Tuesday, December 31, 2013

而中的被积函数是两个矢量函数的点乘积形式,且是曲线上点P(x,y,z)处切线的单位矢量(与指定方向一致),因此有别于一般形式的第一类曲线积分,我们称它为第二类曲线积分,

当质点的运动方向相反时,此时的方向也相反,故所作的功改变一个符号,可见这种积分与曲线的方向有关. 此外,这类曲线积分是特殊的第一类曲线积分,一般的第一类曲线积分中的被积涵数是数量函数,而中的被积函数是两个矢量函数的点乘积形式,且是曲线上点P(x,y,z)处切线的单位矢量(与指定方向一致),因此有别于一般形式的第一类曲线积分,我们称它为第二类曲线积分,因此有如下的定义(*如果空间(或部分空间)中的每一点都对应着一个力,则称在这个空间中确定了一个力场.)

http://jpkc.scezju.com/uploads/wjf/wszx/chapter10/index2_1.htm

曲线积分

数学中,曲线积分或路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。曲线积分有很多种类,当积分路径为闭合曲线时,称为环路积分或围道积分。

1基本简介

举例

先看一个例子:设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ,
设构件的密度分布函数为ρ(x,y),设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续,求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量;对于密度不均匀的物件,就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径,∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

定义

设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界,在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds,又Mi(x,y)是L上的任一点,作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds,记λ=max(ds) ,若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在,且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关,则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分曲线,对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

类别

曲线积分分为:对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)
坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy,例如:对L’的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义,通常说来都是正的,而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

2相关信息

积分联系

对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的,利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。
数学中,曲线积分路径积分积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。曲线积分有很多种类,当积分路径为闭合曲线时,称为环路积分围道积分
在曲线积分中,被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长,在积分函数是向量函数时,一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式(比如说
)在推广之后都是以曲线积分的形式出现(  )。曲线积分在物理学中是很重要的工具,例如计算电场重力场中的做功,或量子力学中计算粒子出现的概率

量子力学

量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同,因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分,即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而,曲线积分在量子力学中仍有重要作用,比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。[1]

复分关系

如果将复数看作二维的向量,那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。根据柯西-黎曼方程,一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。[1]

应用简介

在各种保守力的场都是路径无关的,一个常见的例子就
是重力场或电场。在计算这种场的做功时,可以选择适当的路径进行积分,使得计算变得简单。[1]

Brouwer/Kakutani's fixed point theorem Stock prices

[PPT]

Part b - People

people.csail.mit.edu/costis/6896sp10/Lecture13b.pptx

"Stock prices have reached what looks like a permanently high plateau." Market ... under very general conditions using Brouwer/Kakutani's fixed point theorem.
 
  1. Brouwer's fixed point theorem...why mathematics is fun

    1. physicsoffinance.blogspot.com/.../brouwers-fixed-point-theoremwhy.ht...
  2. Sep 23, 2011 - Brouwer's fixed point theorem...why mathematics is fun ... do indeed have an equilibrium set of prices which makes supply equal demand for all goods. .... Financial Times numeracy check · High-frequency trading: taming the ...
    1. High-frequency trading, the downside -- Part II | Enter your blog ...

    1. davidfranckkeller.blogspot.com/.../high-frequency-trading-downside-par...
    As Haldane notes, the risk a market maker faces -- in holding stocks which .... to post very frequently on Brouwer's fixed point theorem, but I had to look into it a ...
    1. Brouwer's fixed point theorem...why mathematics is fun | Enter your ...

    1. davidfranckkeller.blogspot.com/.../brouwer-fixed-point-theoremwhy.ht...
    I'm not going to post very frequently on Brouwer's fixed point theorem, but I had to ... an equilibrium set of prices which makes supply equal demand for all goods. ... Financial Times numeracy check · High-frequency trading: taming the chaos ...
    1. [PDF]
    2. The Computational Complexity of Games and Markets: An ...

    1. cupid.economics.uq.edu.au/mclennan/Papers/complexity_survey.pdf
    1. by A McLennan - ‎2011 - ‎Cited by 2 - ‎Related articles
    2. implies the Brouwer (1912) fixed point theorem, so the two results are ..... Trading strategies that might enforce an equality between stock prices and some notion ...
      1. General equilibrium theory - Wikipedia, the free encyclopedia

      1. en.wikipedia.org/wiki/General_equilibrium_theory
      It seeks to explain the behavior of supply, demand, and prices in a whole economy ... only incorporates a few markets, like a "goods market" and a "financial market". .... to Uzawa's derivation of Brouwer's fixed point theorem from Walras's law. .... In a real economy, however, trading, as well as production and consumption, ...
      1. Herbert Scarf - Wikipedia, the free encyclopedia

