如果只保留第一项，
http://wenku.baidu.com/view/31a6606eb84ae45c3b358cb6.html
则相当于将电荷
系统中全部电量都集中到坐标原点而成为一个点电
荷，
原来由电荷系统在远处所激发的真实电势，
被想
象中的位于原点的该点电荷所贡献的电势近似代替，
在要求不高的情况下，
这样的代替可以勉强认可
收稿日期：
!
"
"
!
!
#
"
!
#
$
作者简介：
蒋德瀚
（
#
%
&
!
—）
，
男，
甘肃榆中人，
兰州师范高等专科学校物理系教授。
电势多极展开的物理图象
蒋德瀚
（兰州师范高等专科学校，
甘肃兰州
’
&
"
"
’
"
）
摘
要：
给出电势多极展开中多极子的物理图象，
并对电四极矩的几个定义式作对照分析。
。
关键词：
电单极矩；
电偶极矩；
电四极矩
中图分类号：
〇
(
#
&
"
!
文献标识码：
#
文章编号：
#
"
"
$
!
%
"
!
"
（
!
"
"
(
）
"
!
!
"
#
!
!
"
(
一、
引言
在电势的多极展开表示式中，
出现了包括电单
极子在内的电多极子，
这些多极子是数学推演的结
果，
而非真实存在。
原本是一定空间范围内的电荷系
统
（体系）
在远处所激发
（产生）
的电势，
却被想象中
的电多极子激发同样电势所取代，
对此，
许多教材只
言
“等效”
而不涉及等效的模型或物理图象。
静电场的求解是一个经典问题，
著名解法较多，
诸
如分离变量法、
电象法、
格林函数法、
有限差分法、
电势
多极展开法等等。
其中唯独多极展开
（近似解）
的物理
图象
［
#
，
’
］
及其意义较难理解，
甚而至于隐晦艰涩。
二、
电势多极展开的条件和最简表示
图
#
如图
#
所示，
$
%
为激发电场的电荷系统所占据
的空间区域，
相对于远处电场中的观测点
（待测点）
而言，
$
%
是很小的，
设
$
%
的最大尺寸为
&
’
(
)
，
则
$
%
中任一点到观测点的距离
*
!
&
’
(
)
。
例如原子线度
的数量
级
是
#
"
!
#
"
米，
而
原
子
核
线
度
的
数
量
级
是
#
"
!
#
(
—
—
—
#
"
!
#
)
米，
核的线度比原子线度约小四五
个数量级，
可见核内电荷系统所占空间尺寸较之从
核内到核外电子所在处的距离是非常小的，
类似的
实例是很多的。
在
$
%
内取任一点为坐标原点
+
，
$
%
内任一电
荷元的位矢用
)
"
%
（
)
%
，
,
%
，
-
%
）
表示，
远处观测点的位
矢用
)
"
（
)
，
,
，
-
）
表示。
$
%
内的电荷分布，
若连续则
用
!
（
)
"
%
）
表示
)
"
%
处的体密度，
于是电荷元的电量为
.
/
（
)
"
%
）
0
!
（
)
"
%
）
.
1
%
；
若点电荷分立则以
/
2
（
)
"
%
）
表
示
)
"
%
处的点电荷。
需强调一点，
凡带撇的字母和符
号均限于针对电荷系统内部，
不带撇的字母和符号
则是针对远处场点而使用的。
已知电荷系统在空间所激发的电势为
"
（
)
"
）
0
#
(
#
$
"
#
1
%
!
（
)
"
%
）
*
.
1
%
（
#
）
式中
*
0
3
)
"
!
)
"
%
3
0
（
)
!
)
%
）
!
4
（
,
!
,
%
）
!
4
（
-
!
-
%
）
$
!
。
令
5
0
3
)
"
3
0
)
!
4
,
!
4
-
$
!
。
因为所要求解的问
题之特点是
$
%
的尺寸很小，
而待测点很远，
所以当
限制在
$
%
内任取一点为坐标原点
+
之后，
便有充
分理由可以把
#
*
在原点处展为级数形式，
简言之，
&
’
(
)
%
$
%
，
&
’
(
)
&
*
是对
"
（
)
"
）
进行多极展开以求近
似解的前提条件。
利用多元函数的泰勒级数及矢量和张量分析的
有关公式，
可将
（
#
）
式演变为熟知形式
［
#
］
%
［
)
］
"
（
)
"
）
0
#
(
#
$
"
#
!
（
)
"
%
）
5
.
$
%
!
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
)
"
%
・
’
#
5
［
4
#
!
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
)
"
%
)
"
%
：
’’
#
5
4
…
4
（
!
#
）
6
6
！
#
/
（
)
"
%
）
.
$
%
（
)
"
%
…
)
"
%
(
)
*
）
6
个
｝
…
6
次点乘
（
’
…
’
(
)
*
）
6
个
#
5
4
］
…
（
!
）
采用下列常用物理定义：
7
+
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
，
8
"
+
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
)
"
%
，
9
""
+
・
!
#
・
第
%
卷第
!
期
（
!
"
"
(
）
）
万
方数据
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
!
"
，
%
"
…
"
#
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
（
!
"
"
…
!
"
"
$
%
&
）
&
个
（
!
