将任一波函数y ( r )展开为各个不同动量的平面波的叠加，所根据的正是态叠加原理。只是由于粒子动量分布的连续性，在那里将式
(20. 43)
中的求和改成了积分
狄拉克在1970年曾经说过，我们在原子理论中所得到的概率，是作为一种更加基本的量的数值的模方而出现的，这种量叫做概率幅。存在这种概率幅的直接结果，就是引起了充满整个原子世界的干涉现象。
(20. 43)[PDF]
论量子力学基本算符在两个具体表象中的本征问题
動量算符- 维基百科，自由的百科全书
zh.wikipedia.org/zh-hk/動量算符
在量子力學裏，動量算符（英语：momentum operator）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶 ... 是一個平面波： ... 換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 \psi_k(x)\,\! .... 的本徵態與 \hat{p}\,\!
zh.wikipedia.org/zh-hk/動量算符
[DOC]
⑴动量算符的本征值。 其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征 ...
为求其本征态，可先求的本征态，其本征值方程为. 讨论：若粒子位置不受限制，则可取一切实数值（），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
[PPT]
3.4 连续谱本征函数的“归一化”
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化. 平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法. 即先让粒子局限于有限空间 中运动(最. 后才让 ). 动量本征态为 在周期条件 ...
21.2 本征值和本征函数线性厄米算符
在求解本征值方程时，如果 作为力学量A的本征态，则还要满足物理上的一些要求。 .... 在量子力学中，平面波代表粒子处在动量一定、在空间各处出现的概率都相同的 ...
【求助】力学量的测量值问题- 物理- 小木虫- 学术科研第一站
2010年5月15日 - 16 篇文章 - 5 位作者
... 值时又说，在这一态下测量粒子动量得到的是平均值，当这一态是粒子的动量本征
2010年5月15日 - 16 篇文章 - 5 位作者
... 值时又说，在这一态下测量粒子动量得到的是平均值，当这一态是粒子的动量本征[DOC]
量子力学中的力学量
四个本征态及本征值：坐标或、动量或、角动量及、能量（哈密顿量）。 .... 为具有确定动量的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为函数，故取归一化因子为，对于 ...
phymath999: 测了一次动量，系统就进入了动量本征态，重复测量同一 ...
2013年10月5日 - 如果粒子不是处在某一动量的本征态，测量其动量得到的值，是属于各种 ... 应是确定的，但粒子的动量测量值不确定，粒子的态函数可表示成平面波 ...
phymath999: 于自由状态的单粒子。这时它的动量、能量本征态在坐标 ...
2013年1月17日 - 于自由状态的单粒子。这时它的动量、能量本征态在坐标表象中确实都是平面波态，
[DOC]
第四章矩阵力学基础C})表象理论
展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。 (2) 动量表象. 以动量算符的本
1.7 坐标与动量空间的波函数_百度文库
由坐标本征矢? ... 找到态? 的几率振幅的交叠积分。 常被称为? ? ? 一般态? 以算符本征态展开在坐标 ... 可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求?
【求助】力学量的测量值问题
量子力学教材中在介绍态叠加原理时说，粒子的某一定态波函数可表示为平面波的叠加，在这一态下测量力学量，比如测量动量，会得到各种可能值，且有确定的测值几率
而在介绍力学量测量值时又说，在这一态下测量粒子动量得到的是平均值，当这一态是粒子的动量本征态时，即只包含一种平面波，平均值等于本征值
那么，对于粒子的动量进行测量时，假设测量很多次，每一次测量是只得到确定的平均值，还是各次的测量会得到各种可能值？请虫友们给予指点，谢谢！
而在介绍力学量测量值时又说，在这一态下测量粒子动量得到的是平均值，当这一态是粒子的动量本征态时，即只包含一种平面波，平均值等于本征值
那么，对于粒子的动量进行测量时，假设测量很多次，每一次测量是只得到确定的平均值，还是各次的测量会得到各种可能值？请虫友们给予指点，谢谢！
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如果分别对很多处于同一种状态的粒子测量其动量，（对每个粒子只测量一次），那么，一次测量得到一个值，这个值属于各种可能值的集合，也就是你所说的后者。而这很多值的分布，就近似服从如你上面所说，各种可能值分别对应特定的几率的分布。
Originally posted by witch_girl at 2010-05-15 09:30:00:
如果分别对很多处于同一种状态的粒子测量其动量，（对每个粒子只测量一次），那么，一次测量得到一个值，这个值属于各种可能值的集合，也就是你所说的后者。而这很多值的分布，就近似服从如你上面所说，各种可能值 ...