      1. en.wikipedia.org/wiki/Herbert_Scarf
      After the talk Scarf and Shubik took a long walk from 125th street to Shubik's ... Scarf's first proof of this theorem relied on Brouwer's fixed point theorem, but his hope .... holding cost of its inventory and a shortage cost if the good runs out of stock. ... Consider a situation: Several traders each bring his/her bundle of goods to a ...
    1. [PDF]
    2. The Complexity of Exchange

    1. www.econ-pol.unisi.it/bowles/.../Axtell%20Complexity.pdf
    1. by R Axtell - ‎2003 - ‎Cited by 95 - ‎Related articles
    2. the Brouwer or Kakutani fixed point theorems, constructive proofs of which serve as the ... This is the case of financial markets, in which the items being exchanged .... (1) agent truthfully reveal their preferences, (2) no trading takes place before.
    1. [DOC]
    2. Bilateral Trade, I - University of Essex

    1. privatewww.essex.ac.uk/~scher/...files/.../AxtellEJFeature2005Jan.doc
    2. by R Axtell - ‎Cited by 96 - ‎Related articles
    3. This is the case of financial markets, in which the items being exchanged .... Since then, many domains of economic theory have come to depend on fixed point theorems to ... no trading takes place before the market-clearing price vector is announced, ... The lower bound for worst-case computation of Brouwer fixed points is ...
    1. [PDF]
    2. Asset Valuation in Thin Markets∗

    1. www2.ku.edu/~nber/econ/papers/papers2/weretka.pdf
    1. by M Weretka - ‎Related articles
    2. traders nearly doubled their share in the U.S. stock markets between 1980 and ...... into itself and hence by Brouwer fixed point theorem the fixed point exists. 26 ...
  • 昨天登山和今天下山的路徑行程圖 交會於路途中的某一點

    漫談不動點定理

    漫談不動點定理@ 數學:: 五夢網

    www.fivedream.com/page1.aspx?no=221249&step=1&newsno...

    2011年7月22日 - 漫談不動點定理漫談不動點定理江銘輝五夢網登山與下山在未談不動點定理前,我們先談下面一個故事: 有一個數學系的張學生去登山,他從山腳下 ...

    漫談不動點定理          江銘輝     五夢網
     
    登山與下山
     
    在未談不動點定理前,我們先談下面一個故事:
     
    有一個數學系的張學生去登山,他從山腳下的一個涼亭出發,沿著一條狹窄的小路,一路觀賞風景,爬到山頂,住在一家旅館裡,假設他從早上七點出發,晚上八點抵達山頂住宿。他的路線是沿者狹窄蜿蜒的小徑,途中的步伐時快、時慢,不一定,中間還有好多次停下來留休息,第二天早上,他開始動身下山,沿著相同的路線,也是早上七時出發,並於晚上八點回到山腳的涼亭,休息。在涼亭休息時,他碰到他的拓樸學教授,梁教授。二人開始閒聊。
     
    登山與下山必有一點時間是相同
     
    梁教授說:「你好,張同學,你這樣昨天上山,今天下山,來回走一趟,你知道在這個行經路線的途中,一定存在一點,洽好是上山的時刻和下山的時刻(譬如5時5分),完全一樣。但我不知道這點在何處,以及是什麼時候?」
     
    張同學:「梁教授,你在跟我開完笑,這絕對不可能的。我二次走路的方式都不一樣,而且有時走快,有時走慢,中間還停下來休閒,吃口糧充飢,或喝飲料解渴。」
     
    梁教授:「儘管你否認,但是站在拓樸學教授的立場,我還是要向你說清楚,講明白。」
     
    梁教授的解釋
     
    於是梁教授拿起筆來畫了如下的圖:
      
     
    然後梁教授說:「這是一個你昨天登山和今天下山的路徑行程圖,藍色是你從涼亭爬到山頂的路線,紅色是你從山頂下山到涼亭的路徑。你看,你上山與下山的路徑交會於路途中的某一點。雖然我對交會點的時間不清楚,但一定有交會點是無庸置疑。」
     
    梁教授又說:「我們現在換一個方式來講,假設有兩位登山者,同一時間(早上七時),一個往上爬到山頂,另一個往下走到山腳的涼亭。不管他們的速度如何,以及兩人各在途中休息的次數,兩人勢必在某點相會。這個點就是我所說的時間和地點。」
     
    拓樸學的不動點定理
     
    這個故事為拓樸學家所稱的"不動點定理"提供了一個很簡單的例證。它告訴我們至少存在一個這樣的點,並沒告訴我們這個點在什麼地方。
     
    同學們一定對下面這個不動點定理感興趣。這個定理可以這樣來說明:
     
    取一個盒子和一張紙,紙張恰好蓋住盒內的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的點配成對。把這張紙拿起來,隨機地揉成一個小球。再把小球扔進盒裡。拓撲學家己經證明,不管小球是怎樣揉成的,也不管它落在盒底的什麼地方,在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點,它恰好處在它盒底原來配對點的正上方!
     
