gr01 全息01 一張二維的全息底片，可以完整記錄三維物體的影像, 引力現象實際像全息現象一樣，可以用一更基本的低維理論去等價描述。這個低維的物理系，是生存在時空的邊界上的

一、引言

自‘t Hooft 1974年提出規範場論的大N展開[1] 後，人們普遍相信弦理論與大N 規範場論間存在對偶等價關係。這個猜想在低維的理論中有較多的研究及較好的結果。特別的，對於二維論純規範場論，先是Rusakov，Witten[2] 等人獲得此理論在一個genus G的二維緊黎曼流型M上的配分函數的精確表示：

Σ∫−−−= ∫= R R C NA G F F Tr gx d g e R e DA N A G Z M ) ( 2 2 2 ) ( 41 2 2 2 ) (dim ] [ ] , , [ λμμνμνλ(1)

在此R是規範群的一切不可約表示，dimR 及 C_2(R) 為R 的維數與二次Casmir，λ= g^2N 為規範場論的’t Hooft 藕合常數，基於此一結果，Gross 和Taylor[3]於1994 年證明(1)可以重寫成某些具有二維對像空間的弦理論的配分函數的1/N 展開，此重要結果提供規範場理論與弦理論對應的第一個嚴格證明。可是不足的說，這並不是一個很實際的關係，眾所皆知二維規範場論是一個拓撲理論，並沒有傳播的自由度。而二維弦理論也是極為簡單的一個模型，舉例說，它沒有包含重力在內，正因兩個理論都如此簡單，所以才有可能嚴格建立一個它們之間的關係。找出四維規範場論的弦表示，一直是理論物理家的夢想，也是最初發展出弦論的一個重要動機，但四維規範場論比二維規範場論複雜多了。一般相信，QCD 弦是QCD 色監禁的結果，但因為QCD 色監禁是一非微擾現象，至今還沒有可以完善處理它的方法。要找出四維QCD 理論的弦表示是一個相當難的問題，多年無進展。

二、AdS/CFT 對應

直至 1997 年，年輕的Maldacena 大膽提出一個關於規範場論與弦理論的假想關係[4]，他猜想四維的最大超對稱性規範場論（即所謂N = 4 超對稱Yang-Mills 理論）是超十維的IIB 型超弦理論有一對偶關係（duality relation）。這是一個頗難以置信的關係，記得1997 年十二月，筆者在瑞士CERN 研究中心參加一個關於弦，D-膜的研究討論會議， Maldacena 就他的猜想做了報告。會中不乏在弦理論研究首屈一指的學者（如Susskind, Schwarz,

弦論與規範場論的對應關係

文/朱創新

摘要

此文介紹Maldacena 提出的弦論與規範場論的對應關係。

■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年12 月 775

Green, Harvey 等），對於Maldacena的提議皆持懷疑或觀望的態度。甚至Maldacena 自己似乎也並不太樂觀，當Harvey問即使這duality是對，但有什麼用途時，Maldacena開玩笑說道或許它跟BFSS的矩陣模型[5]一樣不太實際，引得哄堂大笑。

其實這也難怪，因為Maldacena最初出他的猜想時，並沒有提供一個比較完整的字典，告訴大家怎樣把兩個理論的物理現象對應聯係起來。例如，一個四維的非引力理論，怎樣可以跟一個十維的引力理論等價？十維與四維時空差別如此之大，發生在額外六維的物理現象跑到哪裡去了？

在此有必要對Maldacena的猜想做進一步的說明。10維的弦理論有5類型，其中之一是所謂的IIB型，這弦論具有32個時空超對稱荷。在一般的時空背景下，只有一部份超對稱性維持不被破壞。能維持所有32個超對稱性的時空背景，因為對稱性較多的關係，對應的弦論也較為漂亮。在10維時空，人們很早以前便知道只有完全平整的時空R¹⁰及AdS_5×S5時空可以維持所有的超對稱性。這裡AdS5是5維的Anti-de-Sitter時空，可以想像成在6維時空中的一個超曲面：，它具有如此的度規： 1252423222120=+++++−xxxxxx