如果粒子不是处在某一动量的本征态，测量其动量得到的值，是属于各种可能值的集合中的某一个，而不是这些动量的平均值吗？如果分别对很多处于同一种状态的粒子测量其动量，（对每个粒子只测量一次），那么，一次测量得到一个值，这个值属于各种可能值的集合，也就是你所说的后者。而这很多值的分布，就近似服从如你上面所说，各种可能值 ...
应当是 众多本征值 中 的一个吧，而不是这些动量的平均值
Originally posted by forumts at 2010-05-15 10:48:34:
应当是 众多本征值 中 的一个吧，而不是这些动量的平均值
我想也是这样，但书中也有说过观测值是平均值，以下是书中的内容，要怎么理解呢？应当是 众多本征值 中 的一个吧，而不是这些动量的平均值
观测完了一定要给出一个测量值，由于每次测量结果不同，只好将平均值作为测量值
想象一下你在做实验，要测定某个值，最后怎么办？
想象一下你在做实验，要测定某个值，最后怎么办？
Originally posted by forumts at 2010-05-15 11:09:40:
观测完了一定要给出一个测量值，由于每次测量结果不同，只好将平均值作为测量值
想象一下你在做实验，要测定某个值，最后怎么办？
这样啊，不知是我理解力差还是书中说的不明白:rol::o，谢谢指点！观测完了一定要给出一个测量值，由于每次测量结果不同，只好将平均值作为测量值
想象一下你在做实验，要测定某个值，最后怎么办？
Originally posted by 天仙老人 at 2010-05-15 10:35:05:
如果粒子不是处在某一动量的本征态，测量其动量得到的值，是属于各种可能值的集合中的某一个，而不是这些动量的平均值吗？
对。如果对很多粒子测量，最后你只取一个结果，这个结果就是这一系列测量值的统计平均，即理论上就等于平均值。这也应该就是6楼的意思。如果粒子不是处在某一动量的本征态，测量其动量得到的值，是属于各种可能值的集合中的某一个，而不是这些动量的平均值吗？
Originally posted by 天仙老人 at 2010-05-15 10:58:09:
我想也是这样，但书中也有说过观测值是平均值，以下是书中的内容，要怎么理解呢？
http://pic.emuch.net/201005/15/875115_201051 ...
我觉得你是不是把一些东西弄混了。我想也是这样，但书中也有说过观测值是平均值，以下是书中的内容，要怎么理解呢？
http://pic.emuch.net/201005/15/875115_201051 ...
Originally posted by witch_girl at 2010-05-15 16:47:42:
我觉得你是不是把一些东西弄混了。
我想是有些混了，比如对于粒子处于定态，其能量具有确定值，如一维无限深方势阱中粒子的能级，能级的测量值应是确定的，但粒子的动量测量值不确定，粒子的态函数可表示成平面波的叠加，对于每一个平面波成分，有E=pp/2m，对应一能量值，所以能量的测量值也应是不确定的，但这些能量的平均值则等于能级。因对于定态能量的测值是确定的，所以我想若粒子的能量测值是唯一的话，此时的观测值就直接是平均值，而不是取平均后再作为观测值。我觉得你是不是把一些东西弄混了。
还是我把定态的概念理解错了呢，如何理解定态时能量的测量值呢？
定态就是能量的本征态，能量的测量值（本征值）等于其平均值:rol::o:sweat:
Originally posted by witch_girl at 2010-05-15 09:30:00:
如果分别对很多处于同一种状态的粒子测量其动量，（对每个粒子只测量一次），那么，一次测量得到一个值，这个值属于各种可能值的集合，也就是你所说的后者。而这很多值的分布，就近似服从如你上面所说，各种可能值 ...
