的传播子汇合，进入末态。这种成为“树图”。但是另外一些就很不好了，比如在某些图中会出现一个个“圈”，这种成为“圈图”。比如Phi4理论中的2点关联函数（一个粒子的初态末态）在一阶微扰（零阶微扰就是Free传播子）中含有“真空泡”，就是一个直线的传播子上独立出来一个圈，圈与直线传播子交于一点。这个真空泡就是Phi4的自作用势能V给出的。这个圈对应了一个积分：i/(p^2-m^2)在整个p能取值的（四维）空间中的积分。显然，这个积分是二次发散的。这就是量子场论中的一个重大问题：发散。
当然，并不是所有圈都可能发散，这有一个判断标准。不过，无论如何，所有的量子场论都面对这种形式的发散问题。而这个发散的出现，则是由于上述积分允许跑遍全（相）空间，从而在无穷远处的积分为发散——注意，在极点附近的积分是不发散的。事实上可以通过Wick转动来消除这种极点对计算带来的困扰——这是一种高数中介绍过的技巧。因而，量子场论在高能区（动量取大值）是发散的，这就是紫外发散。
随后，物理学家们为了计算这个发散的有效部分——也就是扣除发散以后的部分——而发明了“正规化”。
正规化不能消除发散，但是可以得到除发散以外的有意义部分。
正规化的方法有很多，早期主要是动量阶段，也就是认为动量不能取到无穷大，而只能取到某一个有限值。这个思想在LQG中有所继承，因为LQG中时空具有最小量子间隔，（通过Heinsenberg关系）对应到一个最大动量。
这种正规化方案成为“动量阶段正规化”，或者就称为“Cut-off正规化”。
后来，t’Hooft提出了维度正规化，并且一直沿用到现在，是比动量截断更方便采用的方法。这个在标度相对论中有所继承。
当然，还有各种各样的不同的正规化方案。
所有这些正规化方案在扣除无限大发散以后得到的有效部分，是几乎相同的。这不由让人为想到：这些无穷大是否是由于某些未知的因素导致的“计算错误”？因而只要将这些错误扣除，我们得到的就是正确的理论了——这就是重整化。
重整化是建立在正规化的基础上的，而且和正规化一样，重整化方案也是有很多的。对应到维度正规化，我们采用的最多的是最小减除重整化法——只把那些发散扣除。
重整化的基本思想，就是在作用量中加上一些“抵消项counter term”，从而使得最后的计算结构是有限的，而且能与我们的实验结果相匹配。还是以Phi4理论为例，我们需要加上三个抵消项：质量抵消项、场重标度项和跑动耦合常数。
其中，质量抵消项直接将计算中的无穷大扣除。场重标度项则保证了传播子可以得到正确的在壳条件和留数（有限发散点，也就是m^2处的留数，高数概念），而跑动耦合常数则保证了相互作用强度与我们的实验能对应起来。
其中，在Phi4理论的一圈图重整化中，质量抵消项是一个发散项，场重标度项与初末态动量无关，而跑动耦合常数则是依赖与初末态的——这也就是“跑动”一词的由来。
重整化以后的理论不发散，而且能与实验进行比较，从而可以得到相应的正确观测量。而其跑动耦合常数则告诉我们：在不同的能量环境中，物理客体的性质是会发生变化的。这点后来在夸克幽闭等物理难题中得到了很好的应用，而标度相对论中则将这个观点与分形进行了结合。
当然，重整化也是有值得继续思考的地方的。
我们做重整化的一个重要思想指导，就是说一个物理理论应该是不发散的，而我们的场论由于没有考虑高能物理，或者说我们还不知道高能物理，所以得到了发散结果。而重整化是一种将这些我们还不知道的高能机制“模糊”掉的方法，也即虽然我们不知道高能物理到底是什么，但是其在计算中应该如何体现出来我们是清楚的——体现在保留的有限部分中。
因而，一个重整化的理论是有效的，但并不是最终正确的。最终正确的理论肯定是不包含重整化的——因为能解释高能行为。
当然，还有一种观点则是认为这里的无限大发散完全是来源于微扰展开。就好比我们对1/(1-x)做微扰展开，得到1+x+x^2+x^3….，其收敛半径为|x|<1，因而一旦我们在展开式中取x=2，那么这个微扰展开就会发散。因而有人有观点认为：场论本身是收敛的，但是微扰展开以后是发散的，这完全是我们所采用的数学方法的问题，从而重整化只不过是一种数学技巧，并没有新的物理内涵。
