Wilmott Forums - Long Gamma Hedge and weekly volatility
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2 posts - 2 authors - Jul 25, 2011
Now
let?s imagine you are long gamma and you see the stock tends to have a much
higher realised vol on weekly returns rather
than daily ...
Ｐ點是在球殼的內部，那麼積分就要從R-D積到R＋D，先猜猜看，積出來的萬有引力大小為多少？答案是零，
牛頓的萬有引力定律：
，
這個定律只能適用於『質點』嗎？
如果m1、m2不是質點，而是有實際大小的物體（如長棒、圓球等等），那怎麼算呢？
我們先來計算由一個具有相當大小的物體對於在P點質量Mp的質點所造成的重力F。將此物體分割成許多無限小的質量素dm，如圖，每一質量素dm所提供的重力：
現在要計算在P點的總重力，因此要把所有的dm積分，
，不同位置的dm，所對應的r是不一樣的，因此要積分需先將dm以長度( r)表示，這和求質心及轉動慣量的方法是一樣的。
，不同位置的dm，所對應的r是不一樣的，因此要積分需先將dm以長度( r)表示，這和求質心及轉動慣量的方法是一樣的。
我們現在來算在P點每單位質量所受的萬有引力，也就是計算這一大塊質量在P點產生的重力場 
|
例題1
質量M長度L的薄長棒在P點（相距d，如圖）所造成的萬有引力場是多少？
|
解：
將dm以長度x ( 在這裡，我們將代表長度的r換成x)表示，令dm=λdx,λ是線密度（單位長度的質量，λ=M/L），每個質量素dm所提供的萬有引力場為：
因此總力場：
由上可知，將一個質量為Mp的質點放在P點處，質點所受到長棒的萬有引力為：
⊙想一想⊙
長棒的重心，不是應該在棒子的中心（即距離P點d+L/2 的地方）嗎？那為什麼算出來的萬有引力是，而不是
呢？
，而不是呢？
☆類題1★（解答在此份講義的最後面）
設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ（單位：kg/m），求圓心位置處之重力場強度。
長棒的重心不是在長棒的中心（質心），那圓球的重心是在球心位置嗎？
蘋果和地球之間的萬有引力，可以將地球的萬有引力視為質量集中在地心處嗎？
牛頓先生用微積分解決了這個問題。牛頓先生提出一個『殼層定理』(shell theorem)，內容是說：『由物質構成的均勻球殼對球殼外一質點的吸引力，可以視為球殼質量集中於球心時對該質點的吸引力。』。一層一層的球殼疊起來就是一個球，因此這個定理可以延伸為點質量定理（point mass theorem），也就是：「質量均勻分佈的球對外部質點的吸引力，看起來像所有質量都集中在球心一樣」。
現在我們就來做下面的例題：
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例題2
球殼半徑為R，面密度σ（單位：kg/m2），試求出均勻球殼作用在一質點（質量m）上的力，以證明牛頓先生的『殼層定理』
|
解：
因球殼上各點的作用力方向大小均不一致，故上面所說的定理並非顯而易見。事實上，它給牛頓帶來許多困擾。
我們先求一個質量M，半徑為a的環在P點產生的重力場。
環上的每一個質量素dm在P點產生的萬有引力是一個向量，分為x方向和y方向，而且每一個y座標為+y的質點所產生的重力場，均會有一對應之質量素，其y座標為-y，提供另一反方向的場將之抵銷。由對稱性可知，圓環在P點位置產生的萬有引力並無y分量只有x分量。我們現在來算圓環在P點處所產生的力場：
我們來找ψ、s、x這幾個變數之間的關係：
，其中s、x這二個變數和積分無關，可以提到積分符號外，
，其中s、x這二個變數和積分無關，可以提到積分符號外，
因此，
（方向：x方向）
（方向：x方向）
☆類題2★
上式中
，因此上式也可以寫成
請利用這個結果，將一個個圓環積分，證明質量M、半徑R的圓盤，在距離盤心x的地方所產生的重力場
，因此上式也可以寫成請利用這個結果，將一個個圓環積分，證明質量M、半徑R的圓盤，在距離盤心x的地方所產生的重力場
。
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 |
