Friday, August 30, 2013

量子力学将这种相位的变化与粒子的动量联系在一起:动量 = 平移单位距离所积累的相位。而对于构成流体微观自由度来说

量子力学将这种相位的变化与粒子的动量联系在一起:动量 = 平移单位距离所积累的相位。而对于构成流体微观自由度来说

Everett的日记

从涡旋到电与光的演生

2013-04-30 21:10:10

eynman的路径积分方法最好理解。系统从A到B,可以沿着任何路径演化过去,每种路径对应的几率振幅是exp(iS),求和之后得到总的振幅,就是AB两点格林函数,或者关联函数。这个关联函数对时间在复平面内做一个转动,变成虚时,就成了统计力学里边的配分函数。不同种类的粒子,和不同的边界条件,对应的S的形式不一样,就得到不同系统的配分函数

谁学得懂文小刚的 量子多体理论
589124

来自: 589124 2010-03-13 23:00:45

4人 喜欢
  • [已註銷]

    [已註銷] 2010-03-13 23:36:46

    不會是高教版的那本「從聲子的起源到光子和電子的起源」吧……
  • 留空

    留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 2010-03-14 00:44:06

    那书确实很难,自己看恐怕很难看懂,lz还是多跟老师交流交流吧
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-14 12:31:45

    那本书不是还满容易的吗 相比Mahan的书来说
    我觉得 看小刚老师的书 你不能太强求细节 就是每个点都弄懂 公式都会推
    关键是要理解他的物理思想 我觉得他的物理思想是他的精华部分
  • [已注销] 2010-03-14 14:04:24

    不懂 我是做量子场论的
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-14 21:21:04

    小刚跟我说过,他写这本书本来就不是用来作教材的,书里面的东西都是笔记性质的,为了方便以后翻查,所以集结成书。
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-14 21:22:12

    楼主有什么郁闷的,拿出来让大家一起分享啊……
  • 589124

    589124 2010-03-14 22:30:36

    老师说不注重理论推导,可是他却推得比书里面的还多。第二章讲了线性响应理论,书中说只有线性的理论才是可测量的,才是实在的,线性响应理论是稍偏离平衡位置的理论。那非线性的理论就是不可测的吗?例如通常的磁滞回线都是非线性的。很不明白!
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-14 22:35:19

    这种鬼话不必当真,线性理论不过是好算而已,不用那么多理由。
  • 589124

    589124 2010-03-14 22:47:31

    老师也说不信他的,说他不就是个mit的教授吗!
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-15 10:47:35

    呃。。。E大 我觉得这里小刚讲的是对的 我也认为 至少从目前来看 只有线性响应理论是实在的 可测量的
    这里涉及到几个问题
    首先 一般测量的手段都是线性的 即使在一些非线性的学科中 比如非线性光学 测量手段本身还是线性的
    其次 目前的测量都是在近平衡下测量的 虽然传说中现在有很多实时的 或动力学的测量手段 但本质上来说 这些测量仍然是近平衡的
    第三 非线性的测量 目前没有好的定义 实际上的测量手段中 一定存在着非线性的因素 但由于缺乏相关的理论支持 这种东西在实验上能避免就避免 不能避免也就当噪音处理了

    关于磁滞回线那个问题 那位同学可能理解错了 实验现象本身的非线性 和实验测量时是用线性手段还是非线性手段测的 这是两码事 非线性的实验现象多了去了 一般的半导体IV曲线 都是非线性的 这不意味着我本身在测电流跟电压时 也用非线性的实验手段去测的
    所以像在磁滞回线中 用到的矫顽力的概念 是一个非常典型的 将非线性的东西转化为线性的概念的例子 理论的人很不喜欢矫顽力这种概念 但实验的人用的很happy
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-15 13:30:24

    我觉得磁滞回线测量好像不是线性响应啊。

    当然,真正搞磁学研究的,磁滞回线测量只是第一步而已,后面还有中子散射,核磁共振那都是线性相应测量了。所以也许可以说线性测量发展的历史悠久,技术成熟,而且与理论结合得比较好。
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-15 13:33:02

    如果你说磁滞回线的每个局部,特别是矫顽点处,可以看作线性响应,那我也认了。
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-15 15:30:36

    呵呵 我说的正是这个意思 你懂的

    说实在话 我一直没搞懂矫顽力到底是什么东西 只知道是他们实验的人简化之后的这么一个量 具体物理背景不清楚
    不过话说回来 现在大部分做磁学的实验工作者 对于自旋仍旧是不喜欢的 它们总是能避免就避免这概念 让我很是无语
  • 589124

    589124 2010-03-21 09:01:51

    以前没有仔细读过这本书,这几天读了一下,发现这本书巨好!!
    文小刚把凝聚态物理学提高了一个层次,从更为统一的角度来看问题,他甚至认为凝聚态物理比粒子物理层次更高,而且扩展传统凝聚态物理概念,虽然他的结论不一定对,但是方向是对的。如果看完这本书将会对凝聚态物理体系有更好的把握。这本书关于多体理论的基础写的不够,但可以参照其他多体书籍来看,而且就算数学推导看不懂,能够读懂期间的文字,明白他的思路,也已经收获了这本书大部分内容。
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-21 17:37:38

    握手,我也是小刚fans……
  • [已注销] 2010-03-21 18:00:12

    记忆中俺看到过xiaogang和limiao讨论ADS/CFT和supersymmetry
    顺便问下...(以下跑题...)
    凝聚态中的序就是指粒子物理中的规范对称性么?
    当然这不是我真正想问的东西...
    我想问的是序参数到底是个什么玩意?俺在学bosnic string玩的时候ms发现了一个叫做序参数的玩意...从这个玩意的计算咱们可以得到bosnic string是个26D 基态是tachyon的一个病态...但是什么是序参数呢?和序有关吗?
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-21 18:52:26

    1.序不是规范对称性。不过规范对称性自发破缺,可以形成一种序。
    2.比如Higgs场就是序参量,用来标识手征对称性破缺的序。
    3.bosonic string不懂,但是与弦有关的序可能是拓扑序。如果是拓扑序,那就没有序参量了,并不是所有的序都有序参量。
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-22 10:08:38

    有句话我憋在心里很久了
    难道做高能的童鞋都不学统计力学吗?

    至少在我们学校 如果你要读研究生 大三下的统计二是必修课 而临界现象在统计二中是重要的章节之一
    凝聚态中的序显然没有脱离经典统计力学中的序的范畴 所以你随便去解一个经典的Ising模型 马上就知道序是什么 当然 序是很复杂的 里面的物理很多 但了解个大概总是可以的
    所以上次E大提到序的时候 无数人发表疑问我就很纳闷 这到底是怎么回事
  • [已注销] 2010-03-22 18:33:03

    um...别人俺就不知道 俺是确实没念过 统计力学二的...
  • 589124

    589124 2010-03-22 21:56:03

    统计物理是理论物理中最为完整和优美的理论,这个都不学,那么你如何体验物理的美。这个不学,转行吧。文学艺术会更有意思些!
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-22 22:05:35

    呃 窃以为 作为物理系的学生 统计二还是应该念一下的
    像临界现象 涨落耗散定理 重整化群这些 都是包含了丰富的物理思想的
  • [已注销] 2010-03-22 23:04:32

    恩...等有时间吧...确实...
    本科确实只学过统计物理比较基本的东西...
    俺最近发现确实在某些看起来不相干的东西上会体现一些很有意思的能表现物理思想的东西...
    呵呵 另外统计物理中也有 重整化吗?我一直以为这就是从场论作为一个有效理论上过来的...
  • [已註銷]

    [已註銷] 2010-03-22 23:21:17

    重正化是凝聚態借用了QFT,但QFT也借用了凝聚態的相變和對稱性自發破缺。

    順便,本人支持重「正」化,因為renormalization可以看做re-normal-ization。normal麼,就是「正常」啦。
  • [已注销] 2010-03-22 23:29:04

    统计物理是理论物理中最为完整和优美的理论...
    为啥俺觉得物理中最优美的理论是场论呢?不论是经典场论还是量子场论...
    斯认为物理的美在于1场的思想,2可重整的理论,3对称性

    ...至于体验物理的美...你缺少了任意一块都不成吧同学...
    正如你如果缺少了ferminic的bosnic string那只能是个病态而已...
  • [已註銷]

    [已註銷] 2010-03-22 23:31:03

    好了好了,別爭哪個最優美了,宇宙學的童鞋要說GR最優美了……
    果然是學什麼護什麼……
  • [已注销] 2010-03-22 23:36:46

    哈哈...俺没有争啊...
    也没有护啊...很多理论都挺美滴...
    所以这个没有必要...
    不过有一点是事实...物理是个整体...少了那块都不会美了...
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-23 09:19:49

    @无欲
    以前的确见过有人翻译成 重正化群 的 但很显然 这个翻译的人 不懂什么是重整化群 纯粹是字面翻译
    重整化群的本质 在于将原空间 重新“整理”成一个新的空间 这是通过一些线性变换来实现的
    另外 统计中的“重整化群”只是借用了场论中重整化这么一个名词 就都是把无限变有限 但事实上 这完全是两件事情

    @WC
    我也觉得 统计物理真的既不完整也不美
    说它不完整 是因为所有物理学科中 大概统计物理中的公设是最难让人信服的 比如各态历经假说 能均分定理 白噪声近似 近平衡假定 等等
    说它不美 是因为统计物理中好多东西都是靠拼拼凑凑 或者猜出来的 比如玻尔兹曼公式 完全是凑出来的 还有序参数 完全是靠经验猜的 而统计物理中用到的数学就两个 一个是对数 一个是高斯积分 然后就那几个量在那瞎折腾。。。

    可就是这样 统计物理仍然给出了最多的结论 奠定了很多学科的基础 或许 这也是物理学的另外一种美吧
  • vampireking

    vampireking 2010-03-23 11:10:22

    ls,重正化和时空没什么关系吧,它就是把场分解了一下,A0=A+dA,这样子对某个过程,我们用A计算的时候得到的发散,用dA来抵消。并且,因为物理结果F不依赖于我们前边人为分解的过程,所以结果F对分解的参数mu没有依赖,这样我们就得到重正化群方程dF/dmu=0。统计中的重正化群我不是很清楚,应该利用统计和场论系统的对应把场论中的重正化群方程对应过去的。

    统计物理和场论的对应,利用feynman的路径积分方法最好理解。系统从A到B,可以沿着任何路径演化过去,每种路径对应的几率振幅是exp(iS),求和之后得到总的振幅,就是AB两点格林函数,或者关联函数。这个关联函数对时间在复平面内做一个转动,变成虚时,就成了统计力学里边的配分函数。不同种类的粒子,和不同的边界条件,对应的S的形式不一样,就得到不同系统的配分函数。

    不考虑这种对应,单从统计力学自身来说,似乎理论基础也非常简单,就是一个等概率原理,孤立系统有许多种微观状态,它对任何一种微观状态都没有偏好,处在所有状态的几率相等。别的似乎就没什么了。对于某个复杂系统,某种近似抓住了对于所研究的目的而言最重要的自由度,那么它就是好的近似,不必过多考虑严格性。
  • 小沐他爸

    小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-03-23 12:44:43

    你哪里看到我写“时空”了?

