log01 劇變論（三） 蝴蝶點劇變及其應用

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1977年 4月 88期｜上一篇｜下一篇 ＃發行日期：1977、04 ＃期號：0088 ＃專欄：劇變論（三） ＃標題：劇變論（三） 蝴蝶點劇變及其應用 ＃作者：蕭欣忠 ．圖一 ．圖二 ．圖三 ．圖四 ．圖五 ．圖：作者蕭欣忠現任淡江文理學院數學研究所教授。		劇變論（三） 蝴蝶點劇變及其應用 【摘要】劇變論正以嶄新的姿態出現，引起了廣泛的注意。 在前篇中我們已經知道兩族摺點劇變（fold catastrophe）會合成一個尖點劇變（cusp catastrophe），同樣兩族尖點劇變會合成一個燕尾點劇變（swallowtail catastrophe）。本文想來考慮如何把兩族燕尾點劇變會合成一個更高一級的蝴蝶點劇變（butterfly catastrophe）。 我們來考慮具有四個參數（t，u，v，w）的多項式： V(x)＝1/6x6+1/4tx4+1/3ux3+1/2vx2+wx 其導數為V'(x)＝x5+tx3+ux2+vx+w。在（t，u，v，w，x）五維的空間中考慮由V'（x）＝0所決定的四維超曲面（hypersurface）M，它叫做劇變曲體（catastrophe manifold）。 M展布在（t，u，v，w）控制空間之上。由於維數太高，我們當然沒辦法全部畫出來。但是我們可以仿造前篇之中所使用的方法，藉著V"(x)＝5x4+3tx2+2ux+v，V"'(x)＝20x3+6tx+2u以及V(4)(x)＝60x2+6t來找出那些使得V'(x)＝0具有二重根、三重根或者四重根之點。我們知道，若一點（（t，u，v，w）能同時滿足：V'(x)＝0及V"(x)＝0，則V'(x)＝0具有二重根。至於能夠同時滿足V'(x)＝V"(x)＝V'"(x)＝0之控制點（t，u，v，w），當然就能使V'(x)＝0具有三重根。同樣藉著解聯立方程式V'(x)＝V"(x)＝V'"(x)＝V(4)(x)＝0可以得到所有使得V'(x)＝0具有四重根之控制點。這點集是一條曲線，其方程式為： t＝-10x2，u＝20x3，v＝-15x4，w＝4x5…（1） 大略說來，我們的目的是這樣子的：我們想要在控制空間中找出V'(x)＝0的判別式（discriminant）K，這個判別式K能夠把整個控制空間（t，u，v，w）分成若干部分，使得在某一部分V'(x)＝0單單只有一個實根，但是在另外一部分V'(x)＝0卻有三個實根，又在別的一部分V'(x)＝0具有五個實根。既然V（x）是個六次方程式，當x為正負無窮大時V（x）值必為正無窮大，而且V'(x)＝0之實根代表y＝V（x）曲線之極大或極小，可見當V'(x)＝0只有一個實根時，這實根代表V（x）的極小。但若V'(x)＝0有三個實根，則這三根按大小排列分別為極小、極大、極小。如果V'(x)＝0有五個實根，則按大小排列依次為極小、極大、極小、極大、極小。 由（1）式，一個控制點若使得V'(x)＝0具有四重根，則t值不可能為正值，因此為了便於畫出判別式K的圖形，我們來考慮控制空間中隨便一個其t值為常數的三維空間。我們可以把這些t＝常數的三維空間區分為三類：1.t＝a2為隨便一個正常數；2.t＝0控制空間中所有（0，u，v，w）之點；3.t＝-a2為隨便一個負值常數。為了方便起見我們分別把這三類的控制空間中的t為常數的三維空間記為，S0以及。首先來考慮K在中的截面，它應該是中的一個曲面，能把畫分成一些部分，使得在不同的部分V'(x)＝0有不同數目的實根。圖一就畫出K的形狀，它好像一個屋頂由兩個曲面（二重根之點）沿著曲線C交結而成。其中C是中使得V'(x)＝0具有三重根之點所集成，其方程式可從解聯立方程式： V'(x)＝V"(x)＝V'"(x)＝0而得，應為：u＝-（10x3+3a2x），v＝（15x4+3a2x2），w＝-（6x5+a2x3），這是一條很簡單的曲線，如圖一所示。 