以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象
胡進錕
摘要
1.引言 2.硬核粒子的相變與展透性變遷 3.階層蒙地卡羅模擬法 4.晶胞至晶胞階層蒙地卡羅重整群算法 5.邊界條件及晶格形狀與普適尺度函數 6.討論與結語
本文評述以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象的重要發展。主題包括：
1. 用蒙地卡羅模擬法發現硬核粒子的相變是展透性變遷； 2. 階層蒙地卡羅模擬法主要觀念及計算程序； 3. 階層蒙地卡羅重整群法及其應用； 4. 用階層蒙地卡羅模擬法發現有限大小尺度函數和邊界條件與晶格形狀的關係以及找出普適尺度函數的程 序。
1.引言
楊振寧除了在粒子物理與場論很有貢獻以外，在統計物理的臨界現象理論也 頗有貢獻。臨界現象 最著名的模型就是易行模型（Ising model ）。它最先被認 為是磁鐵和合金相變的模型。楊振寧和李政 道認為它可以做為液體和氣體之間相 變的模型 1。1952年楊振寧發表二度空間方型晶格易行相變模型 自發磁性強度的 準確解2，他說這是他所從事極艱巨的計算工作之一。他發現在臨界溫度Tc 附近 ，當 絕對溫度 T 小於 Tc 時，自發磁性強度 M(T) 可以寫成 M(T) =A(Tc-T)b， 而b=1/8。b就叫臨界指數， 而M(T)是易形模型的秩序參數。
楊振寧所研究的易行模型，水平方向自旋之間的耦合常數J1與垂直方向自旋 之間的耦合常數J2相 同，即J1=J2。他建議張承修研究J1胡2的情形。1952年張承 修發表一篇短文3，他發現當 0 當溫 度T趨近於臨界溫度 Tc，比熱Ch、磁化率c、相關長度x等物理量會趨近 於無限大。為了表示這些物 理量趨近於無限大的行為，科學家乃定義了臨界指數 。令t = (T-Tc)/Tc，則當溫度由T>Tc接近 Tc 時，將比熱寫成Ch~t-a，磁化率寫 成 c~t-g ， 相關長度寫成 x~t-u。而當溫度由 T 實驗及理論的 計算也發現臨界指數滿足一些等式，例如a'=a，g'=g，u'=u， a'+2b+g'=2 等等。這一類等式就叫尺度 定律（Scaling laws）或尺度關係 （Scaling relations）。 根據熱力學和統計力學，比熱、磁性強度、 磁化率等 物理量，可以由自由能的偏微分求得。1965年，Widom 假設自由能在臨界點附近 包含一個 非解析部分fs，而這非解析部分是t及外加磁場h的齊次函數，即可找到 yt和yh兩個參數，對l>0，下式 成立 4d 是系統的空間維度，yt 稱為熱尺度乘冪 （Thermal scaling power），而 yh 則稱為場尺度乘 冪（Field scaling power） 。由熱力學，可以導出臨界指數和yt及yh的關係，例如4
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由這些等式，自然可以得到前述的尺度關係。因此理論上，只要會算yt和yh 就可以得到各種臨界 指數。
計算相變模型的方法很多，如平均場法、數列展開法、準確算法、重整群法 （Renormalization group method）、蒙地卡羅模擬法等等。平均場算法，方法 很簡單，但是算出來的臨界點和臨界指數 極不準確4，例如用平均場法計算2d 易 行模型的b是1/2，與準確值1/8 相去甚遠。數列展開法用於一些 二階相變模型可 得到頗準確的臨界點和臨界指數，但是用於一階相變模型則無法得到準確的臨界 點。 準確算法可得到準確的臨界點和臨界指數，但通常只有一些簡單的一度空間 和二度空間的模型才有準 確解。1972 年楊振寧曾說5：“我認為找到不平常的二 度空間量子統計力學模型或三度空間古典統計 力學模型的準確解，是極為遙遠的 。”從1972年到現在，二十多年過去了，楊振寧當年講的話，到現 在基本上還是 對的。但是二十多年來，電腦的硬體和數值計算的算則有極大的進步。現在我們 可以用 數值計算的方法，極準確地算出三度空間相變模型的臨界點、臨界指數、 秩序參數等物理量，也可以 藉由電腦的幫助，找出自然界的規律性。本文的目的 ，就是簡單的介紹我們在這方面研究所得到的一 些成果。我們的數值計算用到蒙 地卡羅模擬法以及重整群法。
