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以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象 - 中研院物理研究所
www.phys.sinica.edu.tw/~statphys/.../C_K_Hu_WHC_4_26(1995).pdf
楊振寧除了在粒子物理與場論很有貢獻以外，在統計物理的臨界現象理論也頗有貢獻。臨界現象. 最著名的模型 ... 計算相變模型的方法很多，如平均場法、數列展開法、
以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象
胡進錕
摘要
1.引言 2.硬核粒子的相變與展透性變遷 3.階層蒙地卡羅模擬法 4.晶胞至晶胞階層蒙地卡羅重整群算法 5.邊界條件及晶格形狀與普適尺度函數 6.討論與結語
本文評述以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象的重要發展。主題包括：
1. 用蒙地卡羅模擬法發現硬核粒子的相變是展透性變遷； 2. 階層蒙地卡羅模擬法主要觀念及計算程序； 3. 階層蒙地卡羅重整群法及其應用； 4. 用階層蒙地卡羅模擬法發現有限大小尺度函數和邊界條件與晶格形狀的關係以及找出普適尺度函數的程 序。
1.引言
楊振寧除了在粒子物理與場論很有貢獻以外，在統計物理的臨界現象理論也 頗有貢獻。臨界現象 最著名的模型就是易行模型（Ising model ）。它最先被認 為是磁鐵和合金相變的模型。楊振寧和李政 道認為它可以做為液體和氣體之間相 變的模型 1。1952年楊振寧發表二度空間方型晶格易行相變模型 自發磁性強度的 準確解2，他說這是他所從事極艱巨的計算工作之一。他發現在臨界溫度Tc 附近 ，當 絕對溫度 T 小於 Tc 時，自發磁性強度 M(T) 可以寫成 M(T) =A(Tc-T)b， 而b=1/8。b就叫臨界指數， 而M(T)是易形模型的秩序參數。
楊振寧所研究的易行模型，水平方向自旋之間的耦合常數J1與垂直方向自旋 之間的耦合常數J2相 同，即J1=J2。他建議張承修研究J1胡2的情形。1952年張承 修發表一篇短文3，他發現當 0 當溫 度T趨近於臨界溫度 Tc，比熱Ch、磁化率c、相關長度x等物理量會趨近 於無限大。為了表示這些物 理量趨近於無限大的行為，科學家乃定義了臨界指數 。令t = (T-Tc)/Tc，則當溫度由T>Tc接近 Tc 時，將比熱寫成Ch~t-a，磁化率寫 成 c~t-g ， 相關長度寫成 x~t-u。而當溫度由 T 實驗及理論的 計算也發現臨界指數滿足一些等式，例如a'=a，g'=g，u'=u， a'+2b+g'=2 等等。這一類等式就叫尺度 定律（Scaling laws）或尺度關係 （Scaling relations）。 根據熱力學和統計力學，比熱、磁性強度、 磁化率等 物理量，可以由自由能的偏微分求得。1965年，Widom 假設自由能在臨界點附近 包含一個 非解析部分fs，而這非解析部分是t及外加磁場h的齊次函數，即可找到 yt和yh兩個參數，對l>0，下式 成立 4d 是系統的空間維度，yt 稱為熱尺度乘冪 （Thermal scaling power），而 yh 則稱為場尺度乘 冪（Field scaling power） 。由熱力學，可以導出臨界指數和yt及yh的關係，例如4
http://www.nchc.org.tw/chinese/07_publication/nchcs/Other/V3N2/p40.html 第 1 頁 / 共 8 2003/11/25 下午 08:33:34
以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象
由這些等式，自然可以得到前述的尺度關係。因此理論上，只要會算yt和yh 就可以得到各種臨界 指數。
計算相變模型的方法很多，如平均場法、數列展開法、準確算法、重整群法 （Renormalization group method）、蒙地卡羅模擬法等等。平均場算法，方法 很簡單，但是算出來的臨界點和臨界指數 極不準確4，例如用平均場法計算2d 易 行模型的b是1/2，與準確值1/8 相去甚遠。數列展開法用於一些 二階相變模型可 得到頗準確的臨界點和臨界指數，但是用於一階相變模型則無法得到準確的臨界 點。 準確算法可得到準確的臨界點和臨界指數，但通常只有一些簡單的一度空間 和二度空間的模型才有準 確解。1972 年楊振寧曾說5：“我認為找到不平常的二 度空間量子統計力學模型或三度空間古典統計 力學模型的準確解，是極為遙遠的 。”從1972年到現在，二十多年過去了，楊振寧當年講的話，到現 在基本上還是 對的。但是二十多年來，電腦的硬體和數值計算的算則有極大的進步。現在我們 可以用 數值計算的方法，極準確地算出三度空間相變模型的臨界點、臨界指數、 秩序參數等物理量，也可以 藉由電腦的幫助，找出自然界的規律性。本文的目的 ，就是簡單的介紹我們在這方面研究所得到的一 些成果。我們的數值計算用到蒙 地卡羅模擬法以及重整群法
熱學/流體標題:與熱力學有關的偏微分. 1:我是??? (大學)張貼:2011-12-01 20:34:19:
这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 基本定律应用到各种具体问题中去。 全微分性质+ 热力学函数一般关系式← 全微分
2013年7月1日 - 2004年5月18日– 挺复杂的，一个热力学偏微分方程，我一点也不明白。于是看书，头很大，很大。 在实验室我是穿拖鞋的，突然发现自己的 ...
2012年7月26日 - 热力学一般关系(热学高等数学偏微分).doc 详细». 1 第二部分工质的热力性质六热力学函数的一般关系式由热力学基本定律引出的一些基本热力学 ...