）
’
为电单极矩
（电单极子或零极矩）
，
(
"
为电偶极矩
（电
偶极子或电矩）
，
)
""
为电四极矩
（电四极子）
，
"
&
极矩也
叫
"
&
极子。
注意到
’
#
*
+
,
*
"
*
!
，
则
（
"
）
式又可进一步
简写为
"
（
!
"
）
+
#
$
#
$
%
’
*
-
(
"
・
*
"
*
!
-
#
"
)
""
：
’’
#
*
-
［
…
-
（
,
#
）
&
&
！
%
"
…
"
…
（
’
…
’
）
#
*
-
］
…
（
$
）
这就是电势多极展开的最简表示式，
也是大家所熟悉的。
更高级的电多极矩在实际问题求解中很少使
用，
所以上式一般只取其前三项
（四极矩）
：
"
（
!
"
）
(
"
（
%
）
-
"
（
#
）
-
"
（
"
）
+
#
$
#
$
%
’
*
-
(
"
・
*
"
*
!
-
（
#
"
)
""
：
’’
#
）
*
（
&
）
其中零极势
（电单极势）
、
电偶极势、
电四极势分别为
"
（
%
）
+
#
$
#
$
%
’
*
、
"
（
#
）
+
#
$
#
$
%
(
"
・
*
"
*
!
及
"
（
"
）
+
#
$
#
$
（
）
%
#
"
)
""
：
’’
#
*
（
’
）
此三式常常是解答有关计算题的依据，
使用频度甚高。
若
$
"
中是分立的点电荷，
则可将积分改为求和，
（
!
）
的定义形式不变。
例如
!
!
（
!
"
"
）
#
.
"
!
"
"
与
%
&
/
+
#
0
/
!
"
"
/
是完
全等价的。
三、
电势多极展开的物理图象
在
（
&
）
式中，
如果只保留第一项，
则相当于将电荷
系统中全部电量都集中到坐标原点而成为一个点电
荷，
原来由电荷系统在远处所激发的真实电势，
被想
象中的位于原点的该点电荷所贡献的电势近似代替，
在要求不高的情况下，
这样的代替可以勉强认可。
图
"
同样，
在
（
&
）
中如果只保留前两项，
如图
"
（
1
）
，
在
$
"
内任取一电荷元
#
0
（
!
"
"
）
+
!
（
（
!
"
"
）
）
#
$
"
，
联接
原点与该电荷元作
2
&
轴，
则
#
0
（
!
"
"
）
的位置为
!
"
"
。
我们
在
原
点
处
“设
置”两
个
点
电
荷
3
#
0
（
%
）
+3
#
0
（
!
"
"
）
+3
!
（
!
"
"
）
#
$
"
（
“设置”
只是思想实验。
由于
电荷的中和作用，
3
#
0
（
%
）
之和为
%
，
所以这样的设
置不会破坏原有的电荷分布）
。
作新的审视，
将
,
#
0
（
%
）
与原先的
#
0
（
!
"
"
）
联系起来视为一个电偶极
子，
该电偶极矩为
#
(
"
（
!
"
"
"
）
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
，
中心点
在
!
"
"
"
处，
该电矩对
"
（
#
）
作贡献；
同时，
在原点上还存
在一个
#
0
（
%
）
，
该点电荷对
"
（
%
）
作贡献。
当然也可以
认为
#
0
（
!
"
"
）
被移置到原点而成为
#
0
（
%
）
，
作为这样
移动的代价，
即要同时出现一个电偶极矩
#
(
"
（
!
"
"
"
）
。
将
$
"
内所有电荷元都如法炮制，
然后将集中于原
点的全部电量进行代数相加得
’
+
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
，
再
将一端落在原点的全部电偶极矩进行相加得
(
"
+
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
，
该合成电偶极矩的中心点还不在原
点处。
（
当总电量
’
+
%
时，
总的电偶极矩与原点无
关
［
#
］
，
）
。
于
是
总
电
量
激
发
"
（
#
）
，
总
电
偶
极
矩
激
发
"
（
"
）
。
（
以下围绕原点迭加求和的情况同此）
。
如果在
（
&
）
中保留三项，
那么如图
"
（
4
）
所示，
我们继续在
2
&
轴上
3
!
"
"
"
处分别设置
3
#
0
!
"
"
（
）
"
，
3
#
0
,
!
"
"
（
）
"
，
这四个点电荷的电量都等于
#
0
（
!
）
"
"
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
。
作新的审视，
除了原点上仍有的
#
0
（
%
）
对
"
（
%
）
作贡献外，
还出现了中心点恰在原点的一个
电偶极子
#
(
"
（
%
）
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
+
#
(
"
!
"
"
（
）
"
，
该电
矩对
"
（
#
）
作贡献；
同时，
还出现了一个电四极子，
其
中心在
!
"
"
$
处，
它由大小相等、
方向相反、
中心点相距
为
!
"
"
的两个电偶极子
3
!
（
!
"
"
）
#
$
"
#
"
!
"
（
）
"
所构成，
这个电四极矩正好是
#
)
""
!
"
"
（
）
$
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
!
"
"
，
它对
"
（
"
）
作贡献。
然后将
$
"
内的所有电荷元都作
同样的处理，
最终得到远处观测点上的电势
"
（
!
"
"
）
(
"
（
%
）
-
"
（
#
）
-
"
（
"
）
。
・
!
