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人可以同時唱出兩個聲音嗎？
泛音唱法的物理基礎
蔡振家
德國柏林洪堡大學音樂學博士班
德國柏林洪堡大學音樂學博士班
摘要
泛音唱法（overtone singing）的歌唱方式是保持一個低音的音高不變，但依次凸顯其泛音列上的音，所以能在持續的基音上同時唱出另一個高音聲部。本文將簡介泛音唱法的技巧與聲學模型，並提出 Helmholtz 共振子（resonator）的新解釋，這個模型並在筆者所進行的「口簧琴╱泛音唱法」實驗中得到證實。
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目次
- 引言
- 泛音唱法的技巧
- 人聲的物理原理--管模型
- 受迫振盪系統及其阻抗
- Helmholtz共振子的兩種情形：Sygyt唱法與口簧琴
- 管模型與Helmholtz共振子模型的適用範圍
- 結論
- 參考資料
- 網路資源
- 註解
- 作者介紹
引言
要奏出旋律可以有兩種方式，第一種方式是改變音高，第二種方式是固定基音的音高但依次凸顯泛音列上的不同的音，由這些泛音串成一條旋律線。以第二種方式來演奏音樂的樂器非常少，主要有口簧琴、口弦（這些都是台灣原住民所用的樂器），而用這種"另類"方式來唱歌的藝術，則稱為「泛音唱法」（overtone singing）。這些泛音旋律線的產生，都是以口腔作為共鳴腔，因為舌頭可以調整此共鳴腔的大小。
泛音唱法發源於蒙古、西藏、吐瓦1、西伯利亞等地，當西方人在十九世紀初次接觸到這種歌唱方式時，莫不大感驚異，因為歌者能在一個持續的低音之上，同時唱出另一個像口哨聲的高音，故這種唱法也稱為「雙聲唱法」（double-voice singing），在發源地則被稱為「喉音唱法」（throat singing）。這種唱法雖然非常另類，但並非魔術，更不是因為蒙古人有特殊的聲帶構造，相反的，它是一種人人可學的歌唱技巧，近三十年來，西方樂壇中出現不少學習泛音唱法有成的音樂家，影響遍及古典與流行樂界。2000年十月於台北舉辦的「亞太藝術論壇」中，來自吐瓦共和國的樂團一鳴驚人，民族音樂學家陳光海在關渡藝術學院講授泛音唱法的講座場場爆滿，筆者也跟在場的聽眾一樣，沉迷於這聞所未聞的歌聲中，時時刻刻都在揣摩、練習泛音唱法。
本文除了介紹泛音唱法的主要技巧，將提出新的聲學解釋：Helmholtz共振子，並以自己所唱的聲音來證實此一模型。
內文
首先介紹一些基本的聲學觀念。
由傅立葉理論可知，任何周期波都可以分解為許多正弦波的疊合，這些正弦波的頻率是該波頻率的整數倍，稱為泛音。不同樂器的音色不同，主要的差別便是它們所產生的聲音各個泛音間的相對強度不同所致，所謂的頻譜（spectrum）可將這些泛音的相對強度顯示出來。圖1A是撥動口簧琴後所產生的聲波，經過傅立葉分析可得到其頻譜（圖1B），可以觀察到，它的基音最強（約167Hz），高泛音則弱得多，另外，它的偶數倍的泛音比較弱，這暗示著口簧琴的振動頗為對稱。
圖1A
圖1B
聲源的頻譜經過共鳴腔的作用後可以產生很大的變化，圖1D是口簧琴放在口邊演奏的頻譜，它經過口腔的共鳴後，一些高泛音被凸顯出來。一個共鳴腔的共鳴效果由共鳴曲線（resonance curve）來表示（圖1C），聲源頻譜與共鳴曲線兩個函數相乘之後，才是最後所得聲音的頻譜（圖1D）。
圖1C
圖1D
1. 泛音唱法的技巧
專精於泛音唱法的吐瓦人，他們指涉歌唱技巧的名目繁多，在此無法一一介紹，但最重要的大約只有兩種：Sygyt 與 Kargyraa，這兩種唱法都用到第 6、8、9、10、12、13泛音，從泛音列的樂譜（圖2）可以看出，這些音恰好構成了五聲音階。
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| 圖2 吐瓦、蒙古人的泛音唱法所使用到的音，即圖中的黑色音符 |
Sygyt 原意為吹口哨，這種演唱技巧的重點是將舌頭拱起，在口腔前端隔出一個小的共鳴腔，同時喉部發出緊而扁的嗓音（這種嗓音的高泛音比較明顯），經由舌頭的前後移動，改變共鳴最強的泛音，共鳴腔越小，則所強調的泛音越高（圖3）。
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圖3A Sygyt 泛音唱法，舌頭由後向前、再由前向後移動，可得此旋律線
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圖3B Sygyt唱法的技巧，舌頭拱起，在前端造出共鳴腔 (http://www.sciam.com/1999/0999issue/0999levinbox6.html)
