Saturday, August 10, 2013

mktpmath01 可證明幾乎每一布朗運動的軌跡皆處處不可微分（因此也就沒有切線）。布朗运动温度弛豫",布朗粒子速度的时间关联函数是指数衰减型的 ... 按照爱因斯坦的办法，将熵围绕平衡态作泰勒展开

可證明幾乎每一布朗運動的軌跡皆處處不可微分（因此也就沒有切線）。第

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    •      		 
    ．原載於數學傳播第九卷第三期
    ．作者當時任教於成功大學應用數學研究所所長
     
    漫談布朗運動
    李育嘉
    		 

     
    一、布朗運動簡史
    西元1827年，英國植物學家勞伯‧布朗 (Robert Brown) 利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中的花粉粒時，發現這些花粉粒會做連續快速而不規則的隨機移動， 這種移動稱為布朗運動 (Brownian motion)。 接著生物學家發現懸浮於液體或空氣中直徑小於 0.04 公分的粒子都會產生布朗運動。 譬如，當陽光射進暗室時，我們很容易從光束中觀察到灰塵粒子在空氣中產生布朗運動的現象。 事實上布朗並非第一個發現布朗運動者。 布朗在提到1819年 Bywater 發表的一篇文章時曾說：「不但是有機物質， 無機物質也包含他（指 Bywater）所謂活潑的或激應性的粒子」。 由此我們還察覺到，十九世紀初生物學家還以為布朗運動的發生是由於粒子本身是「活的」的緣故。直到1917年這種粒子的「生機說」才被 D'Arcy Thompson 所推翻。Thompson 認為布朗運動之所以會發生是因為粒子與液體或氣體分子連續互相碰撞的結果。 自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象。經由謹慎的實驗及討論， 科學家發現布朗運動有下列主要特性：
    一、
    粒子的運動由平移及及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
    二、
    粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
    三、
    粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
    四、
    粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
    五、
    粒子的運動永不停止。
    其中，關於第一點，數學上的確存在處處連續而處處不可微分的函數。例如 $f(x) = \sum^{\infty}_{n=1} 2^{-n}\cos(2^nt)$（Weierstrass 函數）便是。 事實上，從布朗運動的數學定義（見第三節定義一），我們可證明幾乎每一布朗運動的軌跡皆處處不可微分（因此也就沒有切線）。第二點曾被布朗所提及。第五點則是由觀察一個樣本二十年及觀察一個千年石英礦中之液體所得到的結論。 二十世紀初，愛因斯坦 (Einstein) 及史莫盧可夫斯基 (Smoluchovski) 發現不管粒子的運動有多麼不規則，布朗運動仍可以用機率律來分析，其研究說明了粒子在一段時間內之位移是根據常態分配的。愛因斯坦的工作可說是布朗運動的動力論的先驅。 今將其結果（發表於1906年）概述於下： 令 $\rho=\rho(x,t)$ 是一個布朗運動粒子在時間 t 及位置 x 時之機率密度 ( $x\in\mathbf{R}^3$)。 然後在某些機率假設下，愛因斯坦導出

    \begin{displaymath} \frac{\partial \rho}{\partial t}=D\triangle\rho, \end{displaymath}


    這裡 D 表一正常數，稱之為擴散係數 (Diffusion coefficient)。假若粒子在 t=0 之位置為 x=0，則

    \begin{displaymath} \rho(x,t)=\left(\frac1{\sqrt{4\pi Dt}}\right)^3e^{-\frac{\vert x\vert^2}{4Dt}} \end{displaymath}


    1923年，諾伯特‧衛納 (Norbert Wiener) 首先把布朗運動當作一種隨機過程 (Stochastic Process) 來研究。 因此，布朗運動也叫做衛納過程 (Wiener Process)。 接著衛納之後有 Bachelier 的啟發性的工作。不久，Paul Levy 及後來的研究者將布朗運動發展成目前的巨構，如今布朗運動在理論上與應用上已與帕松過程 (Poisson process) 構成了兩種最基本的隨機過程。 在本文之中我們將首先探討隨機漫步 (Random walk) 之基本性質，然後利用一組隨機漫步的極限來導出布朗運動的數學模式。讀者若對本文中之名詞有不明之處請參見參考資料 [6]

    愛因斯坦1905 年的三大貢獻之愛因斯坦和布朗運動(Brownian Motion)