本文下面各節結構如下：第 2節簡要地介紹我們用蒙地卡羅模擬法發現硬核 粒子的相變是展透性 變遷；第3 節介紹我們發展的階層蒙地卡羅模擬法並用它算 出位置展透模型的存在或然率和展透或然 率。第4 節介紹我們將階層蒙地卡羅模 擬法與重整群法結合成階層蒙地卡羅重整群法並用它算出相變 模型極準確的臨界 點、臨界指數、與秩序參數；第5 節介紹我們用階層蒙地卡羅模擬法發現展透模 型 的有限大小尺度函數和邊界條件及晶格形狀有密切關係。適當的選擇每一晶格 的寬高比及非普適參數 後，可定義普適尺度函數（Universal scaling functions） ；第6節則說明可以進一步研究的問題。
2.硬核粒子的相變與展透性變遷
在硬核粒子模型，一個晶格點被某一原子占了以後，與這晶格點相距某一範 圍內（如最鄰近，或 最鄰近與次鄰近）的晶格點，都不容許有原子占住。滿足前 述條件之下，兩最鄰近原子交互作用能量 為-u。某一原子周圍不能被別的原子占 住的範圍可用點線表示。平面方型晶格上最鄰近排斥的硬核粒 子模型，相當於正 方型的排列問題，如圖一所示，因此又叫硬方形模型( Hard square model)。平 面三 角晶格上「最鄰近排斥」的硬核粒子模型相當於硬六邊形的排列問題，因此 又叫硬六邊形模型(Hard hexagon model)。在硬核粒子模型，我們可由化學勢 （Chemical potential）‧A控制粒子的密度r。令 p=exp(?/(1+exp(?)。當p由 小變大，r、粒子數之起伏Fn及能量之起伏Fu都逐漸變大；當p大至臨界點 pc，Fn 和Fu都趨近於無限大；p由pc繼續變大，Fn和Fu則又逐漸變小。
「展透」譯自英文Percolation6，含有由系統一邊伸展至另一邊的意思。例 如在晶格G的「鍵隨機 展透模型」（Bond random percolation model, BRPM）， 每一連接最鄰近點的鍵有p的機率被接通， 有1-p的機率不被接通，凡是被連通鍵 接在一起的點就是同一集團。由晶格一邊伸展至另一邊的集團叫 展透集團，其他 的集團叫非展透集團。非展透集團的平均大小 S，叫集團平均大小。晶格點屬於 展透 集團的比率叫展透或然率，以P表示。兩點相距r而且在同一非展透集團的或 然率G，叫連接函數，它 隨r的變化可寫為：G~exp(-r/x)/r(d-2+h)，d是晶格G的 空間維度，x叫相關長度，而h是一種臨界指 數。
當G很大，p由小變大時, S和x也逐漸變大；到某一臨界點pc時，S和x趨近於 無限大。p 由 pc 繼 續增大，S和x逐漸變小而P則由0上升。我們可定義臨界指數 ，g,g',u,u',和b表示S、x和P在pc附近的行 為。
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若G上每一點有ps的機率被粒子占住，有1-ps 的機率空著且兩個最鄰近的粒 子視為同一集團，則 我們就有位置隨機展透模型。我們可以仿效鍵展透問題定義 S,x,P,....及各種臨界指數。若粒子或鍵組 態出現的機率，除了和粒子或鍵的數 目有關以外，也和它們的排列方式有關，我們就有相關展透模 型。
隨機展透模型的幾何量 S,x,.....等在 pc 附近的非解析行為，乃是由於在 pc點開始出現展透集團。 易行模型和硬核粒子模型的臨界行為，和隨機展透模型 的臨界行為很類似。前者的非解析行為是否也 像後者一樣，乃是由於在臨界點開 始出現展透集團？筆者在1983～1988年的一系列論文中指出，適當 地定義易行模 型及其他類似模型的「集團」後，確實可以由展透和集團等幾何觀念了解這類模 型的臨 界行為7,8。