#
・
第
(
卷第
"
期
（
"
%
%
$
）
蒋德瀚：
电势多极展开的物理图象
)
*
+
,
(
-
*
.
"
（
"
%
%
$
）
万
方数据
如果在
（
!
）
或
（
"
）
式中近似地保留前四项，
那么
我们就继续在
!
!
轴上
"
#
!
$
"
，
"
#
#
!
$
"
处均设置电量为
"
%
&
’
"
（
#
!
$
）
%
(
$
的点电荷，
于是除了原点上的
%
&
（
$
）
、
%
)
!
外，
还有一个中心点也恰好在原点的电
四极矩
%*
!!
（
$
）
’
%*
!!
#
!
$
（
）
"
，
同时，
连带着还出现
了一个电八极子，
其中心点在
#
!
$
%
处，
如图
!
（
+
）
所
示，
它由大小相等、
方向相反、
相距也是
#
!
$
的两个四
极矩构成，
它对
#
（
#
）
作贡献。
依此类推，
在不同近似取项中只有最后一个多
极子的中心点不在原点上。
但随着取项的增加，
最后
多极子的中心点将更加靠近多极展开的中心
（原
点）
，
对应着
#
（
#
）
的计算精度越来越高。
以偶极矩为例，
从图
!
（
,
）
到
（
-
）
，
该偶极子好
像是矢量滑移的结果，
但是滑移的观点是不对的，
它
不能象施加于刚体的作用力那样可以沿着作用线随
便滑移而成为自由矢量，
电偶极矩中心位置的移动
是依赖于电四极子的出现而实现的，
如果没有后者
存在，
则电偶极矩的位置是不能随便移动的。
以图
!
（
+
）
为例，
各矢量本来都在
!
!
轴线上，
但
为了看得清楚，
才将它们稍微的左右分开了一点。
四、
电四极矩的定义式
在电场的四极势
#
（
!
）
的表示式
（
&
）
中，
当
.
一
定时，
#
（
!
）
取固定单值，
但其中的电四极矩
*
!!
的表
示式可以带上不同的系数因子，
相应地
（
&
）
式的系
数也要随之而变动。
查阅各种教材，
电四极矩大概有
下列四种定义式
（为了区分，
临时加注脚标）
：
*
!!
’
"
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
!
$
#
!
$
，
*
!!
!
"
’
!
#
(
$
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
!
$
#
!
$
，
*
!!
#
"
#
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
!
$
#
!
$
，
*
!!
"
"
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
（
#
#
!
$
#
!
$
/
0
!
1
!!
）
。
相应地四极势为
#
（
!
）
（
#
!
）
’
’
"
$
%
（
）
$
’
!
*
!!
’
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
*
!!
!
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
’
&
*
!!
#
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
’
&
*
!!
"
：
$$
’
.
（
(
）
可见
#
（
!
）
（
#
!
）
并不随
*
!!
2
的不同而有所变化。
这里值
得讨论的是
*
!!
"
与
*
!!
#
的不同。
已知
#
!
$
’
（
#
$
，
3
$
，
4
$
）
，
0
$
’
5
#
!
$
5
，
1
!!
’
6
!
#
6
!
#
7
6
!
3
6
!
3
7
6
!
4
6
!
4
。
将
*
!!
"
按它的分量
（元素）
写出，
整理得
*
!!
"
"
#
"
（
#
!
）
%
(
$
（
#
#
$
!
/
0
$
!
）
6
!
#
6
!
#
7
（
#
3
$
!
/
0
$
!
）
6
!
3
6
!
［
3
7
（
#
4
$
!
/
0
$
!
）
6
!
4
6
!
4
7
&
#
$
3
$
6
!
#
6
!
3
7
&
#
$
4
$
6
!
#
6
!
4
7
&
3
$
4
$
6
!
3
6
!
4
8
9
:
0*
!!
"
’
*
’
’
7
*
!
!
7
*
#
#
’
#
（
#
$
!
7
3
$
!
7
4
$
!
）
/
#
0
$
!
’
#
0
$
!
/
#
0
$
!
’
$
，
即
*
’
’
7
*
!
!
7
*
#
#
’
$
（
%
）
电四极矩恒为对称张量，
独立元素只有
&
个，
（
%
）
式
的出现，
使其独立元素
（分量）
减少到只有
)
个。
因为
1
!!
：
$$
’
.
’
（
6
!
#
6
!
#
7
6
!
3
6
!
3
7
6
!
4
6
!
4
）
：
$$
’
.
’
$
!
’
.
’
$
（
.
%
$
）
［
&
］
，
所以把
*
!!
"
代入
（
(
）
便
有
#
（
!
）
’
’
"
$
%
（
）
$
’
&
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
（
#
#
!
$
#
!
$
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0
!
1
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）
：
$$
’
.
’
’
"
$
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（
）
$
’
!
#
"
（
#
!
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(
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#
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#
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：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
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’
!
*
!!
’
：
$$
’
.
（
.
%
$
）
即仍回到
（
&
）
式。
可见，
四极矩定义式尽管可以不
同，
但它所激发的势
#
（
!
）
是一定的。
与电四极矩的其它几个定义式相比较，
为什么
要在
*
!!
"
中人为地添加一项呢？
或者说，
为什么要在
#
（
#
!
）
或
#
（
!
）
（
#
!