（推導過程請參考Halliday, Fundamentals
of Physics,6th,§22-7）
（上面二個圖是從§22-7 copy過來的，有一個小小錯誤，老師沒給它改過來，萬有引力是吸引力，所以圖上的力的方向畫反了。你會自己改過來吧？！）
現在我們將這些環積分，積成一個球殼，
在這個積分式裡，dm=σ2πr(R
dθ)=
σ2π(Rsinθ)(R dθ)，σ是球殼的面積密度，r會隨著θ改變，r=R sinθ。
所以，
積分裡有三個變數，s、x、θ，它們彼此之間有關係，因此我們要先把它們的關係找到：
由餘弦定理：s2 = R2 + D2
- 2RDcosθ，左右二邊微分得sds = RD sinθdθ，另外，
，將找到的這二個關係代入上面的積分式，得到
，將找到的這二個關係代入上面的積分式，得到
現在積分裡面只剩下一個變數s了，從D-R積到D＋R，積分的值會等於
(這個積分，就留給你慢慢積喔！)。
(這個積分，就留給你慢慢積喔！)。
因此，
若P點處有一質量為
m的質點，那麼半徑R質量M的球殼對此質點的萬有引力為
，D為球殼心到質點的距離，這就是牛頓先生所說的『殼層定理』
，D為球殼心到質點的距離，這就是牛頓先生所說的『殼層定理』
⊙想一想⊙
如果Ｐ點是在球殼的內部，那麼積分就要從R-D積到R＋D，先猜猜看，積出來的萬有引力大小為多少？答案是零，你猜對了嗎？
積積看，看答案是不是真的是零。
想一想，球殼在其內部一點所產生的重力場為零，這代表什麼物理意義呢？
習題1：(Halliday, Fundamentals of Physics,8th, Ch13,Problem24)
Two concentric shells of uniform
density having masses M1 and M2 are
situated as shown in the figure. Find the magnitude of the net gravitational
force on a particle of mass m, due to the shells, when the particle is
located at (a) point A, at distance r = a from the center,
(b) point B at r = b, and (c) point C at r =
c. The distance r is measured from the center of the shells.
(Answer.(a)F=G(M1+M2)m/a2
(b)F=GM1m/b2(c)zero)
習題2：(Halliday, Fundamentals of Physics,8th, Ch13,Problem27)
A solid sphere of uniform density
has a mass of 1.0×104 kg and a radius
of 1.0 m. What is the magnitude of the gravitational force due to the sphere on
a particle of mass m located at a distance of (a) 1.5 m and (b) 0.50 m
from the center of the sphere? (c) Write a general expression for the magnitude
of the gravitational force on the particle at
a distance r £ 1.0 m from the center of the sphere.
習題3：(Halliday, Fundamentals of Physics,8th, Ch13,Problem80)
A uniform solid sphere of radius R
produces a gravitational acceleration of ag on its
surface. At what two distances from the center of the sphere is the
gravitational acceleration ag/3? (Hint: Consider
distances both inside and outside the sphere.)
(Answer.
