洛仑兹规范6_百度文库
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Apr 15, 2011 - 本文通过麦克斯韦方程组引入电磁场规范,指出库伦规范和洛仑兹规范只是众多电磁场规范中的两种较特殊的规范,最后推导出在静态场中库伦规范和 ...
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Apr 15, 2011 - 本文通过麦克斯韦方程组引入电磁场规范,指出库伦规范和洛仑兹规范只是众多电磁场规范中的两种较特殊的规范,最后推导出在静态场中库伦规范和 ...库仑规范_图文_百度文库
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Nov 10, 2011 - 这是讲的比较清楚的一个,且还包含其他规范,推荐 .... 项对应库仑场E ，? ?t 对应着感应库 r 场E 。 感b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge) 洛仑兹
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Nov 10, 2011 - 这是讲的比较清楚的一个,且还包含其他规范,推荐 .... 项对应库仑场E ，? ?t 对应着感应库 r 场E 。 感b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge) 洛仑兹 洛仑兹规范6_自然科学_专业资料
论洛仑兹规范与库伦规范在静态场中的自恰性 洛仑兹规范与库伦规范在静态场中的 在静态场中 孙锴 （西安建筑科技大学 机电工程学院 ，陕西 西安 710055） 摘要： 摘要：本文通过麦克斯韦方程组引入电磁场规范 A, φ ，指出库伦规范和洛仑兹规范只是众 多电磁场规范 A, φ 中的两种较特殊的规范，最后推导出在静态场中库伦规范和洛仑兹规范 具有相同的非齐次方程， 说明了麦克斯韦方程组、 洛仑兹规范与库伦规范都只是从不同的角 度描述电磁场的运动规律，因此无论用何种方式描述电磁场，电磁场本身都没有改变。 关键词 关键词：洛仑兹规范；库伦规范；自恰性；矢量势；标量势 中图分类号： 中图分类号：O441.4； 0． 引言 ． ( ) r ( ) r r 在电磁辐射中， 需要根据激发源来决定电磁场的性质， 而麦克斯韦方程组用电场强度 E r 和电磁感应强度 B 对电磁场进行描述，与激发源没有直接的联系，难以直接的描述电磁场， 因此，为了能够由激发源直接描述电磁场，引入了势函数的概念。 1． 电磁场的规范 A, φ 的引入 ． 辐射电磁场中为了便于根据电荷电流计算场，常常使用标量势 φ 和矢量势 A 而非电场 ( ) r r r r 强度 E 和电磁感应强度 B 来描述电磁场。 真空中电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式为： r ρ ??E = ε0 （1） r r ?B ?× E = ? ?t （2） r ??B = 0 r r r J ?E c 2? × B = + ε 0 ?t r ? ? (? × A) ≡ 0 （3） （4） 由矢量分析知旋度的散度为零，即： （5） 1 将（5）式代入（3）式，得 r r B = ?× A r （6） r 引入的矢势 A 只有横场部分具有确定的意义， 而其纵场部分可以任意取。 假定矢势 A 是 一个关于空间和时间的连续函数， ? 和 ? 可以交换微分次序。将（6）式代入（2）式，得 ?t r r r ? ?A ? × E = ? (? × A) = ?? × ?t ?t 整理，得 r ? r ?A ? ?=0 ?×?E + ? ?t ? ? ? ? × ?φ ≡ 0 （7） 由矢量分析知梯度的旋度度衡为零，即 （8） 比较（7）（8）式，引入标量势 φ ，得 、 r r ?A E=? ? ?φ ?t （9） 从（9）式可以看出，电场强度 E 不仅与标量势 φ 有关，还与矢量势 A 有关。矢量势 A 和标量势 φ 作为一组势函数，可以完备的描述一个辐射场，并且称 A, φ 为电磁场的规范。 2. 用电磁场的规范 A, φ 描述电磁场 将（9）式代入（1）式，得 r r r ( ) r ( ) r r ? ?A ? ρ ? ? ??? ? ?t ? ?φ ? = ε 0 ? ? 整理得 ? 2φ + r ? ρ ?? A = ? ε0 ?t （10） 将（9）式和（6）式同时代入（4）式，得 r r r J ? ?A c ?× ?× A = + (? ? ?φ ) ε 0 ?t ?t 2 ( ) 整理，得 r r 1 ?2 A r? r ? 1 ?φ ? A ? 2 2 = ? ? 0 J + ?? 2 + ? ? A? c ?t ? c ?t ? 2 （12） 2 从上面的推导我们可以看出， 麦克斯韦方程组中的四个方程分别独立推导出了四个标量 势 φ 和矢量势 A 的方程，他们分别是： r r r B = ?× A r r ?A E=? ? ?φ ?t ? 