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自然對數漫談
宋秉信
數學是科學技術的基礎, 它為生產技術
和科學各分支提供重要的工具。生產技術和
科學的發展對數學又提出更新更高的要求,
促進數學的發展。同時, 數學理論的提高與
計算技術和方法的改進, 對生產技術和科學
各部門起著很大的推動作用。所以說, 數學的
不斷發展歸根結底決定於人類生產實踐的需
要。以10為底的常用對數就是基於人們對數
字的乘除、乘方和開方等運算要求快速而發
展起來的。自然對數則是由於微積分學的產
生可以解決變量之間的函數關係而發展起來
的。本文主要是談談自然對數有關的的問題。
一. 對數及對數表的編製
早在16世紀末, 由於航海事業的蓬勃發
展, 人們需要進行天文觀測來確定船隻的方
位。這就遇到了大量繁雜的計算課題需要人
們去研究。如何簡化計算便是當時逼切需要
解決的問題。社會的需要促使數學家乃至於
天文學家著力去研究並創造一種新的簡便的
計算方法。對數就是在這樣的歷史條件下產
生的。
“對數”是繼乘方、開方運算之後第七種
數學運算。它與解析幾何、微積分被人們視為
17世紀數學領域裡最偉大的三大成就。為什
麼對對數的發現作如此高的評價呢? 這完全
在於對數方法對於社會和人類所作出的巨大
貢獻。對數能將乘除、乘方和開方轉化為加
減、乘除。於是繁雜的計算得以大大的簡化,
促進了生產技術和科學的發展。法國大數學
家拉普拉斯(Laplace, 1749-1827) 曾說過:
“納皮爾對數的發明, 不僅是減省了天文學家
的工作, 而且是相當於倍增其壽命”。這個評
價真是恰如其分。
1554年, 德國數學家史基弗里對下面等
比數列和等差數列進行比較:
・ ・ ・ 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20,
21, 22, 23, 24, . . . (1)
・ ・ ・
1
16
,
1
8
,
1
4
,
1
2
, 1, 2, 4, 8, 16, . . . (1′)
・ ・ ・ −4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . (2)
他發現數列(1) 或(1′) 的乘除關係可以轉
化為數列(2) 的加減關係。而且他還發現數
列(1) 或(1′) 的乘方和開方關係也可以轉化
為數列(2) 的乘除關係。就是說, 在數列(1)
或(1′) 中任取兩個數作乘(除) 法運算所得
的積(商), “對下來”在數列(2) 中取相對應
的數作加(減) 法運算, 其和(或差) “對上
去”就是所求的積(或商)。“對數”一詞的來源
70
自然對數漫談71
就在於此, 這便是對數思想的萌芽。但是, 當
時史基弗里僅僅發現這一性質而已, 他並沒
有根據此性質作進一步研究, 更沒有編製出
對數表來。
如果我們把史基弗里所發現的性質用現
在對數符號來表示的話, 便是:
a ・ b = ab
↓ ↓ ↓ ↓
log2 a+log2 b=log2(a + b)
這可以說是最早的最原始對數表吧。如表一。
N ・ ・ ・ 1
16
1
8
1
4
1
2 1 2 4 8 16 ・ ・ ・
log2 N ・ ・ ・−4−3−2−1 0 1 2 3 4 ・ ・ ・
表(一)
註: 史基弗里想像中最早最原始的對數表。
這個最原始的對數表的使用價值不大。
因為它的間隔太大, 有許多數無法在表中查
找到。如計算6 × 3, 21 ÷ 1.6 等在表中就
沒有。怎麼辦? 人們在實踐中發現, 真正有使
用價值的對數表一定要使真數N 的間隔很
密才行。因為, 在利用對數作乘法或除法運算
時, 不僅要從真數表中查出其相應的對數來,
而且還要將查到的對數經過加減運算後的和、
差, 反查出它所對應的真數表, 因此一張真正
有使用價值的對數表, 不僅要使其真數的間
隔很密, 而且對數的間隔也必須很密。只有這
樣, 不論是由真數查對數; 還是由對數查真
數, 都比較精確。
那麼, 怎樣才能編製出真數、對數的間
隔都比較密的對數表呢?
二. 以e 為底的對數表的產生
早在公元前200年, 古希臘著名數學家
和物理學家阿基米德就注意到下面數列之間
的一一對應關係:
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
它們也具有史基弗里所發現的性質。可
以使冗繁的乘除法運算轉化為較簡單的加減
法運算。但阿基米德當時也沒有把這一研究
工作繼續進行下去。如果當時他能編製出一
張真數範圍在1到10之間的對數表也就足夠
了。在這樣的表中對於任意正數的對數就容
易求得了。遺憾的是歷史上最早真正能使用
的對數表不是以10為底的對數, 而是英國數
學家納皮爾(J. Napier 1550-1617) 在1614
年編製出的Napier 對數。
在微積分學創立之前, 想直接用10為底
來編製適用的對數表是比較困難的。人們在
長期的實踐中逐步找到了以e 為底作出適用
的對數表來。為什麼選用e 為對數的底數呢?
其原因是:
1. 在微積分學創立之前, 要以真數算出
它相應的數來是有一定困難的。當時只能利
用公式N = aloga N, 從對數算出相應的真
數, 這樣在計算時只要進行開方運算。
如果取以10為底的話, 要作出對數間隔
是0.0001 的表來, 從表二中可以看出必須計
算1000√0 10, 1000√0 100, 1000√0 1000, . . ., 這
在當時, 要計算出來談何容易, 是很難辦到的
事情。為避免開10000次方的困難,人們很自
然地想到是否可以把底數選得大一些。如以
1010000 為底, 這樣指數為10000, 正好與開
10000 次方相對消。而且計算起來就方便多
了。如表三。
72 數學傳播23卷1期民88年3月
log10 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ・ ・ ・
N 100 = 1 100.0001 = 1000√0 10 100.0002 = 1000√0 100 100.0003 = 1000√0 1000 ・ ・ ・
表(二)
註: 取以10為底, 對數間隔為0.0001 的對數表
log1010000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ・ ・ ・ N (1010000)0 = 1 (1010000)0.0001 = 10 (1010000)0.0002 = 100 (1010000)0.0003 = 1000 ・ ・ ・
表(三)
註: 取以1010000 為底, 對數計算起來方便多了。
這樣改進, 對數的間隔是比表(二) 小了
一些, 且計算起來也方便了, 因為避開了開方
的運算。但真數的間隔仍嫌過大, 而且越靠後
越大。因此, 用這張表從對數反查其真數是適
用的, 反過來由真數查對數就不怎麼適用了。
如要查真數為384的對數,這張表就無能為力
了。為了彌補上述之不足, 人們又想到是否將
底數縮小。如縮小為210000, 見表四。
log210000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ・ ・ ・
N (210000)0 = 1 (210000)0.0001 = 2 (210000)0.0002 = 22 (210000)0.0003 = 23 ・ ・ ・
表(四)
註: 取以210000 為底的對數表, 計算起來更加方便
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