）
的公式中添加那个实际上等于零
的一项呢？
回答是简单明确的，
为了减少电四极矩张
量元素的个数，
即满足
（
%
）
式。
在某些计算题中，
当
元素
（分量）
*
’
’
和
*
!
!
通过较复杂计算求得时，
则
*
#
#
可由
（
%
）
式立即得到。
另外，
在
*
!!
"
中本有作为
二阶张量的并矢
#
!
$
#
!
$
存在，
现在又有单位张量
1
!!
参与其中，
这使得
*
!!
"
作为张量的特征更加清晰醒
目。
对于
*
!
"
，
沿用
（
%
）
要注意灵活性，
在具体计算中
应选择采用能够使计算简化的电四极矩定义式才比
较有益。
试举一例如下，
例
一点电荷系有三个点电荷，
&
’
’
;
位于
（
$
，
%
，
$
）
；
&
!
’/
!
;
位于
（
$
，
$
，
$
）
；
;
#
’
;
位于
（
$
，
/
%
，
$
）
试求其四极矩，
以及远区域的电势
<
・
"
’
・
第
*
卷第
!
期
（
!
$
$
"
）
）
万
方数据
图
!
解法一
由题知
!
总
"
!
#
$
"
"
，
%
!
总
"
!
#
$
&
!
’
$
"
"
，
故远处的零极势
"
（
"
）
和偶极势
"
（
#
）
均为
"
(
又已知：
&
!
#
’
"
)
#
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#
"
*
+
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,
，
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$
’
"
"
，
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’
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*
+
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,
，
且
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’
$
"
*
$
，
.
$
’
$
"
"
，
.
!
’
$
"
*
$
(
采用公式：
"
"
"
（
$
）
"
#
%
#
$
（
）
"
#
&
/
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：
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#
0
及
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$
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#
$
（
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&
!
’
$
&
!
’
$
-
.
$
’
$
1
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）
(
于是有
/
#
#
"
#
#
（
"
-
.
#
’
$
）
2
#
$
"
2
#
!
（
"
-
.
!
’
$
）
"-
!
*
$
-
!
*
$
"-
$
!
*
$
，
/
$
$
"
#
#
（
!
*
$
-
*
$
）
2
#
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（
!
*
$
-
*
$
）
"
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!
*
$
，
/
!
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"
#
#
（
"
-
*
$
）
2
#
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"
-
*
$
）
"-
$
!
*
$
，
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#
$
"
/
#
!
"
/
$
!
"
"
(
从而得
"
"
#
%
#
$
（
）
"
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/
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$
%
$
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,
$
2
/
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$
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3
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$
#
0
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$
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#
$
（
）
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$
-
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$
%
,
$
2
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$
%
3
$
2
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$
%
,
$
-
%
$
%
,
（
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$
#
0
"
-
!
*
$
#
$
#
$
"
#
$
#
0
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!
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$
%
,
$
#
［
］
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［
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］
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-
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*
$
#
$
#
$
"
"
-
!
%
$
%
,
$
#
［
］
0
"
!
*
$
%
#
$
"
!
,
$
-
0
$
0
’
解法二
(
已知
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!
#
’
"
（
"
，
*
，
"
）
，
&
!
$
’
"
（
"
，
"
，
"
）
，
&
!
!
’
"
（
"
，
-
*
，
"
）
(
现在采用
/
!!
!
（而不是
/
!!
%
）
作为
电四极矩的定义，
即
/
!!
"
/
!!
!
$
!
!
#
$
&
$
!
&
$
!
，
于是得
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!!
的各分量如下
（分量
/
的下标
#
，
$
，
!
等同于
&
’
，
,
’
，
3
’
）
：
/
#
#
"
"
，
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$
$
"
!
#
#
,
#
’
$
2
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#
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,
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’
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，
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，
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#
$
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#
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"
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$
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"
"
(
于是有
/
!!
"
/
$
$
+
!
,
+
!
,
。
代入远处电势表示式得
"
"
"
（
$
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#
%
#
$
（
）
"
#
&
/
$
$
+
!
,
+
!
（
）
,
：
##
#
0
"
#
%
#
$
（
）
"
#
&
（
&
!
*
$
）
（
+
!
,
・
#
）
（
+
!
,
・
#
）
#
0
"
!
*
$
%
#
$
"
%
$
%
,
$
#
0
"
!
*
$
%
#
$
"
!
,
$
-
0
$
0
’
结果与解法一相同。
显然解法二比较简单。
如果将
（
(
）
式用于上面解法一，
则
/
!
!
"-
（
/
#
#
2
/
$
$
）
"-
（
-
$
!
*
$
2
%
!
*
$
）
"-
$
!
*
$
，
这是正确
的。
再考虑将
（
(
）
式用于解法二，
则
/
!
!
"-
（
/
#
#
2
/
$
$
）
"-
&
!
*
$
，
这是错误的。
可见当电四极矩以
/
!!
!
（或
/
!!
#
，
/
!!
$
）
为定义时，
（
(
）
式不满足。
当且仅当
以
/
!!
%
作为电四极矩的定义时
（
(
）
式才能满足。
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西安交
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（
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(
%
）
(
#
$
’
!
"
#$
"
%
&
’
(
)
*
’
+
)
,
#-
.#
*
#
(
!
/
’
($
-
!
#
0
!
’
)
*
+
1
*
!