在三維空間中考慮各個u＝常數的平面，這種平面跟K的交線方程式可以藉著解V'(x)＝V"(x)＝0（其中令t＝a2，u＝常數）而得： 應為：u＝-（5x4+3a2x2+2ax)， w＝（4x5+2a2x3+ux2)這種曲線畫出來也十分簡單，只是些尖點曲線，其尖點落在三重根曲線C之上。因此K可視為一族其尖點沿著C變動的尖點曲線所構成的曲面。這曲面把劃分成兩部分，在外側Ⅰ的部分，只有一個實根，這是一個V(x)的極小。但是在K的內側，V'(x)＝0有三個實根，故為V(x)的兩個極小夾一個極大。因此如果極小代表穩定的物理狀態，則在Ⅱ中存在兩種穩定的物理狀態彼此相競爭。如果採用Maxwell法則，規定在那種使得兩個極小具有相等之V值之點，這兩個極小彼此相持不下，不分勝負，我們就可以得到一個以C為邊界的激震波（shook wave）曲面W，以分隔這兩個相衝突相競爭的極小之勢力範圍。 其次考慮K在S0中的截面，其情況跟圖一完全類似，只不過這時三重根曲線的方程工變為：u＝-10x3，v＝15x4，w＝-6x5，這曲線在原點十分的平直（flat）。每個u＝常數的平面與K的交線方程式為：v＝-(5x4+2ux)，w＝(4x5+ux2)。這仍然都是尖點曲線。 K在之中的截面情形就變得相當的複雜。圖二先畫出三重根曲線C。這時曲線不再像圖一中的C那麼單純，因為它的方程式變成為： u＝-(10x3-3a2x) v＝(15x4-3a2x2)………（2） w＝-(6x5-a2x3) 其中-3a2x，-3a2x2，-a2x3等項在x值不大時發生很大的作用，使得C從（－，＋，－）的象限（x為大正值之時）一直伸展到P1點，在這兒C有一個轉折，然後經過原點到達P2，在這兒第二次轉折，而逐漸伸展向（＋，＋，＋）象限的無窮遠處。這兩個特別的轉折點其實正是四重根點。記得（1）式在控制空間中為一條曲線，它跟【瀏覽原件】的交點就是在（1）式中令t＝-10x2＝-a2，因此x2＝a2/10而有【瀏覽原件】，這樣的x值分別代入u，v，w便得P1 P2點。曲線C由於轉了兩折，在圖二中形狀像燕尾形，但是要記得C并不跟本身相交。當u=0時，由（2）式 x＝±√3/10a，因此【瀏覽原件】表示由（－，＋，－）升上來第一次碰到u=0平面之時w值為負，但曲線到P1時w值已升為a5/(25√10)，轉折後w值逐漸減少到0再減少到P2之-a5/(25√10)，在P2轉折後w值急速上升，等到曲線再交u=0的平面時w又已經是正值6√3/(25√10)a5了。 現在我們要藉著圖三來看出裏K的形狀到底如何。還是照樣取各個u＝常數的平面，這種平面跟K的交線方程式是： v＝-（5x4-3a2x2+2ux)，w＝(4x5-2a2x3+ux2)，…（3） 當u＝常數小於-√2/5a3或大於√2/5a3時，（3）式形狀很好，都是尖點曲線，就像圖三中最左邊或最右邊的交線。但是當u＝常數由P2的-√2/5a3變化到P1的√2/5a3時，這交線的形狀變得大為不同。從開始出現一個小小的燕尾形，演變成這個小燕尾形刺過尖點曲線的另一支而結果形成兩個聯合在一起共有一個共同尖點的燕尾形。然後一個燕尾形收縮，又演變成單單剩下一個小燕尾形，而後逐漸完全消失。 當u＝小值的常數時，（3）式這條曲線的形狀很像蝴蝶；只要把圖三上方的第四截面圖顛倒過來看就是。這曲線把u＝常數的平面劃分為幾部分：Ⅰ的部分只有一個實根，因此 V(x)只有一個極小。Ⅲ的部分有五個實根，因此有三個極小。兩個被點了一小點的三角形以及Ⅱ的部分有三個實根，因此有二個極小。在圖四中我們能把這件事看得更加清楚。在 V'(x)=0中，令t＝-a2，u＝常數，則V'(x)＝x5-a2x3+ux2+vx+w=0變成一個展布於（v,w）平面上的曲面，在Ⅰ上只有一層（一個極小），但是在Ⅱ的部分卻有三層（二個極小、一個極大），在Ⅲ的部分有五層（三個極小、二個極大）。這個曲面就是劇變曲體M在【瀏覽原件】軸這個三維空間裏所呈現的樣子，其中【瀏覽原件】代表【瀏覽原件】之中u＝常數的平面。 圖四中當u是個不為0的小值常數時，【瀏覽原件】平面中的蝴蝶形曲線對於v軸並不對稱，蝴蝶形是偏向扭曲的。