22222dxuududs+= (2)

AdS5有一個4維的邊界S4，是一個4維球。在Maldacena的構想中，規範場論正是生存在這個邊界時空上。因為S5沒有邊界，所以Maldacena說的是10維的AdS5×S5弦論是跟在它的邊界上的一個4維規範理論成對偶等價關係。而10維理論之所以可以和4維理論有相同的物理，是因為引力的一個奇特的性質・全息原理。

全息照片，相信大家在實驗課或博物館中看過，一張二維的全息底片，可以完整記錄三維物體的影像。早在70年代，人們在研究黑洞物理時便發現黑洞的熵遵守面積定理(Hawking, Berenstein)，基於此現象’t Hooft[6]首先提出引力理論的全息原理，後來為Susskind[7]發展及深化。根據此原理，引力現象實際像全息現象一樣，可以用一更基本的低維理論去等價描述。這個低維的物理系，是生存在時空的邊界上的。’t Hooft-Susskind的全息原理的提出，標誌著引力探索的一個全新方向。可是儘管這個假說十分吸引，自它提出後一直沒法被證明，甚至連找到一個實際體現這個假說的物理系統也沒有。

Maldacena的AdS/CFT對應[CFT：因為N = 4 超對稱Yang-Mills理論]是一共型理論(Conformal field theory)]，可以說是一箭雙鵰。10維IIB弦理論作為4維規範場論的一個等價表述，提供了規範場論的弦化的解答，更揭示了可以用弦論去研究色監禁這一個重要的可能性。另一方面，因為規範場論生存在10維時空的邊界上，所以可以把規範場論想像成弦論的一個全息圖，從而成為全息原理的第一個，且最重要的實際體現。

在根據Maldacena的AdS/CFT對應，10維時空中的量子圖效應，是跟4維場論中的’t Hooft 1/N展開成一一對應關係。根據’t Hooft的1/N展開，物理量可以依Hooft藕合及1/N做一雙重展開。它們跟弦論中的藕合常數gNgYM2=λs及S5的半徑長度R有如下的關係：

■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 776

⋅=sssYMgRNggππ414442􀁁(3)

上面提到，Maldacena提出Ads/CFT對應時，並沒有提供一個"字典"，可供計算及驗證這關係的正確性。所以有好幾個月這個假說大家都對此持比較保守的態度。情況直至98年2月，Witten [8]，並Gubser，Klebanov，Polyakov [9] 分別提出一個較為完整的架構，使計算及驗證成為可能。AdS/CFT的研究遂成為弦論的一個主流，自它被提出以後，有不少的進展，有興趣的讀者，可進一步參考[10]。

在AdS/CFT對應關係中，時空的引力效應原則上可用非引力的規範場論去描述。一些非常有意義的問題，如時空間的奇異性，黑洞內部的時空性質，都是人們希望可以透過這個對應關係進一步了解的。對AdS/CFT關係更深入的研究，無疑可以加深我們對量子引力的了解

可惜，因為AdS弦理論十分複雜，我們對它的了解至今仍只停留在經典的層面上，即是說在討論AdS/CFT對應關係時，多數時間是把弦圈效應忽略，僅考慮經典的引力理論及與之對應的N = ∞ 的超對稱規範場論。這對於研究有限的N的情形（即是說包括弦的量子圈效應）無疑是一極大的限制。

三、BMN對應

上面提到，長久以來，人們一直以為在十維的時空中，只有兩個時空背景，擁有32個超引力對稱性。直到2001年，情況突然改變。這年秋季，在奧地利維也納的薛丁格研究院有一個關於弦論的研討會，為期幾個月，主持人之一Blau當時是義大利的ICTP的研究員（最近受聘到瑞士Neuchatel大學），他邀請了一批對D-膜，超引力，M-理論等有濃厚興趣的學者參加。在討論過程中，發現了IIB理論中還存在著一個新的，維持最高超對稱性的時空背景[11]。他們並且發現，這個解可以從原來的AdS_5×S⁵時空背景（另一個維持最高超對稱性的時空背景）透過一個特別的極限過程得到。這個極限過程叫Penrose極限；是英國數學家Penrose於1976年研究廣義相對論及時空結構時所提出的一個極為漂亮的構造。Penrose問的問題是，給定任何一個黎曼時空，並考慮當中光所行的路徑，如果我們非常靠近這條路徑，我們會看到怎麼樣的規度呢？這問題跟問在一個n-維流型的某一點附近看到的什麼樣的空間類似 [答案：所看到的切空間為向量空間Rn]。Penrose發現他的問題也有一個普適的答案。他發現在這個光線附近的管狀領域上，度規恆常取同一形式・pp- 波型幾何：