2φ + r ? ρ ?? A = ? ?t ε0 （6） （9） （10） r r 1 ?2 A r? r ? 1 ?φ ? A ? 2 2 = ? ? 0 J + ?? 2 + ? ? A? c ?t ? c ?t ? 2 （12） 势函数方程与麦克斯韦方程组的对应关系见表 1-1。 表 1-1. A, φ 规范的势函数方程的麦克斯韦方程组来源 麦克斯韦方程组 ( ) r (A,φ )规范的是函数方程 r r ρ ??E = ε0 ? 2φ + r ? ρ ?? A = ? ?t ε0 r r ?B ?× E = ? ?t r r ?A E=? ? ?φ ?t r ??B = 0 r r r J ?E c ?× B = + ε 0 ?t 2 2 r r B = ?× A r r 1 ?2 A r? r ? 1 ?φ ? A ? 2 2 = ? ? 0 J + ?? 2 + ? ? A? c ?t ? c ?t ? r r ?A 在静态场中，有 = 0 ， E = ??φ ，因此 ?φ 是静电场的梯度，标量势 φ 是静电场的 ?t 电位函数。 3．静电场中洛仑兹规范过渡为库伦规范 ．静电场中洛仑兹规范过渡为库伦规范 洛仑兹规范过渡 由亥姆霍兹定理知， 在无限空间中处处单值， 且导数连续有界而源分布在有限区域中的 矢量场 F 由其散度和旋度唯一确定。已知 B = ? × A ，若 ? ? A 也确定的话，矢量势 A 就 可以唯一确定。此时，规范 A, φ 可以唯一确定电磁场。 r r r r r ( ) r 3 由库伦规范： ? ? A = 0 ，得 r ? 2φ = ? ρ ε0 （13） r r 1 ?2 A r 1 ?φ ? 2 A ? 2 2 = ?? 0 J + ? 2 c ?t c ?t （14） r r ?A 在静态场中有 = 0 ，比较（9）式可知 E = ??φ 。因此 ?φ 是电场的梯度，标量势 φ ?t 是静电场的电位函数。 （13）式正是静电场的泊松方程，说明标量势 φ 是静电场的电位函数， 因此有 ?φ =0 ?t （14） 所以，在静态场中洛仑兹规范 ? ? A = ? 渡为库伦规范。 4．结束语 ． r 1 ?φ = 0 。可见在静电场下，洛仑兹规范过 c 2 ?t 由以上推导可以看出麦克斯韦方程组，洛仑兹规范和库伦规范只是不同的角度描述同一 r r r 个电磁场。无论是选用麦克斯韦方程组的电场强度 E 和电磁感应强度 B ，还是选用洛仑兹 规范和库伦规范的 A, φ ，只要它们描述的是同一个电磁场，那么电场强度 E 、电磁感应强 度 B 、标量势 φ 和矢量势 A 就可以相互推导，其表现表现形式将是一致的。也就是说，在 同一个电磁场中标量势 φ 和矢量势 A 具有自恰性，表现的是同一个电磁场的不同表现形式。 ( ) r r r r 参考资料 [1] 郭硕鸿.电动力学[M].北京:人民教育出版社，1979. [2] 虞国寅，周国全.电动力学[M].武昌:武汉大学出版社，2008. Self-Consistency of Coulomb’s gauge and Lorentz’s gauge in the electromagnetostatic field Kai Sun (College of Mechanical and Electrical Engineering,Xi’an university of Architecture & Technology, Xi’an, Shannxi 710055, China) 4 Abstract: This paper proves that both Coulomb’s gauge and Loentz’s gauge are one of special forms of electromagnetic gauge (A,φ ) which discribes the same characteristics of motion of r Coulomb’s gauge and Loentz’s gauge electromagnetic field from different perspectives. Hence it derives the same form of nonhomogeneous equations from r electromagnetostatic field which proves that the selection of electromagnetic gauge A, φ has no effect to the electromagnetic field. Key words： Coulomb’s gauge； Loentz’s gauge； Self-Consistency； vector potential; scalar potential ： 作者简介：孙锴，女， （1977-）西安建筑科技大学机电工程学院教师，主讲课程：电磁场与 电磁波 ( ) in the 5