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Kargyraa 演唱技巧的重點，是要運用「假聲帶」以唱出極低的基音2，舌頭平放，經由張口的大小來改變共鳴最強的泛音，張口越大，則所強調的泛音越高。Kargyraa 的演唱方式跟西藏喇嘛唱梵的原理相同，他們在打坐冥想時會發出這種極低的嗓音，故此發聲狀態亦稱為 chant mode（圖4）。
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圖4 Kargyraa 泛音唱法需要發出一個50-60Hz的低音，要有效發出這樣不可思議的低音（西方歌劇歷史上最低音唱到65Hz）只有一個辦法：運用假聲帶可以將正常的聲音降低八度，藉此進入了極不尋常的 chant mode。
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無論是那一種泛音唱法的技巧，都與平常說話、唱歌時運用聲帶的方式不同，故蒙古人也強調，若學習方式錯誤，泛音唱法可能會對嗓子有害。
2. 人聲的物理原理--管模型
在談泛音唱法的物理原理之前，我們必須對人的發聲系統先有一番瞭解。
在中學理化課中，我們都學過開管與閉管中的駐波，開口端是速度通量波函數 U(x )的波腹，閉口端是 U(x)的波節。成年人的發聲系統類似於一個約 17公分長的圓柱管，它在嘴巴這端是開口的，在聲帶這端被視為是閉口的，理論上，這種管子裡的駐波頻率約為 500Hz、1500Hz、2500Hz....等，這些可形成駐波的頻率在管中有特別好的共鳴，故於頻譜上顯示出高峰，它們被稱為 formant。舉例而言，當我們唱出母音ㄜ時，無論音高如何，其接近於 formant附近的泛音會比較強（圖5）。
圖5 母音ㄜ的前三個 formant：F1=600Hz，F2=1500Hz，F3=2700Hz
在語音分析中通常處理最低的三個 formant，記為F1、F2、F3。由於舌頭、鼻腔及張口大小等變因的緣故，人的發聲管道並非是個管徑一致的圓柱，因此 formant 也會隨之而變。人之所以能辨識不同的母音，一般認為是各個母音的 F1、F2、F3都不同，而這主要是經由口腔形狀被舌頭改變所致。
要計算在管徑不均勻的管中的聲波，理論上是要解所謂的 Webster Equation，這個偏微分方程式只在某些形狀的管--例如圓柱、圓錐、指數函數等--能夠解得出來，不過，若此管近似於某個可解的形狀，則我們可以用變分法的技巧，來大略估計管徑微調所導致的波形與頻率變化。假設一個圓柱形的管子在Q點的截面積有微小的增加，Q點若在壓力波的波腹，則該處管徑略增會導致頻率略降；Q點若在壓力波的波節，則該處管徑略增會導致頻率略增。
用管模型與變分法可以解釋泛音唱法中的 Kargyraa 技巧，因為Q點的所在：嘴巴，是所有壓力波駐波的波節，故嘴巴張越大，該處管徑越大，相應的，所有駐波的頻率會增加，因此在圖6中我們可以看到兩個平行移動的 formant。
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| 圖6 Kargyraa 唱法，張口越大則F1與F2升高，反之則一齊下降。此首吐瓦人所唱的歌中3 ，基音並不明顯，反而是比基音高兩個八度的音很明顯。所同時唱出的這三個聲部，宛如歐洲中世紀的平行Organum曲式。 ( 聲音檔 http://www.sciam.com/1999/0999issue/ IMG/track8.mov ) |
關於人聲的管模型有許多語音學的研究，他們用電腦模擬管徑變化下的聲波，以解釋各種母音的 formant 頻率，關於泛音唱法中的 Sygyt技巧，也有人用傳統語音學的管模型來處理，但我認為這個方式行不通，因為在 Sygyt 唱法中無法觀測到三個 formant，反而是一個共鳴頻率極為凸出，這暗示著「球模型」的存在。以下我將以另一個模型：Helmholtz共振子，來解釋 Sygyt 唱法的聲學原理。
3. 受迫振盪系統及其阻抗
就物理特性而言，Helmholtz 共振子可以類比為一個受迫振盪系統 (forced oscillation)，而它具有一個共振頻率的現象，其實就是受迫振盪系統的共振現象，在此，我們必須先對受迫振盪系統有一番瞭解。
相信大家對於簡諧運動都不陌生，它的固有振動頻率f0取決質量 m 與彈性係數 K。
相信大家對於簡諧運動都不陌生，它的固有振動頻率f0取決質量 m 與彈性係數 K。