1989年，筆者和麥傑聲用計算機模擬實驗研究晶格上各種硬核粒子模型。若 兩粒子有該模型容許 的最短距離，則視為在同一集團。我們計算集團平均大小 S ，粒子在展透集團的比例P，隨著p(=exp (?/(1+exp(?) 變化的情形。我們發現 ，在硬方型模型，硬六邊型模型，以及立方晶格最鄰近排斥的模 型，S 的奇點和 P 的上升點都和各別模型的相變點一致。也即是說，這些模型的相變也是展透性 變 遷。平面模型且u=0的結果刊於1989年二月一日＜物理評論B＞（Physical Review B）的速報（Rapid Communications）9。u?的結果則刊於1990年的＜物 理評論B＞10。
受到我們研究結果之啟發，最近Giacomin, Lebowitz, Maes等人嚴格地證明 硬方型的相變的確是 展透性變遷11。由此可見電腦可用於發現物理世界的真實情 況。
由上所述，隨機展透問題、易行類模型及硬核粒子模型，都可由同樣的幾何 觀念－「展透」－了 解它們的臨界行為，這個發展頗符合物理學發展的傳統－由 少數觀念來了解許多現象。
3.階層蒙地卡羅模擬法
1992~筆者提出階層蒙地卡羅模擬法（Histogram Monte Carlo simulation method, HMCSM）12- 13，它的適用範圍頗廣。為了便於讀者了解，本節說明如何 將此法用於較簡單的位置隨機展透模型 （ Site random percolation model , SRPM）14-16，此模型可用於代表包含磁性和非磁性兩種原子的 晶體6。
茲考慮在晶格G的位置隨機展透模型，G有N 個晶格點，每點有被磁性原子佔 住或被非磁性原子 佔住兩種狀態，因此晶格G共有2N種不同的組態，稱為G之次圖 （subgraphs），以G'表示。假設 G 每 點被磁性原子佔住的機率為p，某一個 G' 有v(G')個晶格點填上磁性原子，N-v(G')個晶格點填上非磁性 原子，則此一G'出 現的機率為
若兩個最鄰近的晶格點同時被磁性原子佔住，則我們說它們屬於同一集團。 從晶格一邊延申至對 邊的集團稱為展透集團，否則稱為非展透集團。若G'有展透 集團，則G'稱為展透次團，以 G'p 表示， 否則稱為非展透次團，以 G'f 表示。 G'p中在展透集團的晶格點總數以N*(G'p)表示。由p(G',p)和N* (G'p)，我們可以 定義兩個在展透問題很重要的量， 即存在或然率（ Existence probability ） Ep(G,p) 及展透或然率（Percolation probability）P(G,p)。
（3.2）（3.3）式都是對所有的G'p求和。Ep(G,p)代表系統展透的機率，當 系統的線性長度趨近於 無限大，Ep(G,p)趨近於q(p-pc)，即p
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pc則q(p-pc)=1。 因此如果以Ep~(p-pc)a表示Ep在pc附近的行為， 則a=0。 P(G,p)則代表任一晶格點屬 於展透集團的機率。
用階層蒙地卡羅模擬法計算Ep(G,p)和P(G,p)的過程如下。首先選w個位於0 和1 之間的實數pi， 1ξㄈ，使得0
（3.4）式對所有磁性原子為v的展透次圖求和。
用NtP(v)和Ntf(v)分別代表G的2N個次圖中，含u個磁性原子的展透次圖和非 展透次圖總數。當w 和NR很大，NtP(v) 和Ntf(v)分別和NP(v)和Nf(v)成正比，而 且有共同的比例常數C(b)。
用機率理論可以證明
C(u)也可以用別的方法算出來。因為，
因此將（3.5）和（3.6）式加起來，可以得到
用（3.8）計算N(v)的好處，就是不必用到pi,1ξㄈ， 和NR。 利用（3.2），（3.5）和（3.8）可以用下列式子算Ep
同樣的道理， 可以用下列式子算