论洛仑兹规范与库伦规范在静态场中的自恰性 洛仑兹规范与库伦规范在静态场中的 在静态场中 孙锴 （西安建筑科技大学 机电工程学院 ，陕西 西安 710055） 摘要： 摘要：本文通过麦克斯韦方程组引入电磁场规范 A, φ ，指出库伦规范和洛仑兹规范只是众 多电磁场规范 A, φ 中的两种较特殊的规范，最后推导出在静态场中库伦规范和洛仑兹规范 具有相同的非齐次方程， 说明了麦克斯韦方程组、 洛仑兹规范与库伦规范都只是从不同的角 度描述电磁场的运动规律，因此无论用何种方式描述电磁场，电磁场本身都没有改变。 关键词 关键词：洛仑兹规范；库伦规范；自恰性；矢量势；标量势 中图分类号： 中图分类号：O441.4； 0． 引言 ． ( ) r ( ) r r 在电磁辐射中， 需要根据激发源来决定电磁场的性质， 而麦克斯韦方程组用电场强度 E r 和电磁感应强度 B 对电磁场进行描述，与激发源没有直接的联系，难以直接的描述电磁场， 因此，为了能够由激发源直接描述电磁场，引入了势函数的概念。 1． 电磁场的规范 A, φ 的引入 ． 辐射电磁场中为了便于根据电荷电流计算场，常常使用标量势 φ 和矢量势 A 而非电场 ( ) r r r r 强度 E 和电磁感应强度 B 来描述电磁场。 真空中电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式为： r ρ ??E = ε0 （1） r r ?B ?× E = ? ?t （2） r ??B = 0 r r r J ?E c 2? × B = + ε 0 ?t r ? ? (? × A) ≡ 0 （3） （4） 由矢量分析知旋度的散度为零，即： （5） 1 将（5）式代入（3）式，得 r r B = ?× A r （6） r 引入的矢势 A 只有横场部分具有确定的意义， 而其纵场部分可以任意取。 假定矢势 A 是 一个关于空间和时间的连续函数， ? 和 ? 可以交换微分次序。将（6）式代入（2）式，得 ?t r r r ? ?A ? × E = ? (? × A) = ?? × ?t ?t 整理，得 r ? r ?A ? ?=0 ?×?E + ? ?t ? ? ? ? × ?φ ≡ 0 （7） 由矢量分析知梯度的旋度度衡为零，即 （8） 比较（7）（8）式，引入标量势 φ ，得 、 r r ?A E=? ? ?φ ?t （9） 从（9）式可以看出，电场强度 E 不仅与标量势 φ 有关，还与矢量势 A 有关。矢量势 A 和标量势 φ 作为一组势函数，可以完备的描述一个辐射场，并且称 A, φ 为电磁场的规范。 2. 用电磁场的规范 A, φ 描述电磁场 将（9）式代入（1）式，得 r r r ( ) r ( ) r r ? ?A ? ρ ? ? ??? ? ?t ? ?φ ? = ε 0 ? ? 整理得 ? 2φ + r ? ρ ?? A = ? ε0 ?t （10） 将（9）式和（6）式同时代入（4）式，得 r r r J ? ?A c ?× ?× A = + (? ? ?φ ) ε 0 ?t ?t 2 ( ) 整理，得 r r 1 ?2 A r? r ? 1 ?φ ? A ? 2 2 = ? ? 0 J + ?? 2 + ? ? A? c ?t ? c ?t ? 2 （12） 2 从上面的推导我们可以看出， 麦克斯韦方程组中的四个方程分别独立推导出了四个标量 势 φ 和矢量势 A 的方程，他们分别是： r r r B = ?× A r r ?A E=? ? ?φ ?t ? 2φ + r ? ρ ?? A = ? ?t ε0 （6） （9） （10） r r 1 ?2 A r? r ? 1 ?φ ? A ? 2 2 = ? ? 0 J + ?? 2 + ? ? A? c ?t ? c ?t ? 2 （12） 势函数方程与麦克斯韦方程组的对应关系见表 1-1。 表 1-1. A, φ 规范的势函数方程的麦克斯韦方程组来源 麦克斯韦方程组 ( ) r (A,φ )规范的是函数方程 r r ρ ??E = ε0 ? 2φ + r ? ρ ?? A = ? ?t ε0 r r ?B ?× E = ? ?t r r ?A E=? ? ?φ ?t r ??B = 0 r r r J ?E c ?× B = + ε 0 ?t 2 2 r r B = ?× A r r 1 ?2 A r? r ? 1 ?φ ? A ? 2 2 = ? ? 0 J + ?? 2 + ? ? A? c ?t ? c ?t ? r r ?A 在静态场中，有 = 0 ， E = ??φ ，因此 ?φ 是静电场的梯度，标量势 φ 是静电场的 ?t 电位函数。 3．静电场中洛仑兹规范过渡为库伦规范 ．静电场中洛仑兹规范过渡为库伦规范 洛仑兹规范过渡 由亥姆霍兹定理知， 在无限空间中处处单值， 且导数连续有界而源分布在有限区域中的 矢量场 F 由其散度和旋度唯一确定。已知 B = ? × A ，若 ? ? A 也确定的话，矢量势 A 就 可以唯一确定。此时，规范 A, φ 可以唯一确定电磁场。 r r r r r ( ) r 3 由库伦规范： ? ? A = 0 ，得 r ? 2φ = ? ρ ε0 （13） r r 1 ?2 A r 1 ?φ ? 2 A ? 2 2 = ?? 0 J + ? 