抱歉，没仔细看你的问题，上面所说有点小问题如果分别对很多处于同一种状态的粒子测量其动量，（对每个粒子只测量一次），那么，一次测量得到一个值，这个值属于各种可能值的集合，也就是你所说的后者。而这很多值的分布，就近似服从如你上面所说，各种可能值 ...
如果是本征态中测量得到的值就是就是本证值。如果是在非本征态中测量得到的平均值才是本证值
Originally posted by 夕阳西下 at 2010-05-16 13:38:01:
如果是本征态中测量得到的值就是就是本证值。如果是在非本征态中测量得到的平均值才是本证值
后半句不懂:rol:如果是本征态中测量得到的值就是就是本证值。如果是在非本征态中测量得到的平均值才是本证值
Originally posted by 天仙老人 at 2010-05-16 16:01:49:
后半句不懂:rol:
也就是说在非本征态下多次测量的值求平均和在本征态下测得的值一样。后半句不懂:rol:
测了一次动量，系统就进入了动量本征态，重复测量同一微粒只会得到相同结果。
如果你测的是同1系列波的动量，测的是动量平均值，因为你测的不是同一波包。
用测自旋类比，你用光栅分出了竖偏振的一个光子，再测它的偏振永远是竖的。
但你测同一束光，总是分出一半竖一半横
如果你测的是同1系列波的动量，测的是动量平均值，因为你测的不是同一波包。
用测自旋类比，你用光栅分出了竖偏振的一个光子，再测它的偏振永远是竖的。
但你测同一束光，总是分出一半竖一半横
§20.3.2 态叠加原理
( 1 ) 态叠加原理的表述
态叠加原理是量子力学的一个基本原理，它可以表述为：
如果y1, y2
yn
等都是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。
yn等都是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。
( 2 ) 态叠加中的干涉项
为了理解态叠加原理的深刻含义，在图20 - 2 ( a )所示的电子双缝衍射实验中，
用 y1 表示电子穿过狭缝1 (此时缝2关闭)到达屏的状态，
用 y2 表示电子穿过狭缝2 (此时缝1关闭)到达屏的状态，
用 y 表示电子同时穿过1和2两个狭缝到达屏的状态。
根据态叠加原理，y 可以写成是 y1 和 y2 的线性叠加，即
, (20. 41)
其中c1和c2是复数。由此可得，电子在屏上任意一点P出现的概率密度为
(20. 42)
上式表明，电子穿过双缝后在P点出现的概率密度
，一般并不等于电子穿过狭缝1到达P点的概率密度
与穿过狭缝2到达P点的概率密度
之和，即
，一般并不等于电子穿过狭缝1到达P点的概率密度与穿过狭缝2到达P点的概率密度之和，即
,
而是等于它们两者之和再加上干涉项。
电子衍射图样[见图20 - 1 ( b )和图16 - 18 ( b )]的产生证实了干涉项的存在。
图20 - 2 电子衍射和机枪打靶
( 3 ) 态叠加原理的普遍表达式和线性空间
按照量子力学的态叠加原理，如果y1, y2yn等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态
yn等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态 (20. 43)
也是这个体系的一个可能状态，其中的系数
为复数，它们应使y与y1，y2
都满足归一化条件。
为复数，它们应使y与y1，y2都满足归一化条件。
如§21 - 2所述，在y1，y2 正交归一，且 y 也已归一化的情况下，模方
正交归一，且 y 也已归一化的情况下，模方
分别表示y 态的粒子处在
各态的概率。
各态的概率。
实际上，在式
(20. 17)
中将任一波函数y ( r )展开为各个不同动量的平面波的叠加，所根据的正是态叠加原理。只是由于粒子动量分布的连续性，在那里将式
(20. 43)
中的求和改成了积分。
态叠加原理也可以用比较严格的数学语言表述为：可以用来描写一个系统的状态的所有态函数y 组成一个集合
，它对于以式(20. 43)表示的线性(叠加)运算是封闭的。
，它对于以式(20. 43)表示的线性(叠加)运算是封闭的。