但是如果u=0，則（3）式變為v＝-（5x4-3a2x2)，w＝4x5-2a2x3。這是個對於v軸對稱的正蝴蝶形。由於u值的變化會影響蝴蝶曲線的形狀，因此u通常就叫做偏向因子（bias factor）。在圖四中如果我們考慮v＝常數的平面做為截面跟M所形成的交線，我們能看出，當v＝負值常數時（考慮直線E1），這交線的形狀我們十分熟悉，它其實已出現在尖點劇變的模型之中，上下兩支代表極小，中段卻代表極大。因此對於v小於0而言，圖四其實就是個尖點劇變的模型。控制因子沿著E1變動會產生突然的不連續的劇變現象，由一個極小跳到另一個極小。如同前篇中已定義，我們稱v為分裂因子（splitting factor），稱w為正則因子（normal factor）。另一方面，在圖四中，當v是個比較大的正值常數時，例如考慮E2直線（當u=0時，由（3）式容易算出只需要求v大於9/20a4便可），這交線根本不打摺，因此控制因子沿著E2變動時根本不產生任何劇變現象，這也是尖點劇變模型中我們所早已熟悉了的。圖四這個模型中最有趣的部分是當v等於小值的正數之時，因此讓我們考慮【瀏覽原件】中平行於w軸的直線E3及E4，這時M上位於E3及E4上方的兩條曲線形狀分別畫成圖五之中的E'3及E'4。這兩條曲線都打了四摺，上下及中間的實線段代表極小，連結這些實線段的點線段代表極大。 在E'4的情形，如果控制點沿著E4從右往左移動，而且我們使用第二篇所介紹的拖延法則（Delay Rule），則極小最初位於E'4的最上支，一直連續移動到A點，然後發生劇變現象一下子從A跳躍到中層的A'點，然後連續沿中層一直走到A"，再次發生劇變而跳躍到最底下的極小A"'。反過來，如果控制點是在E4上從左往右移動，則極小在最下支右移到B點，發生劇變跳到中支的B'點，然後連續沿中支右移到B"點再次發生劇變而跳到上支的B"'點。但是如果考慮E'3，情形就有點不同，這時儘管仍有中間的極小存在，但是它的範圍不很大，並不位於A（或B）點的下（或上）方，因此若使用拖延法則則劇變現象直接在上下支之間變動，不取道中支的極小。 從圖一到圖五我們用最粗淺的方法已經把包含四個控制因子（t, u, v, w），藉用位函數V(x)＝1/6x6+1/4tx4+1/3ux3+1/2vx2+wx所考慮出來的基本劇變（elementary catastrophe）模型介紹完畢。這個數學模型通常就叫做蝴蝶點劇變（butterfly catastrophe）模型。我們已知v為分裂因子，w為正則因子，u為偏向因子，至於t我們喜歡把它稱為蝴蝶因子（butterfly factor），原因很簡單，t的變動會影響蝴蝶形之是否出現：當t由0變到負值時，蝴蝶形開始出現，t變成愈大的負值，蝴蝶形也愈顯著。這時除了原來存在的兩個極小（上下兩層）之外，有一個新的，介於兩者之間的極小出現。這個在M中有點像V形口袋的中層極小通常稱為折衷袋（compromise pocket）。它的出現常常能使兩種互相對立的意見得到協調。 例如我們從新來思考第二篇之中已經詳細解說了的實例，我們把一個民主政府的決策變化看成是按照一個尖點劇變模型所發生的變化。那時我們只考慮兩個控制因子，費用（cost）是個分裂因子，受威脅程度是個正則因子。但是如果我們比較仔細分析，其實影響政府決策的因子還有：1.受攻擊的難易程度：如果一個國家高度工業化，而且制空權完全掌握在敵人手中，則大家會特別考慮到國家很容易受到空襲而致癱瘓，因此會有較多的人傾向於講和妥協，但是如果這國家是個農業國，而且有廣大的幅員，險要的地形易於防守又不受攻擊所癱瘓，則會有較多的人傾向於不惜一戰。因此我們假設這個受攻擊難易程度的因子為一個偏向因子。2.時間：時間常常是改變民意曲線的重要因素。特別當費用、威脅性以及受攻擊難易程度都是中等之時，常常民眾會對於戰爭感到厭煩，但卻又不想撤退或投降，因此就有愈多的人贊成談判停火，這是一個介於鷹派與鴿派之中的折衷派意見，因此我們可以假設時間為一個蝴蝶因子。 