    格林函数是来自演化方程 关联函数是来自涨落 二者的对应本质上是源于涨落耗散定理 而非路径积分
    至于关联函数和配分函数 更不是同一件事了


    无欲老兄 我觉得要讨论翻译的问题 这个“等概率原理”就很值得商榷
    其英文应当是“equal a priori probability postulate” 直译为“验前等几率假定” 为什么翻译时就丢了“验前”二字呢 搞得这个几率好像和量子力学里的几率一样 真是大错特错
    另外 一般文章中出现得比较多的 还是“ergodic hypothesis”即各态历经假说 窃以为这个更符合玻尔兹曼的原意
  • じ蘟姓埋姳″

    じ蘟姓埋姳″ (解夏:宛如新生,重新开始。) 2010-03-23 19:02:41

    =,=
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-03-23 19:41:48

    ……
  • [已注销] 2010-03-23 21:24:35

    ……

  • 589124

    589124 2010-03-23 23:00:38

    不好意思,刚才的留言点...........
    我现在看一遍觉得很累赘。怪我写完没检查一下。
  • 589124

    589124 2010-03-23 23:14:48

    重新整理一下:
    1.经典场论中电磁场部分来自于实验总结,因还未发现磁单级,还缺衣部分对称性。
    2.量子场论很神奇,能够在极短的微观距离凑效,这是理论的神奇的地方。我现在没有还没有熟练掌握它,它的数学推导太难。
    3.熵的波尔兹曼关系式可以从系宗理论推导出,并不需要新的假设。我觉得各态遍历假设来自于微观世界的粒子全同性,以后可能得到严格证明。
    4.场论和统计力学分别可以说明微观粒子相互作用的机制、微观影响宏观方式。两者一起构建世界图景。
  • 589124

    589124 2010-03-23 23:30:43

    艺术和物理的美同根同源。
    物理具有科学的逻辑严谨性,这种美的结构来自于对于复杂结构机制的顿悟。
    诗歌,艺术的一种形式,里面蕴含了奇妙的构思,巧妙的类比。体验她的美也是来自于瞬间的顿悟。
    艺术常常注入情感成分,变为温暖的美。

brain01 order parameter 直接参与化学反应的电子数通常不是很多. 因此, 在应用价键理论方法时, 我们可以只对这部分对化学反应起主要作用的电子在价键理论框架中处理, 而其余的电子以双占据的形式排布.



大多数的计算研究中, 直接参与化学反应的电子数通常不是很多. 因此, 在应用价键理论方法时, 我们可以只对这部分对化学反应起主要作用的电子在价键理论框架中处理, 而其余的电子以双占据的形式排布.


normal heat: entrop goes up fast, 轨道, 轨道"正交" going away fast, "gauge" goes away fast, 轨道"正交=coordinates in brain, order parameter gone, "energy gap" gone vs TG's super political structure
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    (概念:电子在原子内还存在一种能呈现磁性的运动方式——绕着自身的轴作“自旋”运动,
     
    且自旋角动量子数只可取1/2 -1/2,故可说其有两个自旋方向:正或反。)
      http://www.chem.pku.edu.cn/bianj/paper/04/1.pdf

    brain01 价键理论中非正交轨道 体系能量及其对非活. 性轨道的梯度解析表达式, 简化了价键自洽场方法中非正交轨道能量梯度的计算

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  • em01 電磁的變動就如同微風輕拂水面產生水波一般,因此被稱為「電磁波」,而其每秒鐘變動的次數便是頻率。當電磁波頻率低時,主要藉由有形的導電體才能傳遞;當頻率漸提高時,電磁波就會外溢到導體之外,不需要介質也能向外傳遞能量,這就是一種輻射

    認識電磁波
      本校孝章樓、惇敘樓變電站與基地台電磁波,95年5月檢測結果為0.2-8.8毫高斯(請詳見本網頁照片),遠低於行政院環保署所訂833毫高斯之標準,請本校家長與全校師生安心。
    您了解「電磁波」嗎?
    惇敘樓變電站電磁波檢測
    從科學的角度來說,「電磁波」是能量的一種,凡是能夠釋出能量的物體,都會釋出電磁波。
      電與磁可說是一體兩面,變動的電會產生磁,變動的磁則會產生電。電磁的變動就如同微風輕拂水面產生水波一般,因此被稱為「電磁波」,而其每秒鐘變動的次數便是頻率。當電磁波頻率低時,主要藉由有形的導電體才能傳遞;當頻率漸提高時,電磁波就會外溢到導體之外,不需要介質也能向外傳遞能量,這就是一種輻射。舉例來說,太陽與地球之間的距離非常遙遠,但在戶外時,我們仍然能感受到和勳陽光的光與熱,這就好比是「電磁輻射藉由輻射現象傳遞能量」的原理一樣。
      電磁輻射是傳遞能量的一種方式,輻射種類可分為三種: 游離輻射,有熱效應的非游離輻射,無熱效應的非游離輻射。

    和電磁波「朝夕相處」
      在我們的生活環境中,「電」和「磁」的現象無所不在,除了大自然的太陽光和閃電外,舉凡各種電器用品,如電視、微波爐、電燈泡、電腦等,甚至廣播電台、電視台、業餘無線電台、無線電計程車、警用無線電台或衛星行動通信等之無線電磁波,都存在我們的生活環境中,所以我們在享受便利生活的同時,也正和電磁波「朝夕相處」,「和平共存」呢!
    各項設備產生電磁波頻段
    頻段
    設備
    50Hz至5KHz
    電力公司所使用之高壓輸配電線、變電所
    家電用品:電磁爐、吹風機、電腦、電視機、洗衣機、電毯、冷氣機、檯燈、電刮鬍、錄放影機。
    5KHz至 500MHz
    廣播電台:調頻廣播、調幅廣播。
    無線電及電視訊號:AM 收音機上之天線。
    500MHz至 50GHz
    雷達、微波爐。
    50GHz至 2.4×1015 Hz
    可見光:太陽光、加熱鎢絲。
    紅外線:夜視鏡、太陽光、烤箱、煉鋼、電燈泡、烘烤麵包機。

    電磁波 V.S 人體健康
    惇敘樓室二忠教室電磁波檢測
    生活中的各種電磁波是否對人體有害呢?其實,電磁波對生物的影響很複雜,每種電磁波因為來源不同而產生不同頻率,不同強度組合的電磁波,其對人體的影響程度也互異。
      一般而言,人體是極差的非游離電磁波接收體,只要電磁波強度符合標準,多不會超過人體可接受的安全範圍。
      小平是個活潑好動小男孩,他看到了書桌上的檯燈,覺得亮亮的燈泡好神奇喔!小平用手輕輕碰觸燈泡......好燙!他大哭起來,趕忙跑來的媽媽既心疼又生氣,她不停地告訴小平:「要保持當距離,才不會又痛痛喔.........」

    認識「基地台電磁波」
    惇敘樓室二忠走廊電磁波檢測
    基地台主要由天線發射電磁波,我國交通部電信總局在規範基地台電波發射功率之同時,已經考量國內住宅人口較國外密集等因素,將美國管制值降低一半,即天線的有效發射功率不得高於500瓦(在美國為1000瓦以上)。
      室外型基地台傳送信號至室內時,容易於室內產生通訊死角,因此針對室內或小範圍通訊需求之區域,必須使用室內型微細胞基地台或增波器,因此二者的天線電波發射功率比室外型基地台小幾十倍甚至百倍。
      事實上,基地台天線如架設在建築物時,傳送到地面的電磁波,其功率遠低於安全標準!此外,基地台天線的位置和建築物的屏障作用,也能大幅降低電磁波的強度:
      天線背面的電磁波原本就低於天線正面數百至數千倍,再加上建物屏障作用,最少能降低1000倍以上,而小於1uW/cm2,根本可以完全忽略。
    天線所附著的建物後方或下方部位,因為不在電磁波傳遞方向上,其電磁波功率比天線正面低數百至數千倍。

    基地台電磁波 絕非游離輻射
    電磁波的能量和頻率高低成正比。當高能量電磁波把能量傳給其他物質時,有可能撞出該物質內原子、分子的電子,使物質內充滿帶電離子,這種效應稱為「游離化」,而造成這種游離化現象的電磁波就稱為游離輻射,包括伽瑪射線、X光、紫外線等。
      進入可見光頻率以內的電磁波均及紅外線均無法造成游離化效應,稱為非游離輻射。
      我們必須澄清一個觀念,輻射傷害是指游離輻射(游離輻射會與身體內的物質搶奪電荷,產生離子破壞生理組織),非游離輻射則不具游離化能力,不會產生有害人體的自由化離子,大量非游離電磁波只會造成溫熱效應,就如同做日光浴或站在燈泡下方一般,只要不在短期內傳太多能量給人體,生理組織就能加以調控,所以在安全範圍下長期接受非游離電磁波,並不會產生累積性傷害。
      大哥大的頻率介於電視、電台與微波爐之間,屬於非游離電磁波,不論是基地台或手機,都不會放出游離輻射波。

    「基地台電磁波」與人體健康

    孝章樓變電站電磁波檢測
    基地台會發射電磁波,但是不會釋放「游離輻射波」。基地台的電磁波是用來載送訊息,雖然頻率同屬微波,但所需強度極低,所以不會有熱效應,也不會影響環境溫度或傷害生物。
       電信總局在規範基地台電波發射功率的同時,已經考量國內住宅人口較國外密集等因素,因此訂定了國內基地台最大有效等向發射功率比美國更為嚴格,為美國規範值的一半。

    厝邊好鄰居--大哥大基地台
      市區基地台通常是呈長條狀具方向性的扇形天線(Sector Antenna),或者是圓柱形不具方向性的全方向式天線(Omnidirectional Antenna))。
      目前最普遍的大哥大網路系統為「蜂巢式系統」,顧名思義,每一個通話地區依照容量及領域的不同,被劃分為一塊塊小區域,整體看來,這些小區域像是蜂巢般被緊密地串連起來,當您撥電話時,電波訊號會直接傳送至每一小區域的基地台,透過基地台傳送至電信交換局,最後再傳送至受話者的電話中。
      在上述過程中,基地台扮演著關鍵性的角色,其數量,位置與通話品質息息相關,因此,如何正確及尚地架設基地台,一直是電信工程師們努力不懈的課題。

    國內大哥大基地台的安全性無虞
    孝章樓室一忠走廊電磁波檢測
    依據美國C95.1-1996規範,基地台到達附近區域的電訊強度必須小於550mW/cm2,而一般基地台為避免相鄰基地台間相互干擾,均刻意降低天線功率。以國內基地台為例,在大樓屋頂所產生的電訊強度約僅0.5mW/cm2左右,遠比安全規範之千分之一還低。
      經交通部電信總局委託研究單位測量結果顯示,國內基地台的最大電磁波輸出功率密度值為每平方公分0.000193毫瓦,遠低於美國的管制值0.55毫瓦,只有其三千分之一,因此國內基地台安全性相當高。
      事實上,我國民營基地台使用之行動電話系統係屬於歐洲規格,在歐洲先進國家均已普遍使用多年,近年來美國亦廣泛使用。這些先進國家對基地台設備向來有嚴格的檢查規範,而國內業者之基地台設備均自歐美進口,也都符合國際安全標準。

    國際組織對「電磁波」的相關評論
      世界健康組織(WHO)人體暴露於極低頻的電磁波中,不會產生生理影響。美國國會技術評核室(OTA)許多實驗結果發現,是否暴露在電磁波之下,對生物並無差異。
      英國國家放射線防護委員會(NRPB)無線電波沒有足夠的強度損傷人體基因組織(DNA),也不會引起癌症。
      美國南加州電力公司(SCE)一項針對36,221位員工所做的調查顯示:這些員工雖然比一般民眾接觸較多的電磁波,但整體受訪者在白血病、腦瘤、癌症的罹患機會上與一般民眾相同,並沒有比較高的傾向。
      美國聯邦通訊委員會(FCC)與電機電子工程學會(IEEE)這兩大組織在1990年代開始支援一些回顧性研究之後發表陳述:迄今尚無有力的科學證據能證明,常規使用的非游離電磁波會危害人體。
      美國勞工部(DOL)沒有確信的證據支持「暴露在家電器具、電力線及顯示幕等所釋出的極低頻電磁波下,會有害健康。」瑞典國家電力安全局(NESB0於1994年發表電磁場資訊小冊,說明尚無法證實磁場對人體是否有影響。

    國際組織對「基地台」的相關評論
      美國貝爾實驗室於1995年提出聲明:即便是在各種基地台功率最大極限下,基地台附近群眾所能到達的範圍內,其電磁波功率最少小於各種安全規範687倍以下,因此大眾根本不必擔心。
      美國國家研究評議會該組織統計十七年來五百多種不同主題後表示,沒有明顯可信的證據顯示基地台的電磁波會對週遭居民造成傷害,當地居民罹患癌症比例、婦女生產率、嬰兒成長狀況、學習能力與其他地區相較並無明顯差異。

    brain01 脑电波 β波,频率为每秒14-30次

    电磁波+脑电波

      
      电磁波+脑电波
      
      
      电磁波可大致分为:
      (1)无线电波——波长从几千米到0.3米左右,一般的电视和无线电广播的波段就是用这种波;
      