ω0 = 2πf0 = ( K / m )-1/2
現在我們進一步考慮這個振盪系統被一個周期性的外力 F0cosωt 所牽引，同時假設摩擦力正比於運動速度，這樣的系統稱為受迫振盪系統，它的運動方程式是
mxtt + Rxt + Kx = F0 cosωt
其中，R是阻尼係數，ω是外力的角頻率。為了計算上的簡潔起見，通常把上式改寫為複數形式
mxtt + Rxt + Kx = F0 eiωt = F0 ( cosωt + i sinωt ) = F
此處的 x(t) 為複數，要得到真正的物理量只要取它的實部即可。這樣一個受迫振盪系統會以跟外力同樣的周期來振盪，但通常不是同步振盪，而是會有相位差的存在。接著介紹阻抗（impedance）的觀念，它被定義為外力與速度的比
Z = F/v = R + i (ωm - K/ω)
系統的振動 x(t) 可寫為
x = F0 ejωt / iωZ
∣x∣= F0/ω/∣Z∣
在固定的 F0下，此系統隨外力的頻率不同而有著不同的振幅，當外力的振動頻率差不多等於原簡諧系統的固有頻率時，此系統的振幅最大，這個現象稱為共振（resonance）。我們可以依據上式畫出振幅隨 ω 變化的曲線，這就是圖1C 的共振曲線，可以看到，此曲線在該系統的固有頻率 3000Hz 左右達到高峰。
觀察阻抗Z可以發現它有三項，一個是常數R，另外兩項為純虛數，相應於慣性的阻抗項與 ω 成正比，而相應於彈性的阻抗項與 ω 成反比。
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Z = F/v
Zmass = mωi
Zspring = K /ωi
Zresist = R
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圖7 阻抗 Z 的三種成份
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4. Helmholtz共振子的兩種情形 4：Sygyt唱法與口簧琴
在濾波器還沒發明時，Helmholtz 曾想到一個巧妙的辦法來測量一個音各個泛音之強度。他造了許多大小不同的玻璃或金屬製的圓球來當共鳴腔，球的兩端開洞，一端輸入聲音，另一端用耳朵聽。由於這個圓球對某頻率附近的聲波有特別好的共鳴效果，Helmholtz 便能用它將其它的泛音濾掉，只留下接近於此球共振頻率的泛音，這種具有一個共振頻率的共鳴體，後來便統稱為 Helmholtz 共振子。
圖8 Helmholtz Resonator，此圖摘自Helmholtz著Die Lehre von den Tonempfindungen(1885)
我們可以想像 Helmholtz 共振子是一個具有短頸的球體，球內的空氣像彈簧一樣具有彈性，而頸部的空氣像是被推動的活塞，以質量 m 前後振動，因此，Helmholtz 共振子便具有跟簡諧系統相同的特性，它的阻抗被定義為壓力波與速度通量波的比 Z = p/U，它也有三個成份，如圖9所示。其中 V 為球體的體積，S 為頸的截面積，L 為頸長，ρ 為空氣密度，c 為音速。
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Z = p/U
Ztube = (ρL/S )ωi
Zcavity = (ρc2/V ) /ωi
Zresist = R
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| 圖9 Helmholtz 共振子的阻抗 Z | |
在容器內的聲波振盪，其阻尼係數 R 有兩個來源。我們知道空氣是具有黏滯性的流體，當它平行於靜止的管壁運動時會產生摩擦，另外，若容器壁並非剛體，局部的氣壓變化會導致容器壁的微小形變，通常空氣會對它作功。以上這兩個阻尼係數的生成原因分別源自 U 與 p，但不管是摩擦或熱膨脹，這些聲波能量的損耗都會變成熱能被空氣或容器吸收。
Helmholtz 共振子作為一個受迫振盪系統，它可以從外部施力，亦可由內部施力，這兩種情形分別對應於口簧琴與 Sygyt 泛音唱法，而 Helmholtz 共振子的短頸即為門牙至唇的一小段空氣柱。
從圖3可知，Sygyt 唱法的特色是舌頭拱起、貼近上顎，以窄小的通道相連至舌頭前方的主共鳴腔，當聲波從窄管進行到豁然開闊的共鳴腔時，絕大部份會反射回管內，猶如開口端的管口情形一樣，因此我們可以假設舌頭拱起處為速度通量波的波腹，為了模擬此處的空氣通量之振盪，想像在共鳴腔壁上有個活塞，其振動時給與共鳴腔速度通量 U1，如此一來，這個活塞便可代表窄管管口的空氣振動，此即 Helmholtz共振子由內部施以振盪的情形，如圖10所示。
