http://wenku.baidu.com/view/8b43481755270722192ef742.html
幂级数的应用
将函数展开成幂级数，
从形式上看，
好像把问题复杂化了，
但是由于幂级数
的前
n
项部分和是
x
的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代
替某个函数，
实际上为函数的多项式逼近创造了条件。
正是由于这个原因，
函数
的幂级数展开式有着应泛的应用。
一、
函数值的近似计算
利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，
函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．
例１
计算常数
e
，精确到小数第四位．
解
利用
0
!
n
n
x
n
x
e
，令
1
x
，有
!
3
1
!
2
1
1
1
!
1
0
n
n
e
．
为达到这个精确度，可观察余项
)!
1
)(
1
(
1
1
1
1
!
1
1
1
1
!
1
)
2
)(
1
(
1
1
1
1
!
1
)!
1
(
1
!
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
r
n
．
若取
8
n
，则
4
8
10
1
!
7
7
1
r
，故计算出
7183
.
2
!
8
1
!
3
1
!
2
1
1
1
e
．
例
2
计算
5
245
精确到小数第四位．
解
因为
5
1
5
5
5
5
5
5
5
3
2
1
3
3
2
1
3
2
3
2
243
245
．
令
5
3
2
x
，
5
1
，得出
10
2
5
5
3
4
5
!
2
4
3
2
5
1
1
3
245
由于这是一个交错级数，故其误差可利用
1
|
|
n
n
u
r
确定．取
2
n
，这时，
4
10
2
3
2
10
2
1
3
5
2
3
|
|
r
，
故得出
0049
.
3
3
2
5
1
1
3
245
5
5
．
例
3
计算
2
ln
的值，精确到小数第四位．
解
如果利用
)
1
ln(
x
的展开式：
4
1
3
1
2
1
1
)
1
1
ln(
2
ln
，
理论上可计算
2
ln
，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第
1
n
项的值
1
1
n
．
欲使
4
10
1
1
1
|
|
n
r
n
，
n
至少要取
9999
项，这太麻烦了，需要去
掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．
用
4
3
2
)
1
l
n
(
4
3
2
x
x
x
x
x
减去
4
3
2
)
1
l
n
(
4
3
2
x
x
x
x
x
其差是
5
3
2
1
1
ln
5
3
x
x
x
x
x
．
令
2
1
1
x
x
，解出
3
1
x
代入上式，得
1
2
5
3
3
1
1
2
1
3
1
5
1
3
1
3
1
3
1
2
2
ln
n
n
，
其误差
1
2
2
1
2
4
2
1
2
3
2
1
2
3
)
1
2
(
4
1
3
1
1
1
3
)
1
2
(
2
3
1
3
1
1
3
)
1
2
(
2
3
1
3
2
1
3
1
1
2
1
2
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
r
．
取
4
n
，这时
4
7
4
10
1
78732
1
3
9
4
1
|
|
r
故得出
6931
.
0
3
1
7
1
3
1
5
1
3
1
3
1
3
1
2
2
ln
7
5
3
．
二、定积分的近似计算
利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分
的近似值，
具体地说，
如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，
那么把这个
幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值．
例
4
计算
dx
x
x
1
0
sin
，精确到小数第四位．
解
由于
1
sin
lim
0
x
x
x
，因此所给积分不是广义积分，
如果定义
x
x
sin
在
0
x
处的值为
1
，
那么它在积分区间
]
1
,
0
[
上连续．
由于
x
x
sin
的原函数不能用初等函数
表示，因此需要通过幂级数展开式来计算．
利用正弦函数的展开式
!
5
3
sin
5
3
x
x
x
x
！
，两边同除以
x
，得到
!
5
3
1
sin
4
2
x
x
x
x
！
再逐项积分
!
7
7
1
!
5
5
1
!
3
3
1
1
!
5
!
3
sin
1
0
4
1
0
3
1
0
1
0
dx
x
dx
x
dx
dx
x
x
这是收敛的交错级数，其误差
1
|
|
n
n
u
r
，取
3
n
，有
4
3
10
1
!
7
7
1
r
，故
9461
.
0
!
5
5
1
!
3
3
1
1
sin
1
0
dx
x
x
．
例
5
计算
dx
e
x
1
0
2
2
2
1
，精确到小数第三位．
解
易见
2
2
x
e
的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幂级数展开式计
算．利用展开式
0
!
n
n
x
n
x
e
，得
0
2
2
2
!
)
1
(
2
n
n
n
n
x
n
x
e
故有
7
2
!
3
1
5
2
!
2
1
3
2
1
1
2
!
3
2
!
2
2
1
3
2
1
0
3
6
2
4
2
1
0
2
2
dx
x
x
x
dx
e
x
取前四项的和作为近似值，误差为
3
4
10
1
9
2
!
4
1
2
1
|
|
n
r
故得出
3412
.
0
336
1
40
1
6
1
1
2
1
2
1
1
0
2
2
dx
e
x
．
以上例题说明，
幂级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用．
对于
用幂级数近似计算函数值，
其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似
求值的思路相似．
对于用幂级数近似计算定积分，
特别是在某些被积函数的原函
数不能用初等函数表示时，便显示出幂级数方法的优越性．
利用幂级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数
n
．这可通过估计余项
n
r
的误差得到：一种方法是将余项式子的各项放大，使之
成为几何级数，从而利用几何级数的和来确定
n
值（如例
1
，例
3
）
，另一种方法
是利用收敛的交错级数的特点：
1
|
|
n
n
u
r
，由此来确定
n
值（如例
2
，例
4
，例
5
）
．
三、欧拉公式
最后应用复变量的指数函数的幂级数展开式，
说明数学中重要的欧拉公式的
形成与推导过程．
在复变量的理论中，我们定义指数函数
z
e
（
z
为复变量）为
!
!
3
!
2
!
1
1
3
2
n
z
z
z
z
e
n
z
（
|
|
z
，即
z
属于整个复平面）
当
xi
z
时，上式成为
!
)
(
!
3
)
(
!
2
)
(
!
1
1
3
2
n
xi
xi
xi
xi
e
n
xi
注意到
,
,
1
,
,
1
5
4
3
2
i
i
i
i
i
i
，从而
x
i
x
x
x
x
x
i
x
x
x
e
xi
sin
cos
!
7
!
5
!
3
!
6
!
4
!
2
1
7
5
3
6
4
2
即有
x
i
x
e
xi
sin
cos
．
(1)
把上式
x
换成
x
，又有
x
i
x
e
xi
sin
cos
．
(2)
将
(1)(2)
两式两边相加且同除以
2
，得
2
cos
xi
xi
e
e
x
(3)
将
(1)(2)
两式两边相减且同除以
i
2
，得
i
e
e
x
xi
xi
2
sin
(4)
上述的
(1)
—
(4)
都称为欧拉公式，
它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系．
在
(1)
中，取
x
，可得
0
1
i
e
(5)
克莱茵（
Klein,1849-1925,
德国）认为，这是数学中最漂亮的公式之一．有人
把
(5)
列为
10
个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的
5
个数
0
，１，
i
，
，
e
用一个等式联系起来，显示了数学中的统一美，
(5)
显示了数学各领域之间很强
的联系且通过等式联结起来，它可以从几种得到解释，如：
0
：正负数的分界；
1
：任一自然数与它的后继数之差；
i
：
0
1
2
x
的根，属于代数；
：圆周长与直径之比，属于几何；
e
：
n
n
1
1
)
(
n
时的极限，属于分析．
等等．
No comments:
Post a Comment