    這個定理首先為荷蘭數學家L.E.J.布勞爾在1912年所證明。它具有許多奇妙的應用。例如,由這個定理可以斷言:在任一時刻,在地球上至少有一個地點沒有風。
     
    本文的參考資料:
     
    1.   Leonnardo’s Mirror & Other Puzzles  Ivan Moscovich
     
    Paradox Box Martin Gardner

    Quod Erat Demonstrandum

    2008/03/30

    從握手到不動點(一)

    Filed under: Junior Form Mathematics,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 4:52 pm
    從握手到不動點(一)
    上年,應同學的邀請,我講了一個所謂的數學講座。今年,趁數學周將至,讓我在此也講一些數學。因我希望中一至中七的同學也能看明白,我會盡量詳盡(長氣)地說。
    (一)握手定理(Handshaking lemma)
    在空間中隨便點一些點,如下

    隨意在點與點之間連起線段,如下

    這樣,我們得出一個簡單的圖(graph)。對於圖中的每一點,我們可以定義該點的度數(degree),就是有多少條線由該點引出。參考上圖,因有 2 條線段由 A 點引出,故A 點的度數是 2。把上圖每點的度數寫出來,情況如下:

    把上圖所有點的度數加起,就是上圖的總度數,即 0 + 1 + 1 + 2+ 3 + 1 + 2 = 10,得到一個偶數(even number)。小習題,試計算下圖的總度數。

    答案是16,也是偶數。現在問:能否畫出一個圖,其總度數是奇數(odd number)?告訴你:不能。這就是所謂的『握手引理』(Hand-Shaking Lemma):圖的總度數一定是偶數。(換一個講法:奇度數的點之數目必然是偶數。)
    這個定理的證明相當簡單,想像圖中的點代表某宴會的出席者,他們在會中彼此握手。如果 A 君和 B 君握手,我們便把對應的 A 點和 B 點連起。所以 A 點的度數,就是 A 君握手的次數。由於 A 君和 B 君握手的同時,B 君和 A 君也在握手,所以數算會中的總握手次數時,必然是算了兩次(double counting),亦即是說,會中的總握手次數必然是偶數,即圖的總度數是偶數。
    要欣賞數學之美,其中一個方向是:一些有趣而不直觀的結果,原來可以從一些看來不起眼,非常簡單的原理得到。如此簡單的握手定理,可以推論一個有趣的結果:Sperner 引理。
    (二)Sperner 引理
    考慮一個大三角形 △V_1V_2V_3,在三條邊上隨意加點,見下圖。

    現在為那些點標號,規則是,
    V_1V_2 上的點,只能標號 1 或 2;
    V_2V_3 上的點,只能標號 2 或 3;
    V_3V_1 上的點,只能標號 3 或 1。
    比如,我們可以有:

    好了,現在大三角形內也隨意加點,亦隨意地為那些點標上 1,2 或 3 的其中一個號碼。同時,頂點 V_1, V_2, V_3 也分別標上 1,2 及 3 三個號碼,見下:

    這時,我們可以利用大三角形內的點作頂點,把大三角形劃分為細小的三角形(這過程有稱為三角化 triangulation),見下:

    頗亂的圖啊!但原來圖中是隱含『玄機』:就是無論你如何標上號碼,總會出現以『123』為頂點的小三角形,見下:

    "必然存在以『123』為頂點的小三角形"此之謂 Sperner 引理也。為何會出現這個現象?原來是握手定理。
    考慮已細分為若干小三角形的圖,在每個小三角形面上加上一個紅點,見下:

    在大三角形外,也補加一個紅點(即上圖的 A 點)。現在把紅點按以下規定連起:若兩相鄰小三角形的公共邊的頂點是『12』,則連起該兩個三角形上的紅點。另外,外點 A 也連到鄰近的紅點,如果 A 和該紅點以頂點是『12』的線段分隔,見下圖。

    紅色部分,形成了下面的一個圖(graph)

    圖中,除 A 點外,紅點的度數只能夠是 0,1 或 2。特別看看 B 點,其度數是 1。看看再上一個圖,B 點是落在以『123』為頂點的小三角形中。不難想出,度數是 1 的點,必然落在以『123』為頂點的小三角形中。換句話說,要證明存在以『123』為頂點的小三角形,即要證明存在度數為 1 的點。
    如何證明?看看 A 點,其度數是 3,是奇數。其實,無論如何標號,A 點的度數一定是奇數。因為,在線段 V_1V_2 中,以『12』為端點的線段(姑且稱它做"『12』線段")之數目必然是奇數。為何?我們只要想想,在線段 V_1V_2 上每加多一點,則『12』線段之數目有何改變?我們只能出現以下兩種情況:
    (情況A) 該點加在某條『12』線段中,即