这两个观点到底谁对谁错现在很难说，因为非微扰的处理方法我们现在没有，所以无法做出最后的裁定。
但是从和实验的比较来看，重整化确实一个非常有效的手段，因为重整化以后的QED与实验的符合程度是目前为止所有物理理论中最好的，因而我们没理由也没必要去怀疑重整化的正确性以及场论的正确性。
其中第九章讨论的是phi4理论的重整化问题，因而这里就来简单介绍一下什么是重整化。
在介绍重整化以前，我们先来说一下量子场论中的路径积分（学Peskin的书的话，正规化与重整化在介绍路径积分以前就已经出现了，是通过Dylson展开来得到Feynman规则与Feynman图的，随后在第九章再用路径积分的观点重述一遍）。
路径积分，说白了就是把从初态到末态的所有可能状态都经历一遍并求和的一种方法，是对作用量的e指数（带i）的泛函积分。
而在场论中我们最感兴趣的就是相互作用过程中的所谓S矩阵（当然，如果再考虑我们需要的是振幅平方而非振幅的话，那还能对S矩阵做简化，得到所谓的“Cut图”），而这个S矩阵可以用关联函数（或者顶角函数，是去掉外线的关联函数）来表达，而关联函数（也所以顶角函数）则可以通过路径积分来求出——找出生成泛函（和前面说的那个泛函积分有关），然后对N点关联函数就取N个泛函微分。从而也就是说，一旦生成泛函知道了，那么你就可以知道关联函数与顶角函数，那么从而你也就知道的S矩阵——也即散射截面。而这个生成泛函则是作用量的泛函积分。因而在量子场论中，作用量决定一切。
在Free Field的路径积分中，没什么大的问题，最后一般都能得到Gaussian积分（比如KG方程、Dirac方程等等），从而得到一个确定的解析结果。
但是在有外场的情况下就不同了。以Phi4理论为例，其中的外场可以写为：V=g/4!*phi^4，因而将破坏泛函积分中的Gaussian型，从而无法简单地得到解析解。
这个时候就需要利用微扰展开。以Phi4理论为例，外场V的作用是对Free作用量加上V的修正，而在生成泛函中作用量是在e指数上的，因而外场就是对Free生成泛函的exp(∫iV)修正（这里需要将V中的参量修改为泛函微分算符，否则这一项需要算入泛函积分中，不能独立出来）。由于这个e指数是一个算符，因而直接计算无法完成，从而就可以用Taylor展开来做微扰展开（为什么是“微扰”，这个是高数问题了，这里就不废话了）。
这个过程与Dylson展开（利用正规排序等手续）的结果是完全相同的。
微扰展开以后，我们就得到了一系列（无穷多个）路径积分的泛函微分，每一个都可以对应一张“Feynman图”。Feynman图与Feynman规则的好处就在于节约了你计算泛函微分的时间，直接用画图来代替计算，这是一个很好的方法（让我想到了我高中数学老师的名言：遇到问题，想不出来，就考虑数形结合）。
当然，Feynman图中无法直观表达出来的就是“对称化因子”，不过这个可以通过对图几何性质的分析来计算——一个排列组合问题。
好了，说道这里还没重整化什么事，但是这是进入重整化所必须知道的铺垫。
在微扰展开以后，我们得到了很多路径积分，或者说传播子。其中有一些的结构很好：从初态开始，然后分叉，然后与别的传播子汇合，进入末态。这种成为“树图”。但是另外一些就很不好了，比如在某些图中会出现一个个“圈”，这种成为“圈图”。比如Phi4理论中的2点关联函数（一个粒子的初态末态）在一阶微扰（零阶微扰就是Free传播子）中含有“真空泡”，就是一个直线的传播子上独立出来一个圈，圈与直线传播子交于一点。这个真空泡就是Phi4的自作用势能V给出的。这个圈对应了一个积分：i/(p^2-m^2)在整个p能取值的（四维）空间中的积分。显然，这个积分是二次发散的。这就是量子场论中的一个重大问题：发散。