口簧琴的模型
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Sygyt唱法的模型
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圖10 Helmholtz共振子的兩種情形
現在讓我們先來計算口簧琴的模型，也就是Helmholtz共振子從管口施以正弦壓力波p1，它導致了管口速度通量波 U
U = p1/(Ztube + Zcavity + Rviscosity + Rthermal)
其中 R 拆為兩項，是分別要對應於管頸壁上的空氣摩擦力以及球體壁的熱損耗。我們可以依據上式畫出U隨 ω 變化的曲線，它在該 Helmholtz 共振子的固有頻率附近出現了唯一的尖峰，見圖10。
接下來我們計算 Sygyt 唱法的模型，也就是 Helmholtz 共振子從內部施以速度通量振盪 U1，它導致了管口速度通量波 U。考慮管頸的空氣柱，它在壓力 p下以 U 振盪
p = (Ztube + Rviscosity)U
再考慮球體內的空氣，它在壓力 p 下所產生的體積變化為 U1-U：
p = (Zcavity + Rthermal) (U1 - U)
由前兩個式子可得
U = U1 (Zcavity + Rthermal) / (Ztube + Zcavity + Rviscosity + Rthermal)
依據上式，我們可以畫出 U 對 ω 的曲線，它也在該 Helmholtz 共振子的固有頻率附近出現了唯一的尖峰，見圖10。
至此我們可以知道，在同一形狀的共鳴腔下，口簧琴與 Sygyt 唱法的共振頻率是一樣的。為了證實這個理論，我設計了一個小小的實驗。首先我以 Sygyt 技巧唱出某個聲音——當然它必須有個特別凸出的泛音清晰可聞才算及格——然後，我保持口形不變，忽然中止歌聲，並隨即在口邊彈響一個口簧琴，這全部的過程以麥克風錄下聲音，最後再以電腦分析 Sygyt 唱法與口簧琴兩個聲音的頻譜，由於兩者是使用同一形狀的共鳴腔，只是分別從內部╱外部施以振盪，理論上，其曲線的尖峰會發生在差不多同樣的頻率，也就是該共鳴腔的固有頻率附近。
以下是我進行此實驗的結果，我分別用四個舌頭位置造出由大至小不等的共鳴腔，它們的固有頻率分別為 700Hz、1300Hz、1700Hz、2100Hz：
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5. 管模型與Helmholtz共振子模型的適用範圍
Sygyt 唱法的特色是舌頭拱起、貼近上顎，以窄小的通道相連至主共鳴腔，這種形狀與管模型"大相庭逕"，從口簧琴的實驗可知，舌頭後面的管可以說無足輕重。
Sygyt 泛音唱法不能用管模型來解釋，還有一項證據，就是 formant 的頻寬（bandwidth）。由語音學家Bloothooft 等人所作的泛音唱法研究（1992），把凸出的泛音解釋為 formant，但他們也承認，母音的 formant 從來就不曾出現過像泛音唱法中如此尖銳的峰。我們知道頻寬是振盪系統中的阻尼係數所導致，在管模型中，17cm的管長造成許多空氣分子與管壁的磨擦，阻尼係數較大，故 formant 的頻寬較大；反之，在球模型中，只有唇齒間的通道造成空氣分子與管壁的磨擦，而直徑不及三公分的共鳴腔內的熱損耗也不大，故這個 Helmholtz 共振子的阻尼係數比 17cm 的管更小，這才是 Sygyt 唱法中頻寬如此小的原因。
Helmholtz 共振子是解釋聲音共振現象最簡單的模型，但它只在低頻行得通，因為該模型中假設共鳴腔各處的空氣密度與壓力相等，若聲波波長遠較共鳴腔的尺度大得多，這個假設沒有問題；但若波長不及共鳴腔的四倍，這個前提便不能成立，因為聲波從共鳴腔此端傳至彼端時，已有了顯著的相位差。在口簧琴與 Sygyt 泛音唱法中，唇與舌之間的距離在三公分以內，故頻率在 2800Hz 以下的聲波大約可適用於 Helmholtz 共振子模型。
結論
泛音唱法中，Kargyraa 唱法適用於管模型，但 Sygyt 唱法適用於球模型，也就是 Helmholtz 共振子理論，這個假說可以經由口簧琴的實驗（由外部施以振盪），來跟從內部施以振盪的 Sygyt 唱法比較，從而得到證實。這個模型也解釋了 Sygyt 唱法的頻譜中存在著遠比 formant 尖銳的峰，因為舌頭前端的共鳴腔小，裡面聲波的熱損耗比 17cm的管模型小。
