矩陣特徵值方程微分算子 的結果 (無引號)：
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特征向量- 维基百科，自由的百科全书 - 维基百科- Wikipedia
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跳至 特征值方程 - 但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。 ... 也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。
微分方程| 線代啟示錄
ccjou.wordpress.com/tag/微分方程/
2013年7月19日 - 本文的閱讀等級：中級考慮齊次線性微分方程， 其中是微分算子， 皆為常係數。 ... 等級：中級對於階矩陣，一般特徵值問題欲解出，其中是的特徵值…
矩陣特徵值的涵義 - 央視網
big5.cctv.com/gate/big5/blog.cntv.cn/30949707-4424544.html
2013年7月9日 - 特徵值就是那個矩陣所對應的一元多次方程組的根特徵值表示一個矩陣的向量被 ... 若是一個微分算子，其特徵向量通常稱為該微分算子的特徵函數。
无界自共轭算子_搜索_互动百科
www.baike.com/wiki/无界自共轭算子
轉為繁體網頁自共轭的常微分方程的边值问题的研究发展成希尔伯特空间上自伴算子（或自共轭算子）的谱论，这是20世纪数学上的 ... 矩阵的特征值和特征向量计算矩阵的特征值和.
《线性算子谱理论》_搜索_互动百科
www.baike.com/wiki/《线性算子谱理论》
轉為繁體網頁算子的谱的概念是有限维矩阵的特征值概念的推广。力学、物理和工程技术中的大量问题在一定的条件下可以归结为数学上代数方程、微分方程、积分方程或微分积分 ...
具有有限谱的微分方程边值问题及其矩阵表示 - 学位论文下载，博士论文
cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10126-1012441357.htm - 轉為繁體網頁由 敖继军 著作 - 2012微分方程边值问题矩阵特征值问题Sturm-Liouville问题有限谱特征值转移 ... 1.1 微分算子理论简述13-15; 1.2 具有有限谱的S-L问题及矩阵特征值问题15-17; 1.3 本文 ...[DOC]
第一章矩陣與線性方程組
home.educities.edu.tw/paifm/math/m3.doc
2-5 矩陣的特徵值與特徵向量. 定義：. 假設為一線性算子，在許多的應用問題，一個相當重要的問題就是:我們如何在中求得一向量使得與平行，即，求得一向量與一純量 ...
[微分方程]可換的線性微分算子與代數幾何| 法蘭克的數學世界
frankliou.wordpress.com/.../微分方程可換的線性微分算子與代數幾何/
2013年4月3日 - 階線性微分算子，其中我們要求 a_{n}\neq 0 (本文中我們 ... 的矩陣。因為我們考慮的是複數域，於是 Q 在 E_{\lambda} 中也有特徵值。所以我們取 \ ...
倒易空间、波矢与衍射条件
1. 傅立叶展开与倒易空间
我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。所以，我们首先要处理的就是周期性函数。而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：
u(r) = u(r + T)
这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：
u(r) = SG uG exp(iG·r)
其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：
构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。而倒易基矢量由如下倒易关系给出：
b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)
b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)
b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)
之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：
ai·bj= 2πδij
这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。而这条高的长度正好是a1在这个高上的投影大小(a1cosq)，因为这条高的方向就是b1的方向，所以a1cosθ b1 = 2π。同时，由于b1的方向是高的方向，所以它与a2和a3都相互垂直。
实空间中的晶格矢量构成其体积为Va的平行六面体，即原胞。与此类似，倒易空间中的基矢量也构成一个体积为Vb的平行六面体。这两个互相倒易的平行六面体单元的体积关系也是倒易的：
Va Vb = (2π)3
对于晶格中的一个晶面(hkl)，倒格矢G = hb1+ kb2+ lb3与该晶面垂直，并且两个相邻平行晶面的间距（晶面距）为：
d(hkl) = 2π/|G|
至于为什么在倒易关系中存在2p 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的恒等式：