    這樣,無論加上去的(藍色)點的標號是 1 或 2,我們也沒有增加線段 V_1V_2 上『12』線段之數目。
    (情況B) 該點加在某條頂點標號相同的線段(即『11』線段或『22』線段)中,如果加上去的(藍色)點的標號和線段開端的標號相同,見下圖,則我們也沒有增加線段 V_1V_2 上『12』線段之數目。

    如果加上去的(藍色)點的標號和線段開端的標號不同,見下圖,則我們增加了兩條『12』線段,即線段 V_1V_2 上『12』線段之數目增加了兩條。

    總結上述兩個情況:在線段 V_1V_2 上每加多一點,『12』線段之數目或無增加,或增加兩條。但一開始,未加點的時候,線段 V_1V_2 其實是一條『12』線段,即『12』線段的數目是1;那麼,無論怎麼加點,『12』線段的數目必然是奇數。
    好了,握手定理出場!由剛剛的討論,下圖(是之前出現過的紅色圖)中, A 點的度數是奇數。

    如果圖中沒有一點的度數是 1,則圖的總度數也是奇數(因為除 A 點外,其他點的度數是 0 或 2),這就有違握手定理所指:圖的總度數必是偶數這個事實。亦即是說,度數是 1 的點必然存在;亦即是說,『123』小三角形也必然存在。
    想多了解 Sperner 引理,請參考:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Sperner’s_lemma
    好了,我們已經過了兩大關:由握手到 Sperner,還有第三關,我們就看到一個非常漂亮的不動點定理,不過都是下次再談。
    P.S. 好想問初中的同學,上面一篇,你看得明嗎?


    不動點定理與 Hopf 定理 May 16, 2005
      Brouwer 不動點定理與 Hopf 定理
      - THANXmm -
      我個人比較鍾情于拓撲和幾何。 因爲現代的數學研究的是不變量的數學,不變量的性質,而拓撲最能夠體現出不變量的性質,所以拓撲是很美妙的。而Brouwer定理,Hopf定理是我所接觸的結論中非常漂亮的兩個。
      兩個光滑流行M,N,如果存在從M到N的光滑映射f,那麽映射的Jacobi矩陣的rank就定義爲映射的rank. 現在,若存在M上一點P,使得對于P點,rank(f)=dim(M),我們說P爲regular point(正則點),並且若q=f(p),則稱q爲映射f的正則值(regular value); 令df(q)爲過q點的切映射,引入符號sign(df(q)),使得若df(q)保定向,sign(df)=1;若df(q)反定向,sign(df) =-1; 定義deg(f;y)爲sign(df(x))的和,x是正則值y的所有逆像點。
      現在我首先敘述一下Morse-Sard,Brown定理(符號如前): Morse-Sard定理:令C爲映射f的不是正則點的點所構成的集合,則f(C)的Lebesgue測度爲 零。 Brown定理:N中的正則值在N中是處處稠密的。
      我感覺這兩個定理都是經典分析學中的經典定理,但是現在基本上都是用微分拓撲的方法來證明的。微分拓撲在數學的很多分支中有廣泛的應用,比如代數學基本定理,這個定理雖說是單數學中提出來的,但是在各種證明方法中,竟然沒有一個是純代數性質的。這其實是一個很有趣的事情,同時也說明了,數學的各種分支,本質上是密不可分的。
      通過Morse-Sard定理,我們可以證明Brouwer不動點定理:任意從單位圓到自身的光滑映射(實際上條件可以降爲連續映射)都存在不動點。 而且,這個定理有一個深刻的推論,那就是:任意從緊致凸集到自身的光滑映射都存在不動點。
      下面再來介紹Hopf定理,先來一些准備工作:令M是一個光滑流行,用X(P)來表示過P點的光滑切向量場,如果X(P)=0,我們稱P點是奇點。 如果還存在P點的鄰域U,使得對于U內任意的q點,都有X(q)!=0,我們稱P點爲孤立奇點。 Hopf定理:如果M是一個緊致定向流行(就是閉流行),X是M上的光滑切向量場,且X僅有孤立奇點,則:1)X至多有有限個奇點,記作:p1,p2,.....,pk 2) deg(f;pk)=E(M);(E爲M的Euler數);
      Hopf定理將拓撲性質與流行的度相聯系,也算是微分拓撲中的一個深刻而經典的定理了。
      符號滿天飛,想必大家看到這兒已經暈菜了;所以我想介紹一下上面提到的那些定理的兩個有趣的應用。我們知道RP(n)(n維射影空間)可以寫作S(n)的對徑點粘合f,不妨令f=e(f');其中f':S(n)->S(n),e:S(n)- >RP(n)是對徑點粘合的映射。因爲S(n)是緊致凸集,那麽f'一定有不懂點。而在e的作用下,e(x)=e(-x); 這樣,我們可以證明,一定存在S(n)上的p點,令f(p)=f(-p);
      如果我們將地球表面的水平風速看作地球球面上的切向量場X;由于E(球面)=2,于是球面上的連續切向量場有奇點,于是一定存在球面上的P點,使得X(p)=0; 于是我們得到這樣的結論:任何時刻地球上存在一處水平風速爲零。 呵呵呵呵,很有趣的結論吧!!!!(王朝網路 wangchao.net.cn)

    freeenergy01 U為內能, 赫氏自由能,蘇聯則稱之為等容位(或等容勢; H為焓,S為熵,T為絕對溫度。德國和法國等歐洲大陸國家稱吉氏自由能為自由焓(free enthalpy),而蘇聯則稱之為等壓位(或等壓勢)。

