Introduction to Algebra, Number Theory, Fermat's Last Theorem, etc
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怀尔斯的证明】(D)
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张贤科
(清华大学 数学科学系, 北京100084)
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怀尔斯的论证属于代数数论与算术代数几何理论,主要用到有理数域上的椭圆曲线等理论. 简单地说,椭圆曲线就是形如以下(方程的解构成)的曲线:
 ,
亦即系数是有理数的三次方程表示的曲线(要求非奇异即处处有切线,总可化为无 , 和 项). 无穷远点O (即x和y都无穷大)也被认为在曲线上. 一条椭圆曲线E上的实数点(即x, y都是实数的点(x, y))全体E(R) 构成形如以下的图形:
而E上的复数点全体 E(C) 形成一个环面, 即轮胎.通常感兴趣的是E上有理点全体 E(Q).
椭圆曲线的引人之处在于,它的点之间可以定义加法,点全体构成一个加法群: 任给上述E上两点P和Q, 过此两点作直线L, 必交E于第三点R, 再过R和无穷远点O作直线交E于S, 则P加Q的和定义为P+Q=S. 当P=Q两点重合时, L为E的切线. 这一加法的定义称为弦切律. 无穷远点O是加法的零元. E(C), E(R), 和 E(Q)都是群.
解方程时,常常先"不计p的整数倍", 这里p是一个固定素数.这在数论中称为模p约化. E的模p约化后的整数点(即方程"不计p的整数倍"的整数解)全体记为 , 其点的个数记为  . 记
 .
对于椭圆曲线 , 数 有非常好的性质, 即恰为下述幂级数的系数 (对11以外的所有素数p):
  .
这里级数 是一个模形式(即SL(2,Z) 的同余子群 上的权为2的尖点形式). 数 有如此好性质的椭圆曲线称为模椭圆曲线.也就是说,称E是模椭圆曲线(简称E是模的)意味着: 存在某同余子群的权为2的尖点形式 = 使得 = 对几乎所有的素数p成立(使模p约化后曲线奇异的个别"坏" p 除外). 不过要注意一般不一定要有上述形式的无穷乘积.
著名的谷山丰-志村五郎猜想为: 有理域上的所有椭圆曲线都是模的.此猜想源于他们1950-60年代的工作.但它变得著名是因威耳在1967年的论文中发表(是作为留给有兴趣读者的一个习题！).威耳也指出了此猜想的合理性.在怀尔斯此工作之前,人们仅知道此猜想对有限多椭圆曲线(类)成立.例如志村五郎在1971年证明有复乘法的椭圆曲线都是模的.也还有别的方法刻画一条E是模的,如"E可被模曲线有限覆盖".
由于瑞拜特的工作, 怀尔斯只要证明部分(半稳定的)椭圆曲线是模的.他是通过相应的伽罗华表示的模的性质来研究的.他首先考虑p=3.以E[3]记椭圆曲线E的3-分点(复数点)全体, 即E[3]={P E(C): P+P+P=O}.由于环面E(C)等同于平行四边形(对边视为同一),可知E[3]是两个三阶循环群的直积, 亦即 E[3]= , 是三元域 上二维空间.复数域C的每个自同构(即伽罗华群Ｇ作用到点的坐标上)都是E[3]的线形变换, 从而可表示为 上的二阶方阵(即有群Ｇ到 的表示 ). 选取3是很关键的, 因为此时有很强的朗兰兹--坍奈尔定理,说明E[3](或说)是模的,即 (mod 3) 对某=成立(对除3外的所有素数p). (这里先设E[3](或说)不可约. 对于可约的情形,怀尔斯巧妙地另用p=5迂回地得到结果.)
怀尔斯的想法是设法把E[3]的模性"传染"给E. 如果不但考虑3-分点, 而且考虑 -分点, 其全体记为E[ ].当n趋于无穷时取直接极限,就得到Ｇ的３－进表示 :Ｇ  (称为的提升).而E是模的当且仅当是模的.由E[3]的模性可知,还有另一个来自相应模形式的提升 : Ｇ  . 的提升均称为变形. 迈组尔猜想断言,有适当局部性质的所有变形(提升)都是模的.怀尔斯用交换代数把迈组尔猜想归结为一个"计数"问题, 即一个"基本"不等式:
提升的个数 同余于的模形式个数.
此式的左边计数可化为对塞莫群,是G的一个一阶上同调群的子群. 右边,由海达的工作,可联系到产生的对称平方L-函数在2点的值的代数部分.上述基本不等式非常象数年前布劳克和凯透猜想的一个很广泛的等式.1993年6月证明的漏洞正是出现在左边塞莫群阶的上限推导.
怀尔斯最终证明了他的最主要结果:有理域上的半稳椭圆曲线都是模的.从而得出费尔马大定理.他还指出,他的方法看来也很适合证明,所有的有理域上的椭圆曲线都是模的,并能推广到其他全实数域.
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