      (2)微波——波长从0.3米到10-3米,这些波多用在雷达或其它通讯系统;
      
      (3)红外线——波长从10-3米到7.8×10-7米;
      
      (4)可见光——这是人们所能感光的极狭窄的一个波段。波长从(78~3.8)×10-6厘米。光是原子或分子内的电子运动状态改变时所发出的电磁波。由于它是我们能够直接感受而察觉的电磁波极少的那一部分;
      
      (5)紫外线——波长从3×10-7米到6×10-10米。这些波产生的原因和光波类似,常常在放电时发出。由于它的能量和一般化学反应所牵涉的能量大小相当,因此紫外光的化学效应最强;
      
      (6)伦琴射线——这部分电磁波谱,波长从2×10-9米到6×10-12米。伦琴射线(X射线)是电原子的内层电子由一个能态跳至另一个能态时或电子在原子核电场内减速时所发出的;
      
      (7)γ射线——是波长从10-10~10-14米的电磁波。这种不可见的电磁波是从原子核内发出来的,放射性物质或原子核反应中常有这种辐射伴随着发出。γ射线的穿透力很强,对生物的破坏力很大。
      
      
      
      
      波段名称 波长范围 电磁波名称 频率范围 极长波 1 × 10 5 m 以上
      极低频( ELF )
      <3KHz
      超长波 1 × 10 5 ~10 4 m
      甚低频( VLF )
      3~30 KHz
      长 波 1 × 10 4 ~10 3 m
      低频( LF )
      30~300 KHz
      中 波 1 × 10 3 ~100m
      中频( MF )
      300~3000 KHz
      短 波 100~10m
      高频( HF )
      3~30 MHz
      超短波 米 波 10~1m
      甚高频( VHF )
      30~300 MHz
      分米波 10~10 -1 m
      特高频( UHF )
      300~3000 MHz
      微波 厘米波 10~1cm
      超高频( SHF )
      3~30 GHz
      毫米波 10~1mm
      极高频( EHF )
      30~300 GHz
      
      
      紫外线:在光谱的紫光区外侧的一种看不见的光线,特点:化学效应。一切高温物体发出的光都含紫外线,紫外线的应用:
      ①利用紫外线很容易使照相底片感光,用紫外线照相能分辨出细微的差别。
      ②紫外线有消毒杀菌的作用,紫外线频率比紫光频率高。伦琴射线:比紫外线频率还高的一种电磁波,又称x射线,有很强的穿透能力,例如:人体透视,检查金属部件是否有砂眼,裂纹。
      
      红外线:在光谱的红光区外侧一种看不见的光线。特点:热效应。温度高的物体发出红外线较多。红外线的应用:①利用红外线热作用加热,例如:红外线炉,红外线烤箱,红外线干燥器。
      ②远距离摄影,红外线遥感,军事上用的夜视仪。红外线的频率比红光还低。
      
      雷达概述
        雷达,英文单词radar中文译音,即radio Detection and ranging(无线电发现和测距)开头字母组成,早期的雷达就是用来发现目标和测量目标距离,那么雷达在什么时间、什么情况下出现的呢?
        二十世纪初,无线电技术的迅速发展,得力于人们对电磁波的不断深化认识,同时人们对电磁波的应用也不断扩大。电磁波帮助人类将通信距离伸展几千公里,是一个很好的例子。那么,能否利用电磁波实现对运动物体的远距离测量呢?人们从蝙蝠这一动物得到启发,它利用喉部发出的超声波,通过障碍物如虫、飞蛾的反射,再被耳朵接收,从而发现目标。
        利用电磁波探测目标是在二十世纪三十年代后期出现的。1934年,英国科学家R.W瓦特在对地球大气层进行无线电回波信号研究时,偶然发现荧光屏上有一串明亮的光点。经过反复试验,证实了这些光点正是实验室附近某幢大楼的反射回波信号。这个意外的发现,使他萌发了利用无线电回波探测移动目标的设想。1935年由瓦特和其他英国电气工程师研制的第一部用于探测飞机的雷达,虽然探测距离只有几十公里,但却开辟了利用电磁波探测和定位的道路。
        第二次世界大战却给刚刚诞生的雷达事业提供了良好的发展机会。大战开始阶段,雷达作为一种新型防御系统用来预报敌机的入侵,当时在德国飞机狂轰滥炸的威胁下,英国根据瓦特的建议在沿海地带建起了许多雷达站,用来预报来犯敌机的数量,航向和距离。这是雷达首次投入使用。而随后太平洋战争爆发,著名的"珍珠港"事件给美国了沉重的一课,使他们从轻视雷达神奇作用的迷梦中惊醒过来。1941年12月7日,美国夏威夷海军基地风平浪静,谁会想到一场著名的偷袭战的来临,而战前美国的雷达预警确有一群来犯的日本飞机。而美国人的猛醒又给日军以沉重的打击。在随后爆发的中途岛海战中,美国打了一个漂亮的报复仗,而在其中,雷达也帮了不少美国的忙。
        在战争中逐渐成长起来的雷达,不断接受战争的洗礼,因此越发变得成熟完美。战争后期,雷达与武器操纵系统结合在一起。也被炮兵、部队用于搜索自动跟踪和轰击目标,从而使火炮的命中率大为提高,逐渐广泛用于海、陆、空全面的防御和打击战中,发挥着举足轻重的作用。
        雷达不仅在国防军事方面有着重要的作用。同样,雷达的广泛应用不断渗透到国民经济的各个领域。如:应用雷达探测大气奥秘,进行天气灾害预报;跟踪导航对卫星进行跟踪和定轨。对飞船进行和控制,所有这些都是雷达电波为人类社会做出的卓越贡献。作为一名大学生,有必要对雷达的工作系统、原理作较为系统、全面的了解。
      2.雷达工作原理
      2.1雷达系统的组成
        雷达最主要的功能是发现目标和测定目标的位置,它的基本组成包括三个部分,发射机,接收机和无线外加显示器、定时器和控制系统等主要构件。
      脉冲发射机在定时器控制下
      周期地产生强大功率的矩形脉冲
      调制的高频电磁波,这个电磁波
      经系统和收发开关到天线后,按
      特定的方向向空间集束辐射。天
      线受控制系统操纵使波束在空间扫
      描,以便搜索目标,当目标受电磁 图1 雷达系统示意图
      波照射时,产生后向散射回波。这个回波经收集,通过无线开关送到接收机。接收机将收到的回波信号连同发射机工作时通过收发开头漏过来的一小部分主波信号,一起进行高频放大、中放、检波和视频放大、最后将视频脉冲信号加至显示器。
        雷达显示器在受到定时信号触发后开始工作,最初在显示器的荧光屏上出现的是经开线开头漏过来的主波信号。这也是电磁波离开天线时的起始信号。待回波信号到来时,经计算机处理,荧光屏上显示目标的位置及有关参数。
      最常用的雷达显示器采用极坐标的平面显示装置,屏幕的中心代表雷达站所处的位置,目标以亮点显示出来。亮点与圆心之间的距离即目标与雷达站之间的距离显示。它与正北的夹角就是目标的方位角,在实际的显示器中都有坐标的机械刻度和电子刻度;因此能直接从显示器上读出有关目标的系列参数。
      新型雷达采用电子计算机进行数据处理,内置相应支撑软件,计算机控制各部分协调工作达到方便、快捷,有的雷达还根据实际情况,由计算机控制工作频率或变更工作方式,以提高工作效率和精度。
      2.2电磁波定位和测速的原理和方法:
        如右图是电磁波定位的原理图,由发射机
      产生的一定调制的高频电磁波,经发射天线按
      特定方向辐射到空间,若电磁波在空间传播时
      遇到目标,一部分高频电磁波被反射回来,经
      过无线并且进入接收机,观察人员通过显示器 图2 雷达工作原理示意图
      在接收终端判断有无目标及目标的性质,且通过自动化处理,给出目标的系列参数,以明辩敌我,及时作出应对。
        一般情况下,我们只用一副即可完成电磁波的发射和接收,当有脉冲时,电磁波通过天线发射出去,这时可以利用触动开关或电子信号使接收机关闭,当发射机停止工作时,立即打开接收机,则可利用一副天线,而完成电磁波的发射和接收。
        现在我们假设空间传播介质是均匀的,则电磁波在这样的空间内传播我们认为是匀速的;沿直线的传播,电磁波离开天线到目标后,经反射又回到天线所用的时间为 ,设目标距离雷达站的距离为R,则电磁波在这段时间内所经历的路程为2R,根据路程的速度公式 ,则 ,其中c为电磁波的传播速度。
      这是雷达测量目标距离的基本公式,从式子我们可以看出,只要测出 即可实现对目标距离的测量,但在通常情况下,我们所要知道的是运动目标的系列参数,如径向速度,即目标向着或(背着)雷达站方向的速度。在雷达系统中,我们利用多卜勒效应来实现测速的。
        日常生活中有这样的体验,当鸣笛的火车由远处开来时,我们听到汽笛声由低到高;而当火车急弛而过时,我们则感觉到汽笛声由高到低,音调的高低是由声源振动的频率所决定的,但是在上述情况下,我们听到的音调变化完全是由声源与听者之间的相对运动所引起的,由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象,称为多卜勒效应,是奥地利物理学家多卜勒(J.C.Doppler)在1842年发现的。[2]
      多卜勒效应有如下三种情况:
      1.观察者静止而波源运动,则有: (1),其中 为观测频率, 为波源频率, 为波速, 为波源运动速度。
      2.波源静止而观察者运动,则有 (2),其中 为观察者运动速度。
      3.若观察者和波源在同一直线上运动 (3),其中 为波源运动速度。
      自从在音频范围内发现多卜勒效应以后,
      经过几十年研究,在1938年证明了在电磁
      波频域内同样有多卜勒效应,下面,我们结
      合有关电磁波的知识,研究利用多卜勒效应
      测量目标经向速度的方法。 图3 电磁波受移动目标的反射
      设雷达发射波长为 ,频率为 的一段电磁波,它在空间延伸的长度为D,而其中包含的波数为: .
        若这段电磁波自左向右传播时,在P点遇到了目标,则在前方A点的电磁波先反射回来,然后是后方的B点被反射,如果目标P是静止的,则这段电磁波与目标的接触时间为 ,且反射后AB点的距离也为D。
        若目标沿一定速度 向雷达站飞行,由运动学知识所知,目标与这段电磁波的接触时间变为 ,在这段时间内目标的前进距离为: ,也就是说B点受目标反射时将比A点反射时缩短了以上这段距离,在这段距离上电磁波传播时间为: ,也即接收这段电磁波的持续时间将缩短 。因而由于目标的径向运动,接收的持续时间将是
      
      因回波信号在AB间的波长数n不变,所以持续的减少必使频率 的增高:
      (4)
      由上式可知:
      (1)当 ,说明目标与雷达站无相对运动,回波频率等于发射信号的频率。
      (2)当 ,说明目标向雷达站运动,接收频率高于信号频率。
      (3)当 ,说明目标远离雷达站运动,接收频率低于信号频率。
      同样,也可直接从(1)、(2)式推导出雷达接收频率 与雷达发射频率 之间的关系:
      (同上式)
      通常,我们将相对运动所引起的接收频率与发射频率之间的差距称为多卜勒频率,用 表示
      (5)
      由于电磁波的传播速度远远大于相对运动的速度 ,即 ,则略将(7)式化简为:
      (6)
      从上式可以看出,只要测出信号的多卜勒频率 就可以求出目标运动的径向速度 :
      