IIJIIJdxdxdxxxxAdxdxds++=++−22)()(2(4)

而這個極限過程，即考慮某一光線附近的極限幾何，被稱為Penrose極限，需要說明，一般來說，在同一黎曼空間中可已有很多不同種類的光線，不同光線的Penrose limit會給出不同的pp- 波幾何（即不同的AIJ）。可以證明，在AdS5×S5這個黎曼黎曼流型上，只有兩類光線，取它們的Penrose極限，一種給出平直的R10空間，另一種給出一個特別的AIJ = δIJ μ2. 在此μ=常數，為描述這pp- 波空間的曲率參數)。

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因為對AdS^5×S₅存在一個對偶的規範場論表述，很自然的會問，pp- 波的弦理論也有對應的對偶表述嗎？這問題於去年二月為Maldacena及合作者Berensteim及Nastase[12]提出並解答。他們發現，如果把pp- 波幾何想像成AdS5×S5的一個極限部分，那麼它的對偶場論也應該是原來的N = 4超對稱YM規範場論中的某個特殊部分 (sector)。

他們發現，必須考慮原N = 4 SYM 中的一些特殊的算符（帶有J單位的超對稱U(1)荷），並考慮一個特殊的雙重線度極限：

N→∞, J→∞

J2/N = 固定, (5)

YMg = 固定.

這有利於原來的’t Hooft大N極限：

N →∞,

J2/N →0, (6)

2YMgN = 固定.

這些特殊的算符，被稱為BMN算符。在這極限，它們的anomalous dimension 有限，並與弦論中的各種粒子的質量成對應。BMN並發現在Penrose極限下，AdS5×S5的弦理論得以化簡，極限的pp- 波的弦理論更是完全可積系統，從而它的所有弦態及質量皆可完整獲得。這是人們在規範弦場論對應關係中可以研究弦效應的首次勝利，是原來的AdS/CFT對應關係無法做到的。

BMN對應關係比AdS/CFT對應來的實際，因為不管在弦，還是場論方面，人們都可以做微擾計算，從而為研究及驗證這關係打下一個基礎。BMN對應關係亦成為弦論的另一主流方向。在BMN原本的文章中，它們只提出自由的弦論與規範場論的對偶關係。不久，人們意識到引入相互作用的可能性，並提出了弦的三頂角作用與場論中的相關函數的關係 [13]。這猜想獲得一定的支持，但也有一些問題，特別是當推廣到含有費米子的情形，仍待解決。

四、結語

長久以來，人們期待可以把引力及其他作用力統一描述。Klanza-Klein理論漂亮地把規範場與引力統一到高維的引力理論中。但因愛因斯坦的引力理論存在量子化的問題，所以不能成功。弦論把各種相互作用統一，只需要單一的弦作用，可以包括所有的作用力。不單如此，因為弦論不存在紫外發散問題，所以弦論是一完備的量子引力理論。弦規範場論對應關係的成立，似乎表示或許量子引力及弦論並不是最基本的，或許引力現象只是更基本的規範場的動力學效應的一種展現。其實很久以前，人們己經有這樣的猜想[14]。徐教授最近也再次提出了這個想法[15]。

透過弦規範場論對應關係的研究，預期將可加深我們對引力及時空結構的基本了解。或許一場橫時代的物理革命正在醞釀。

參考資料：

[1] G. 't Hooft, Nucl .Phys .B 72, 461 (1974).

[2] B.E. Rusakov, Mod. Phys. Lett.A 5, 693 (1990);