Thursday, March 7, 2013

一旦失掉驱动，布朗粒子位移方差指数衰减

一旦失掉驱动，布朗粒子位移方差

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"布朗运动温度弛豫",布朗粒子速度的时间关联函数是指数衰减型的

来源: marketreflections 于 2011-07-29 22:09:41[档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 12次

回答: 抛物线01 抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，由 marketreflections 于 2011-07-28 16:45:39

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§ 2 ．涨落关联布朗运动	加到收藏夹添加相关资源

§2．涨落关联 布朗运动

2．1涨落

第二章8．1节讲过，宏观系统的平衡统计分布是最概然分布，偏离这分布的概率是极小的。热平衡态下测得的物理量的数值，相当精确地等于这个分布下的平均值，偏差也是很小的，但毕竟概率不为0．实际上物理量的数值在平均值附近飘忽不定地变化着，这现象叫做涨落（fluctuation）。在热力学里通常说的涨落是由热运动引起的，这种涨落叫做热力学涨落。在温度极低时热力学涨落很微弱，量子的不确定性原理（见第一章2．2节）引起的效应开始显露出来。由纯量子效应引起的涨落叫做量子涨落。下面我们只讨论热力学涨落。

涨落的大小是随机的，但它服从一定的概率分布。按玻耳兹曼的熵表达式（2．122），宏观态概率Ω与熵S的关系为

S＝klnΩ，即Ω＝e^S/k^．（5．27）

热力学涨落是围绕平衡态的涨落，所以又叫平衡涨落。令S₀和Ω₀分别代表平衡态的熵和宏观概率，它们都处于极大值。对于涨落态的S和Ω，我们有

Ω=Ω₀e^（^S-S0^）^/k．（5．27）

按照爱因斯坦的办法，将熵围绕平衡态作泰勒展开。为简单计，我们先假定熵只依赖于一个宏观变量X，即S＝S（X）．

作为概率分布，必须归一化：

由此定出上式中的常数为

这种形式的统计分布叫做高斯分布（Gaussian distribution）或正态分布

（normal distribution），函数形式见图5－10，其性质可参考附录A．根据这分布函数我们可算出下列一些平均值：

涨落的平均值等于0源于正负涨落是对称的，方差表示涨落幅度弥散的程度，是标志涨落大小的一个很重要的特征量。

现在把上述理论推广到两个变量X₁、X₂的情形。

两变量在统计上独立，

式中

定归一化因子：

由此定出上式中的常数为

亦即两独立变量的概率分布是两高斯分布的乘积。根据这分布函数我们可算出平均和方差为：

热力学涨落公式的导出在一般统计物理的教科书中都可以找到，关键是如何将熵S表达成独立状态参量（譬如V和T）的函数，作二级泰勒展开。本课不宜陷入过多的数学推演，这里直接给出温度和体积的涨落公式，并进行一些讨论。

考虑一个定温定压系统，如第四章5．3节所设想的那样，认为这系统∑是与热库∑＇既有热接触，又与它处于力学平衡的系统。复合系统∑＇＋∑是孤立系统，它具有确定的能量和体积，但∑的能量和体积是有涨落的，热库∑＇的能量和体积有相应的涨落，以保持∑＇＋∑的总能量和总体积不变。上述能量的涨落引起∑温度的涨落，但并不影响热库的温度，∑体积的涨落也不影响热库的压强，都是因为热库比∑大得多。系统∑温度的涨落δT和体积的涨落δV都是服从高斯分布的，它们的方差分别为

δV是一定数目的分子所占体积的涨落，同一问题也可看作是一定体积内分

子数目的涨落δN，二者的关系可导出如下：

由此我们还可以得到分子数目的涨落

亦即，相对涨落与粒子数的平方根成反比。在粒子数N极大的宏观系统中涨落是非常小的。Ⅰ

2．2临界点的涨落

第一章7．1节讲过，p－V图上的等温线在临界点K处是个切线水平的拐点（见图1－53），即该处的一、二阶导数皆为0：

这岂不意味着临界点的涨落→∞？当然不会这样，这只说明两式在临界点已不适用。推导（5．38）、（5．39）式时用到压强对体积的泰勒展开，在临界点前面几项都等于0，泰勒级数必需展开到三阶。理论推导的结果是：①