      在雷达系统中,采用一种专门的设备,可直接测量出 ,经计算机处理,在显示器上可读出 。
      2.3雷达目标的散射截面积:
      雷达发射的电磁波遇到目标时,一部分能量被目标吸收转化为热,另一部分在目标表面产生感应电流而重新辐射,这种重新辐射的能量,有一小部分被接收天线截获,从而发现目标。
      为了便于发现目标,通常希望目标尽量少吸收发射的电磁波的能量,且有较强的将电磁波反射回雷达站的能力,然而这种能力不仅取决于雷达站发射电磁波时天线的定向性,电磁波的波长和极化方式,还与目标的几何形状、尺寸、表面性质以及电磁波的入射角等因素有关。
      通常情况下,我们用目标的雷达截面积来表示目标对电磁波的散射能力。它定义为:目标散射的电磁功率 与目标所在处入射的电磁波密度 之比,即 (㎡),具有面积的量纲。
      如果雷达站的发热功率是 ,发射无线的方向函数是 ,目标与雷达站间的距离为R,则在目标入射处电磁波的功率密度是:[3]
      (7)
      由 可知: 即目标的雷达截面积,它的等效形式是:
      [3]
      式中 为目标处散射波的电场强度, 为入射波的电场强度。
      2.4雷达方程:
        雷达最基本的功能是发现目标,因而雷达用户往往关心的是当雷达参数给定时,它究竟能发现多远处的目标,也即雷达的作用距离。
      设目标的雷达截面积为 ,入射电磁波在目标处的功率密度是 并假定目标把入射的电磁能量全部均匀散射到各个方向,由 可知,经目标散射回到雷达站的功率密度将是: 代入(9)式有:
      (8)
      根据无线理论,接收无线的有效面积 和无线增益 之间有关系 ,其中 为电磁波波长,因而天线接收到的回波功率是
      
      或者表示为R与一般参数之间的形式为:[3]
      (9)
      即雷达的作用距离。
      通常,雷达采用一副无线并作接收和发射,在微波波段,天线的效率接近于1,天线的增益系数与天线方向系数相等,于是在共用天线的雷达中,上式可简写成:
      (10)
      此即雷达方程,当接收的回波功率低于为发现目标所必需的最低输入功率 时,雷达就不能发现这个目标,也就是目标处于雷达的作用距离之外,当 取最小值时,R有最大值,也就是此时雷达的作用距离最大。
      [3] (11)
      所以雷达工作时,通常要求接收机将全部回波信号积累起来,以便提高接收灵敏度和更加有效地增加雷达的作用距离。
      2.5环境对电磁探测的影响:
        影响雷达探测的因素是多方面的,首先是地面反射的影响,有的情况下,地面反射波有可能使跟踪雷达把目标在地面以下的镜像误以为真实目标,从而造成错误的跟踪,有时也会影响到探测距离和精度,从而影响工作效果。其次,地表的弯曲也给探测目标的高度和仰角带来麻烦。还有,比如地球磁场,宇宙射线,雷电,建筑等都会给雷达的探测精度带来麻烦,这就要求在雷达开发中,尽显通过各种方法和手段减少这种不必要的影响。
      3.雷达的应用
        雷达在军事方面的应用主要用于预警系统,下面分析台湾独立分子所布置的雷达防御系统,借以说明其应用。
        台独分子借用美国支持,疯狂扩军备战,企图分裂祖国大陆,不断布置其防御系统,目前已基本构筑了一个由地面、空中和空间立体配制的近、中、远多种探测手段相结合的全方位立体预警系统,该系统的布置主要由三部分组成:
      1.地面防空雷达:在地面子系统中,用各种雷达构成一个雷达网,对覆盖的空域 进行严密的监视,如台独配置的大型返程相控阵预警雷达,能对1448公里之外的弹道导弹进行探测,可提供7-10分钟的预警时间;其低空监视雷达,主要对小型飞机的探测距离为80公里。可连续跟踪265个目标,主要承担低空补盲的作用;另外其配制的4R-3000防空雷达对雷达同为1平方米目标的探测距离为320公里。主要用于对空搜索构成了台军地面的防护网。而美国所实施的NMD导弹防御系统,其中也是由各种雷达所构成的雷达网,承担预警任务。
      2.机载雷达:即装在飞机上的各种雷达,就其基本功能来说与地面防空雷达,没什么区别,即将地面雷达搬到了空中。由于站得高,望得远,所以能为防空系统提供更多的预警时间,台军配有的低空监视雷达,主要由轻型车辆或运输机空运,实际上是对低空的扫描控制。另外如E-2T预警机,配有AN/APS-145雷达在正常情况下,它可以探测达至648公里以外的轰炸机,480公里以外的战斗机和258公里外的导弹。可同时跟踪、监视,显示2000个空中和海上目标,预警时间提高到25分钟。某些机载雷达还具有识别跟踪和瞄准目标的功能。
      3.预警卫星:台军空间通信技术刚刚起步,但由于地理位置,不在赤道地区,所以不能用一颗卫星持续不断地提供预警信息,需要发射多颗卫星才能使卫星轮流通过台湾上空完成预警任务。而美国的参与,则加快了预警卫星的发展。目前,空间预警也是各国所大力开发研究的一个方面。
        雷达在国民生活中也有重要的运用。如现代化的机场,利用雷达来管理和调度,航海雷达可以帮助避免触礁等;雷达也应用于天气和灾害预报;同时在宇宙航行方面,雷达已被用于测量火箭、人造卫星和飞船的位置,速度等轨道参数,也可以用来地下探测等,成为我们日常生活中不可缺少的组成部分。
      4.对雷达发展的展望
        针对雷达对抗技术的迅速发展,对未来雷达的发展也提出了新的要求。针对各种干扰,雷达可辐射频率不断改变的电磁波。使它们分别工作在不同波段,从而摆脱干扰信号的跟踪;也可以使用多部的发射机迫使干扰机在宽频带内分散干扰功能,从而降低干扰的能力。同时,我们期望使用多部发射机,使其发射的电磁波频率覆盖整个雷达工作频段,且随计算机控制不断跳变,抵制干扰,增强抗干扰能力。
        在更多的情况下,我们认为改变电磁波的频率,极化方向和调制方式是提高抗干扰能力的主要途径。也是当今电子战(EW)对新的雷达提出的要求。而目前研制的太空雷达,则是未来战场上的核心。与地基雷达相比,太空雷达可辨清地面0.3米至1米大小的物体,自动发现并跟踪地面上速度在每小时4公里至100公里的移动目标,拍摄地图,形成分辨率1米左右的地形数学图等地其雷达所不具备的功能。另外,太空雷达具有很强的抗干扰能力,它使用有源立向天线阵,这种天线能将工作频率限定在3cm的范围内,这样一来,敌方的电子或电磁干扰信号都显得无能为力了。如美国的发现1号太空雷达,可保证雷达工作的全时性。另外这种雷达造价低廉,物超所值,且能满足民用及商业方面的用途,将使各大国都投入到雷达系统侦察系统的研制中来。可以预言,新世纪的头10年,将成为制造观测地球的太空雷达的新起点,也是雷达技术的一个跳跃性发展,势必掀起一场雷达革命。
        雷达技术是随着科学技术,特别是电磁学的发展而发展起来的。同时,雷达技术本身也极大地丰富着电磁学的内容。电磁波的应用与空间技术的紧密结合,使传统的雷达技术别开生面,电子计算机的应用又使雷达技术锦上添花。可以预期,电磁波的各项新应用与其相互渗透,必将在雷达技术的百花园中不断争艳斗妍,并继续绽出各种鲜艳的奇葩。
      
      
      
      脑电波
      
      人身上都有磁场,但人思考的时候,磁场会发生改变,形成一种生物电流通过磁场,而形成的东西,我就把它定位为“脑电波”,通过能量守恒,我们思考的约用力,形成的电波也就越强,于是也就能解释为什么大量的脑力劳动会导致比体力劳动更大的饥饿感。
      
      生物电现象是生命活动的基本特征之一,各种生物均有电活动的表现,大如鲸鱼,小到细菌,都有或强或弱的生物电。其实,英文细胞(cell)一词也有电池的含义,无数的细胞就相当于一节节微型的小电池,是生物电的源泉。
      
      人体也同样广泛地存在着生物电现象,因为人体的各个组织器官都是由细胞组成的。对脑来说,脑细胞就是脑内一个个“微小的发电站”。
      
      我们的脑无时无刻不在产生脑电波。早在1857年,英国的一位青年生理科学工作者卡通(R.Caton)在兔脑和猴脑上记录到了脑电活动,并发表了“脑灰质电现象的研究”论文,但当时并没有引起重视。十五年后,贝克(A.Beck)再一次发表脑电波的论文,才掀起研究脑电现象的热潮,直至1924年德国的精神病学家贝格尔(H.Berger)才真正地记录到了人脑的脑电波,从此诞生了人的脑电图。
      
      这是一些自发的有节律的神经电活动,其频率变动范围在每秒1-30次之间,可划分为四个波段,即δ(1-3Hz)、θ(4-7Hz)、α(8-13Hz)、β(14-30Hz)。
      
      δ波,频率为每秒1-3次,当人在婴儿期或智力发育不成熟、成年人在极度疲劳和昏睡状态下,可出现这种波段。
      
      θ波,频率为每秒4-7次,成年人在意愿受到挫折和抑郁时以及精神病患者这种波极为显著。但此波为少年(10-17岁)的脑电图中的主要成分。
      
      α波,频率为每秒8-13次,平均数为10次左右,它是正常人脑电波的基本节律,如果没有外加的刺激,其频率是相当恒定的。人在清醒、安静并闭眼时该节律最为明显,睁开眼睛或接受其它刺激时,α波即刻消失。
      
      β波,频率为每秒14-30次,当精神紧张和情绪激动或亢奋时出现此波,当人从睡梦中惊醒时,原来的慢波节律可立即被该节律所替代。
      
      在人心情愉悦或静思冥想时,一直兴奋的β波、δ波或θ波此刻弱了下来,α波相对来说得到了强化,因为这种波形最接近右脑的脑电生物节律,于是人的灵感状态就出现了。
      
      脑电波的节律来源于丘脑,科学家曾将动物大脑皮层与丘脑的联系切断,脑电波的节律消失,而丘脑的电节律活动仍然保持着。如果用8-13Hz的电脉冲刺激丘脑,在大脑皮层可出现类似α节律的脑电波。因此,正常脑电波的维持需要大脑与丘脑都要完好无损。
      
      另外,大家都知道“电生磁,磁生电”的道理,也就是说,电场与磁场总是相伴而生的。既然人脑有生物电或电场的变化,那么肯定有磁场的存在。果然,科学家Cohen于1968年首次测到了脑磁场。由于人脑磁场比较微弱,加上地球磁场及其它磁场的干扰,必须有良好的磁屏蔽室和高灵敏度的测定仪才能测到。1971年,国外有人在磁屏蔽室内首次记录到了脑磁图。脑磁测量是一种无损伤的探测方法,可以确定不同的生理活动或心理状态下脑内产生兴奋性部位,无疑是检测脑疾病的有效方法之一。
      
      脑电波或脑电图是一种比较敏感的客观指标,不仅可以用于脑科学的基础理论研究,而且更重要的意义在于它的临床实践的应用,与人类的生命健康息息相关。

    温度梯度如同一种热力学力,给系统一个“推动”,引发了 ..... 检测与控制、环境保护等领域具有广阔的应用前景;脑电波

    “时间之箭”,热力学第二定律,熵的悖论!!_化学吧_百度贴吧

    tieba.baidu.com/p/13649926
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    如图14所示的实验里,温度梯度如同一种热力学力,给系统一个“推动”,引发了 ..... 检测与控制、环境保护等领域具有广阔的应用前景;脑电波、心电图(电位差振荡)等也 ...