’
$
-
*
##
2
$
)
0
&
’
-
0
收稿日期：
!
"
"
!
!
#
"
!
#
$
作者简介：
蒋德瀚
（
#
%
&
!
—）
，
男，
甘肃榆中人，
兰州师范高等专科学校物理系教授。
电势多极展开的物理图象
蒋德瀚
（兰州师范高等专科学校，
甘肃兰州
’
&
"
"
’
"
）
摘
要：
给出电势多极展开中多极子的物理图象，
并对电四极矩的几个定义式作对照分析。
。
关键词：
电单极矩；
电偶极矩；
电四极矩
中图分类号：
〇
(
#
&
"
!
文献标识码：
#
文章编号：
#
"
"
$
!
%
"
!
"
（
!
"
"
(
）
"
!
!
"
#
!
!
"
(
一、
引言
在电势的多极展开表示式中，
出现了包括电单
极子在内的电多极子，
这些多极子是数学推演的结
果，
而非真实存在。
原本是一定空间范围内的电荷系
统
（体系）
在远处所激发
（产生）
的电势，
却被想象中
的电多极子激发同样电势所取代，
对此，
许多教材只
言
“等效”
而不涉及等效的模型或物理图象。
静电场的求解是一个经典问题，
著名解法较多，
诸
如分离变量法、
电象法、
格林函数法、
有限差分法、
电势
多极展开法等等。
其中唯独多极展开
（近似解）
的物理
图象
［
#
，
’
］
及其意义较难理解，
甚而至于隐晦艰涩。
二、
电势多极展开的条件和最简表示
图
#
如图
#
所示，
$
%
为激发电场的电荷系统所占据
的空间区域，
相对于远处电场中的观测点
（待测点）
而言，
$
%
是很小的，
设
$
%
的最大尺寸为
&
’
(
)
，
则
$
%
中任一点到观测点的距离
*
!
&
’
(
)
。
例如原子线度
的数量
级
是
#
"
!
#
"
米，
而
原
子
核
线
度
的
数
量
级
是
#
"
!
#
(
—
—
—
#
"
!
#
)
米，
核的线度比原子线度约小四五
个数量级，
可见核内电荷系统所占空间尺寸较之从
核内到核外电子所在处的距离是非常小的，
类似的
实例是很多的。
在
$
%
内取任一点为坐标原点
+
，
$
%
内任一电
荷元的位矢用
)
"
%
（
)
%
，
,
%
，
-
%
）
表示，
远处观测点的位
矢用
)
"
（
)
，
,
，
-
）
表示。
$
%
内的电荷分布，
若连续则
用
!
（
)
"
%
）
表示
)
"
%
处的体密度，
于是电荷元的电量为
.
/
（
)
"
%
）
0
!
（
)
"
%
）
.
1
%
；
若点电荷分立则以
/
2
（
)
"
%
）
表
示
)
"
%
处的点电荷。
需强调一点，
凡带撇的字母和符
号均限于针对电荷系统内部，
不带撇的字母和符号
则是针对远处场点而使用的。
已知电荷系统在空间所激发的电势为
"
（
)
"
）
0
#
(
#
$
"
#
1
%
!
（
)
"
%
）
*
.
1
%
（
#
）
式中
*
0
3
)
"
!
)
"
%
3
0
（
)
!
)
%
）
!
4
（
,
!
,
%
）
!
4
（
-
!
-
%
）
$
!
。
令
5
0
3
)
"
3
0
)
!
4
,
!
4
-
$
!
。
因为所要求解的问
题之特点是
$
%
的尺寸很小，
而待测点很远，
所以当
限制在
$
%
内任取一点为坐标原点
+
之后，
便有充
分理由可以把
#
*
在原点处展为级数形式，
简言之，
&
’
(
)
%
$
%
，
&
’
(
)
&
*
是对
"
（
)
"
）
进行多极展开以求近
似解的前提条件。
利用多元函数的泰勒级数及矢量和张量分析的
有关公式，
可将
（
#
）
式演变为熟知形式
［
#
］
%
［
)
］
"
（
)
"
）
0
#
(
#
$
"
#
!
（
)
"
%
）
5
.
$
%
!
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
)
"
%
・
’
#
5
［
4
#
!
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
)
"
%
)
"
%
：
’’
#
5
4
…
4
（
!
#
）
6
6
！
#
/
（
)
"
%
）
.
$
%
（
)
"
%
…
)
"
%
(
)
*
）
6
个
｝
…
6
次点乘
（
’
…
’
(
)
*
）
6
个
#
5
4
］
…
（
!
）
采用下列常用物理定义：
7
+
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
，
8
"
+
#
!
（
)
"
%
）
.
$
%
)
"
%
，
9
""
+
・
!
#
・
第
%
卷第
!
期
（
!
"
"
(
）
）
万
方数据
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
!
"
，
%
"
…
"
#
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
（
!
"
"
…
!
"
"
$
%
&
）
&
个
（
!
）
’
为电单极矩
（电单极子或零极矩）
，
(
"
为电偶极矩
（电
偶极子或电矩）
，
)
""
为电四极矩
（电四极子）
，
"
&
极矩也
叫
"
&
极子。
注意到
’
#
*
+
,
*
"
*
!
，
则
（
"
）
式又可进一步
简写为
"
（
!