（3.9）和（3.10）式就是用階層蒙地卡羅模擬法，計算Ep(G,p)和P(G,p)的 公式。用這兩個公式， 可以直接由NP(v)，Nf(v)和 Npp(v)算出EP(G,p)和P(G,p) 隨P的連續變化。而用傳統的蒙地卡羅模擬 法，只能在一些孤立點算出Ep(G,p)和 P(G,p)，EP(G,p)及P(G,p) 在臨界點附近的行為和邊界條件的選 擇頗有關係。用 （3.9）和（3.10）計算SRPM在正方型（Square, sq）和簡單立方晶格（Simple cubic, sc）的EP和P的典型結果如圖二和圖三所示。實線代表自由邊界條件，而 虛線代表週期邊界條 件。下面第4節要討論EP和P用於重整群的計算，而第 5節要 討論EP和P用於普適尺度函數的計算。
4.晶胞至晶胞階層蒙地卡羅重整群算法
1971年Wilson首先提出重整群法以研究臨界現象，他因此得到1982年諾貝爾 物理獎17。1978至 1980, Reynolds, Stanley，和 Klein（RKS）等人將重整群算 法用於展透問題18-19。RKS算出一些小 晶胞準確的存在或然率 Ep(G,p)。也用蒙 地卡羅模擬法算出大晶胞的存在或然率。用小晶胞準確的 Ep，他們同時考慮晶胞 至位置（Cell-to-site）及晶胞至晶胞（Cell-to-cell）的重整群轉換。用蒙地 卡羅模擬法產生的Ep，他們只考慮晶胞至位置的重整群轉換。可能他們用傳統蒙 地卡羅模擬法算的 Ep不夠準確，因此將它用於晶胞至晶胞的重整群轉換效果並不 良好。
1992年，筆者提出階層蒙地卡羅模擬法計算Ep和P 時，就採用晶胞至晶胞的 重整群法，因而算出 極準確的臨界點、臨界指數、和秩序參數 12,13。假如我們 已用HMCSM計算位置隨機展透模型 （SRPM）在晶格（或稱晶胞）G1和G2的Ep和P。 G1和G2的線性長度分別為L1和L2且L1>L2。由G1 至G1的重整群轉換可用下式表示
此處p'代表重整群轉換後之新參數。由此式之固定點可得到SRPM之臨界點pc，即 pc滿足
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由（4,1）在固定點附近之轉換，可得熱尺度乘冪yt和臨界指數n。 展透模型的場尺度乘冪yh等於該模型在臨界點展透集團的碎形維度（Fractal dimensions）D 〔Ref. 7〕。因為
因此
為了用重整群法計算熱力極限下之展透或然率，我們假設G1每一晶格點有一 個磁矩m0而G2每一 晶格點有一個重整化之磁矩m'0。經過重整群轉換後，在G2 的 總磁矩強度應該等於在原來晶格G1的總 磁矩強度，因此
經過n次一系列重整群轉換，我們可以得到一系列重整化之或然率p(1)=p', p(2), p(3),...p(n)，以及一 系列重整化之有效磁矩 m(1)0 = m'0 , m(2)0 , m(3)0 ,...m(n)0 。L恭時位置隨機展透模型之展透或然率P? (G,p)可以寫成 l=L1/L2 。以往做這種重整群轉換的時候，一般都認為要轉換到低溫固定點，即 p(n)? 且P?(G,p(n))=1。筆者則指出在大晶胞至大晶胞的重整群轉換時，只要 轉換到讓第 n 個重整化系統的 相關長度小於 L2 就可以停止了，這時候可以用 P?G2,p(n))代替P?G,p(n))。因此16
用產生圖二的數據且選L1=512，和 L2=256，我們用（4.2），（4.3）和（4.5） 式算出自由邊界條件 時 pc=0.592(8)，yt=0.7(5)，D=1.89(3)，週期邊界條件時 pc=0.592(8)，yt=0.7(5)，D=1.89(6)。 不同邊 界條件算出的結果一致。這個結 果也和 Ziff 算的 pc 以及 yt 和 D 的準確值一致 6,20 。 用圖三的數據 且選 L1=80 和 L2=64，我們用（4.2），（4.3）和（4.5）算出 pc=0.3114?.0002， yt=1.10?.03， yh=2.49?.02，這些結果和Ziff算的結果也頗一致21。