2 c ?t c ?t （14） r r ?A 在静态场中有 = 0 ，比较（9）式可知 E = ??φ 。因此 ?φ 是电场的梯度，标量势 φ ?t 是静电场的电位函数。 （13）式正是静电场的泊松方程，说明标量势 φ 是静电场的电位函数， 因此有 ?φ =0 ?t （14） 所以，在静态场中洛仑兹规范 ? ? A = ? 渡为库伦规范。 4．结束语 ． r 1 ?φ = 0 。可见在静电场下，洛仑兹规范过 c 2 ?t 由以上推导可以看出麦克斯韦方程组，洛仑兹规范和库伦规范只是不同的角度描述同一 r r r 个电磁场。无论是选用麦克斯韦方程组的电场强度 E 和电磁感应强度 B ，还是选用洛仑兹 规范和库伦规范的 A, φ ，只要它们描述的是同一个电磁场，那么电场强度 E 、电磁感应强 度 B 、标量势 φ 和矢量势 A 就可以相互推导，其表现表现形式将是一致的。也就是说，在 同一个电磁场中标量势 φ 和矢量势 A 具有自恰性，表现的是同一个电磁场的不同表现形式。 ( ) r r r r 参考资料 [1] 郭硕鸿.电动力学[M].北京:人民教育出版社，1979. [2] 虞国寅，周国全.电动力学[M].武昌:武汉大学出版社，2008. Self-Consistency of Coulomb’s gauge and Lorentz’s gauge in the electromagnetostatic field Kai Sun (College of Mechanical and Electrical Engineering,Xi’an university of Architecture & Technology, Xi’an, Shannxi 710055, China) 4 Abstract: This paper proves that both Coulomb’s gauge and Loentz’s gauge are one of special forms of electromagnetic gauge (A,φ ) which discribes the same characteristics of motion of r Coulomb’s gauge and Loentz’s gauge electromagnetic field from different perspectives. Hence it derives the same form of nonhomogeneous equations from r electromagnetostatic field which proves that the selection of electromagnetic gauge A, φ has no effect to the electromagnetic field. Key words： Coulomb’s gauge； Loentz’s gauge； Self-Consistency； vector potential; scalar potential ： 作者简介：孙锴，女， （1977-）西安建筑科技大学机电工程学院教师，主讲课程：电磁场与 电磁波 ( ) in the 5
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第五章 电磁波的辐射 Electromagnetic Wave Radiation 本章所研究的问题是电磁波的辐射。 本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样， 当考虑由电荷、 法和稳恒场情况一样 ， 当考虑由电荷 、 电 流分布激发电磁场的问题时， 流分布激发电磁场的问题时 ， 引入势的概 念来描述电磁场比较方便。 念来描述电磁场比较方便。 本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。 本章主要内容 电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量 §5. 1 电磁场的矢势和标势 Vector and Scalar Potential of Electromagnetic r 1、用势 A, ?描述电磁场 为简单起见，讨论真空中的电磁场： 为简单起见，讨论真空中的电磁场： r ??? D= ρ r ? r ??×E = ? ?B ? ? ?t ? r ??? B = 0 r ? r r ?D ??×H = j + ? ?t ? r r r r D=ε0E, B = ?0H . 针对磁场 引入 r ?? B = 0 r r B =?× A r 的物理意义可由下式看出： A的物理意义可由下式看出： r S 即在任一时刻， 沿任一闭合回路L的线积 即在任一时刻，矢量 A沿任一闭合回路 的线积 分等于该时刻通过以L为边线的曲面 的磁通量。 为边线的曲面S的磁通量 分等于该时刻通过以 为边线的曲面 的磁通量。 ∫ L r v r v A? dl = ∫∫ B? ds r 不能像静电场那样直接引入电势。 