当然，并不是所有圈都可能发散，这有一个判断标准。不过，无论如何，所有的量子场论都面对这种形式的发散问题。而这个发散的出现，则是由于上述积分允许跑遍全（相）空间，从而在无穷远处的积分为发散——注意，在极点附近的积分是不发散的。事实上可以通过Wick转动来消除这种极点对计算带来的困扰——这是一种高数中介绍过的技巧。因而，量子场论在高能区（动量取大值）是发散的，这就是紫外发散。
随后，物理学家们为了计算这个发散的有效部分——也就是扣除发散以后的部分——而发明了“正规化”。
正规化不能消除发散，但是可以得到除发散以外的有意义部分。
正规化的方法有很多，早期主要是动量阶段，也就是认为动量不能取到无穷大，而只能取到某一个有限值。这个思想在LQG中有所继承，因为LQG中时空具有最小量子间隔，（通过Heinsenberg关系）对应到一个最大动量。
这种正规化方案成为“动量阶段正规化”，或者就称为“Cut-off正规化”。
后来，t’Hooft提出了维度正规化，并且一直沿用到现在，是比动量截断更方便采用的方法。这个在标度相对论中有所继承。
当然，还有各种各样的不同的正规化方案。
所有这些正规化方案在扣除无限大发散以后得到的有效部分，是几乎相同的。这不由让人为想到：这些无穷大是否是由于某些未知的因素导致的“计算错误”？因而只要将这些错误扣除，我们得到的就是正确的理论了——这就是重整化。
重整化是建立在正规化的基础上的，而且和正规化一样，重整化方案也是有很多的。对应到维度正规化，我们采用的最多的是最小减除重整化法——只把那些发散扣除。
重整化的基本思想，就是在作用量中加上一些“抵消项counter term”，从而使得最后的计算结构是有限的，而且能与我们的实验结果相匹配。还是以Phi4理论为例，我们需要加上三个抵消项：质量抵消项、场重标度项和跑动耦合常数。
其中，质量抵消项直接将计算中的无穷大扣除。场重标度项则保证了传播子可以得到正确的在壳条件和留数（有限发散点，也就是m^2处的留数，高数概念），而跑动耦合常数则保证了相互作用强度与我们的实验能对应起来。
其中，在Phi4理论的一圈图重整化中，质量抵消项是一个发散项，场重标度项与初末态动量无关，而跑动耦合常数则是依赖与初末态的——这也就是“跑动”一词的由来。
重整化以后的理论不发散，而且能与实验进行比较，从而可以得到相应的正确观测量。而其跑动耦合常数则告诉我们：在不同的能量环境中，物理客体的性质是会发生变化的。这点后来在夸克幽闭等物理难题中得到了很好的应用，而标度相对论中则将这个观点与分形进行了结合。
当然，重整化也是有值得继续思考的地方的。
我们做重整化的一个重要思想指导，就是说一个物理理论应该是不发散的，而我们的场论由于没有考虑高能物理，或者说我们还不知道高能物理，所以得到了发散结果。而重整化是一种将这些我们还不知道的高能机制“模糊”掉的方法，也即虽然我们不知道高能物理到底是什么，但是其在计算中应该如何体现出来我们是清楚的——体现在保留的有限部分中。
因而，一个重整化的理论是有效的，但并不是最终正确的。最终正确的理论肯定是不包含重整化的——因为能解释高能行为。
当然，还有一种观点则是认为这里的无限大发散完全是来源于微扰展开。就好比我们对1/(1-x)做微扰展开，得到1+x+x^2+x^3….，其收敛半径为|x|<1，因而一旦我们在展开式中取x=2，那么这个微扰展开就会发散。因而有人有观点认为：场论本身是收敛的，但是微扰展开以后是发散的，这完全是我们所采用的数学方法的问题，从而重整化只不过是一种数学技巧，并没有新的物理内涵。
这两个观点到底谁对谁错现在很难说，因为非微扰的处理方法我们现在没有，所以无法做出最后的裁定。
但是从和实验的比较来看，重整化确实一个非常有效的手段，因为重整化以后的QED与实验的符合程度是目前为止所有物理理论中最好的，因而我们没理由也没必要去怀疑重整化的正确性以及场论的正确性。
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