（5．43）

以范德瓦耳斯气体为例，从物态方程（1．38）

代入（5．43）式，得

由此我们看到，临界点的涨落虽不是无穷大，但它正比于1/N^1/4，比通常的1/N^1/2大多了。

临界点密度涨落高涨的可观察后果是出现临界乳光（critical opalescence）。白昼晴朗的天空呈美丽的蔚蓝色，是因阳光在大气中散射造成的。纯净透明气体对光的散射靠的是密度涨落，在通常的情况下这种散射的强度与光的波长λ的四次方成反比（瑞利散射定律②），所以阳光里的短波（蓝紫光）比长波（红黄光）被散射得多，使天空呈现蓝色。瑞利散射只在涨落尺度不太大的情况下发生，涨落尺度较大时，散射光变得不大依赖于波长，于是气体变得不透明，呈乳白色，这就是临界乳光的由来。

2．3布朗运动

第一章2．3节已谈到布朗运动，即悬浮在静止流体中微小颗粒的无规运动，现在我们对它进行一些理论分析。

为简单起见，考虑一维（譬如x方向）上的投影。设布朗粒子的质量为m，它受到两个力：一是随机的脉冲力F（t），各脉冲持续时间极短，彼此完全没有关联；另一是流体的黏性阻力，其方向与粒子速度相反，大小与之成正比。列出运动方程，则有

式中γ＝α/m，X=F/m．设布朗粒子在t＝0时刻位于原点x＝0处，我们的目标是研究位移x

取各项的平均：

布朗粒子的无规运动是分子碰撞的结果，我们可以把它看成一个大分子，它在与分子碰撞的过程中达到热平衡。换句话说，我们可以把能均分定理运用到它身上：

上式是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，在数学上有一套严格的解法。在这里我们且不去管它，只从物理上做些定性和半定量的分析，然后用较简便的方法求出它的渐近解来。

（5．48）式左端第一项是惯性运动项，第二项是阻力项，右端是驱动项，亦即，布朗运动是靠温度（热运动）驱动的。如果没有驱动项，方程式化为

这就是说，一旦失掉驱动，布朗粒子位移方差

（注意：γ的量纲是时间的倒数）。

再看没有阻力项时的情况，此时方程式化为

这是无阻尼情况下的加速模式。

最后，没有惯性项时方程的形式为

这是强阻尼下的运动模式，粒子的惯性运动完全被抑止掉。

在以上的简化分析中我们分别看到方程式中各项的作用，实际情况究竟是怎样的？让我们分析一下方程式中参量γ的数量级。γ＝α/m，假设布朗粒子是球状的，我们可以用斯托克斯公式［见《新概念力学》（5．52）式］来估算α的数量级：小球所受黏性阻力=6πηrν=αν，故α＝6πηr，这里η为流体的黏性系数，r为小球的半径。设小球的密度为ρ，则其质量m＝4πr³ρ/3，于是γ＝α/m＝9η/2r²ρ．取皮兰的实验为典型的例子（见第一章2．3节图1－15），他当时采用的胶体物质密度为ρ=1.19×

10^-3kg/m³，构成布朗粒子的平均半径为r=3.67×10^-7m，流体介质（水）的黏性系数η=1.14×10^-3Pa·s，由此求得γ＝3.2×10¹³/s．这就是说，

（5．50a）式中指数衰减的特征时间是γ^-1＝3.1×10^-14s，在t>>γ^-1的情况下（在皮兰实验中的观察时间间隔t＝30s）惯性运动是可以忽略不计的。所以在布朗运动中阻力项和驱动项是主要的，原始方程（5．48）长时间的渐近解不是正比于t²的（5．50b）式，而是正比于t的（5．50C）式，即

这正是第一章2．3节提到的爱因斯坦等人的理论结果。

2．4时间关联与涨落回归假说

当一个宏观系统中发生涨落时，涨落总要随时间衰减下来。如§1所述，这过程叫做弛豫。涨落有两种：一种是自发产生的（即上节所讲的）；另一种是由临时的外部条件（可统称“外力”）激发起来的，外力撤消后，系统向平衡态弛豫。这两种涨落的弛豫过程所服从的规律是否一样？1930年挪威化学兼物理学家昂萨格（Lars Onsager）对此作了一个假设：在一个热平衡系统中，宏观微动的弛豫和自发涨落的回归服从同样的规律。换句话说，就是对于一个接近平衡态的系统，我们不能区分自发涨落和由外部条件造成的对平衡态的暂时偏离。这就是著名的昂萨格回归假说（Onsager regressionhypothesis），它曾为昂萨格赢得了1968年的诺贝尔化学奖。今天这假说已成为一个重要的力学定理——涨落耗散定理①的推论。为了定量地描述回归假说的含义，需要引进“时间关联函数”的概念。

令Q（t）为平衡系统中某个物理量（如质量或电荷密度ρ、流体的流速ν、电流密度j等）在时刻t的瞬时值，