对于电场 E不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得： 电磁感应定律可得： 电磁感应定律可得 r r r r ?B ? ?A ?×E = ? = ? (?× A) = ??× ?t ?t ?t r ? r ?A? ?×? E+ ? = 0 ? ?t ? ? ? r r ?A E + = ?? ? ?t 是标势不 是静电势 即 r r ?A E = ?? ? ? ?t r r ?B =?× A ? r ?r ?A ? ?E = ?? ? ?t ? 电磁场和势之间的关系如下 r ?A r r = 0时,且 E = ?? ? a) 当 A 与时间无关， 与时间无关，即 且 ?t 就直接归结为电势； 这时 ?就直接归结为电势； 注意： 注意： ? ? 混为一谈。 与电势 r (E = ?? ) 混为一谈。因为在非稳恒情 况下， 不再是保守力场，不存在势能的概念， 况下， E 不再是保守力场，不存在势能的概念， 这就是说现在的 ?，在数值上不等于把单位正电 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为 了区别于静电场的电势， 了区别于静电场的电势，把这里的 ? 称为标势 （Scalar potential)。 。 c) 在时变场中r 磁场和电场是相互作用着的 在时变场中， ， 整体， 整体，必须把矢势 A 和标势 ? 作为一个整体来描 述电磁场。 述电磁场。 r r ?A b) 绝对不要把 E = ?? ? 中的标势 ? ? ?t r ? 种等价的方式， 种等价的方式，但由于 E 、B 和 A、 之间是微分 方程的关系， 方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应 r 的，这是因为矢势 A 可以加上一个任意标量函数 r 的梯度， 的梯度，结果不影响 B，而这个任意标量函数 r r r ?A ? 要发生影响， 的梯度在 E = ?? ? 中对 E 要发生影响，但 r ?t r ?A ? 将 E = ?? ? 中的?与此融合也作相应的 ?t r 变换， 保持不变。 变换，则仍可使 E 保持不变。 2、规范变换和规范不变性 r r r ? r 虽然 E 和 B，以及A 和 是描述电磁场的两 r r 述变换式： 述变换式： r ψ为任意的标量函数，即ψ =ψ(x,t)，作下 设 为任意的标量函数， r r r ?A→A = A+? ′ ψ ? ? ?ψ ? ? →?′ =? ? ?t ? r ′ 很容易证明： 于是我们得到了一组新的 A . ?′ ，很容易证明： r r r ′ ψ ψ ?× A = ?×(A+? ) = ?× A+?×(? ) r r = ?× A= B r ′ ?A ?ψ ? r ?? ′ ? ? = ?? ? ? ( ) ? (A+? ) ψ ?t ?t ?t r ? ?A ? = ?? + (? ) ? ? (? ) ? ψ ψ ?t ?t ?t r ?A r = ?? ? = E ? ?t r r 由此可见， 描述同一电磁场。 由此可见，(A′ . ?′) 和 (A. ?) 描述同一电磁场。 a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范(Coulomb r r 库仑规范条件为 ?? A= 0，即规定 A 是一个 r 有旋无源场（横场）。 ）。这个规范的特点是 有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E的纵 ?具有无旋性 ， 场部分完全由? 描述（即 ?? 具有无旋性)，横 描述（ r r ?A 描述（ 具有无源性）。 ）。由 场部分由 A描述（即 具有无源性）。由 ?t r r ?A ? E = ?? ? ?t r r ?A 可见， 可见，??? 项对应库仑场 E ，? ?t 对应着感应 库 r 场E 。 感 b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge) 洛仑兹规范(Lorentz 是一个有旋有源场（ 定 A是一个有旋有源场（即 A 包含横场和纵场两 部分） 部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为 特别简单的对称形式。 特别简单的对称形式。 r 1 ?? 洛仑兹规范条件为 ?? A+ 2 = 0 ，即规 C ?t r r ?t 3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程 达朗贝尔(d’ Alembert)方程 从Maxwell’s equations r ? ? D= ρ ? ? r ?r ?A ? ?E = ?? ? ?t ? 2 r r D=ε0E r 所满足的方程，得到： 出发推导矢势 A 和标势 ?所满足的方程，得到： r r 1 ?? r ? 2r 1 ? A ) = ??0 j ?? A? 2 2 ??(?? A+ 2 ? c ?t c ?t ? r ? 2 ?? ? + ?? A= ? ρ ? ?t ε0 ? a) 采用库仑规范 上述方程化为 r (?? A= 0) ρ ? 