    电子在石墨烯中能以接近光速的速度行进,是硅材料中电子移动速度的100倍 石墨烯具有獨特的線性電子能帶結構,其傳導電子是無質量的狄拉克費米子。電子在石墨烯中運動幾乎沒有阻力,遷移速度極快,是世上已知的電阻率最小的材料


    石墨烯具有獨特的線性電子能帶結構,其傳導電子是無質量的狄拉克費米子。電子在石墨烯中運動幾乎沒有阻力,遷移速度極快,是世上已知的電阻率最小的材料。因為這一特點,石墨烯被期待可用來發展更薄、導電速度更快的新一代電子元件或晶體管

    [转载]电子间相互作用是石墨烯具备超性能的关键
    已有 586 次阅读 2012-8-4 15:56 |个人分类:物联工程|系统分类:科研笔记|关键词:的 石墨烯 北京时间 美国科学家 物理学家
    电子间相互作用是石墨烯具备超性能的关键

        作为一种超薄、超强、超柔和超高速的导电体,石墨烯已被电子领域视为具有广泛应用的神奇材料。但要想充分发挥石墨烯的巨大潜力,科学家们首先必须了解石墨烯的超能力从何而来。据物理学家组织网8月3日(北京时间)报道,美国科学家已经朝这个方向迈出了最新一步:他们的研究首次证实,石墨烯中电子间的相互作用是石墨烯具有非凡性能的关键。相关论文已发表于《自然·物理学》杂志。
        电子在石墨烯中能以接近光速的速度行进,是硅材料中电子移动速度的100倍。由于石墨烯中的电子表现得与没有质量的极端相对论性自由电子一样,而科学家保罗·狄拉克在1928年用狄拉克方程描述了相对论性的电子行为,因此石墨烯中的电荷载体也被称为“狄拉克准粒子”,也就是无质量的狄拉克费米子。领导该研究的美国加州大学伯克利分校物理学家迈克尔·克罗米说:“石墨烯中的电子对带电杂质制造的库仑势作出的回应与传统的原子—杂质系统中非相对论性电子的表现应该极为不同。然而,直到现在,与这种极端相对论性系统有关的许多关键理论预言都还没有得到检验。”
        而他带领的研究小组首次在显微尺度上观测并记录了一个门控石墨烯设备中电子和空穴是如何对库伦势作出回应的,从而为“电子间相互作用是石墨烯非凡性能的关键”的理论提供了实验支撑。他们先在最常见的半导体基底二氧化硅衬底上放置氮化硼薄片,然后在薄片上沉积一个石墨烯层,由此制成一个门控设备,并利用超高真空扫描隧道显微镜(STM)对门控设备进行探测。同时,他们用显微镜的尖端自动操纵钴单体在石墨烯片上构建出钴三聚体来作为制造库伦势的带电杂质。
        超高真空扫描隧道显微镜通过记录石墨烯电子结构的空间变化,展示了电子和空穴对库伦势作出的回应。将实验中观测到的电子—空穴不对称与理论模拟相比较,研究小组不仅能够验证相关的理论预测,而且还发现石墨烯的介电常数足够小,而这正是电子间相互作用决定了石墨烯非凡性能的佐证,并且对于理解石墨烯中的电子如何移动非常重要。
        “有些研究人员认为,电子与电子的相互作用对石墨烯的内在性能而言并不重要,但另一些专家的观点相反。我们首次用图像展示了极端相对论性电子如何通过重新排列自己来对库仑势作出回应,证明了电子间相互作用是决定石墨烯性能的一个重要因素。”克罗米说。
        总编辑圈点:
        硬度超过钻石,却可像橡胶一样伸展;导电和导热性能超过任何铜线,重量却几乎为零;把20万片晶体薄膜叠加到一起,也只有一根头发丝那么厚——这就是石墨烯,一种堪称神奇的“超级材料”。而其超能力从何而来,文中所述或可看出端倪。制造“太空电梯”缆线、代替硅生产超级计算机、做人工光合作用高效催化剂……石墨烯的超能力或许远非如此,而了解了其“能量”由来,无疑会加速石墨烯潜力的发掘。
       

    Wednesday, August 28, 2013

    brain 热力学梯度 序参量(orderparameter)简称序参量,是描述与物质性质有关的有序化程度和伴随的对称性质。在连续相变上的主要特征是在相变点序参量连续地从零(无序)变到有序

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    2. 2013年1月30日 - 从这个意义上,我们认识到热力学梯度的更加广泛的含义。 ..... 不同的神經活動會產生不同的腦波模式,不同的腦波模式發出的腦電波振幅與頻率都 ...
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    动力学与生命

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      生物膜对物质具有高度选择性,它可以通过消耗ATP将离子逆浓度梯度运输。第五章演化判度自发改变,体系进入一个新的热力学状态,因此需要用热力学的稳定性理论 ...
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      生物電(一) - 中時部落格- 中時電子報

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      2008年3月11日 - 此外,科幻小說及電影裡,也充斥著利用人的腦電波進行各式各樣的想像 .... 因此,就算有離子隨其濃度梯度進出細胞膜,形成平衡電位,但以總數而 ...

       

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      Mind Control 心理控制(腦控) - 雅瀧/阿龍網路世界

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      11:腦電波掃描儀(人體攝像機/思維語言接收機) ...... 右圖)早期從事熱力學的研究,他的博士論文就是《論熱力學的第二定律》。1900年,普朗克為了克服經典物理學對黑體輻射現像解釋上的困難,創立了物質 ..... 梯度折射率光學(Gradient index optics

       

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  • 向量運算都是在正交變換之下協變的 (covariant),所以用向量運算所得的數量 (scalar) 都自然而然是不變的 (invariant) 。

    向量運算都是在正交變換之下協變的 (covariant),所以用向量運算所得的數量 (scalar) 都自然而然是不變的 (invariant) 。

    http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_05/page3.html

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    五、向量幾何和向量代數
    ——空間結構的系統代數化
    (第 2 頁) 項武義
     
    .作者任教於香港科技大學數學系
    對外搜尋關鍵字
     
    位移向量的運算律
    在上一節所定義的位移向量的加法運算,顯然具有下述熟悉的運算律: 交換律:      a+b=b+a 結合律:      (a+b)+c=a+(b+c) [註]:因為一般的變換組合都是滿足結合律的,而位移向量的加法是定義為平移的組合,當然也會滿足結合律。再者,由

    \begin{displaymath}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\end{displaymath}




    \begin{displaymath}\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\end{displaymath}


    亦可以直接驗証位移向量的加法結合律。 零和可逆性: 以 ${\bf0}$ 表示恆等變換這個特殊的平移,$(-{\bf a})$ 表示和 ${\bf a}$ 互逆的平移,則有

    \begin{displaymath}\mathbf{0+a=a+0=a} \quad \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{...
...ont \cH65}\z{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \cH13}}\end{displaymath}


    [註]:平移和[定理 5.2]的証明都和空間中的「平行性」 (parallelism) 以及平行四邊形定理密切相關的。而交換律 a + b = b + a 更可以想成是平行四邊形定理的向量表述形式。由此可見,往後我們每次運用向量加法交換律,其實也就是對于所研討的幾何問題用了一次平行四邊形定理。
       
     
    相似三角形定理和位移向量的倍積
    一個數 a 的整數倍 $n\cdot a$ 其實就是 na 相加的總和。同樣我們也自然地把 n 個(位移向量)a 相加的總和定義為倍積 $n\cdot \mathbf{a}$,亦即:

    \begin{displaymath}
n\cdot \mathbf{a}=\underbrace{\mathbf{a+a+\,\ldots\,+a}}_{ n...
... \quad
(n+1)\cdot \mathbf{a} = n\cdot \mathbf{a} + \mathbf{a}
\end{displaymath}


    再者 $(-n)\cdot \mathbf{a}=n\cdot (\mathbf{-a})=-(n\cdot \mathbf{a})$ 。 由上述位移向量的整數倍的定義,容易直接驗証下列運算律,即:
    (i)
    $m\cdot \mathbf{a}+n\cdot \mathbf{a}=(m+n)\cdot \mathbf{a}$
    (ii)
    $m\cdot (n\cdot \mathbf{a})=(mn)\cdot \mathbf{a}$
    (iii)
    $n\cdot (\mathbf{a+b})=n\cdot \mathbf{a}+n\cdot \mathbf{b}$
    對于任給整數 m, n 和任給位移向量 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 恆成立。 [習題:試用歸納法驗証 (i), (ii) 和 (iii)。] 設 $\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}\neq \mathbf{0}$,我們可以把 $\overline{AB}$n 等分,令 $\{B_i,1\leq i \leq (n-1)\}$ 為其等分點,則有

    \begin{displaymath}\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{B_1B_2}=\ldots =\overri...
...{n-1}B},\quad n\cdot \overrightarrow{AB_1}= \overrightarrow{AB}\end{displaymath}


    由此可見,我們應該把 $\frac{1}{n}\cdot \mathbf{a}$ 定義為 $\overrightarrow{AB_1}$,因為它是那個滿足 $n\cdot \mathbf{x}=\mathbf{a}$ 的唯一解。再者 $\frac{m}{n} \cdot \mathbf{a}$ 的定義應該就是

    \begin{displaymath}
\frac{m}{n} \cdot \mathbf{a} = m\cdot \bigg( \frac{1}{n}\cdot \mathbf{a}\bigg)=\frac{1}{n}(m\cdot \mathbf{a})
\end{displaymath}


    這樣,就可以把位移向量的倍積由整數倍擴張到有理數倍。而且上述擴張法是唯一能夠使得下列運算律依然成立者,即
    (i')
    $\displaystyle \frac{m}{n} \cdot \mathbf{a} + \displaystyle \frac{p}{q} \cdot \m...
...igg(\displaystyle \frac{m}{n} + \displaystyle \frac{p}{q}\bigg)\cdot \mathbf{a}$
    (ii')
    $\displaystyle \frac{m}{n} \cdot \bigg(\displaystyle \frac{p}{q} \cdot \mathbf{a...
...displaystyle \frac{m}{n} \cdot \displaystyle \frac{p}{q}\bigg) \cdot \mathbf{a}$
    (iii')
    $\displaystyle \frac{m}{n}\cdot (\mathbf{a+b})=\frac{m}{n} \cdot \mathbf{a} +\displaystyle \frac{m}{n} \cdot \mathbf{b}$
    最後一步,讓我們來分析一下位移向量的實數倍應該如何定義。設 λ 是一個非比實數(亦稱為無理數), $\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$ 。令 B* 是直線 AB 上那個唯一的點使得有向長度之比

    \begin{displaymath}\overrightarrow{AB^*}:\overrightarrow{AB}=\lambda\end{displaymath}


    $\lambda \cdot \mathbf{a}$ 應該定義為 $\overrightarrow{AB^*}$,因為它是唯一能夠使得下述比較原則成立者,即
    「設 λ 介于兩個有理數 $\displaystyle \frac{m}{n}$$\displaystyle \frac{p}{q}$ 之間而且 $\overrightarrow{AB'}=\displaystyle \frac{m}{n}\,\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AB''}=\displaystyle \frac{p}{q}\,\overrightarrow{AB}$, 則 B* 亦必介于 B', B'' 之間。」
    而運用上述比較原則和 Eudoxus 夾逼原理即可驗証上述所定義的實數倍的倍積也滿足同樣的運算律,即
    (i'')
    $\lambda \cdot \mathbf{a}+\mu \cdot \mathbf{a} =
(\lambda +\mu )\cdot \mathbf{a}$
    (ii'')
    $\lambda \cdot (\mu \cdot \mathbf{a}) =
(\lambda \mu)\cdot \mathbf{a}$
    (iii'')
    $\lambda \cdot (\mathbf{a+b}) = \lambda \cdot
\mathbf{a} +\lambda\cdot \mathbf{b}$
    對于任給實數 λ, μ 和位移向量 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 恆成立。 [註]:放大、縮小這種相似變換是空間中常見常用者,而平面幾何中的相似三角形定理則是關于相似變換的基本定理。在此,值得注意的是倍積分配律 $k\cdot (\mathbf{a+b})=k\cdot \mathbf{a}+k\cdot \mathbf{b}$ 的本質就是上述基本定理的代數化形式(參看 [圖 5-2])。 令 $\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}$,則 $\mathbf{a+b}=\overrightarrow{AC}$ 。如 [圖 5-2] 所示,

    \begin{displaymath}
\xy
\xyimport(5,5){\epsfxsize=4cm \epsfbox{fig0502.eps}}*\fr...
...+{B}
,(2.7,3.15)*+{C}
,(3.9,-0.3)*+{B'}
,(5.2,5.3)*+{C'}
\endxy\end{displaymath}