    自由能指的是在某一個熱力學過程中,系統減少的內能中可以轉化為對外作功的部分。


    目錄

    自由能 - 自由能編輯本段回目錄


     

    自由能 - 正文編輯本段回目錄


      熱力學函數之一。有兩種含義。英國和美國的冶金及一部分化學書刊中指的是等溫等壓下作判據的吉氏自由能G(Gibbs free energy),其定義為:
    自由能
    式中H為焓,S為熵,T為絕對溫度。德國和法國等歐洲大陸國家稱吉氏自由能為自由焓(free enthalpy),而蘇聯則稱之為等壓位(或等壓勢)。
      另一含義則為等溫、等容下作判據的赫氏自由能F(Helmholtz free energy),其定義為:
    自由能
    式中U為內能。德、法等國稱赫氏自由能為自由能,而英國和美國的冶金書刊則稱之為功函或功含量,蘇聯則稱之為等容位(或等容勢)。
      GF 的相互關係表達為:
    自由能
    式中P為壓力,V為體積。從上式看出,在等壓等容條件下,PV 無變化,則:
    自由能
    也就是說,對化學反應進行等溫等壓條件下的熱力學分析,參加反應的物質全部是凝聚態物質(固體或液體),因而其體積的變化可忽略不計時,反應的ΔG 等於ΔF
      從定義的邏輯性出發,吉氏自由能稱為自由焓比較合理。
      除了在高壓釜或密閉蒸餾器進行的反應外,冶金反應經常在定壓條件下進行;相變過程,特別是相圖的測定,一般是凝聚態且大都在1大氣壓下進行。因之,冶金工作者表達相律為:
    自由能
    式中c為組元數,p為相的數目,f為自由度。因此自由焓是冶金工作者常用以判別冶金過程方向及平衡態的熱力學依據。但必須注意,此自由焓在英國和美國的冶金書刊中常稱為自由能

    角动量守恒就是旋转中的物体倾向于绕着相同的旋转轴,以相同方向继续旋转

    从玩具陀螺到终极理论Comments>>
    发表于 2013-07-16 06:52 | Tags 标签:, , ,
    二十年前的小朋友很好哄,一个陀螺就能打发一下午的时间。大江南北,似乎都有这种转啊转的玩具。记得曾在书上读到,东北小朋友在冰上玩的陀螺要用鞭子抽。身处南国的笔者,冰面与鞭子都未曾见过,而见过的陀螺也都是塑料的,用手一拧,在桌上就滴溜溜地转起来,颜色混合而又慢慢分离,变幻摄人眼球。
    还记得有一种会倒立的陀螺,一开始大头朝下转着,慢慢地整个陀螺就会翻过来,变成大头朝上。在科普大师马丁·加德纳的书中,也有提到到这种会倒立的陀螺。玩意虽小,也给世界各地的人带来过乐趣。