2 ?? ? = ?ε ? 0 r ? 2 r ??2 A? 1 ? A ? 1 ? (? ) = ?? r ? 0j 2 2 2 ? c ?t c ?t ? r 1 ?? b) 采用洛仑兹规范( ?? A+ 2 采用洛仑兹规范( = 0) c ?t 上述方程化为 ? 2 ρ 1 ?2? ?? ? ? 2 2 = ? c ?t ε0 ? r ? 2 r ? 2r 1 ? A ?? A? c2 ?t2 = ??0 j ? 这就是所谓达朗贝尔 达朗贝尔（ 方程。 这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。 4、举例讨论 试求单色平面电磁波的势 Solution: Solution: 单色平面电磁波在没有电荷， 单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程： 规范条件下） 规范条件下 变为波动方程： 2 ? 2 1 ?? ?? ? ? 2 2 = 0 ? c ?t r ? 2 r 1?A ??2 A? =0 2 2 ? c ?t ? 其解的形式为： 其解的形式为： ? =?0e ? ? rr ? r r i(k?x?ωt) ?A= A e 0 ? r 1 ?? 由Lorentz规范条件 ?? A+ 规范条件 = 0，即得 2 c ?t r r rr i(k?x?ω ) t 1 ik ? A+ 2 (?iω?) = 0 c c2 r r ?= k?A ω 磁波，这是因为： 磁波，这是因为： r 这表明， 这表明，只要给定了 A ，就可以确定单色平面电 r r r r r r r B = ?× A= ik × A= ik ×(A + A ) 纵 横 r r r r = ik × A +ik × A 纵 横 r r 对于单色平面波而言） 0（对于单色平面波而言） = ik × A r 横 r r r ?A E = ?? ? ? = ?ik? + iω A ?t r c2 r r r = ik( k ? A + iω ) A = ?i c [ ω 2 ω r r r r 2 k(k ? A ? k A ) ] c2 r r r = ?i k ×(k × A ) ω c r r = ? k ×B ω r r ? = ?cn×B 2 r r r 具有横向分量， 如果取 A = A ，即只取 A具有横向分量，那么 横 有 r r r r k ? A= k ? A = 0 横 c2 r r ? = k ? A= 0 从而得到： 从而得到： 因此有： 因此有： ω r r r r r r ?B = ?× A= ik × A= ik × A 横 ? r r ?r r r ?A ?A = ? = iω = iω 横 ? A A ?E = ?? ? ?t ?t ? r r 其中： 其中： (k ? A = 0) 如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变 如果采用库仑规范条件， 为 ??2? = 0 ? r ? 2 r 1 ?2 A 1 ? ? ?? A? 2 2 ? 2 ? = 0 c ?t c ?t ? 当全空间没有电荷分布时， 当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 ? = 0 ， 则只有 r r 1?A 2 ? A? 2 2 = 0 c ?t 2 其解的形式为 rr r r i(k?x?ωt) A= A e 0 由库仑规范条件得到 r r r 即保证了 A 只有横向分量，即 A= A ，从而得到 只有横向分量， 横 r r r ?? A=ik ? A= 0 r r r r r r ?B = ?× A=ik × A= ik × A横 ? r r ?r r r ?A ?A ?E = ??? ? = ? = iωA= iωA横 ?t ?t ? r (?? A= 0) 通过例子可看到： 通过例子可看到： 库仑规范的优点是： 库仑规范的优点是：它的标势 ? 描述库仑作 r 求出， 用，可直接由电荷分布 ρ 求出，它的矢势 A只有 横向分量， 横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立 偏振。 偏振。 r 洛仑兹规范的优点是： 洛仑兹规范的优点是：它的标势 ? 和矢势 A r 构成的势方程具有对称性。 构成的势方程具有对称性。它的矢势 A的纵向部 的选择还可以有任意性， 分和标势 ? 的选择还可以有任意性，即存在多余 的自由度。尽管如此， 的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 因此，本书以后都采用洛仑兹规范。 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。 Class is Over! Thank you! Boys and girls!
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