用產生圖二和圖三的數據所算的 P?G,p)畫於圖四。用自由和週期邊界條件 的數據所畫的P本嶀@ 致。當L恭且T?時，在展透集團的磁性原子會指向同一方向 ，而其它磁性原子小集團的磁矩則互相扺 消，這個時候系統的自發磁性強度 M?G,p)可以寫成
因此圖四可以用來和低溫時稀釋磁鐵（Dilute magnets）自發磁性強度的實驗數 據比較。
5.邊界條件及晶格形狀與普適尺度函數
根據有限大小尺度轉換不變性（Finite-size scaling）的理論，如果在L恭 系統，一個物理量Q 在 臨界點pc附近隨t=p-pc的變化可以寫成Q~ta，那麼線性長 度為L的系統，在臨界點附近，Q隨L及t的 變化可以寫成6
上式中u是相關長度的臨界指數，而 f(x), x=tL1/n，就是有限大小尺度函數 （Finite-size scaling function），簡稱尺度函數。根據此一理論，當我們以 Q(L,t)/L-a/n對x畫圖，不同L的數據可以用同一 函數f(x)表示，也就是說我們可 以簡化數據的函數表示。因此對於尺度函數的研究極為重要。一般相 信同一空間 維度，但晶格不同的鍵及位置展透模型具有相同一組臨界指數，也就是說它們在 同一個普 適性類別，但一般也相信它們的尺度函數各不相同。
尺度函數不但和晶格的類型有關，和邊界條件及晶格的寬高比（Aspect ratio）也有關係。用圖二 (a)的數據，我們以Ep對x畫圖可以得到圖五(a)的尺度 函數F(x)。用圖=(b)的數據，我們以P/L-b/n對x 畫圖可以得到圖五(b)的尺度函 數 S(x)。由圖五(a)和五(b)可以看出自由邊界條件和週期邊界條件的Ep 和P算出 來的F(x)與S(x) 極不相同，但是用重整群算出來的臨界點、臨界指數、及L恭之 秩序參數卻相 同14。我們曾經研究鍵隨機展透模型在蜂巢形晶格的尺度函數。結 果發現不同寬高比晶格的尺度函數
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頗不相同，但是算出來的臨界點，臨界指數及 L恭之秩序數仍然相同22。
1984 年 Privman 和 Fisher（PF）提出普適尺度函數（Universal scaling function）的觀念23。他 們考慮熱力系統在線性長度為L的d維度超立方晶格在臨 界溫度Tc附近的行為。他們假設該系統自由 能之奇異部份fs可寫為
上式中t=(T - Tc)/Tc，h是外加場，?=b+g，C1和C2是和晶格有關的非普適常數 。PF 於1984 年提出 普適尺度函數的觀念以後，二十多年來並未得到真正的證實 。 1992 年 Cardy24 用保角不變性的理論 計算鍵隨機展透模型在不同寬高比 （Aspect ratio）自由邊界條件長方型晶格的Ep(G,pc)，即F(0)。當 寬高比為1 ，F(0)=0.5。同一年，Langlands, Pichet, Pouliot和Saint-Aubin等人25 提出 若將長方型， 蜂巢型（Honeycomb, hc）及平面三角形（Plane triangalar, pt） 的寬高比分別選為1，√3，和 √3/2，則鍵隨機展透模型（BRPM）和位置隨展透 模型（SRPM）在這些晶格的Ep(G,pc)都等於 0.5。
林財鈺、陳昭安、和筆者 26 用 HMCSM 計算 BRPM 及SRPM在512×512 sq， 433×250 hc 及 433×500 pt等晶格的 Ep 及 P，也就是以433/250近似√3並以 433/500 近似√3/2。我們採用自由及週 期兩種邊界條件。計算的Ep和P分別畫於 圖六(a)和圖六(b)，對應的尺度函數F(x)和S(x)則分別畫於圖 七(a)和圖七(b)。 圖七(a)顯示六種不同模型的F(x)，在自由邊界條件時都經過 (x,F(x))=(0,0.5) 而在週期 邊界條件時都經過(x,F(x))=(0, 0.93)。我們用Sun 工作站的xvgr算出 代表F(x) 的多項式：F(x)=a0+a1x +a2x2+⋯。然後以方型晶格BRPM的a1為準，用 其它模型的 a1和它比較算出列於表一的非普適參數 D1。同樣用圖六(a)的數據， 但是改用 x=D1(p-pc)L1/n為變數畫圖，可得到圖八(a)。此圖顯示六種模 型的Ep 在x=0附近可以用同一個尺度函數F(x)表示。
