Wednesday, August 14, 2013

log01 自然對數漫談 - 法逐步縮小底數 e 對數 於對數、其數的間隔更密

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自然對數漫談 - 中研院數學研究所

w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d231/23111.pdf

物理學家阿基米德就注意到下面數列之間. 的一一對應關係: 100, 101, 102, 103, .... 底的對數函數的導數都會引出一個以e 為底. 的對數。 如以對數函數y = loga x 為 ...



, 為生產

學各分支提重要的工具。生產

的發展學又更新更,

的發展。同, 的提高與

計算方法的改, 生產

部門起著的推動作,

斷發展歸底決生產

。以10為底的常用人們對

等運算要求快速而

是由於分學的產

可以變量發展

本文談談自數有的的

. 及對編製

16, 由於業的

, 人們需要進行的方

位。到了大計算課題需要

們去。如何計算便是當時需要

決的社會的需要使學家乃

學家力去造一種新的便

計算方法。對樣的件下

生的

運算第七種

運算與解何、人們

17就。

對對數的發現作如? 完全

數方法於社會和人作出

。對

於是計算以大大,

生產的發展國大

(Laplace, 1749-1827) 說過:

納皮爾數的發明, 是減省了天學家

的工, 是相當於增其

真是如其分。

1554, 學家基弗對下面等

比數列和進行:

・ ・ ・ 24, 23, 22, 21, 20,

21, 22, 23, 24, . . . (1)


・ ・ ・
1

16
,
1

8
,
1

4
,
1

2
, 1, 2, 4, 8, 16, . . . (1)

・ ・ ・ −4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . (2)

發現數(1) (1) 除關係可以

為數(2) 係。且他發現數

(1) (1) 係也可以

為數(2) 除關係。就, (1)

(1) 中任取兩個() 運算所得

(), “對下來(2) 中取

的數作加() 運算, 其和() “對上

是所求的()



70
 
71

就在於此, 便數思想的。但,

基弗僅僅發現這一質而, 他並

據此性進一步研, 更沒有編製

來。

果我基弗所發現的性用現

在對示的, 便:

a b = ab


↓ ↓ ↓ ↓
log2 a+log2 b=log2(a + b)

可以是最早的最原始對。如表一

N ・ ・ ・ 1



16

1

8

1

4

1
 
2 1 2 4 8 16 ・ ・ ・

log2 N ・ ・ ・−4321 0 1 2 3 4 ・ ・ ・

()

: 基弗最早最原始

原始使不大。

太大, 數無法

到。如計算6 × 3, 21 ÷ 1.6 中就

沒有麼辦? 人們在實發現, 真正有使

表一使真數N

。因, 在利法或運算

, 從真數出其相應的,

還要經過運算後的和、

, 應的真數, 張真正

使, 使其真數的

, 且對數的密。

, 是由真數查; 是由數查真

, 較精

那麼, 怎樣能編製真數、對數的

?

. e 為底的的產生

在公元前200, 學家

物理學家注意到下列之

一一:

100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, . . .

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

們也具基弗所發現的性。可

以使運算轉較簡

運算。但德當時沒有這一

繼續進行下去。如果當時能編製

張真數110也就

了。在樣的中對意正數的就容

易求得了。的是最早真正使

10為底的,

學家納皮爾(J. Napier 1550-1617) 1614

編製Napier

分學之前, 想直接用10為底

編製用的是比。人們在

期的到了以e 為底作出

來。麼選e 數的底數?

其原因:

1. 分學之前, 真數

相應的數是有當時

N = aloga N, 相應的真

, 計算要進行開運算

取以10為底的, 作出對

0.0001 , 表二中可以須計

10000 10, 10000 100, 10000 1000, . . .,

當時, 要計算出來何容, 是很難辦

10000次方的,人們

否可以底數些。如以

1010000 為底, 樣指數為10000, 與開

10000 次方相計算起來就便多

了。如表三

72 學傳231期民883

log10 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ・ ・ ・

N 100 = 1 100.0001 = 10000 10 100.0002 = 10000 100 100.0003 = 10000 1000 ・ ・ ・

()

: 取以10為底, 0.0001

log1010000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ・ ・ ・ N (1010000)0 = 1 (1010000)0.0001 = 10 (1010000)0.0002 = 100 (1010000)0.0003 = 1000 ・ ・ ・

()

: 取以1010000 為底, 計算起便多了。

樣改, 數的是比() 小了

, 計算起來也便了,

運算。但真數的, 越靠

大。因, 真數是

用的, 由真數查就不了。

查真數為384,

了。之不, 人們又否將

底數小。如210000, 見表四

log210000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ・ ・ ・

N (210000)0 = 1 (210000)0.0001 = 2 (210000)0.0002 = 22 (210000)0.0003 = 23 ・ ・ ・

()

: 取以210000 為底的, 計算起便

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