為何矩形斷面面積的慣性矩(I)是1/12bh^3
b寬 h高
慣性矩(I)又稱面積二次矩 是什麼意思呢
- 2008-02-05 00:34:31 補充您好 先謝謝您的回答 但這個答案我知道了
我這次要問的事
為何矩形斷面面積的慣性矩(I)是1/12bh^3
如何推導呢？
平面內各微小截面積乘以轉軸間距離平方之總和，稱為慣性矩
請問可否用圖形表示呢 謝謝 - 2008-02-07 23:32:25 補充謝謝你的說明
但你知道
平面內各微小截面積乘以轉軸間距離平方之總和，稱為慣性矩
這句話意思嗎
是否可以更白話
同樣學機械力學的我 也曾有與您一樣的疑惑
慣性矩(I)又稱面積二次矩 是什麼意思呢
因為定義中說：
平面內各微小截面積乘以轉軸間距離平方之總和，稱為慣性矩
有沒有注意到？
面積乘以距離平方
所以稱為二次矩，其單位是四次方（ｃｍ、ｉｎ）
以下對慣性矩講解的很不錯 我貼給你看
－－－－－－－－－－－－
慣性矩
先想像，拿一支1m長的鐵尺，手握一端，左右擺動，可以看到它自由端的搖擺，但是如果要你前後擺動，讓尺自由端擺動呢？這是不可能做到的。
為何有此現象？以剛剛的鐵尺來說，長度是L，斷面的寬是b，高度是h(斷面看來像是"1"的樣子)，其中h>>b，因此從慣性矩公式來看，I=1/12*b*h^3，由於h大於b許多，所以此慣性矩I會非常大。
反之，如果看此尺的斷面寬是h，高度是b(斷面看來像是"一"的樣子)，這樣的I=1/12*h*b^3，如此算出來的I就非常小
一般材料力學中，探討物體的撓曲位移或是扭轉時，分母都會用到I或J，例如懸臂梁端受一集中力P，其位移為δ=pL^3/3EI，注意到了嗎？分母的I，如果將前述鐵尺二個不同方向的I帶進來，當分母的I愈大(如斷面"1")，要發生位移的δ就會愈小；反之，當I愈小(如斷面"一")，要發生位移的δ就會愈大。
因此我們可以將慣性矩視為材料斷面抵抗變形的能力，當I愈大，斷面能抵抗發生撓曲、扭轉變形的能力就愈強。
迴轉半徑是慣性矩衍生出的另一個代表抵抗變形的參數，並非距離，再以前述為例，無論矩形慣性矩I=1/12*b*h^3或I=1/12*h*b^3，二者中都有b*h，恰好是斷面的面積，因此將二者提出A=b*h，得
I=1/12*A*h^2 (或 I=1/12*A*b^2)
整理得
k=√(I/A)
因此定義k為迴轉半徑，k有何意義呢？其實跟慣性矩差不多意思，不過k會和柱的細長比同時被應用，當斷面任一方向的k愈小，柱的這一方向會發生挫曲變形的機會就愈大。
以上之慣性矩及迴轉半徑是以靜力學的角度來解釋，動力學又有另一種解釋。
慣性矩(I)又稱面積二次矩 是什麼意思呢
因為定義中說：
平面內各微小截面積乘以轉軸間距離平方之總和，稱為慣性矩
有沒有注意到？
面積乘以距離平方
所以稱為二次矩，其單位是四次方（ｃｍ、ｉｎ）
以下對慣性矩講解的很不錯 我貼給你看
－－－－－－－－－－－－
慣性矩
先想像，拿一支1m長的鐵尺，手握一端，左右擺動，可以看到它自由端的搖擺，但是如果要你前後擺動，讓尺自由端擺動呢？這是不可能做到的。
為何有此現象？以剛剛的鐵尺來說，長度是L，斷面的寬是b，高度是h(斷面看來像是"1"的樣子)，其中h>>b，因此從慣性矩公式來看，I=1/12*b*h^3，由於h大於b許多，所以此慣性矩I會非常大。
反之，如果看此尺的斷面寬是h，高度是b(斷面看來像是"一"的樣子)，這樣的I=1/12*h*b^3，如此算出來的I就非常小
一般材料力學中，探討物體的撓曲位移或是扭轉時，分母都會用到I或J，例如懸臂梁端受一集中力P，其位移為δ=pL^3/3EI，注意到了嗎？分母的I，如果將前述鐵尺二個不同方向的I帶進來，當分母的I愈大(如斷面"1")，要發生位移的δ就會愈小；反之，當I愈小(如斷面"一")，要發生位移的δ就會愈大。
因此我們可以將慣性矩視為材料斷面抵抗變形的能力，當I愈大，斷面能抵抗發生撓曲、扭轉變形的能力就愈強。
迴轉半徑是慣性矩衍生出的另一個代表抵抗變形的參數，並非距離，再以前述為例，無論矩形慣性矩I=1/12*b*h^3或I=1/12*h*b^3，二者中都有b*h，恰好是斷面的面積，因此將二者提出A=b*h，得
I=1/12*A*h^2 (或 I=1/12*A*b^2)
整理得
k=√(I/A)
因此定義k為迴轉半徑，k有何意義呢？其實跟慣性矩差不多意思，不過k會和柱的細長比同時被應用，當斷面任一方向的k愈小，柱的這一方向會發生挫曲變形的機會就愈大。
以上之慣性矩及迴轉半徑是以靜力學的角度來解釋，動力學又有另一種解釋。
參考資料http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1607121110571
- 2008-02-06 16:39:17 補充微積分可導演 我還沒學到那麼深
故無法向您推論 深感抱歉
我查過課本與多本高職機械力學參考書
在此部份並未有圖形表示
而且說真的 慣性矩是個抽象的概念
要具體表示也只能用些旋轉箭頭等表示 且無定則
我之前也有鑽牛角尖的研究過這些問題
不過這就像是你問質量、重量是什麼
要別人用圖形表示一般困難
不過如果多讀幾次這些相關的文章與背熟觀念
相信你腦子裡也會自己想像出這種概念的雛形
我個人是覺得＂動力學＂中＂質量慣性矩＂就像是＂力矩＂
而材料力學中的＂面積慣性矩＂則像是＂一種旋轉的量＂
如果有問題歡迎來信討論 - 2008-02-06 16:41:46 補充關於矩形斷面面積的慣性矩(I)是1/12bh^3
我認為是＂定義＂
因為探討一個無量的形狀 所以才使用了ｂ、ｈ假設來帶值
所以我認為是定義
至於微積分也是可以推導這樣
如果有人能夠更有力的詮釋慣性矩更好 - 2008-02-08 20:51:55 補充平面內各微小截面積乘以轉軸間距離平方之總和，稱為慣性矩
我當初理解這句話的時候是用公式去想像
不過最有問題的應該是＂各微小截面積＂這句話
這道理跟靜力學中的力矩原理是各個質點........的代數和一樣觀念
妳可以設為１０個面積 也可以看成１００個小面積
Ｉ＝ＡＫ平方
那麼迴轉半徑的ｋ值跟面積如果越大則慣性矩就越大
那妳想想一個很大的面積是不是更能夠抵抗其他的扭轉力之類的
那麼這慣性矩相對的也很大
不知道這樣解釋能不能接受....
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