"
）
+
#
$
#
$
%
’
*
-
(
"
・
*
"
*
!
-
#
"
)
""
：
’’
#
*
-
［
…
-
（
,
#
）
&
&
！
%
"
…
"
…
（
’
…
’
）
#
*
-
］
…
（
$
）
这就是电势多极展开的最简表示式，
也是大家所熟悉的。
更高级的电多极矩在实际问题求解中很少使
用，
所以上式一般只取其前三项
（四极矩）
：
"
（
!
"
）
(
"
（
%
）
-
"
（
#
）
-
"
（
"
）
+
#
$
#
$
%
’
*
-
(
"
・
*
"
*
!
-
（
#
"
)
""
：
’’
#
）
*
（
&
）
其中零极势
（电单极势）
、
电偶极势、
电四极势分别为
"
（
%
）
+
#
$
#
$
%
’
*
、
"
（
#
）
+
#
$
#
$
%
(
"
・
*
"
*
!
及
"
（
"
）
+
#
$
#
$
（
）
%
#
"
)
""
：
’’
#
*
（
’
）
此三式常常是解答有关计算题的依据，
使用频度甚高。
若
$
"
中是分立的点电荷，
则可将积分改为求和，
（
!
）
的定义形式不变。
例如
!
!
（
!
"
"
）
#
.
"
!
"
"
与
%
&
/
+
#
0
/
!
"
"
/
是完
全等价的。
三、
电势多极展开的物理图象
在
（
&
）
式中，
如果只保留第一项，
则相当于将电荷
系统中全部电量都集中到坐标原点而成为一个点电
荷，
原来由电荷系统在远处所激发的真实电势，
被想
象中的位于原点的该点电荷所贡献的电势近似代替，
在要求不高的情况下，
这样的代替可以勉强认可。
图
"
同样，
在
（
&
）
中如果只保留前两项，
如图
"
（
1
）
，
在
$
"
内任取一电荷元
#
0
（
!
"
"
）
+
!
（
（
!
"
"
）
）
#
$
"
，
联接
原点与该电荷元作
2
&
轴，
则
#
0
（
!
"
"
）
的位置为
!
"
"
。
我们
在
原
点
处
“设
置”两
个
点
电
荷
3
#
0
（
%
）
+3
#
0
（
!
"
"
）
+3
!
（
!
"
"
）
#
$
"
（
“设置”
只是思想实验。
由于
电荷的中和作用，
3
#
0
（
%
）
之和为
%
，
所以这样的设
置不会破坏原有的电荷分布）
。
作新的审视，
将
,
#
0
（
%
）
与原先的
#
0
（
!
"
"
）
联系起来视为一个电偶极
子，
该电偶极矩为
#
(
"
（
!
"
"
"
）
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
，
中心点
在
!
"
"
"
处，
该电矩对
"
（
#
）
作贡献；
同时，
在原点上还存
在一个
#
0
（
%
）
，
该点电荷对
"
（
%
）
作贡献。
当然也可以
认为
#
0
（
!
"
"
）
被移置到原点而成为
#
0
（
%
）
，
作为这样
移动的代价，
即要同时出现一个电偶极矩
#
(
"
（
!
"
"
"
）
。
将
$
"
内所有电荷元都如法炮制，
然后将集中于原
点的全部电量进行代数相加得
’
+
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
，
再
将一端落在原点的全部电偶极矩进行相加得
(
"
+
!
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
，
该合成电偶极矩的中心点还不在原
点处。
（
当总电量
’
+
%
时，
总的电偶极矩与原点无
关
［
#
］
，
）
。
于
是
总
电
量
激
发
"
（
#
）
，
总
电
偶
极
矩
激
发
"
（
"
）
。
（
以下围绕原点迭加求和的情况同此）
。
如果在
（
&
）
中保留三项，
那么如图
"
（
4
）
所示，
我们继续在
2
&
轴上
3
!
"
"
"
处分别设置
3
#
0
!
"
"
（
）
"
，
3
#
0
,
!
"
"
（
）
"
，
这四个点电荷的电量都等于
#
0
（
!
）
"
"
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
。
作新的审视，
除了原点上仍有的
#
0
（
%
）
对
"
（
%
）
作贡献外，
还出现了中心点恰在原点的一个
电偶极子
#
(
"
（
%
）
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
+
#
(
"
!
"
"
（
）
"
，
该电
矩对
"
（
#
）
作贡献；
同时，
还出现了一个电四极子，
其
中心在
!
"
"
$
处，
它由大小相等、
方向相反、
中心点相距
为
!
"
"
的两个电偶极子
3
!
（
!
"
"
）
#
$
"
#
"
!
"
（
）
"
所构成，
这个电四极矩正好是
#
)
""
!
"
"
（
）
$
+
!
（
!
"
"
）
#
$
"
!
"
"
!
"
"
，
它对
"
（
"
）
作贡献。
然后将
$
"
内的所有电荷元都作
同样的处理，
最终得到远处观测点上的电势
"
（
!
"
"
）
(
"
（
%
）
-
"
（
#
）
-
"
（
"
）
。
・
!
#
・
第
(
卷第
"
期
（
"
%
%
$
）
蒋德瀚：
电势多极展开的物理图象
)
*
+
,
(
-
*
.
"
（
"
%
%
$
）
万
方数据
如果在
（
!