    【倒立陀螺,图片出处:维基百科】
    那么,陀螺为何转而不倒?也许你会回答,角动量守恒。
    通俗来说,角动量守恒就是旋转中的物体倾向于绕着相同的旋转轴,以相同方向继续旋转。如果没有外力作用,旋转永不休止。也就是说,旋转本身也有一种惯性。轻轻推一下旋转中的陀螺,它也只会开始摇摇晃晃,而不会立刻倒下来。
    地球本身是个更宏观的例子。数十亿年来,地球围绕着太阳公转,围绕着地轴自转,未有一刻歇息。公转而有春夏秋冬,自转而有昼夜晨昏,日常熟悉的这一切变化并非理所当然,它们来自太阳系形成时,星云旋转的角动量。
    但在人力所及之处,要归纳出这个看似简单的定理,竟也花了不少时间。究其原因,我们的世界是如此不完美,摩擦力无处不在,不断消磨着各种运动,以至于大贤亚里士多德竟会认为力是维持物体运动的必要条件,并且整个西方世界这样一错就是一千年。
    人们第一次窥视到角动量的一鳞半爪,还是在星空中,那里星体的运动没有摩擦力的阻碍。发现者则是一位眼睛不好的天文学家——开普勒。他自己做不了观测,但他的老师第谷留下了需要的所有资料。天行有常,而在纸堆中,他发现了行星的“常”,也就是后人口中的开普勒三定律,阐述了行星围绕太阳旋转的规律。而其中的第二条——无论在轨道何处,行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相同——实际上就是角动量守恒的体现。
    之后的牛顿更是将开普勒的工作发扬光大。他的力学三定律以及万有引力,用可以计算的公式诠释了开普勒的发现。而在牛顿力学中,人类终于完全抓住了旋转的规律,可以随意计算有关旋转的一切,而角动量守恒也成为了理所当然的推论。
    对于客观规律,感性认识只是不甚可靠的第一步,可以量化并计算的理论却有着实实在在的用处。发电机和电动机利用旋转的力量,转化着不同形式的能量,构成了现代文明的基石。而在设计中,对旋转的计算直接关系到机械的安全和性能。
    陀螺仪则是对于角动量守恒最为直接的应用。强有力的转动使它指向固定的方向,无论是大风大浪还是火箭发射,都不能使它的指向偏离一分半毫。也唯有如此,它才能指引船只、飞机甚至宇宙探测器沿着指定的方向航行,到达最终的目的地。
    角动量守恒是如此自然,人们理所当然地接受了它。
    但有一位数学家并不接受这种理所当然,她叫埃米·诺特。
    埃米·诺特
    【埃米·诺特,图片出处:维基百科】
    作为一个女数学家,生于19世纪末的德国并不算件好事情。直到20世纪初,男女同校仍被视作会“颠覆学界秩序”的举动,而大学教授仍是男性的专利。对诺特而言,即使她的父亲就是数学教授,即使她才华横溢,求学也并非理所当然。她只能旁听,而且还要取得教授的许可。
    即使获得了博士学位,即使指导者是当时有着“不变量之王”美称的大数学家戈尔丹,即使工作受到了广泛的肯定,在毕业后最初的七年,诺特的收入仅仅来自家人的接济。她工作的机构,埃朗根数学研究所,从未向她支付过工资。
    一分钱都没有。
    在1915年,事情似乎有了转机:两位数学巨擘,希尔伯特与克莱因,邀请诺特到当时数学界的中心——哥廷根大学——工作,研究广义相对论的数学。当时爱因斯坦还在摆弄他的场方程,苦恼于其中的一些异常之处,而希尔伯特也在摆弄相似的场方程。他们希望诺特在不变量理论方面的造诣,能帮助厘清广义相对论中的数学。
    这无疑是对诺特才华的肯定。
    但当时的哥廷根更关注诺特的性别。希尔伯特希望为诺特谋得一个私人讲师的职位,但哥廷根的教授们显然不希望有女人进入他们“神圣”的大学。他们的借口之一是“不希望我们的士兵回归大学后,发现竟要向女性求学”。向来沉稳的希尔伯特也不禁大动肝火,并说出了那句著名台词:“我不明白候选人性别与私人讲师资格有何相干,毕竟这里是大学,不是澡堂!”但要改变那帮老顽固,一年半载是不可能的。诺特的课程只能挂上希尔伯特的名义才能开讲。她仍然没有职位,仍然没有收入,仍然需要家人接济。
    然而希尔伯特毕竟是伯乐,诺特甫一开始在哥廷根的工作,就在数学物理方面崭露头角。
    黑洞
    【黑洞模拟图,图片出处:维基百科】
    粗略地说,广义相对论的新思想在于“时空会随着物质弯曲”的概念,但要将这些抽象的概念转化为实实在在的数学方程,是件异常困难的事:需要新的数学工具,需要新的数学想法,而且还要排除时不时冒出来的那些物理上不可能的性质。希尔伯特发现他的场方程中,正出现了看似不可能的毛病。在经典物理中理所当然的守恒量,比如能量、角动量,在他的场方程中似乎不再守恒。到底这是致命的缺陷,还是新定律的喻示?希尔伯特期望诺特解决的,就是这样的问题。
    也许这种问题正适合诺特来回答。毕竟,她仅仅是踏在科研路上这个事实,就已经冲击了当时多少人心中那陈腐的“理所当然”。
    而诺特的回答优美得令人震惊。她发现,守恒量的存在并非理所当然,而是宇宙规律对称性的体现。无论任何物理理论,只要符合某种对称性,那么这个理论中一定有一个对应的守恒量,这个量不会随着系统的演化而变化。如果物理定律在时间长河中的每一个时刻都相同,它就有着所谓的“时间平移不变性”,对应着的守恒量就是能量。如果绕着茫茫宇宙任何一个方向旋转,物理定律仍然不变,那么它就有着“旋转不变性”,对应着的守恒量就是旋转的角动量。
    无论什么宇宙,无论什么规律,有一个对称性,就有一个守恒量。而角动量,不过是旋转不变性所对应守恒量的名字而已。这就是诺特定理。
    希尔伯特的场方程,仍然保有经典物理的对称性,但因为方程本身已改头换面,对称性所对应的守恒量也变得面目全非。经典物理中的守恒量不再守恒,这仅仅因为我们有新的守恒量,而并不构成新物理的障碍。
    这就是诺特的答案,一个连爱因斯坦也大加溢美之辞的答案。
    诺特定理为现代物理学打开了一扇新的大门。有了诺特定理,物理学家开始学会通过宇宙本身的对称性推测物理定律的性质。人们认识到,对称性是探究物理的指路明灯。
    二十重态
    【二十重态,图片出处:http://fafnir.phyast.pitt.edu/particles/conuni6.html
    除了时空本身宏观的对称性以外,物理学家还开始探索各种局部的对称性。在量子场论中,人们发现除了时间和空间以外,物理定律在局部还依赖额外的量,有着额外的对称性。这些被称为“规范对称”的对称性,实际上可以看作更为抽象的数学空间中的旋转对称性,而它们也有着相应的守恒量。基于这些新的对称性,人们建立了一整套物理理论,被称为“规范场论”。
    这套依赖对称性的物理方法,获得了前所未有的成功。四种基本力中的三种,都能用规范场论来解释,合起来就是目前最为成功的粒子物理理论——标准模型。正因为规范场论如此成功,一些物理学家认为能描述一切的终极理论应该也是一个规范场论,一个比标准模型有着更高对称性、更多对称美的规范场论模型。
    没有人知道终极理论会是什么,但每个人都认为它一定拥有高度的对称美。而陀螺转而不倒,只是这种美的一个小小体现而已。
    (本文发表于《艺术世界》2013年6月号)