筆者學習泛音唱法的時間不到半年，要唱出清楚的旋律還不易辦到，不過唱唱單音當作實驗樣本，倒也還堪用，本文中所分析的聲音樣本（口簧琴或泛音唱法）都是由筆者所演奏（唱），只有圖6所分析的音樂是真正由吐瓦人演唱，該曲的樂譜刊登在《科學美國人》出現了一些錯誤（Levin1999），故本文予以補充更正 5。
泛音唱法在許多國家都有不少愛好者，但在台灣尚未引起廣泛注意，市面上可買到有風潮唱片所出版的CD，網路上也有一些聲音檔，對此另類歌聲有興趣的人不妨買來一聽。
參考資料
Bloothooft, G., Bringmann, E., Capellen, M., Luipen, J., Thomassen, K. (1992) 'Acoustics and Perception of Overtone Singing,' The Journal of Acoustical Society America, 92, No. 4, Part 1, 1827-836.
Chernov, B. and Maslov, V.（1987）'Larynx double sound generator,' Proc. XI Congress of Phonetic Sciences, Tallinn 6, 40-43.
Dmitriev, L.B., Chernov, B.p., and Maslov, V.T. (1983) 'Function of the Voice Mechanism in Double-Voice Touvinian Singing,' Fol. Phoniarr. 35, 193-197.
Fletcher, N., Rossing, T.D. (1991) The physics of musical instruments. Springer: New York.
Gibiat, V., Castellengo, M. (2000) 'Period Doubling Occurences in Wind Instruments Musical Performance,' Acustica 86, 746-754.
Levin, T. C., Edgerton, M.E. (1999) 'The Throat Singers of Tuva,' Scientific American.
網路資源
http://clubs.yahoo.com/clubs/tuvanthroatsinging/雅虎網站上的泛音唱法俱樂部。
http://www.avantart.com/postcards/etuva.html
以吐瓦的風景與音樂為主題的電子卡片。
以吐瓦的風景與音樂為主題的電子卡片。
http://download.cnet.com/
此處可以找到一些實用的頻譜分析軟體，如Spectrogram、Frequency analyzer等。
此處可以找到一些實用的頻譜分析軟體，如Spectrogram、Frequency analyzer等。
註解
2 假聲帶平行於聲帶上方，形狀類似聲帶，但功能是控制氣流，並非發聲器官，唯聲帶已切除的患者經過訓練之後，能夠以假聲帶來說話。Dmitriev（1983）、Chernov 與 Maslov（1987）根據X光片的觀察，提出Kargyraa 唱法運用假聲帶的可能性。Gibiat（2000）則提出 Kargyraa 唱法將音高降低八度的原理，應為混沌或非線性理論中的「周期倍增」（period doubling）現象，但未述及細節。
3 此曲採自網站 http://www.sciam.com/1999/0999issue/IMG/track4.mov 的錄音，該文（Levin 1999）中所記的樂譜有誤，其未考慮到最高的聲部，持續低音的記譜也比實際聽到的音低了兩個八度。
4 本節的理論與計算在相當程度上參考了 Fletcher 與 Rossing 所著的 The physics of musical instruments 書中151-155頁，但該處計算阻尼係數時僅考慮空氣與管壁的摩擦，我則進一步將共鳴腔柔軟的腔壁所導致的熱損耗考慮在內。
5 關於基音的音高，該文中記譜的是 virtual pitch，也就是頻譜上相鄰泛音間的距離，而本文記譜的是 spectral pitch，也就是頻譜上最低的譜線，因此比 virtual pitch高了兩個八度。
作者介紹
蔡振家，台大物理系畢業，國立藝術學院傳統藝術研究所碩士，現就讀於柏林洪堡大學音樂學博士班，以中國笛的笛膜為題，從物理及心理聲學 (psychoacoustics) 的角度寫博士論文。
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