    2009/04/24


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    愛因斯坦1905 年的三大貢獻之愛因斯坦和布朗運動(Brownian Motion)
    國立臺灣大學化學系陳竹亭教授 責任編輯
    1905 年3 月，在瑞士專利局一位叫做愛因斯坦的年輕職員提出了一篇震撼性的論文，將蒲朗克1900年的量子概念延伸到有著波與粒子雙重性質的光上面。論文刊登於Annalen der Physik。5 月時，此期刊又收到愛因斯坦的另一篇論文，這是一篇有關氣體運動學的研究，它的結論和前一篇一樣令人震撼。
    19 世紀時，物理學家修正了氣體運動學，說明熱是原子不停運動所產生的效應。Ludwig Boltzmann 和美國的物理學家J. Willard Gibbs 利用運動論來解釋物理學上所謂的「可逆性的矛盾」，因為熱力學第二定律說明大部分的自然過程都不能逆轉，這和牛頓的質點力學似乎相互抵觸。


    Photo Credit: The American Institute of Physics
    波茲曼重新詮釋第二定律只是就統計上來說的，而非絕對的。他說，例如在小至如小冰塊都是由無數的原子與分子所組成的，因此，雖非完全不可能，但卻極不容易讓已溶化小冰塊中的分子從液態中不規則的狀態，恢復到原來很規則的排列。然而，那些在統計上不可能出現的分子集體行為，就是大自然所觀察到看起來不可逆轉的原因。當愛因斯坦仍是蘇黎世理工學院的學生時，他在物理課上遇到了班上唯一的女生，來自塞爾維亞的Mileva Maric。愛因斯坦的父母在Mileva 生了一個女兒後仍反對他們結婚〈他們顯然將女兒送人領養〉。不過，在愛因斯坦進入專利局工作後，他們終於在1903年結婚。1904 年第一個兒子誕生，1910 年又生了第二個兒子。
    1902-1904 年，當愛因斯坦開始獨自研究熱力學第二定律，及至後來他得到自己的統計力學形式時，他應該並不知道波茲曼的研究工作。他應用力學、原子和統計的論述形成了「熱量的廣義分子理論」。
    愛因斯坦在蘇黎世大學的博士論文是專門研究液體的分子統計理論，之後，他將熱的分子理論應用到液體上，來解釋所謂「布朗運動」的難題，將之寫成另一篇論文。
    1827 年，英國的植物學家Robert Brown 觀察到，懸浮於水中的花粉粒會做不規則的「群體」運動，愛因斯坦因此認為，若看的見的微小粒子懸浮於液體中時，在液體中那些看不見的原子會撞擊懸浮的粒子，使得粒子微微地搖動。愛因斯坦詳細地解釋這些運動，並很精確地預測這些在顯微鏡下可以直接觀察到的粒子不規則的隨機運動。
    當愛因斯坦的論文首度在1905 年發表時，原子和分子的概念仍是當時科學界激烈爭論的焦點，許多的科學家，如Ernst Mach 和物理化學家Wilhelm Ostwald都否認它們的存在。他們辯稱，熱力學法則不必以力學為基礎來論述看不見的原子運動。Ostwald 尤其鼓吹他自己的看法，認為熱力學只在討論能量與它在生活中如何改變的問題。〔因此，他與他的信徒被稱之為「能量力學家」。〕
    1908 年5 月，愛因斯坦已經發表了他對布朗運動研究的第二篇論文，比1905 年所發表的論文更為詳細，也提出了驗證他的理論之實驗方法。就在同一年，一個法國的物理學家Jean Baptiste Perrin 做了一系列的實驗，證實了愛因斯坦的預測。Perrin 在他的實驗結果這樣寫著：「對於愛因斯坦所提出的公式之正確性無庸置疑」，他也因此實驗於1926 年獲得諾貝爾物理獎。
    實驗的證明終於完全證實了愛因斯坦布朗運動理論的正確性，因此反對者也不得不接受物質原子的存在。愛因斯坦應用統計的方法於牛頓的原子隨機運動之基本研究，加上他發現熱量統計理論與電磁輻射之間的重要關係，更使得他進一步洞察到光電效應，這是他統合兩個領域的第一步。直到那時為止，馬克斯威爾於19 世紀末所提出的電磁原理已成功地阻止了來自各方企圖要將其視為力學過程的努力，但惟有愛因斯坦得以突破達成
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