）
或
（
"
）
式中近似地保留前四项，
那么
我们就继续在
!
!
轴上
"
#
!
$
"
，
"
#
#
!
$
"
处均设置电量为
"
%
&
’
"
（
#
!
$
）
%
(
$
的点电荷，
于是除了原点上的
%
&
（
$
）
、
%
)
!
外，
还有一个中心点也恰好在原点的电
四极矩
%*
!!
（
$
）
’
%*
!!
#
!
$
（
）
"
，
同时，
连带着还出现
了一个电八极子，
其中心点在
#
!
$
%
处，
如图
!
（
+
）
所
示，
它由大小相等、
方向相反、
相距也是
#
!
$
的两个四
极矩构成，
它对
#
（
#
）
作贡献。
依此类推，
在不同近似取项中只有最后一个多
极子的中心点不在原点上。
但随着取项的增加，
最后
多极子的中心点将更加靠近多极展开的中心
（原
点）
，
对应着
#
（
#
）
的计算精度越来越高。
以偶极矩为例，
从图
!
（
,
）
到
（
-
）
，
该偶极子好
像是矢量滑移的结果，
但是滑移的观点是不对的，
它
不能象施加于刚体的作用力那样可以沿着作用线随
便滑移而成为自由矢量，
电偶极矩中心位置的移动
是依赖于电四极子的出现而实现的，
如果没有后者
存在，
则电偶极矩的位置是不能随便移动的。
以图
!
（
+
）
为例，
各矢量本来都在
!
!
轴线上，
但
为了看得清楚，
才将它们稍微的左右分开了一点。
四、
电四极矩的定义式
在电场的四极势
#
（
!
）
的表示式
（
&
）
中，
当
.
一
定时，
#
（
!
）
取固定单值，
但其中的电四极矩
*
!!
的表
示式可以带上不同的系数因子，
相应地
（
&
）
式的系
数也要随之而变动。
查阅各种教材，
电四极矩大概有
下列四种定义式
（为了区分，
临时加注脚标）
：
*
!!
’
"
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
!
$
#
!
$
，
*
!!
!
"
’
!
#
(
$
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
!
$
#
!
$
，
*
!!
#
"
#
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
!
$
#
!
$
，
*
!!
"
"
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
（
#
#
!
$
#
!
$
/
0
!
1
!!
）
。
相应地四极势为
#
（
!
）
（
#
!
）
’
’
"
$
%
（
）
$
’
!
*
!!
’
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
*
!!
!
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
’
&
*
!!
#
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
’
&
*
!!
"
：
$$
’
.
（
(
）
可见
#
（
!
）
（
#
!
）
并不随
*
!!
2
的不同而有所变化。
这里值
得讨论的是
*
!!
"
与
*
!!
#
的不同。
已知
#
!
$
’
（
#
$
，
3
$
，
4
$
）
，
0
$
’
5
#
!
$
5
，
1
!!
’
6
!
#
6
!
#
7
6
!
3
6
!
3
7
6
!
4
6
!
4
。
将
*
!!
"
按它的分量
（元素）
写出，
整理得
*
!!
"
"
#
"
（
#
!
）
%
(
$
（
#
#
$
!
/
0
$
!
）
6
!
#
6
!
#
7
（
#
3
$
!
/
0
$
!
）
6
!
3
6
!
［
3
7
（
#
4
$
!
/
0
$
!
）
6
!
4
6
!
4
7
&
#
$
3
$
6
!
#
6
!
3
7
&
#
$
4
$
6
!
#
6
!
4
7
&
3
$
4
$
6
!
3
6
!
4
8
9
:
0*
!!
"
’
*
’
’
7
*
!
!
7
*
#
#
’
#
（
#
$
!
7
3
$
!
7
4
$
!
）
/
#
0
$
!
’
#
0
$
!
/
#
0
$
!
’
$
，
即
*
’
’
7
*
!
!
7
*
#
#
’
$
（
%
）
电四极矩恒为对称张量，
独立元素只有
&
个，
（
%
）
式
的出现，
使其独立元素
（分量）
减少到只有
)
个。
因为
1
!!
：
$$
’
.
’
（
6
!
#
6
!
#
7
6
!
3
6
!
3
7
6
!
4
6
!
4
）
：
$$
’
.
’
$
!
’
.
’
$
（
.
%
$
）
［
&
］
，
所以把
*
!!
"
代入
（
(
）
便
有
#
（
!
）
’
’
"
$
%
（
）
$
’
&
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
（
#
#
!
$
#
!
$
/
0
!
1
!!
）
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
’
!
#
"
（
#
!
$
）
%
(
$
#
$
!
#
$
!
：
$$
’
.
’
’
"
$
%
（
）
$
’
!
*
!!
’
：
$$
’
.
（
.
%
$
）
即仍回到
（
&
）
式。
可见，
四极矩定义式尽管可以不
同，
但它所激发的势
#
（
!
）
是一定的。
与电四极矩的其它几个定义式相比较，
为什么
要在
*
!!
"
中人为地添加一项呢？
或者说，
为什么要在
#
（
#
!
）
或
#
（
!
）
（
#
!
）
的公式中添加那个实际上等于零
的一项呢？
回答是简单明确的，
为了减少电四极矩张
量元素的个数，
即满足
（
%
）
式。
在某些计算题中，
当
元素
（分量）
*
’
’
和
*
!