在這四個因子的影響下，我們考慮-V(x)＝(1/6x6+1/4tx4+1/3ux3+1/2vx2+wx)。保持圖一到圖五所有圖形，只是把所有極大改為極小，極小改為極大，便得出民主政府決策的變化是依照一個蝴蝶點劇變模型而變化。在很多的應用上常是這樣，決策者終於捨棄了兩個互相對立的政策而採行一個折衷的政策，因為這時正則、分裂以及偏向因子都不太顯著，因此使得蝴蝶因子相應地顯出它的功用來。注意在一個蝴蝶點劇變模型裏，當正則及分裂因子很強時，蝴蝶因子就顯不出其功能了。 摺點劇變單單涉及一個控制因子，尖點劇變涉及兩個控制因子，燕尾點劇變涉及三個控制因子，蝴蝶點劇變則涉及四個因子。同樣我們可以繼續藉著考慮位函數V(x)＝1/7x7+1/5ax5+1/4bx4+1/3cx3+1/2dx2+ex，或者V(x)＝1/8x8+1/6ax6+1/5bx5+1/4cx4+1/3dx3+1/2ex2+fx等等而得出涉及五個、六個等等控制因子的基本劇變模型。兩族蝴蝶點劇變可以會合而形成涉及五個控制因子的印第安帳幕點劇變（wigwam catastrophe）。兩族印第安帳幕點劇變又可以適當會合而形成一個涉及六個控制因子的星點劇變（star catastrophe）等等。有人已經有系統的考慮到涉及25個因子之時的基本劇變模型。這些要畫出圖形來實在太難了，因為我們只能直覺地領會三維空間裏的圖形。通常這一類的基本劇變模型統稱為尖族基本劇變（cuspoid）。它的位函數只包含一個變數x。 如果一個位函數之中含有兩個變數x y，例如考慮： V1(x,y)=x3+y3+ax+by+cxy（有三個控制因子），或V2(x,y)=x3-xy2+ax+by+c(x2+y2)（有三個控制因子），或V3(x,y)=x2y+y4+ax+by+cx2+dy2（有四個控制因子）。 那麼我們照樣可以藉著考慮其第一次偏導數等於零（例如在V1的情形，就取∂v1/∂x＝3x2+a+cy＝0及∂v1/∂y＝3y2+b+cx＝0）而得出一個劇變曲體。然後求出其分歧點集（bifurcation set）。這一類的基本劇變模型叫做臍點（umbilic）劇變模型，由於相當複雜及篇幅的限製，我們在這兒不加以討論。 已經有非常精確又嚴謹的數學理論把所有藉著某一個位函數之極小所得出的劇變現象加以分類，這樣的理論就叫做基本劇變論。這方面最出名的定理就是董禮內教授的分類定理，其中說到如果我們只考慮四個控制因子，那麼藉助於一個位函數之極小所能得到的不連續性的劇變現象皆不外於上面所編的七種基本劇變模型（四個尖族劇變，三個臍點劇變）之中所出現的。為了證明董教授這樣的分類定理，有許多的數學理論與工具被創造與運用起來，例如貫截性（transversality）的理論或者普遍拆展（universal unfolding）的理論等等。因此劇變論明顯地引發了許多數學新理論的發展。紀曼教授講過這樣的一個故事：在一九六○年代的初期，當董教授正在發展他的分類理論時，他急需一些特別的工具。要是某一些東西能夠照著他的理想被講全了，那麼他的分類定理大概就沒問題了。為這事他找上了馬蘭治（Malgrange）教授，要馬教授設法搞出這些東西來。起初馬教授有些不願意，因為問題相當不簡單，但是後來他終於搞了出來，而解決了分類定理。後來大家就一直把這些麻煩的東西稱為馬氏預備定理（Malgrange preparation theorem）。像這樣，劇變論引發又帶動了許多數學新理論的發展，這是劇變論重大貢獻之一。 劇變論也引來許多新的非常麻煩的問題，許多都還不曉得如何去解決的。請參看第一篇末尾所列由董教授所寫的「劇變論之現況及展望」一文。董教授最感興趣的是嚐試把劇變論應用到胚胎學、生物化學之中。這樣的應用並不限於基本劇變論，而必須考慮到一般的不能藉某個位函數來獲取的廣義劇變（generalized catastrophe）現象，這些當然非常麻煩，但是董教授有不少好主意去處理又運用他們。請參看他的書：結構的穩定性與形態學。
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