exp(i G·T) = 1
上式的证明只需将G与T用相应的基矢量展开即可获得。利用这个简洁的恒等式和u(r)傅立叶展开式，可以验证u(r)是周期函数：
u(r + T) = SG uG exp[iG·(r + T)] = SG uG exp(i G·r) exp(iG·T)
= SG uG exp(i G·r) = u(r)
u(r)傅立叶展开式中的傅立叶系数可以用下面的积分求得：
uG = Va–1 ∫cell u(r) exp(i G·r) dV
其中上述积分是对一个晶胞内的积分。
总之，由傅立叶变换将晶体的周期性的实空间（正格子）变换成了周期性的倒易空间（倒格子）。下面我们将看到，倒易空间对于描述晶格与粒子（如光子、电子等）之间的作用是很便利的。例如，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。
2. 倒易空间与波矢
电子、光子等微观粒子具有波粒二象性，德布罗意（De Broglie,1892～1989）为此提出了著名的德布罗意公式：
p = h/λ
根据这个公式，动量还可以写成普朗克常数乘以波数的形式：
p = hμ
在固体物理学中，人们常用到的是角波数，它与波数的关系是：
k = 2πμ
波数的含义是单位长度内所包含波的周期数；而角波数的含义就可以理解为单位长度内所包含波的相角数。这对于研究波的干涉和衍射非常有用，比如在距离上相差r的空间两点，它们之间的相角度、差就是k·r，这里的k = k1 + k2 + k3就是角波数矢量，简称波矢。波矢的量纲与前面我们定义的倒格子矢量相同，所以，前面我们引入的倒易空间也称为波矢空间。
这样，粒子的德布罗意公式可以写成动量与波矢的形式：
p = ?k
这个式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。此式也表明，波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。
还有一个著名的量子公式是能量e正比于频率υ：
e = hυ
式也可以写成角频率（w = 2p n）的形式：
e = ? ω
角频率ω与角波数k之间的关系是：
vg = λ/T = υ/μ = ω/k
其中，vg是波包的群速度，T是周期。
3. 衍射条件
正如我们前面说过的，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。这是因为，可能存在的X射线反射由倒格矢所确定，或者说，衍射条件取决于倒格矢的分布。
关于这个结论，我们可以如下考虑：
假设一个距原点位置为r的体积元dV所散射的波的振幅正比于该体积元的电子数目n(r)dV（其中n(r)是电子密度），又设X射线的入射波矢为k，出射波矢为k'，则r处的散射波相角差为(k–k')·r = –Δk·r。这样，出射方向上散射波的总振幅就正比于n(r)dV与相位因子exp(–iΔk·r)的乘积在整个晶体体积内的积分，于是我们定义如下量F（称为散射振幅）为：
F = ∫n(r) exp(–iΔk·r) dV
由于晶体中电子密度函数n(r)是正格子的周期性函数，因此可以将上式中的n(r)用傅立叶级数展开，从而得到：
F = SG∫nG exp[i(G–Δk)·r] dV
可以证明，当Δk = G时，|F|2最大，衍射强度最大。此时，
F = SG∫nG exp[i(G–Δk)·r]dV
= SG∫nG exp(iG'·r)dV
= SG∫nG dV
= V SGnG
因此，晶体衍射的条件就是：
Δk = G
或即
k + G = k'
如果对于弹性散射，光子的能量守恒，即
e = ? ω = ? ω'
而ω正比于波矢的大小k = |k|，因此，
k2 = k'2
因此，衍射条件就变成：
(k + G)2 = k2
整理后可得：
2k·G + G2 = 0
由于–G也是一个倒格矢，因此，将上式中的G换成–G仍不失一般性：
2k·G = G2
就是漂亮的衍射条件公式。用此式可以导出布拉格（Bragg）方程和劳埃（Laue）方程，这里就不详细展开了。
如果将上述衍射条件改写成：
(2k+ G)·G = 0
那么就能理解埃瓦尔德（Ewald）作图法：以k = 2π/λ为半径作球，那么所有落在球面上的倒格子格点与圆心的连线就是衍射束的方向
1. 傅立叶展开与倒易空间
我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。所以，我们首先要处理的就是周期性函数。而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：
u(r) = u(r + T)
这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：
u(r) = SG uG exp(iG·r)
其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：
构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。而倒易基矢量由如下倒易关系给出：
b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)
b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)
b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)