!
通过较复杂计算求得时，
则
*
#
#
可由
（
%
）
式立即得到。
另外，
在
*
!!
"
中本有作为
二阶张量的并矢
#
!
$
#
!
$
存在，
现在又有单位张量
1
!!
参与其中，
这使得
*
!!
"
作为张量的特征更加清晰醒
目。
对于
*
!
"
，
沿用
（
%
）
要注意灵活性，
在具体计算中
应选择采用能够使计算简化的电四极矩定义式才比
较有益。
试举一例如下，
例
一点电荷系有三个点电荷，
&
’
’
;
位于
（
$
，
%
，
$
）
；
&
!
’/
!
;
位于
（
$
，
$
，
$
）
；
;
#
’
;
位于
（
$
，
/
%
，
$
）
试求其四极矩，
以及远区域的电势
<
・
"
’
・
第
*
卷第
!
期
（
!
$
$
"
）
）
万
方数据
图
!
解法一
由题知
!
总
"
!
#
$
"
"
，
%
!
总
"
!
#
$
&
!
’
$
"
"
，
故远处的零极势
"
（
"
）
和偶极势
"
（
#
）
均为
"
(
又已知：
&
!
#
’
"
)
#
!
#
"
*
+
!
,
，
&
!
$
’
"
"
，
&
!
!
’
"
)
#
!
!
"-
*
+
!
,
，
且
.
#
’
$
"
*
$
，
.
$
’
$
"
"
，
.
!
’
$
"
*
$
(
采用公式：
"
"
"
（
$
）
"
#
%
#
$
（
）
"
#
&
/
!!
：
##
#
0
及
/
!!
$
!
#
$
（
!
&
!
’
$
&
!
’
$
-
.
$
’
$
1
!!
）
(
于是有
/
#
#
"
#
#
（
"
-
.
#
’
$
）
2
#
$
"
2
#
!
（
"
-
.
!
’
$
）
"-
!
*
$
-
!
*
$
"-
$
!
*
$
，
/
$
$
"
#
#
（
!
*
$
-
*
$
）
2
#
!
（
!
*
$
-
*
$
）
"
%
!
*
$
，
/
!
!
"
#
#
（
"
-
*
$
）
2
#
!
（
"
-
*
$
）
"-
$
!
*
$
，
/
#
$
"
/
#
!
"
/
$
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"
"
(
从而得
"
"
#
%
#
$
（
）
"
#
&
/
!!
：
##
#
0
"
#
$
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#
$
"
/
#
#
%
$
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$
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/
$
$
%
$
%
,
$
2
/
!
!
%
$
%
3
（
）
$
#
0
"
-
$
!
*
$
$
%
#
$
（
）
"
%
$
%
&
$
-
$
%
$
%
,
$
2
%
$
%
3
$
2
%
$
%
,
$
-
%
$
%
,
（
）
$
#
0
"
-
!
*
$
#
$
#
$
"
#
$
#
0
-
!
%
$
%
,
$
#
［
］
0
［
&
］
"
-
!
*
$
#
$
#
$
"
"
-
!
%
$
%
,
$
#
［
］
0
"
!
*
$
%
#
$
"
!
,
$
-
0
$
0
’
解法二
(
已知
&
!
#
’
"
（
"
，
*
，
"
）
，
&
!
$
’
"
（
"
，
"
，
"
）
，
&
!
!
’
"
（
"
，
-
*
，
"
）
(
现在采用
/
!!
!
（而不是
/
!!
%
）
作为
电四极矩的定义，
即
/
!!
"
/
!!
!
$
!
!
#
$
&
$
!
&
$
!
，
于是得
/
!!
的各分量如下
（分量
/
的下标
#
，
$
，
!
等同于
&
’
，
,
’
，
3
’
）
：
/
#
#
"
"
，
/
$
$
"
!
#
#
,
#
’
$
2
!
#
!
,
!
’
$
"
&
!
*
$
，
/
!
!
"
"
，
/
#
$
"
/
#
!
"
/
$
!
"
"
(
于是有
/
!!
"
/
$
$
+
!
,
+
!
,
。
代入远处电势表示式得
"
"
"
（
$
）
"
#
%
#
$
（
）
"
#
&
/
$
$
+
!
,
+
!
（
）
,
：
##
#
0
"
#
%
#
$
（
）
"
#
&
（
&
!
*
$
）
（
+
!
,
・
#
）
（
+
!
,
・
#
）
#
0
"
!
*
$
%
#
$
"
%
$
%
,
$
#
0
"
!
*
$
%
#
$
"
!
,
$
-
0
$
0
’
结果与解法一相同。
显然解法二比较简单。
如果将
（
(
）
式用于上面解法一，
则
/
!
!
"-
（
/
#
#
2
/
$
$
）
"-
（
-
$
!
*
$
2
%
!
*
$
）
"-
$
!
*
$
，
这是正确
的。
再考虑将
（
(
）
式用于解法二，
则
/
!
!
"-
（
/
#
#
2
/
$
$
）
"-
&
!
*
$
，
这是错误的。
可见当电四极矩以
/
!!
!
（或
/
!!
#
，
/
!!
$
）
为定义时，
（
(
）
式不满足。
当且仅当
以
/
!!
%
作为电四极矩的定义时
（
(
）
式才能满足。
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