麦克斯韦方程组协变性的另一种证明方法
戴结林
(
安徽教育学院物理系
,
安徽 合肥
230061
)
麦克斯韦方程组协变性的另一种证明方法_百度文库
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摘 要
]
麦克斯韦方程组的协变性的证明一般用张量分析的方法
,
数学上是简洁的
,
但是比较抽象
,
物理意
义不明显
。
利用隐函数的微商公式和洛伦兹变换也可以对麦克斯韦方程的协变性给予证明
,
其结论显示了电磁场
的统一性
,
变换式具有明显的物理意义
。
on
V
o
l
.
20
N
o
.
3
[
收稿日期
]
2001-
10-
29
[
作者简介
]
戴结林
,
安徽教育学院现教中心主任
,
副教授
。
麦克斯韦方程组协变性的另一种证明方法
戴结林
(
安徽教育学院物理系
,
安徽 合肥
230061
)
[
摘 要
]
麦克斯韦方程组的协变性的证明一般用张量分析的方法
,
数学上是简洁的
,
但是比较抽象
,
物理意
义不明显
。
利用隐函数的微商公式和洛伦兹变换也可以对麦克斯韦方程的协变性给予证明
,
其结论显示了电磁场
的统一性
,
变换式具有明显的物理意义
。
[
关键词
]
麦克斯韦方程组
;
协变性
[
中图分类号
]
044
[
文献标识码
]
A
[
文章编号
]
1001-
5116
(
2002
)
03-
0019-
03
1
.
引言
麦克斯韦方程组是电磁场所遵循的基本规律
,
它在伽利略变换下不具备协变性
,
对于经典时空只
能假定它是在某一特殊的参考系中成立
。
麦克斯韦
方程组成立的参考系问题是在
1905
年爱因斯坦建
立的狭义相对论以后才得以解决
。
在狭义相对论的
四维时空中
,
麦克斯韦方程组满足洛伦兹变换且是
协变的
。
但其协变性的证明在数学上依赖于张量分
析
,
这种纯数学的演绎方法的结论不能直接地揭示
麦克斯韦方程组深刻的物理内涵—
—电磁场的统一
性
。
利用偏微商结合洛伦兹变换证明麦克斯韦方程
的协变性
,
可以避免这一方法的缺陷
。
2
.
基本变换关系
设
f
是
x‘
,
y‘
,
z‘
,
t‘
的一个具有连续偏微商的函
数
,
f
=
f
(
x‘
,
y‘
,
z‘
,
t‘
)
(
1
)
根据从
2
系到
2
‘
系的洛伦兹变换
X
‘
=
Χ
(
X
-
v
t
)
y
‘
=
y
z
‘
=
z
(
2
)
t
‘
=
Χ
(
t
-
v
C
2
)
x
式中
Χ
=
1
1
-
v
2
c
2
,
x‘
,
y‘
,
z‘
,
t‘
都是
x
,
y
,
z
,
t
的函
数
,
显然
f
是
x
,
y
,
z
,
t
的隐函数
。根据隐函数的微商
公式和
(
2
)
式
,
应有
5
f
5
x
=
5
f
5
x‘
5
x‘
5
x
+
5
f
5
t‘
5
t‘
5
x
=
Χ
5
f
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
f
5
t‘
(
3
)
5
f
5
y
=
5
f
5
y‘
5
y‘
5
y
=
5
f
5
y‘
(
4
)
5
f
5
z
=
5
f
5
z‘
5
z‘
5
z
=
5
f
5
z‘
(
5
)
5
f
5
t
=
5
f
5
t‘
5
t‘
5
t
+
5
f
5
x‘
5
x‘
5
t
=
Χ
5
f
5
t‘
-
Χ
v
5
f
5
x‘
(
6
)
由以上的变换式
,
我们可以推得麦克斯韦方程
组各式的变换关系
。
3
.