    [ 圖 5-2 ]
    $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A'B'C'$, A=A' 而且 k 是其相似比,則 $\overrightarrow{AB'}=k\cdot \mathbf{a}$, $\overrightarrow{B'C'}=k\cdot \mathbf{b}$, $\overrightarrow{A'C'}= k\cdot \overrightarrow{AC}=k\cdot (\mathbf{a+b})$
       
     
    勾股定理和位移向量的內積
    一個位移向量 $\overrightarrow{AB}=\tau(A,B)$ 含有方向和長度這樣兩種本質,我們將用符號 |a| 表示其長度,以 $\angle \mathbf{a,b} )$ 表示兩者的方向之差,亦即兩者之間的夾角。在平面幾何學的研討中,三角形是既精且簡的基本圖形,用向量來表達三角形,則它的三個有向邊就可以分別表達成 ${\bf a}$, ${\bf b}$${\bf a}+{\bf b}$ 。由平面幾何中所熟知的 S.S.S. 疊合條件可見夾角 $\angle {\bf a},{\bf b})$ 業已被其三邊邊長 $\vert{\bf a}\vert$, $\vert{\bf b}\vert$, $\vert{\bf a}+{\bf b}\vert$ 所唯一確定。再者,中國古算中的勾股定理(即古希臘的畢氏定理)則可以改寫成

    \begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \cH74} } \...
...\bf a}+{\bf b}\vert^2 =\vert{\bf a}\vert^2+\vert{\bf b}\vert^2
\end{displaymath}


    而在一般 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 並非互相垂直的情形則 $\vert{\bf a}+{\bf b}\vert^2-\vert{\bf a}\vert^2-\vert{\bf b}\vert^2 \neq 0$ 。例如當 ${\bf a}={\bf b}$ 的特殊情形,則有

    \begin{displaymath}\vert{\bf a}+{\bf b}\vert^2-\vert{\bf a}\vert^2-\vert{\bf b}\...
...ert{\bf a}\vert^2
-\vert{\bf a}\vert^2 =2\vert{\bf a}\vert^2 \end{displaymath}


    總之,對于任給兩個位移向量 ${\bf a}$, ${\bf b}$,下述函數
    \begin{displaymath}
f({\bf a},{\bf b})=\frac{1}{2}\big\{\vert{\bf a}+{\bf b}\vert^2
-\vert{\bf a}\vert^2-\vert{\bf b}\vert^2\big\}
\end{displaymath}(1)

    是一個值得研討的幾何量,例如 $f({\bf a},{\bf b})=0$ 乃是 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 互相垂直的充要條件,而 $f({\bf a},{\bf a})=\vert{\bf a}\vert^2$ 。所以它顯然是一個和 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 的長度、夾角都密切相關的幾何量。但是歸根究底 (5.1)-式所定義的幾何量是否真正有用、好用,還得要看它是否具有簡潔好用的優良性質。它顯然具有對稱性,即 $f({\bf a},{\bf b})=f({\bf b},{\bf a})$,而詳加研討的結果會發現它其實還具有下述簡潔易算的性質,即
    \begin{displaymath}
f({\bf a},{\bf b}+{\bf c})=f({\bf a},{\bf b})+f({\bf a},{\bf c})
\end{displaymath}(2)

    若以 $f({\bf a},{\bf b})$ 的定義(即 (5.1)-式)代入 (5.2)-式,即得所需証者,實乃下述含有三個任意向量的恆等式,亦即

    \begin{displaymath}
% latex2html id marker 2191\renewedcommand{arraystretch}{1...
...{array} \renewedcommand{arraystretch}{1}\leqno(\ref{eqn0502}')
\end{displaymath}


    要証明上述對于任給三個向量 $\{{\bf a},{\bf b},{\bf c}\}$ 都普遍成立的恆等式之前,自然要看一看是否有一種對于任給二個向量 $\{{\bf u},{\bf v}\}$ 都普遍成立的恆等式呢?若有,則一來肯定比較容易証明,二來說不定還可以把「後者」用來証明「前者」。要把上述想法付諸實踐,當然就得有一個「後者」究竟是怎麼樣的恆等式的「猜想」才能進而証明之,是不? 在此,我們自然要用上反推法去「按圖索驥」。亦即假想 (5.2)-式成立的話,應該會有那種對于任何一對向量都普遍成立的恆等式?若用 (5.2)-式反推,則有

    \begin{eqnarray*}
\vert{\bf u} + {\bf v}\vert^2 & = & f({\bf u}+{\bf v},{\bf u}+...
...t^2 + \vert{\bf v}\vert^2 -f({\bf u},{\bf v})-f({\bf v},{\bf u})
\end{eqnarray*}


    由此可見,應該有恆等式(稱之為廣義勾股定理)
    \begin{displaymath}
\vert{\bf u}+{\bf v}\vert^2+\vert{\bf u}-{\bf v}\vert^2 \equiv 2\vert{\bf u}\vert^2 +2\vert{\bf v}\vert^2
\end{displaymath}(3)

    請注意,上面這一小段反推法分析只是說明:假如 (5.2)-式恆成立,則 (5.3)-式也恆成立。而我們真正要做的是先用幾何直接証明 (5.3)-式恆成立,然後再設法用它來証明 (5.2)-式(亦即 (5.2')-式)恆成立。反推法的分析其實只是讓我們想到 (5.3)-式恆成立這個待証的猜想。在論証上述猜想之前,不妨先對幾個特別簡單的情形,看一看它是否成立,亦即在 ${\bf u}$, ${\bf v}$ 之間的夾角是 0, $\frac{\pi}{2}$ 和 π 這三種情形: 當 $\angle ({\bf u},{\bf v}) =0$ 時, $\vert{\bf u}\pm {\bf v}\vert=\big\vert\vert{\bf u}\vert\pm \vert{\bf v}\vert\big\vert$,所以

    \begin{displaymath}\vert{\bf u}+{\bf v}\vert^2+\vert{\bf u}-{\bf v}\vert^2 =\big...
...{\bf v}\vert\big)^2 =2\vert{\bf u}\vert^2+2\vert{\bf v}\vert^2 \end{displaymath}


    $\angle {\bf u},{\bf v}) =\pi$ 時, $\vert{\bf u}\pm {\bf v}\vert=\big\vert\vert{\bf u}\vert\mp \vert{\bf v}\vert\big\vert$,所以

    \begin{displaymath}\vert{\bf u}+{\bf v}\vert^2+\vert{\bf u}-{\bf v}\vert^2 =\big...
...{\bf v}\vert\big)^2 =2\vert{\bf u}\vert^2+2\vert{\bf v}\vert^2 \end{displaymath}


    ${\bf u}\perp {\bf v}$ 時,由勾股定理,即有

    \begin{displaymath}\renewedcommand{arraystretch}{1.3}\begin{array}{l}
\vert{\bf...
...vert{\bf v}\vert^2
\end{array}\renewedcommand{arraystretch}{1}\end{displaymath}


    上述對于三種簡單特例的驗証,其實也提供了下述把一般的情形的証明歸于上述業已 驗証的三種特殊情形來加以推導的思路,如 [圖 5-3] 所示,我們可以用垂直投影把 ${\bf v}$ 分解成 ${\bf v}_1+{\bf v}_2$,其中 ${\bf v}_2$${\bf u}$ 垂直 而 ${\bf v}_1$${\bf u}$ 同向(或反向)。

    \begin{displaymath}
\xy
\xyimport(5,5){\epsfysize=3cm \epsfbox{fig0503a.eps}}*\f...
...0.4,3.1)*+{{\bf u}-{\bf v}}
,(4,5.35)*+{{\bf u}+{\bf v}}
\endxy\end{displaymath}




    \begin{displaymath}
\xy
\xyimport(5,5){\epsfysize=3cm \epsfbox{fig0503b.eps}}*\f...
...(1.1,5.3)*+{{\bf u}-{\bf v}}
,(3,5.3)*+{{\bf u}+{\bf v}}
\endxy\end{displaymath}


    [ 圖 5-3 ]
    這樣,就可以把 (5.3)-式的証明歸于上述三種業已驗証的情形作如下推導:
    \begin{displaymath}
\renewedcommand{arraystretch}{1.2}\begin{array}{l}
\vert{\bf...
...vert{\bf v}\vert^2
\end{array}\renewedcommand{arraystretch}{1}\end{displaymath}(4)

    現在讓我們再用剛才証明的 (5.3)-式純代數地去推導 (5.2')-式的普遍成立: 令 ${\bf u}={\bf a}+{\bf b}$, ${\bf v}={\bf c}$,即有
    (i)
    $\vert{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}\vert^2 +\vert{\bf a}+{\bf b}-{\bf c}\vert^2
-2\vert{\bf a}+{\bf b}\vert^2 -2\vert{\bf c}\vert^2 =0$
    ${\bf u}={\bf a}$, ${\bf v}={\bf b}-{\bf c}$,即有
    (ii)
    $-\vert{\bf a}+{\bf b}-{\bf c}\vert^2 -\vert{\bf a}-{\bf b}+{\bf c}\vert^2
+2\vert{\bf a}\vert^2 +2\vert{\bf b}-{\bf c}\vert^2 =0$
    ${\bf u}={\bf a}+{\bf c}$, ${\bf v}={\bf b}$,即有
    (iii)
    $\vert{\bf a}-{\bf b}+{\bf c}\vert^2 +\vert{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}\vert^2
-2\vert{\bf a}+{\bf c}\vert^2 -2\vert{\bf b}\vert^2 =0$
    ${\bf u}={\bf b}$, ${\bf v}={\bf c}$,即有
    (iv)
    $-2\vert{\bf b}+{\bf c}\vert^2 -2\vert{\bf b}-{\bf c}\vert^2
+4\vert{\bf b}\vert^2 +4\vert{\bf c}\vert^2 =0$
    將上述四個恆等式相加後再遍乘以 $\frac{1}{2}$,即得恆等式 (5.2'),亦即 (5.2)-式普遍成立。 總結上面的討論,我們以勾股定理為基礎,証明幾何量 $f({\bf a},{\bf b})=
\frac{1}{2}\big\{\vert{\bf a}+{\bf b}\vert^2-\vert{\bf a}\vert^2-\vert{\bf b}\vert^2\big\}$ 具有 (5.2)-式所表達既簡且精的性質,它將是用向量去研討幾何廣泛有用的有力工具。在向量代數中,我們索興把它想成是一種由兩個向量求得一個數值的一種乘積,叫做向量的內積 (inner product) 並改用符號 ${\bf a}\cdot {\bf b}$ 表達之,亦即以

    \begin{displaymath}
{\bf a}\cdot {\bf b} =\frac{1}{2}\big\{\vert{\bf a}+{\bf b}\...
...^2-\vert{\bf a}\vert^2-\vert{\bf b}\vert^2 \big\} \leqno(5.1')
\end{displaymath}


    向量內積的定義式。這樣做的基本原由就是使得性質 (5.2) 可以直截了當地改寫成

    \begin{displaymath}
{\bf a}\cdot ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\cdot {\bf b}+{\bf a}\cdot {\bf c} \leqno(5.2'')
\end{displaymath}


    這種分配律的形式,使得它運用起來能夠更加得心應手。 【定義】:(向量內積)位移向量 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 的內積 $\mathbf{a\cdot b}$ 定義為

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot b}= \frac{1}{2}\big\{\vert\mathbf{a+b}\vert^2-\vert\mathbf{a}\vert^2- \vert\mathbf{b}\vert^2\big\}\end{displaymath}


    內積的運算律
    (i)
    $\mathbf{a\cdot b=b\cdot a}$
    (ii)
    $\mathbf{a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
    (iii)
    $(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot (k\mathbf{b})=k(\mathbf{a\cdot b})$
    [當 k 是整數或有理數時,(iii) 是 (i) 和 (ii) 的推論。當 k 是非比實數時,則可用倍積的比較原則和 Eudoxus 原理加以推導。] 內積的幾何意義
    (i)
    $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=\vert\mathbf{a}\vert^2$
    (ii)
    $\mathbf{a\cdot b}=0 \Leftrightarrow \mathbf{a\perp b}$ (亦即 $\angle \mathbf{a,b})=\pm \displaystyle \frac{\pi}{2}$
    (iii)
    $\angle \mathbf{a,b})=\theta$ 的一般情形