    场量的相位角 相互作用的规范理论

    场量的相位角规范理论 (without quotes):

    read01 路径积分 积分变量—路径—本身是时空的函数,所以它是推广了的黎曼积分,即所谓的泛函积分

    >>基础资源>>课外读物>>统一之路
    http://edustar.library.nenu.edu.cn:8080/Resource/Book/Edu/KWDW/TS009059/0031_ts009059.htm
      3.1.4 路径积分量子化加到收藏夹 添加相关资源
     



    3.1.4路径积分量子化
     
    量子化是微观客体的特性,如何正确地构造量子理论始终是一个重要问题。一般而言,从经典理论得到相应的量子理论可以按照正则量子化的标准方法进行。但正则对易关系只对独立的共轭正则变量才成立。如果系统存在约束,那末首先应从约束方程中解得独立的变量,然后再进行量子化。规范场理论的量子化就属于这种情况。
    电磁场的作用量在规范变换下保持不变,它表明并非电磁势的四个分量都是独立的场变量。物理的场满足一定的规范条件,它对电磁势的独立分量加了很强的限制。这时如果简单地将四个分量同时做为独立变量进行正则量子化,将会因无视它所满足的规范条件而得到矛盾的结果。从规范条件中解出独立的变量然后再进行量子化可以避免上述困难。但是,直接这样做并不方便,而且会牺牲整个理论的明显洛伦兹协变性,特别是对于非阿贝尔规范场的情形,规范场方程的非线性将导致实际求解的巨大困难。
    对非阿贝尔规范场的量子化最先是1967年由前苏联学者法捷耶夫(L.Faddeev)和波波夫(VPopov)用路径积分的办法实现的。路径积分量子化的最初想法来自狄拉克。他在寻找一种能够平等对待时间和空间的量子力学表述方式时发现,在经典理论的两种表达方式中,哈密顿形式的时间具有特别的地位,而拉格朗日最小作用量原理的时间和空间地位是平等的。他相信拉格朗日作用量也一定会在量子理论的表述中发挥作用。费曼接受并发展了这种想法,得到了路径积分量子化方法。
    作为量子力学的基本原理之一的测不准原理表明,由于位置和速度这对相互共轭的量不能同时测准,所以经典的轨道概念在微观领域没有意义。但费曼认为,在量子力学中可以保留轨道概念,只不过一个微观粒子从初始时刻的位置到终了时刻的位置之间的所有轨道都是可能的,粒子沿哪条轨道走并不确定,每一轨道都有一定的几率幅。量子力学的特征正反映在轨道的不确定性上。这与经典力学的情况相反。在经典力学中粒子是按确定的轨道运动的,这个轨道称为经典轨道,它是使作用量S为最小的那条轨道。在量子力学中,费曼假定每个轨道对总几率幅贡献的大小相等,相角不同,即等于eiS(a,b)/h,其中S(ab)是该路径的作用量值。总的几率幅为
    这种路径积分量子化的特点是,它的表达式中所用到的量都是经典的而不是算符,但是由它所表达的却是量子力学的几率幅。
    既然所有的路径都有同样大小的贡献,只是相角有所变化,那末在经典极限下某个特定的路径是怎样变成最重要的路径的呢?经典近似相应于尺寸、质量、时间等都很大,以致Sh相比是巨大的,所贡献的相角S/h是个很大的值。对一般的情况,路径的微小改变会造成相角的巨大改变,它们的贡献由于振荡而相互抵消。但对于S为极值的特殊路径,它的微小变化不会使S发生变化。所以,这个区域内各路径的贡献几乎都是同相的,不会相互抵消。于是当所讨论的尺度远大于h时,这种表达形式自动地挑出了满足最小作用量原理的经典轨道。