麦克斯韦方程组的协变性
麦克斯韦方程组的一般形式是
×
E
ψ
=
-
5
B
ψ
5
t
×
H
∼
=
J
τ
+
5
D
ψ
5
t
(
7
)
D
ψ
=
Θ
B
ψ
=
0
由
(
3
)
至
(
6
)
式
,
(
7
)
中第一式的三个分量依次变换如
下
:
9
1
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5
E
Z
5
y
-
5
E
y
5
z
=
5
E
Z
5
y‘
-
5
E
y
5
Z‘
=
-
5
B
X
5
t
=
-
Χ
5
B
X
5
t‘
+
Χ
v
5
B
X
5
x‘
所以
,
5
E
Z
5
y‘
-
5
E
y
5
z‘
=
-
Χ
5
B
X
5
t‘
+
Χ
Τ
5
B
5
x‘
(
8
)
5
E
x
5
z
-
5
E
Z
5
x
=
5
E
x
5
z‘
-
Χ
5
E
z
5
x‘
+
Χ
Τ
c
2
5
E
Z
5
t‘
=
-
5
B
y
5
t
=
-
Χ
5
B
y
5
t‘
+
Χ
Τ
5
B
y
5
x‘
所以
,
5
E
x
5
z‘
-
Χ
5
E
z
5
x‘
+
Χ
Τ
c
2
5
E
Z
5
t‘
=
-
Χ
5
B
y
5
t‘
+
Χ
Τ
5
B
y
5
x‘
(
9
)
5
E
y
5
x
-
5
E
x
5
y
=
Χ
5
E
y
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
E
y
5
t‘
-
5
E
x
5
y‘
=
-
5
B
z
5
t
=
-
Χ
5
B
z
5
t‘
+
Χ
Τ
5
B
z
5
x‘
所以
,
Χ
5
E
y
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
E
y
5
t‘
-
5
E
x
5
y‘
=
-
Χ
5
B
z
5
t‘
+
Χ
Τ
5
B
z
5
x‘
(
10
)
同理
,
由
(
3
)
至
(
6
)
式
,
仿照以上推导
,
可得
(
7
)
中
第二式的三个分量变换式依次如下
:
5
H
z
5
y‘
-
5
H
y
5
z‘
=
J
x
+
Χ
5
D
x
5
t‘
-
Χ
Τ
5
D
x
5
x‘
(
11
)
5
H
x
5
z‘
-
Χ
5
H
z
5
x‘
+
Χ
Τ
c
2
5
H
z
5
t‘
=
J
y
+
Χ
5
D
y
5
t‘
-
Χ
Τ
5
D
x
5
x‘
(
12
)
Χ
5
H
y
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
H
y
5
y‘
-
Χ
5
H
z
5
y‘
=
J
z
+
Χ
5
D
z
5
t‘
-
Χ
Τ
5
D
z
5
x‘
(
13
)
由
(
3
)
至
(
6
)
式
,
(
7
)
中第三式的变为
:
・
D
ψ
=
5
D
x
5
x
+
5
D
y
5
y
+
5
D
z
5
z
=
Χ
5
D
x
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
D
x
5
t‘
+
5
D
y
5
y‘
+
5
D
z
5
z‘
=
Θ
所以
,
(
7
)
中第三式的变换式为
:
Χ
5
D
x
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
D
x
5
t‘
+
5
D
y
5
y‘
+
5
D
z
5
z‘
=
Θ
(
14
)
同理
,
由
(
3
)
至
(
6
)
式
,
可得
(
7
)
中第四式的变换
式为
:
Χ
5
B
x
5
x‘
-
Χ
Τ
c
2
5
B
x
5
t‘
+
5
B
y
5
y‘
+
5
B
z
5
z‘
=
0
(
15
)
(
8
)
至
(
15
)
式是由洛伦兹变换和偏微商运算得
到的
,
它们是狭义相对论的直接结果
。
利用这些式
子
,
可以进一步作下列的推导
。
把
(
11
)
式代入
(
14
)
式
,
消去
5
D
x
5
t
θ
,
得到
5
D
x
5
x
θ
+
5
5
y
θ
Χ
(
D
y
-
Τ
c
2
H
z
)
+
5
5
z
θ
Χ
(
D
z
+
Τ
c
2
H
y
)
=
Χ
(
Θ
-
Τ
c
2
J
x
)
(
16
)
把
(
15
)
式代入
(
8
)
式
,
消去
5
B
x
5
x
θ
,