2011年11月28日 - 我覺得你應該是會錯意了 你所寫的這個式子是利用微分循環定則所寫出來的: (∂T/
資料識別：: A97018122; 資料類型：: 期刊論文; 著作者：: 陳宏剛(Chen， Hong-gang)
胡進錕
摘要
1.引言 2.硬核粒子的相變與展透性變遷 3.階層蒙地卡羅模擬法 4.晶胞至晶胞階層蒙地卡羅重整群算法 5.邊界條件及晶格形狀與普適尺度函數 6.討論與結語
本文評述以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象的重要發展。主題包括：
1. 用蒙地卡羅模擬法發現硬核粒子的相變是展透性變遷； 2. 階層蒙地卡羅模擬法主要觀念及計算程序； 3. 階層蒙地卡羅重整群法及其應用； 4. 用階層蒙地卡羅模擬法發現有限大小尺度函數和邊界條件與晶格形狀的關係以及找出普適尺度函數的程 序。
1.引言
楊振寧除了在粒子物理與場論很有貢獻以外，在統計物理的臨界現象理論也 頗有貢獻。臨界現象 最著名的模型就是易行模型（Ising model ）。它最先被認 為是磁鐵和合金相變的模型。楊振寧和李政 道認為它可以做為液體和氣體之間相 變的模型 1。1952年楊振寧發表二度空間方型晶格易行相變模型 自發磁性強度的 準確解2，他說這是他所從事極艱巨的計算工作之一。他發現在臨界溫度Tc 附近 ，當 絕對溫度 T 小於 Tc 時，自發磁性強度 M(T) 可以寫成 M(T) =A(Tc-T)b， 而b=1/8。b就叫臨界指數， 而M(T)是易形模型的秩序參數。
楊振寧所研究的易行模型，水平方向自旋之間的耦合常數J1與垂直方向自旋 之間的耦合常數J2相 同，即J1=J2。他建議張承修研究J1胡2的情形。1952年張承 修發表一篇短文3，他發現當 0 當溫 度T趨近於臨界溫度 Tc，比熱Ch、磁化率c、相關長度x等物理量會趨近 於無限大。為了表示這些物 理量趨近於無限大的行為，科學家乃定義了臨界指數 。令t = (T-Tc)/Tc，則當溫度由T>Tc接近 Tc 時，將比熱寫成Ch~t-a，磁化率寫 成 c~t-g ， 相關長度寫成 x~t-u。而當溫度由 T 實驗及理論的 計算也發現臨界指數滿足一些等式，例如a'=a，g'=g，u'=u， a'+2b+g'=2 等等。這一類等式就叫尺度 定律（Scaling laws）或尺度關係 （Scaling relations）。 根據熱力學和統計力學，比熱、磁性強度、 磁化率等 物理量，可以由自由能的偏微分求得。1965年，Widom 假設自由能在臨界點附近 包含一個 非解析部分fs，而這非解析部分是t及外加磁場h的齊次函數，即可找到 yt和yh兩個參數，對l>0，下式 成立 4d 是系統的空間維度，yt 稱為熱尺度乘冪 （Thermal scaling power），而 yh 則稱為場尺度乘 冪（Field scaling power） 。由熱力學，可以導出臨界指數和yt及yh的關係，例如4
http://www.nchc.org.tw/chinese/07_publication/nchcs/Other/V3N2/p40.html 第 1 頁 / 共 8 2003/11/25 下午 08:33:34
以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象
由這些等式，自然可以得到前述的尺度關係。因此理論上，只要會算yt和yh 就可以得到各種臨界 指數。
計算相變模型的方法很多，如平均場法、數列展開法、準確算法、重整群法 （Renormalization group method）、蒙地卡羅模擬法等等。平均場算法，方法 很簡單，但是算出來的臨界點和臨界指數 極不準確4，例如用平均場法計算2d 易 行模型的b是1/2，與準確值1/8 相去甚遠。數列展開法用於一些 二階相變模型可 得到頗準確的臨界點和臨界指數，但是用於一階相變模型則無法得到準確的臨界 點。 準確算法可得到準確的臨界點和臨界指數，但通常只有一些簡單的一度空間 和二度空間的模型才有準 確解。1972 年楊振寧曾說5：“我認為找到不平常的二 度空間量子統計力學模型或三度空間古典統計 力學模型的準確解，是極為遙遠的 。”從1972年到現在，二十多年過去了，楊振寧當年講的話，到現 在基本上還是 對的。但是二十多年來，電腦的硬體和數值計算的算則有極大的進步。現在我們 可以用 數值計算的方法，極準確地算出三度空間相變模型的臨界點、臨界指數、 秩序參數等物理量，也可以 藉由電腦的幫助，找出自然界的規律性。本文的目的 ，就是簡單的介紹我們在這方面研究所得到的一 些成果。我們的數值計算用到蒙 地卡羅模擬法以及重整群法
大學物理相關內容討論:與熱力學有關的偏微分 - 國立臺灣師範大學物理學系
www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=24948
热力学一般关系(热学高等数学偏微分)_百度文库
wenku.baidu.com/view/928826747fd5360cba1adb2a.html
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由“一句话”巧记热力学函数关系式
phymath999: 数理方程里面有个热力学偏微分方程，当边界 ...
phymath999.blogspot.com/2013/07/blog-post_9710.html
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热力学一般关系(热学高等数学偏微分).doc - 豆丁网
www.docin.com/p-450007192.html
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偏微分的疑問，牽涉一點熱力學- Yahoo!奇摩知識+
https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1511112805278
熱力學基本關係式助記圖及偏微分推証通用方式
catalog.digitalarchives.tw/item/00/62/c0/b8.html
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