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot b}=\vert\mathbf{a}\vert\cdot \vert\mathbf{b}\vert\cos\theta \end{displaymath}


    [ (iii) 的証明] 先驗証 $\theta = 0$$\theta = \pi$ 這兩種特殊情形。 若 $\theta = 0$,則有 |a+b|=|a|+|b| 。所以

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot b}=\frac{1}{2}\big\{(\vert\mathbf{a}\vert+\ver...
...{b}\vert=\vert\mathbf{a}\vert\cdot \vert\mathbf{b}\vert \cos 0 \end{displaymath}


    $\theta = \pi$,則有 $\vert\mathbf{a+b}\vert=\Big\vert \vert\mathbf{a}\vert-\vert\mathbf{b}\vert\Big\vert$,所以

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot b}=\frac{1}{2}\big\{(\vert\mathbf{a}\vert-\ver...
...\vert = \vert\mathbf{a}\vert\cdot \vert\mathbf{b}\vert \cos\pi \end{displaymath}


    在一般的情形,可將 b 分解成

    \begin{displaymath}
\mathbf{b} = \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2, \quad
\mathbf{b}_1 \perp \mathbf{b}_2
\end{displaymath}


    $\angle \mathbf{a},\mathbf{b}_1)=0$ 或 π,則有

    \begin{eqnarray*}
\mathbf{a\cdot b} &=& \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}_1+\mathbf{b}...
...athbf{b}_1=\pm \vert\mathbf{a}\vert\cdot \vert\mathbf{b}_1\vert
\end{eqnarray*}


    $\pm \vert\mathbf{b}_1\vert=\vert\mathbf{b}\vert\cos\theta$ 。 □ [註]:上述公式提供了用內積表達兩個非零向量的夾角餘弦的公式,即

    \begin{displaymath}
\cos\theta = \frac{\mathbf{a\cdot b}}{\vert\mathbf{a}\vert\c...
...t b}}{\sqrt{ \mathbf{a\cdot a} } \sqrt{ \mathbf{b \cdot b} } }
\end{displaymath}


    其實,上述公式就是平面幾何中熟悉的餘弦定律。由此可見,長度和角度都可以用向量內積去有效計算,而內積本身又具有一套十分簡明有力的運算律,特別是分配律。在本質上,內積分配律乃是勾股定理的提升和精簡之所得,也可以說是勾股定理代數化的最佳形式。
       
     
    面積的勾股定理和位移向量的 × -積
    四面體是三角形的三維推廣。而具有三個棱正交于一點的四面體則是直角三角形的推廣,我們將稱之為正交四面體,如 [圖 5-4] 所示:

    \begin{displaymath}
\xy
\xyimport(5,5){\epsfxsize=4cm \epsfbox{fig0504.eps}}*\fr...
...ntfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cH199} 5--4 ]}}
\endxy\end{displaymath}


    面積的勾股定理: 設 $\overline{OA}$, $\overline{OB}$, $\overline{OC}$ 正交于 O,它共交于 O 點的三個三角形 $\bigtriangleup OAB$, $\bigtriangleup OBC$, $\bigtriangleup OCA$ 互相垂直,而 $\bigtriangleup ABC$ 則是和其他三個面斜交者。是否也有類似于勾股定理的公式說明上述正交四面體的四個面積之間的關係呢?例如斜面面積的平方是否恆等于其他三個面的面積平方之和呢?這就是我們接著所要論証者。 【定理 5.3】:(面積的勾股定理)一個正交四面體的斜面面積的平方恆等于其他三個面的面積平方之和,亦即如 [圖 5-4] 所示

    \begin{displaymath}(\bigtriangleup ABC)^2=(\bigtriangleup OAB)^2 + (\bigtriangleup OBC)^2+(\bigtriangleup OCA)^2\end{displaymath}


    証明:令正交四面體的三個正交于 O 點的棱長分別是 $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$,則由勾股定理即得其斜面 $\bigtriangleup ABC$ 的三邊邊長分別是

    \begin{displaymath}a=\sqrt{\ell_2^2+\ell_3^2}\,,\;\; b=\sqrt{\ell_1^2+\ell_3^2}\, ,\;\;
c=\sqrt{\ell_1^2+\ell_2^2}\end{displaymath}


    易見其三個互相正交的三角形的面積分別為

    \begin{displaymath}\bigtriangleup OAB=\frac{1}{2}\ell_1\ell_2,\;\;
\bigtriangl...
...}\ell_2\ell_3,\;\;
\bigtriangleup OCA=\frac{1}{2}\ell_3\ell_1 \end{displaymath}


    再者,由平面幾何中的秦九韶公式,其斜面面積平方是

    \begin{eqnarray*}
&& (\bigtriangleup ABC)^2 \\
&=& \frac{1}{16}\big\{2(a^2b^2+b...
...triangleup OAB)^2 +(\bigtriangleup OBC)^2+(\bigtriangleup OCA)^2
\end{eqnarray*}


    □ 在坐標幾何中,勾股定理的重要推論是下述距離公式

    \begin{displaymath}\big\vert\overline{P_1P_2}\big\vert^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\end{displaymath}


    其幾何意義是:空間中直線段 $\overline{P_1P_2}$ 的長度平方等于它在三個互相垂直的直線上的各別垂直投影的長度平方之和。再者,設向量 ab 在三個坐標軸上的垂直投影的有向長度分別是 (a1,a2,a3)(b1,b2,b3),則有內積坐標計算公式

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\end{displaymath}


    a=b 時,即有

    \begin{displaymath}\vert\mathbf{a}\vert^2=\mathbf{a\cdot a}=a_1^2+a_2^2+a_3^2\end{displaymath}


    由此可見上述內積公式實乃距離公式的推廣。 [定理 5.3]的幾何意義是:空間中一片平面的面積平方等于它在三個互相垂直的平面(例如一個正交坐標系的三個坐標面)上的垂直投影的面積平方之和。由此可以猜想到,我們也應該試著將面積的勾股定理的本質進一步轉化為在空間中一片平面和另一片平面之間的「內積」的適當定義。 假如我們把一個有向線段想成一種有向的 1-維基本幾何事物,定向平行四邊形 $/\!/(\mathbf{a,b})$ 想成一種有向的 2-維基本幾何事物,就自然會想到是否也可以定義一種 $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c,d})$ 之間的「內積」使得

    \begin{displaymath}/\!/(\mathbf{a,b}) \cdot /\!/(\mathbf{a,b})=/\!/(\mathbf{a,b}...
...t \cH19}\z{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH106}} \end{displaymath}


    而且 $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c,d})$ 的「內積」也可以有類似于上述的坐標計算公式。 讓我們先來看看 1-維的情形。設 $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{CD}$ 共線,則兩者的內積就等于它們的有向長度的乘積,即:

    \begin{displaymath}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD} = \left\{ \begin...
...mily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cH1}} \end{array} \right. \end{displaymath}


    $\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{CD}$ 不共線,令 $\overrightarrow{C'D'}$ $\overrightarrow{CD}$AB 上的垂直投影,則

    \begin{displaymath}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarro...
...ctfont \cH9}{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cH1}} \end{displaymath}


    現在讓我們試著對于 $/\!/(\mathbf{a,b})$ $/\!/(\mathbf{c,d})$ 的內積作類同的定義如下,即
    (i)
    $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c,d})$ 共面時,定義其內積為兩者的定向面積的乘積;
    (ii)
    $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c,d})$ 不共面時,則定義其內積為 $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c',d'})$ 的定向面積的乘積,其中 $/\!/(\mathbf{c',d'})$ 乃是 $/\!/(\mathbf{c,d})$$/\!/(\mathbf{a,b})$ 所在平面上的垂直投影。
    且以符號 $<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{c,d})\!\!>$ 表示上面所定義的量。 【定理 5.4】:

    \begin{displaymath}<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{c,d})\!\!>= \left\vert \...
...\mathbf{a\cdot d} && \mathbf{b\cdot d} \end{array} \right\vert \end{displaymath}


    証明:(i) 設 $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c,d})$ 共在一個平面 Π 之內。在 Π 上取定一組向量 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\},\; \vert\mathbf{e}_1\vert=\vert\mathbf{e}_2\vert=1,\; \angle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)=\displaystyle \frac{\pi}{2}$。令 $\mathbf{a\cdot e}_i=a_i,\; \mathbf{b\cdot e}_i=b_i,\; \mathbf{c\cdot e}_i=c_i,\; \mathbf{d\cdot e}_i=d_i,\; i=1,2$,則由上述定義和行列式乘法公式即有

    \begin{eqnarray*}
<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{c,d})\!\!> &=& \left\vert...
... \mathbf{a\cdot d} && \mathbf{b\cdot d} \end{array} \right\vert
\end{eqnarray*}


    (ii) 設 $/\!/(\mathbf{a,b})$$/\!/(\mathbf{c,d})$ 不共面,而 $/\!/(\mathbf{c',d'})$ 則是 $/\!/(\mathbf{c,d})$ 垂直投影到 $/\!/(\mathbf{a,b})$ 的所在平面 Π 的影象,由定義和上述所已証者,即有

    \begin{eqnarray*}
<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{c,d})\!\!> &=& <\!\!/\!/(...
...mathbf{a\cdot d'} && \mathbf{b\cdot d'} \end{array} \right\vert
\end{eqnarray*}


    再者,c-c'd-d' 乃是垂直于 Π 的向量,而 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 則是位于 Π 之內者,所以

    \begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
\mathbf{a\cdot (c-c')}=0, &\quad& \mathbf...
...a\cdot (d-d')}=0, &\quad& \mathbf{b\cdot (d-d')}=0
\end{array}\end{displaymath}


    亦即

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot c'=a\cdot c,\quad b\cdot c'=b\cdot c,\quad a\cdot d'=a\cdot d,\quad b\cdot d'=b\cdot d}\end{displaymath}


    即已証得

    \begin{displaymath}<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{c,d})\!\!>= \left\vert \...
...\mathbf{a\cdot d} && \mathbf{b\cdot d} \end{array} \right\vert \end{displaymath}


    □ [定理 5.4]的公式充分顯示這種內積的 2-維推廣肯定就是我們所想要者,例如

    \begin{eqnarray*}
<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{a,b})\!\!> &=& \left\vert...
...nt \cH19}\z{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH106}}
\end{eqnarray*}


    再者,設 e1,e2,e3 分別是一個取定正交坐標系在 x,y,z 軸上的單位向量。令

    \begin{eqnarray*}
\mathbf{a}&=&a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2+a_3\mathbf{e}_3 \...
...\
\mathbf{d}&=&d_1\mathbf{e}_1+d_2\mathbf{e}_2+d_3\mathbf{e}_3
\end{eqnarray*}


    不難用直接計算去驗証:

    \begin{eqnarray*}
& &<\!\!/\!/(\mathbf{a,b}),/\!/(\mathbf{c,d})\!\!> \\
&=&
\le...
...dot <\!\!/\!/(\mathbf{c,d}),/\!/(\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_1)\!\!>
\end{eqnarray*}


    向量的 ×-積: 在一個已經定向的空間之中(通常約定以右手型為所選之正向),我們可以用一個唯一的向量 (a x b) 去充分表達空間中一個(定向)平行四邊形 $/\!/(\mathbf{a,b})$ 的方向和面積,如 [圖 5-5] 所示。它是一個和 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 皆為正交,長度等于 $/\!/(\mathbf{a,b})$ 的面積而 (a,b,a x b) 是右手型者,稱之為 ${\bf a}$, ${\bf b}$ 的 ×-積。

    \begin{displaymath}
\xy
\xyimport(5,5){\epsfxsize=4cm \epsfbox{fig0505.eps}}*\fr...
...
,(1,2.4)*+{{\bf b}}
,(-0.7,4.6)*+{{\bf a}\times{\bf b}}
\endxy\end{displaymath}