之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：
ai·bj= 2πδij
这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。而这条高的长度正好是a1在这个高上的投影大小(a1cosq)，因为这条高的方向就是b1的方向，所以a1cosθ b1 = 2π。同时，由于b1的方向是高的方向，所以它与a2和a3都相互垂直。
实空间中的晶格矢量构成其体积为Va的平行六面体，即原胞。与此类似，倒易空间中的基矢量也构成一个体积为Vb的平行六面体。这两个互相倒易的平行六面体单元的体积关系也是倒易的：
Va Vb = (2π)3
对于晶格中的一个晶面(hkl)，倒格矢G = hb1+ kb2+ lb3与该晶面垂直，并且两个相邻平行晶面的间距（晶面距）为：
d(hkl) = 2π/|G|
至于为什么在倒易关系中存在2p 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的恒等式：
exp(i G·T) = 1
上式的证明只需将G与T用相应的基矢量展开即可获得。利用这个简洁的恒等式和u(r)傅立叶展开式，可以验证u(r)是周期函数：
u(r + T) = SG uG exp[iG·(r + T)] = SG uG exp(i G·r) exp(iG·T)
= SG uG exp(i G·r) = u(r)
u(r)傅立叶展开式中的傅立叶系数可以用下面的积分求得：
uG = Va–1 ∫cell u(r) exp(i G·r) dV
其中上述积分是对一个晶胞内的积分。
总之，由傅立叶变换将晶体的周期性的实空间（正格子）变换成了周期性的倒易空间（倒格子）。下面我们将看到，倒易空间对于描述晶格与粒子（如光子、电子等）之间的作用是很便利的。例如，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。
2. 倒易空间与波矢
电子、光子等微观粒子具有波粒二象性，德布罗意（De Broglie,1892～1989）为此提出了著名的德布罗意公式：
p = h/λ
根据这个公式，动量还可以写成普朗克常数乘以波数的形式：
p = hμ
在固体物理学中，人们常用到的是角波数，它与波数的关系是：
k = 2πμ
波数的含义是单位长度内所包含波的周期数；而角波数的含义就可以理解为单位长度内所包含波的相角数。这对于研究波的干涉和衍射非常有用，比如在距离上相差r的空间两点，它们之间的相角度、差就是k·r，这里的k = k1 + k2 + k3就是角波数矢量，简称波矢。波矢的量纲与前面我们定义的倒格子矢量相同，所以，前面我们引入的倒易空间也称为波矢空间。
这样，粒子的德布罗意公式可以写成动量与波矢的形式：
p = ?k
这个式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。此式也表明，波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。
还有一个著名的量子公式是能量e正比于频率υ：
e = hυ
式也可以写成角频率（w = 2p n）的形式：
e = ? ω
角频率ω与角波数k之间的关系是：
vg = λ/T = υ/μ = ω/k
其中，vg是波包的群速度，T是周期。
3. 衍射条件
正如我们前面说过的，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。这是因为，可能存在的X射线反射由倒格矢所确定，或者说，衍射条件取决于倒格矢的分布。
关于这个结论，我们可以如下考虑：
假设一个距原点位置为r的体积元dV所散射的波的振幅正比于该体积元的电子数目n(r)dV（其中n(r)是电子密度），又设X射线的入射波矢为k，出射波矢为k'，则r处的散射波相角差为(k–k')·r = –Δk·r。这样，出射方向上散射波的总振幅就正比于n(r)dV与相位因子exp(–iΔk·r)的乘积在整个晶体体积内的积分，于是我们定义如下量F（称为散射振幅）为：
F = ∫n(r) exp(–iΔk·r) dV
由于晶体中电子密度函数n(r)是正格子的周期性函数，因此可以将上式中的n(r)用傅立叶级数展开，从而得到：
F = SG∫nG exp[i(G–Δk)·r] dV
可以证明，当Δk = G时，|F|2最大，衍射强度最大。此时，
F = SG∫nG exp[i(G–Δk)·r]dV
= SG∫nG exp(iG'·r)dV
= SG∫nG dV
= V SGnG
因此，晶体衍射的条件就是：
Δk = G
或即
k + G = k'
如果对于弹性散射，光子的能量守恒，即
e = ? ω = ? ω'
而ω正比于波矢的大小k = |k|，因此，
k2 = k'2
因此，衍射条件就变成：
(k + G)2 = k2
整理后可得：
2k·G + G2 = 0
由于–G也是一个倒格矢，因此，将上式中的G换成–G仍不失一般性：
2k·G = G2
就是漂亮的衍射条件公式。用此式可以导出布拉格（Bragg）方程和劳埃（Laue）方程，这里就不详细展开了。
如果将上述衍射条件改写成：
(2k+ G)·G = 0
那么就能理解埃瓦尔德（Ewald）作图法：以k = 2π/λ为半径作球，那么所有落在球面上的倒格子格点与圆心的连线就是衍射束的方向
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