指数函数对于
x 的负数值非常平坦,对于
x 的正数值迅速攀升,在
x 等于 0 的时候等于 1。它的
y 值总是等于在这一点上的
斜率。
指数函数是
数学中重要的
函数。应用到值
x 上的这个函数写为
exp(x)。还可以等价的写为
ex,这里的
e 是数学常数,就是
自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还叫做
欧拉数。
作为
实数变量
x 的函数,
y=
ex 的
图像总是正的(在
x 轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及
x 轴,尽管它可以任意程度的靠近它(所以,
x 轴是这个图像的水平
渐近线。它的
反函数是
自然对数 ln(
x),它定义在所有正数
x 上。
有时,特别是在
科学中,术语
指数函数更一般性的用于形如
kax 的函数,这里的
a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数
e 的指数函数。
一般的说,
变量 x 可以是任何实数或
复数,甚至是完全不同种类的数学对象;参见后面的形式定义。
最简单的,指数函数按恒定速率翻倍。例如细菌培养时细菌总数(近似的)每三个小时翻倍,和汽车的价值每年减少 10% 都可以被表示为一个指数。
使用自然对数,你可以定义更一般的指数函数。函数

定义于所有的
a > 0,和所有的实数
x。它叫做
底数为
a 的
指数函数。注意这个

的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数

的存在。(这里我们先既不在形式上的也不概念上明确这样一个函数是否存在,或非自然指数意味着什么。)
注意上述等式对于
a =
e 成立,因为

指数函数可“在加法和乘法之间转换”,在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述:






它们对所有正实数
a 与
b 和所有实数
x 与
y 都是有效的。涉及
分数和
方根的表达式经常可以使用指数符号简化:

对于任何
a > 0,实数
b,和整数
n > 1:
![\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}.](http://upload.wikimedia.org/math/8/2/1/821704e8992ee67a4d8988774e23bcb8.png)
导数和微分方程[编辑]
指数函数在数学和科学中的重要性主要源于它的
导数的性质。特别是

就是说,
ex 是它自己的
导数。对于常数 K 的形如

的函数是唯一有这个性质的函数。(这得出自
皮卡-林德洛夫定理,通过

和

)。其他等价说法有:
- 函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。
- 函数在 x 的增长速率等于在这个函数在 x 上的值。
- 这个函数是微分方程
的解。
- exp 是泛函导数的不动点
事实上,很多不同的方程引发指数函数,包括
薛定谔方程和
拉普拉斯方程和
简单谐波运动的方程。
对于有其他底数的指数函数:

所以任何指数函数都是它自己导数的
常数倍。
如果一个变量的增长或衰减速率是与它的大小成
比例的,比如在无限制情况下的人口增长、
复利和
放射性衰变,则这个变量可以写为常数倍的时间的指数函数。
进一步的,对任何可微函数
f(
x),我们可以通过
链式法则找到:
.
形式定义[编辑]
指数函数(蓝色),幂级数的前
n+1 项的和(红色)。
指数函数 e
x 可以用各种等价的
无穷级数的方式定义。特别是它可以定义为
幂级数:

或
序列的极限:

在这些定义中,
n! 表示
n 的
阶乘,而
x 可以是任何
实数、
复数、和
巴拿赫代数的元素。
这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明,参见文章
指数函数的特征描述。
数值值[编辑]
要得到指数函数的数值值,无穷级数可以重写为:


如果我们确保 x 小于 1,这个表达式快速收敛。
为了确保如此,我们可以使用下列恒等式。
-
- 这里的
是
的整数部分
- 这里的
是
的小数部分
- 所以,
总是小于 1 而
和
合计为
。
常数 e
z 的值可以预先通过 e 自乘 z 次计算。
计算实数 x 的 exp(x)[编辑]
可以找到如下更好的算法。
首先,注意到答案
y =
ex 通常是用尾数
m 和指数
n 表示的浮点数,所以 y =
m 2
n 对于某个整数
n 和适合的小
m。因此我们得到了:

在每项上取对数:

所以,我们得到了
n 作为
x 除以 ln(2) 的结果,并找到不大于它的最大整数 - 也就是应用
floor函数:

已经找到了
n,我们可以接着找到分数部分
u:

数
u 是小的并在范围 0 ≤
u < ln(2) 内,所以我们可以使用前面提到的级数来计算
m:

已经找到了
m 和
n,我们可以接着通过简单组合这两部分成一个浮点数而生成 y:

ex 的连分数[编辑]
通过欧拉恒等式:

需要更高级的技术来构造如下:

设置 m=x 和 n=2 生成

计算自然数(正整数) n 的 an 的算法[编辑]
最快的方式计算

,当
n 是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的,和通过简单的移所有位向右来除以 2 的事实。
偽代碼:
1. 1 → y, n → k, a → f
2. 若k不為0, 執行3至6
3. 若k為奇數, y * f → y
4. k 右移 1位 (即 k / 2 → k ,小數點無條件捨去)
5. f * f → f
6. 回到2
7. 傳回y
在
C++语言中,你可以写如下算法:
double power(double a, unsigned int n)
{
double y = 1;
double f = a;
unsigned int k = n;
while (k != 0) {
if (k % 2 == 1) y *= f;
k >>= 1;
f *= f;
}
return y;
}
此算法的
多項式時間為

比普通算法快(a 自乘100次,
多項式時間為

),在n 較大的時候更為顯著
例如 計算

,普通算法需要算100次,上述算法則只需要算7次
若要計算

可先以上述算法計算

,再作倒數
在複平面上[编辑]
在複平面上的指数函数。横轴对应函数自变量实部,纵轴对应函数自变量虚部,
色相表示函数的辐角,而
亮度表示函数的幅值。
在考虑定义在
複平面上的函数的时候,指数函数拥有重要的性质




对于所有的
z 和
w。
它是周期的
全纯函数,带有
虚数周期

,它可以写为

这里的
a 和
b 是实数值。这个公式把指数函数和
三角函数与
双曲函数联系起来了。我们看到除了
多项式的所有
初等函数都以某种方式起源于指数函数。
参见
欧拉公式。
扩展自然对数到复数参数生成
多值函数 ln(
z)。我们可以接着定义更一般性的指数函数:

对于所有复数
z 和
w。这也是多值函数。上述指数定律仍成立,如果正确的解释为关于多值函数的陈述。
指数函数把在複平面上任何
直线映射到在複平面中以
原点为中心的
对数螺线。要注意两个特殊情况: 当最初的线平行于实轴的时候,结果的螺线永不遮盖(close in on)自身;当最初的线平行于虚轴的时候,结果的螺线是某个半径的圆。
计算复数 z 的 exp(z)[编辑]
非常直接的给出公式

注意给三角函数的参数 y 是实数。
计算复数 a 和 b 的 ab[编辑]
直接给出公式:
如果 a = x + yi 且 b = u + vi,先把 a 转换到
极坐标,需要找到满足如下条件的

和

:

或
且 
所以,

或

而且

或

。
现在我们有:

所以:

指数因此是两个复数值的简单乘积生成复数结果,它可以接着通过如下公式转换回到正规的笛卡尔坐标:

这里的
p 是乘法的实部:

而
q 是乘法的虚部:

注意在这些计算中所有

,

和

都是实数值。

的结果因此是

。
还要注意因为我们计算和使用了

而不是 r 自身,你不需要计算平方根。转而简单的计算

。预防潜在的上溢出并尽可能在计算

之前通过适当的 2 幂按比例缩减 x 和 y,如果

和

太大就会上溢出。如果你有下溢出的危险,在计算平方和之前通过适当的 2 的幂按比例增加它们。在任何一个情况下,你可以接着得到按比例缩放版本的

称为

,和按比例缩放版本的

称为

,因此得到:
和 
这里的

是缩放因子。
接着得到

这里的

和

被缩放了使得平方和不上溢出或下溢出。如果

是非常大而

是非常小,因而不能找到这样一个缩放因子,你就会上溢出所以这个和本质上等于

,因为 y 被忽略了,因此你在这种情况下得到了

和

。同样情况出现在

非常小而

非常大的时候。如果两个都非常小或都非常大就可以找到前面提到的缩放因子。
矩阵和巴拿赫代数[编辑]
上面给出的指数函数的定义可以用于所有
巴拿赫代数,特别是对于方块
矩阵(在这种情况函数叫做
矩阵指数)。在这种情况下我们有


与
是互倒的
在点
的导数是从
到
的线性映射。
在非交换巴拿赫代数的上下文中,比如矩阵代数或在
巴拿赫空间或
希尔伯特空间上的算子,指数函数经常被认做实数参数的函数:

这里的
A 是这个代数的固定元素而
t 是任何实数。这个函数有重要的性质



在李代数上[编辑]
从
李代数到
李群的“指数映射”有着上述性质。事实上因为
R 是带有乘法的所有正实数的李群的李代数,实数参数的常规指数函数是李代数下的特殊情况。类似的,因为所有方块实数矩阵的李代数 M (
n,
R) 属于所有正可逆方块矩阵的李群,方块矩阵的指数函数是李代数
指数映射的特殊情况。
指數爆炸[编辑]
指數爆炸是指指數函數的增加過程中,初始時十分緩慢,但逐步加速,以至於其函數圖像將會與y軸平行。
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