    路径积分量子化方法在概念上是简单的。但是对这样的求和给出更精确的数学上的定义是相当复杂的。这种求和的极限自然地应该表达成积分,由于这时的积分变量—路径—本身是时空的函数,所以它是推广了的黎曼积分,即所谓的泛函积分。关于泛函积分的存在性在数学上仍是尚未完全解决的问题,好在对于一类特殊的称为高斯型的泛函积分其存在性是得到严格证明的。而常见的几种场,如标量场、旋量场和规范场,它们的自由场拉氏作用量的路径积分都是属于高斯型的。
    当考虑了场的相互作用后,拉氏量中往往包含场的三次或更高次幂的单项式。它们不属于高斯型积分,在具体计算中不得不借助于微扰展开。由此发展起来的理论与正则量子化的微扰论异曲同工。路径积分量子化方法有许多优越的地方。例如,由它可以发展一些形式场论的方法,对作用量的具体表达式尚不清楚的情况尤为有用;路径积分形式有利于做半经典近似;它的表达式与统计物理中配分函数的相似导致了有限温度场理论的产生和发展等。特别是由于规范对称性使规范场的自由度多于真实的物理自由度,即规范场是一个约束系统,而量子化是对于真实的物理自由度进行的,这在操作上给正则量子化带来困难,但在路径积分量子化方案中比较容易处理。
    规范对称性意味着作用量在规范变换下不变,由规范变换所联系起来的场称为规范等价,它们的集合称为一个规范等价类(或规范轨道)。不加区分地对所有的场位形(路径在场论中的推广)进行积分将会导致对于规范等价的场位形重复积分。由于场是无穷多维的系统,所以这种的重复积分的结果是无穷大。费曼路径积分应该只对于那些不在一个规范等价类的真正物理自由度进行积分。路径积分形式通过适当地修改积分的测度定义使积分只沿与规范轨道相交且仅交一次的路径进行,从而做到这一点。
    这种办法是由法捷耶夫和波波夫首先得到的,他们对测度的修改通过引进辅助的场量完成的。这些辅助场在时空变换下表现得象个标量但却满足反对易的交换关系,由于这种奇特的性质,它被称为鬼场。它们只出现在费曼图的内线,从而保证了S矩阵的幺正性。使积分路径只与规范轨道相交一次且仅相交一次是通过选取规范条件来实现的,如洛伦兹规范条件在场的位形空间就是给出这样的积分路径所满足的方程。格瑞伯夫(Gribov)发现,由于位形空间的拓扑性质,并不是总可以找到上述的积分路径,这种情况称为存在格瑞伯夫不定性。一般说来,非阿贝尔规范场的库仑规范条件就存在格瑞伯夫不定性,所以库仑规范不是一个好的规范条件。现在人们通过研究相信,格瑞伯夫不定性可能是非阿贝尔规范场的普遍性质,与其拓扑性质密切相关。格瑞伯夫不定性表现在规范条件确定的积分路径与规范轨道相交不只一次。不过这种重复相交一般发生在场量较大的位形,它并不影响微扰论计算。
    路径积分量子化方案对于旋量场存在一定的困难。前面说过,路径积分的表达式中所用的量都是些经典的量,由普通的复数表示。但是,满足反对易关系的旋量场并没有经典的对应,换句话说,没有满足反对易乘法的数。所以要处理旋量场的量子化就必须推广关于数的定义。满足反对易乘法的“数”称为格拉斯曼数(Grassman)Brezin讨论了对于格拉斯曼数的函数进行微分和积分的问题。最近关于量子群在场论中的应用,特别是非对易几何的研究再次引起人们对于这些形式讨论的兴趣。
    量子场论的路径积分形式由于前面提到的一些特点使得它成为现代量子场论的主要理论构架。量子场论的很多丰富内涵都通过路径积分测度的定义得到反映,鬼粒子就是一个著名例子。80年代初,利用路径积分形式对于量子场论中的反常现象的研究表明反常与场在大范围的拓扑性质密切相关。
     

    费曼路径积分为什么在数学上不严格




    不知道
    回复
    • 3楼
    • 2012-08-02 08:59
    貌似我的回答都好经典好短好弱智哦
    收起回复
    • 4楼
    • 2012-08-08 19:39
    • 无极自然: 不会的,其实我自己也真的懂这里面真正的含义。尽管我会算费曼积分,但是我到现在也没有懂费曼积分。