数学上把这样一个集合叫做一个线性空间。它是一种函数空间，其中所包含的每一个态函数y 称为这个线性空间的一个元素。所以，态叠加原理的含义是说，量子力学中描写一个系统的态函数y 的总体，张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。在量子力学里，态函数本身并不是什么物理量，而整个理论则是在由态函数所张的空间中展开的。在量子力学里，按照运动方程只能解出波函数即概率幅y 随时间的演化，其模方代表了观测到粒子的概率。玻恩曾经作过一个极好的概括：“粒子运动遵循概率定律，而概率本身按照因果律传播”。
叫做一个线性空间。它是一种函数空间，其中所包含的每一个态函数y 称为这个线性空间的一个元素。所以，态叠加原理的含义是说，量子力学中描写一个系统的态函数y 的总体，张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。在量子力学里，态函数本身并不是什么物理量，而整个理论则是在由态函数所张的空间中展开的。在量子力学里，按照运动方程只能解出波函数即概率幅y 随时间的演化，其模方代表了观测到粒子的概率。玻恩曾经作过一个极好的概括：“粒子运动遵循概率定律，而概率本身按照因果律传播”。
以后将要看到，集合不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件和定义了内积的、由复函数构成的线性空间。在数学上，再加上一些严格规定的这样的线性空间，叫做希尔伯特空间。希尔伯特空间中的每个元素都称为矢量，内积就是矢量的点乘。事实上，在量子力学里所用得着的态空间，只要满足平方可积条件，在数学上都属于希尔伯特空间。
不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件和定义了内积的、由复函数构成的线性空间。在数学上，再加上一些严格规定的这样的线性空间，叫做希尔伯特空间。希尔伯特空间中的每个元素都称为矢量，内积就是矢量的点乘。事实上，在量子力学里所用得着的态空间，只要满足平方可积条件，在数学上都属于希尔伯特空间。
人们常常又把量子力学里的态叠加原理表述为：物理系统的状态由希尔伯特空间中的矢量描写。
( 4 ) 态叠加原理是复值波函数或概率幅的叠加，而不是概率的叠加
如果我们把粒子的波动性仅仅简单地理解为一般意义下的概率分布，我们就有可能把打开双缝后的概率分布错误地写成两单缝情况下的概率分布的叠加，即
.
因为按照经典统计理论，像图20 - 2 ( b )中机枪打靶的结果那样，互相排斥的事件中之任何一件发生的概率，等于每个事件单独发生的概率之和。
但是，在量子力学中，态叠加原理告诉我们，必须采用带有相位的复值波函数或概率幅叠加的法则，而不能应用概率叠加的法则。量子力学里态叠加原理的本来意思，就是在这门物理学理论中，具有叠加性的对象是作为概率幅的态函数即波函数。
狄拉克在1970年曾经说过，我们在原子理论中所得到的概率，是作为一种更加基本的量的数值的模方而出现的，这种量叫做概率幅。存在这种概率幅的直接结果，就是引起了充满整个原子世界的干涉现象。
( 5 ) 线性叠加态下观测结果的不确定性
量子力学中的态叠加原理是一个与测量密切联系在一起的基本原理，它与经典波叠加概念的物理含义有本质的不同。
为了说明这一点，我们假定：
当体系处在由特定的波函数 y1描述的态下时，测量力学量A所得到的结果是一个确定值a1（我们把y1这样的态称为力学量A的本征态，而把a1称为力学量A的本征值，详见后。）；
当体系处在由另一个特定的波函数y2描述的态下时，测量力学量A所得到的结果是另一个确定值a2 .
那么，在
(20. 44)
所描述的状态下，测量力学量A所得到的结果就既可能是a1也可能是a2 (但不会是另外的值)，而且测得结果为a1或a2的相对概率是完全确定的。而且，一旦施加了对力学量A的测量并得到了某一确定值(例如a1)，则该体系就坍缩到了与此对应的态(例如y1)。由此可见，量子力学中的这种态的叠加，导致了线性叠加态下观测结果的不确定性。
可以认为，处在叠加态y 的粒子，部分地处于本征态y1，部分地处于本征态y2. 只有这样才能理解为什么测量力学量A时有时得到a1，有时得到a2，而这从经典概念来看是无法理解的。在经典力学中，当谈到一个波由若干个子波叠加而成时，只不过表明这个合成的波含有各种成分的子波而已，其性质是完全确定的。
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