and
)
and)
萬有引力（或力場）是一個向量，在積分時必須考慮它的方向，以這一題為例，我們要先選擇適當的座標系，讓所要積分的東西有對稱性，讓y方向都抵銷掉，因此積分時只要積x方向。
記得U= - dF/dx嗎？如果我們能利用『重力位能』（或重力位）來積分，因為它是純量，積分時可以不必考慮方向性，積完之後再微分加個負號，就可以得到力，我們來試試看！
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例題3
球殼半徑為R，面密度σ（單位：kg/m2），試求出均勻球殼和一質點（質量m）之間的重力位能，再微分求力，以證明牛頓先生的『殼層定理』
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先計算質點m跟此質量素間的位能會顯得更簡單
我們可以將球殼細分成寬度
的許多環，而每一質量素dm上的諸點與場點間的距離均相同。
質量素dm可以寫成
由餘弦定理
，微分得
，微分得
將以上關係式代入得：
變數s的範圍由s=D-R到s = D+R，且面密度
，故總位能：
，故總位能：
D是球殼中心和質點間的距離，
習慣上我們以r來表示：即
因此萬有引力可以寫成：
球殼作用在質點Mp上距離（r=D時）的重力為：
如果要算質量均勻分佈的整個球體，可以看成是許多球殼的合成，故可適用相同的結論，這就是牛頓所稱的點質量定理。
⊙想一想⊙
變換s的積分區間為由R－D到R＋D，可以證明球殼內部之位能為常數。
球殼內部任一點的位能為常數是什麼意思呢？能不能由此求得球殼在其內部一點所產生的重力場是多少呢？
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例題4
證明密度為ρ（單位：kg/m3），半徑為R的均勻實心球體，其重力場隨距離的關係如下圖。
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解：
若P點在球內，(r<R)，只有半徑小於r的那部分的球體質量對P點有淨力作用，而半徑大於r的那部分的球殼對P點產生的重力場為0。
小於r的球體質量為
，因此重力場
，因此重力場
由此可知，實心球體在其內部一點所產生的重力場的強度是線性的，重力場g是r的函數，其大小隨著與球心間的距離增加而增加
別忘了，重力場是一個向量，在這一題中，方向指向球心，因此，
若有一質量Mp的質點在球內部距離球心r的地方，此質點所受到這個實心球（半徑R質量M）產生的重力為
，
k是一個常數，k=GMpM
/ R3。
⊙想一想⊙
F為什麼要寫成負的呢？
看到F = -kr這個式子，你想到什麼定律呢？
若P點在球外，(r>R)，則可將整個球體視為是許多球殼的合成，也就是牛頓所稱的點質量定理。
考慮重力是一個向量，方向指向球心，若有一質量Mp的質點在球外距離球心r的地方，此質點所受到這個實心球（半徑R質量M）產生的重力為
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例題5 (Halliday, Fundamentals of
Physics,6th,Sample Problem14-4)
設地球為均勻的圓球體，半徑R質量M，若有一通道貫穿地球的南北極，則質量Mp的質點在這個通道上，距地心r的地方（r<R）所受的重力為何？這個質點在這個通道上會做什麼運動？
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解：
根據上面的推論，質點所受的力為
負號表示重力F的方向與位移r的方向相反，這正是虎克定律，
因此，此質點在這個通道上做簡諧運動。
事實上，地球內部的重力場強度比地表還要大的。原因在於地球並非是均勻球體，每一殼層的密度並不相同，越靠近地心，密度越稠密。地球內部場的變化情形見圖b。
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此外，地球不是正球形，且地球會自轉都會影響實際的g值。
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類題1
設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ（單位：kg/m），求圓心位置處之重力場強度。
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解：
每一個質量素dm在圓心位置產生的萬有引力是一個向量，分為x方向和y方向，而且每一個x座標為+x的質量素所產生的重力場，均會有一對應之質量素，其x座標為-x，提供另一反方向的場將之抵銷。由對稱性可知，半圓環在圓心位置產生的萬有引力並無x分量只有y分量。我們現在來算半圓環在圓心處所產生的力場：
質量素 dm=λds=λRdθ，λ=πR/M。
總力場強度：
由上可知，將一個質量為Mp的質點放在圓心處，著質點所受到半圓環棒的萬有引力為：
⊙想一想⊙
如果是一整個圓環，而不是半圓環。圓心處的力場為多少？
如果是1/3個圓環，而不是半圓環。圓心處的力場為多少？
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