我們也用 xvgr 算出代表圖七(b)各S(x)的多項式：S(x)=b0+b1x+b2x2+b3x3 +.....，然後以方型晶格 BRPM的b0和b1為準，用其它模型的b0和b1和它們比較， 算出列於表一的 D3 和 D2。同樣用圖六(b)的 數據，但是改以 D3P/L-b/n 對x= D2(p-pc)L1/n畫圖，可得到圖八(b)。此圖顯示在x=0 附近六種模型的 P可以用同 一個尺度函數S(x)表示。
比較表一的D1，D2，和D3，可以發現每一種模型在數值誤差範圍內 D1=D2且 自由邊界條件的 D1，D2，和D3與對應的週期邊界條件的D'1，D'2，和D'3相等。 我們也用HMCSM 計算256×512長方 型，216×250 hc，及216×500 pt等晶格的Ep 和 P，也就是將畫圖六至八及製作表一所用的晶格的寬 高比都減為一半。用同樣 的過程算出D1，D2，和D3以後，我們發現這些非普適參數和表一的數值一 致。也 就是說每一種模型事實上只有一組獨立的 D1=D2和D3。將邊界條件或寬高比改變 ，D1和D3並 不需要改變。
6.討論與結語
第2 節提到易行類模型及硬核粒子模型的相變也是展透性變遷7-10。我們也 可以用HMCSM計算 這些模型的存在或然率Ep及展透或然率P[Ref. 12, 13, 27-30] ，然後再由Ep和P用晶胞至晶胞的重整群 法計算臨界點、臨界指數及秩序參數13 事實上筆者曾以此方法算出q 狀態Potts模型13的臨界點pc、臨 界指數 yt和yh， 以及秩序參數P?G,p,q)。該模型在q=2時相當於易行模型。筆者算的pc，yt，和 yh和 準確的結果頗符合，P?G,p,2)和楊振寧的準確解2也極為符合13。陳昭安和 筆者也曾計算 Potts 模型的 Ep 及 P 的尺度函數 27,28。要驗證普適性尺度函 數在Potts模型是否適用必須計算與本文第5節同樣大 的晶格，那就需要相當大的 電腦記憶體及計算機時間，因為此時的Histograms是二維矩陣而非一維矩 陣13， 而且也要用重要取樣法做模擬工作29,30。
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以蒙地卡羅模擬法研究臨界現象
有限大小尺度轉換不變性的觀念可用於分析許多數值模擬及實驗的數據26。 本文第5 節介紹的尺 度函數與邊界條件及晶格形狀的關係以及定普適尺度函數的 過程，對這些分析會有指引及啟發的作 用。
我們能找出普適尺度函數有二個原因：1.由Ep的計算知道必須先調整每一晶 格的寬高比使得各晶 格 Ep(G,pc) 一致。2.我們用的階層蒙地卡羅模擬法可算出 Ep(G,pc)和P(G,p)隨p的連續變化，因此便於 數值分析。
本文介紹的結果顯示電腦有助於發現自然界的規律性。隨著電腦軟體、硬體 、以及算則的進步， 電腦在未來的科技發展將扮演越來越重要的角色。
致謝
本文有關蒙地卡羅模擬法之計算，承麥傑聲、陳昭安、與林財鈺諸先生之協 助與合作，儘此致 謝。筆者感謝中央研究院物理所計算室，中央研究院計算中心 ，和國科會高速電腦中心提供計算設備 以及國科會提供研究經費（計畫編號：NSC 84-2112-M-001-013Y和NSC 84-2112-M-001-048）使本文 所述之工作得以完成。 （本文作者現任中央研究院物理所研究員）
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