    [ 圖 5-5 ]
    由上述 ×-積的定義易見

    a x b=-(b x a)


    而且對于任給 c

    \begin{displaymath}(\mathbf{a\times b})\cdot \mathbf{c}=V(\mathbf{a,b,c})\end{displaymath}


    其實上式就是平行六面體的體積等于底面積乘高的向量表達式。 【定理 5.5】:向量的 ×-積滿足下列運算律:
    (i)
    a x b=-(b x a)
    (ii)
    (ka) x b=a x (kb)=k(a x b)
    (iii)
    $(\mathbf{a\times b})\cdot \mathbf{c}= \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})
=V({\bf a},{\bf b},{\bf c})$
    (iv)
    a x (b1+b2)=a x b1+ a x b2
    (v)
    $\mathbf{(a\times b)\cdot (c\times d)}= \left\vert \begin{array}{lll} \mathbf{a\...
...{b\cdot c} \\
\mathbf{a\cdot d} && \mathbf{b\cdot d} \end{array} \right\vert $
    (vi)
    $\mathbf{(a\times b)\times c - a\times (b\times c) = (a\cdot b)c-(b\cdot c)a} $
    証明
    (ii)
    $[(k\mathbf{a})\times \mathbf{b}-k(\mathbf{a\times b})]\cdot \mathbf{c} = V(k\mathbf{a,b,c})-kV(\mathbf{a,b,c})=0, \quad \forall \mathbf{c}$
    $\Rightarrow k\mathbf{a\times b}-k(\mathbf{a\times b)=0}$
    (iii)
    $(\mathbf{a\times b})\cdot \mathbf{c}=V(\mathbf{a,b,c})$, $\mathbf{a\cdot (b\times c)} = \mathbf{(b\times c)\cdot a}=V(\mathbf{b,c,a})= V(\mathbf{a,b,c})$
    (iv)
    $[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2)-\mathbf{a}\times \mathbf{b}_1-\mathbf{a}\times \mathbf{b}_2]\cdot \mathbf{c} $ $\quad = V(\mathbf{a},\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2,\mathbf{c}) -V(\mathbf{a},\mathb...
...\mathbf{c}) -V(\mathbf{a},\mathbf{b}_2,\mathbf{c}) =0, \quad \forall \mathbf{c}$
    $\Rightarrow \mathbf{a}\times(\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2) -\mathbf{a}\times\mathbf{b}_1-\mathbf{a}\times\mathbf{b}_2=\mathbf{0}$

    (v)
    乃是[定理 5.4]和$\,\times$-積定義的直接結合。
    (vi)
    $\mathbf{[(a\times b)\times c-a\times (b\times c)-(a\cdot b)c + (b\cdot c)a]\cdot d}$ $=[\mathbf{(a\times b)\times c]\cdot d-[a\times(b\times c)]\cdot d- (a\cdot b)(c\cdot d)+(b\cdot c)(a\cdot d)}$ $=\mathbf{(a\times b)\cdot (c\times d)-(d\times a)\cdot (b\times c)-(a\cdot b)(c\cdot d)+(b\cdot c)(a\cdot d)}$ $=\left\vert \begin{array}{lll} \mathbf{a\cdot c} && \mathbf{b\cdot c} \\
\mat...
... \end{array} \right\vert
- \mathbf{(a\cdot b)(c\cdot d)+(b\cdot c)(a\cdot d)}$ $=0 \quad \forall \mathbf{d}$ $\Rightarrow \mathbf{(a\times b)\times c-a\times (b\times c)- (a\cdot b)c + (b\cdot c)a =0}$




    四元數——時空的代數: 時間是一維的,空間是三維的,所以時空組合的總體是四維的,亦即

    \begin{displaymath}\mathbb{R} \oplus \mathfrak{U} = \{(t,\mathbf{a});\; t\in \mathbb{R},\; \mathbf{a}\in \mathfrak{U}\}\end{displaymath}


    Hamilton 的創見賦予時空一種既自然又美妙的代數結構,這也就是著名的四元數 (quaternions)。其加、乘運算的定義如下:

    \begin{eqnarray*}
(t_1,\mathbf{a}_1)+(t_2,\mathbf{a}_2) &=& (t_1+t_2,\;\mathbf{a...
...1\mathbf{a}_2+t_2\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_1\times \mathbf{a}_2)
\end{eqnarray*}


    上述加、乘運算除了乘法的交換律之外,滿足所有其他各種慣用的運算律,例如加法的交換律和結合律,加、乘結合的分配律和乘法的結合律等等。其中驗起來比較繁複的是乘法結合律,茲証之如下:運用分配律,可以把所要驗証的要點歸結到

    \begin{displaymath}[(0,\mathbf{a})\cdot (0,\mathbf{b})]\cdot (0,\mathbf{c}) \sta...
...}{=}
(0,\mathbf{a})\cdot [(0,\mathbf{b})\cdot (0,\mathbf{c})] \end{displaymath}


    這個最不平凡的情形。由前述四元數的定義,即有

    \begin{eqnarray*}[(0,\mathbf{a})\cdot (0,\mathbf{b})]\cdot (0,\mathbf{c}) &=& (-...
...}),\; -\mathbf{(b\cdot c)a} + \mathbf{a\times (b\times c)} \big)
\end{eqnarray*}


    由此可見,用[定理 5.5]的公式 (vi) 即有

    \begin{displaymath}[(0,\mathbf{a})\cdot (0,\mathbf{b})]\cdot (0,\mathbf{c}) -(0,...
...cdot [(0,\mathbf{b})\cdot (0,\mathbf{c})]
\equiv (0,\mathbf{0})\end{displaymath}


    再者,我們也可以類同于複數 (complex number) 的情形定義共軛和絕對值,即

    \begin{eqnarray*}
\overline{(t,\mathbf{a})}&=& (t,-\mathbf{a}) \\
\big\vert(t,\mathbf{a})\big\vert &=& \sqrt{t^2+\mathbf{a\cdot a}}
\end{eqnarray*}


    則有

    \begin{eqnarray*}
(t,\mathbf{a})\cdot \overline{(t,\mathbf{a})} &=& (t^2+\mathbf...
...rac{1}{\big\vert(t,\mathbf{a})\big\vert^2}\cdot (t,-\mathbf{a})
\end{eqnarray*}


    總之,四元數乃是研討時空的精簡有效的數學工具,它也是研究學習電磁學、狹義相對論的基本工具。
       

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    五、向量幾何和向量代數
    ——空間結構的系統代數化
    (第 3 頁) 項武義
     
    .作者任教於香港科技大學數學系
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    結語
    總結上述對于空間的保長變換和向量代數的討論,我們再提綱絜領地把所得的結果和認識作一概括性的系統列述:
    1.
    反射對稱是空間中最為簡單的保長變換,而空間的所有其他保長變換又都可以由它們的組合而得之,所以它們又是最為基本者。再者,等腰三角形是一種最為初等簡樸的反射對稱圖形;在古希臘的幾何學中,能夠僅用等腰三角形的各種特徵性質之間的邏輯轉換來分析空間對稱性在幾何學中的各種各樣反映,究其原因其實也就是反射對稱性的組合,已經含蓋了保長變換的全體這個基本事實。
    2.
    將兩個反射對稱 $\{\mathfrak{R}_{\Pi_1}$, $\mathfrak{R}_{\Pi_2}\}$ 加以組合,其所得的保長變換以 $\Pi_1$, $\Pi_2$ 是否相交而分成兩種:當 $\Pi_1\cap\Pi_2=\phi$$\mathfrak{R}_{\Pi_2}\circ\mathfrak{R}_{\Pi_1}$ 是一個平移,它把空間每一點在 $\Pi_1$, $\Pi_2$ 的公垂線上由 $\Pi_1$$\Pi_2$ 的方向向前移動 $2d(\Pi_1,\Pi_2)$;當 $\Pi_1\cap\Pi_2=\ell$ 時, $\mathfrak{R}_{\Pi_2}\circ\mathfrak{R}_{\Pi_1}$ 保持其交線 $\ell$ 上的每一點固定不動,而其他各點 P 則在其 $\ell$ 的垂面 $\Pi(P)$ 中以 $\Pi(P)\cap \ell$ 為中心作 $2\angle \Pi_1,\Pi_2)$ 的旋轉。
    3.
    兩個平移 $\tau_1$, $\tau_2$ 的組合還是一個平移,而且 $\tau_1\circ\tau_2 = \tau_2\circ\tau_1$ 。用群的術語來說,空間所有平移組成的是保長變換群的一個正規子群;從幾何的本質來看,一個平移把空間每一點都作了一個同向等距的位置移動,所以它是位移的自然「量化」,稱之為位移向量。總之,平移位移向量是同一事物的兩種觀點;從變換觀點來看叫做平移,從幾何的本質來看則是位移向量,這是同一事物的兩面觀,各有所長。我們用前者來定義其加法和倍積,但是在討論長度、角度、面積、體積等等的幾何內含時,則自要採取位移、有向線段這種幾何的觀點。在第二節中的討論中,這種觀點的自然轉換是十分明顯的。
    4.
    位置是空間最為基本原始的概念,由此可見位移向量理所當然地是空間的最為基本原始的幾何量。第二節中所討論的向量代數基礎理論也就是要把其他各種各樣基本幾何量歸結到位移向量去表達、計算;由此自然地產生了內積和 ×-積運算,但是這種順理成章、返璞歸真的探索的成果,不但求得用位移向量去表達、計算其他基本幾何量的精而簡的公式,而且還把定量幾何學中的基本定理如相似三角形定理、勾股定理和面積勾股定理等等有系統地轉換成向量代數中的運算律! 例如:
    (i)
    向量加法的定義(即[定理 5.1])植基于空間的平直性(亦即平行性或三角形內角和恆為平角)。在古典幾何學中關于平行的基本定理就是平行四邊形的各種特徵性質之間的轉換,而平行四邊形定理所轉換而得者就是向量加法的交換律
    (ii)
    相似放大縮小是(歐氏)空間的特色,這也就是向量的倍積的來源。而關于相似形的基本定理——相似三角形定理——用倍積來表達就是倍積分配律

    \begin{displaymath}k\cdot(\mathbf{a+b})=k\mathbf{a}+k\mathbf{b}\end{displaymath}


    (iii)
    關于長度和角度的基本定理——勾股定理及廣義勾股定理——經過一番分析和整理之後又可以簡化、優化而成為簡單易用的內積分配律

    \begin{displaymath}\mathbf{a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}\end{displaymath}


    (iv)
    [定理 5.4] 和 [定理 5.5] 所總結的 ×-積運算律乃是空間 幾何學中關于面積、體積、兩面角等等的基本定理是也!但是這些基本定理在古希臘時期尚未能發現。
    由上述分析可見向量運算不僅提供了表達計算各種各樣基本幾何量的有效能算的代數公式,而向量運算律本身其實就是一套完美精簡的幾何基本定理,且其中重要的都是分配律或多線性函數這種簡單易用的形式表達。由此可見,向量代數乃是空間結構的全面而且美妙的代數,而其運算律則是空間本質(亦即基本定理所表達者)的一種至精至簡的表達。
    5.
    空間的基本結構在于任給兩點 A, B 之間的唯一最短通路 ——直線段 $\overline{AB}$,而空間的基本本質主要的就是對稱性和平直性。在古希臘幾何學中,用疊合公理來描述對稱性,而用平行公理來描述平直性;在現代的幾何學中,我們把空間的對稱性的總體賦予自然而且全局的結構,稱之為保長變換群,而其中的平移子群則系統表述了空間的平直性,從而把空間幾何學的研討提升到保長變換群的不變量理論。再者,向量運算都是在正交變換之下協變的 (covariant),所以用向量運算所得的數量 (scalar) 都自然而然是不變的 (invariant) 。
    總結上述五點分析,我們認識到用向量代數研討幾何可以寓不變量理論于向量運算之中,而空間的基本性質和基本定理的運用則轉化為其運算律的系統運用。這就是學習向量幾何,並用以探索大自然所 要達到的境界!