得到
5
5
y
θ
Χ
(
E
z
+
Τ
B
y
)
-
5
5
z
θ
Χ
(
E
y
-
Τ
B
z
)
=
-
5
B
x
5
t
θ
(
17
)
(
9
)
式可以化为
5
E
x
5
z
θ
-
5
5
x
θ
Χ
(
E
z
+
Τ
B
y
)
=
-
5
5
t
θ
Χ
(
B
y
+
Τ
c
2
B
z
)
(
18
)
(
10
)
式可以化为
5
5
x
θ
Χ
(
E
y
-
Τ
B
z
)
-
5
E
x
5
y
θ
=
-
5
5
t
θ
Χ
(
B
z
-
Τ
c
2
B
y
)
(
19
)
把
(
8
)
式代入
(
15
)
式
,
消去
5
B
x
5
t
θ
,
得到
5
B
x
5
x
θ
+
5
5
y
θ
Χ
(
B
y
+
Τ
c
2
E
z
)
+
5
5
z
θ
Χ
(
B
z
-
Τ
c
2
E
y
)
=
0
(
20
)
把
(
14
)
式代入
(
11
)
式
,
消去
5
D
x
5
x
θ
,
得到
5
5
y
θ
Χ
(
H
z
-
Τ
D
y
)
-
5
5
Z
θ
Χ
(
H
y
+
Τ
D
z
)
=
Χ
(
J
x
-
Θ
Τ
)
+
5
D
x
5
t
θ
(
21
)
(
12
)
式可以化为
5
H
x
5
z
θ
-
5
5
x
θ
Χ
(
H
z
-
Τ
D
y
)
=
J
y
+
5
5
t
θ
Χ
(
D
y
-
Τ
c
2
H
z
)
(
22
)
(
13
)
式可以化为
5
5
x
θ
Χ
(
H
y
+
Τ
D
z
)
-
5
H
z
5
y
θ
=
J
z
+
5
5
t
θ
Χ
(
D
z
+
Τ
c
2
H
y
)
(
23
)
(
16
)
式至
(
23
)
式就是在
2
θ
系中电磁场所满足
的方程式
。
显而易见
,
如果电磁场
、
电流密度和电荷
密度从
2
系到
2
θ
的变换关系为
D
θ
x
=
D
x
,
D
θ
y
=
Χ
(
D
y
-
Τ
C
2
H
z
)
,
D
θ
z
=
Χ
(
D
z
+
Τ
C
2
H
y
)
(
24
)
E
θ
x
=
E
x
,
E
θ
y
=
Χ
(
E
y
-
Τ
B
z
)
,
E
θ
z
=
Χ
(
E
z
+
Τ
B
y
)
(
25
)
B
θ
x
=
B
x
,
B
θ
y
=
Χ
(
B
y
+
Τ
c
2
E
z
)
,
B
θ
z
=
Χ
(
B
z
-
Τ
c
2
E
y
)
(
26
)
H
θ
x
=
H
x
,
H
θ
y
=
Χ
(
H
y
+
Τ
D
z
)
,
H
θ
z
=
Χ
(
H
z
-
Τ
D
y
)
(
27
)
J
θ
x
=
Χ
(
J
x
-
Τ
Θ
)
,
J
θ
y
=
J
y
,
J
θ
z
=
J
z
,
(
28
)
0
2
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Θ
θ
=
Χ
(
Θ
-
Τ
C
2
J
x
)
(
29
)
则
(
16
)
式至
(
23
)
就可以化为
:
θ
×
E
ψ
θ
=
-
5
B
ψ
θ
5
t
θ
θ
×
H
∼
θ
=
J
τ
θ
+
5
D
ψ
θ
5
t
θ
(
30
)
θ
D
ψ
θ
=
Θ
θ
θ
B
ψ
θ
=
0
式中
θ
表示
2
θ
的算符
。
(
30
)
式正是麦克斯韦
方程组在
2
θ
系的形式
。
与
(
7
)
式比较
,
在
2
系和
2
θ
系中麦克斯韦方程组的数学形式保持不变
。
根据相
对性原理
,
麦克斯韦方程组在
2
θ
系应成立
。
只要从
2
到
2
θ
系
,
电磁场的变换为
(
24
)
至
(
27
)
式
、
电流密
度的变换式为
(
28
)
式
,
电荷密度的变换式为
(
29
)
式
,
就可以保证麦克斯韦方程组的协变性
。
特别地
,
由以上结论可以明显地看出
,
当电磁场
按
(
24
)
至
(
27
)
式变换时
,
电磁场的
E
τ
、
D
ψ
、
B
τ
、
H
ψ
等场
量是随坐标系的变换而变换的
,
它们不是协变量
。
由
(
26
)
和
(
27
)
式可知
,
在
2
系中静止的电荷
,
它在
2
系中只产生电场而不产生磁场
,
但在
2
θ
中观测
,
它
不仅产生电场
,
而且还产生磁场
。
类似地
,
由
(
24
)
和
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