如果系统与外界环境之间存在能量交换，那么原来的保守系统将变成开放系统，与之相关的数学算符也不再是通常意义上的厄米算符了，其本征函数也随之变成含有复数频率 的准正规模（QNMs）了
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题记：这是我０９年大学本科毕业时做过的论文，虽然和教育研究无关，毕竟曾花费过很多精力，所以还是把它拿来作为我的第一篇研究论文吧。（导师评分：８９，一分之差无缘优秀论文）
单光子准正规模
物理学 2005级 胡凯来
摘
要：在现实中真正的孤立系统是不存在的，系统都处于一定的环境中，并且都将与环境发生相互作用，这使得系统与外界环境之间普遍存在能量交换，因此系统不再是一个孤立系统而是一个开放的量子系统。本文研究由一个一维半无限波导管（即一个半腔）和一个二能级原子构成的体系，原子与波导管中的腔场有相互作用。本论文分为四个部分：
第一部分介绍研究开放系统常用的方法---准正规模。介绍了引入准模理论的物理动机，准模理论的数学表述以及准模理论的完备性。
第二部分介绍共振态。共振态是定态薛定谔方程在特定边界条件下的解，这个特定的边界条件是只存在出射波。同时给出了求解共振态的数学形式。随后阐明了共振态与散射矩阵(S矩阵)之间的联系。
第三部分说明准模与散射共振态的等价关系。
第四部分研究一维半无限波导管和一个二能级原子构成的体系。并在单粒子空间中，讨论如何利用光与原子的相互作用形成一腔场来囚禁单个光子。研究发现这个系统可以形成一个腔，光与原子的相互作用使得原子成为腔的一面反射镜，腔的损耗受到原子的跃迁频率的调节。
关键词：准正规模；共振态；单个光子；腔场
Quasi-Normal Modes for Single
Photons
Kailai Hu ,Grade
2005,Physics
Abstract: Due to the interactions
between a system and its surroundings,there is no existence of a wholly isolated
system. The general energy exchange has taken place between them,so the system
becomes an open one rather than an isolated one. This essay puts forward a
research on a system which consists of a 1D
semi-infinite waveguide (a half cavity) and a two-level atom,there are
interactions between the atom and the cavity field of the waveguide.There are
four sections to expand our ideas:
Section
I. We
will introduce Quasinormal-mode that was generally considered an effective way
for investigating open systems.This section involves physical motivation, the
mathematical description and its completeness.
Section
II.The
resonant state will be presented here. It is the solution of the
stationary equation under a certain boundary
condition.
The
specific boundary condition is to have outgoing waves only, no incoming
waves.Meanwhile, the mathematical forms to solve the resonant state are given
below.Then we stated the relationships between the resonant state and the
scattering
matrix (S
matrix).
Section
III.We
will show the equivalence between the Quasinormal-mode and the scattering
resonant state.
Section
IV.We
put our research on a system which consists of a
1D
semi-infinite waveguide and a two-level atom.Then, in a single particle space,we
will discuss how to use the interactions between light and atom to form a cavity
field for trapping single photon.We found that this system can form a cavity
,and the interactions can make the atom serve as a perfect mirror.The leak of
the cavity is conditioned by the transition frequency of the
atom.
Key Words：Quasi-normal mode；resonant state；single photon；cavity field
1.绪论
作为20世纪末的新兴学科-光子学，它一经问世便即刻引起人们的广泛关注。因为，它的出现，将标志着一个新的时代即光子时代的到来。要知道，本世纪是信息技术(IT)的世纪，而电子作为信息的载体已经成为上世纪信息领域的主要特征和标志，为人类社会做出了巨大贡献。业已发展成熟的电子学及其电子信息科学技术在本世纪显然已难有更大作为。而光子由于具有极高的信息容量和效率、极快的响应能力、极强的互连能力与并行能力以及极大的存储能力而倍受重视。如今光子学及其光子信息科学技术初露锋芒，优越性得到广泛确认。所以人们纷纷预言，光子学将继电子学之后成为信息科学的又一个重要支柱。当然，信息科学领域仅仅是光子学的其中一个重要的应用领域，对于整个光子学而言，意义远不止于此。
早在40年前，“光子学”就曾作为学术名称出现在学术刊物上，但最早赋之以科学定义是在1970年。这一年，荷兰科学家Poldervaart首次提出光子学的定义;光子学是“研究以光子作为信息载体的科学”。随后他将“以光子作为能量载体”的科学也归属为光子学的研究内容。其后，类似的定义相继出现了不少。例如，法国DGRST组织就认为激光二极管的问世，是促成光子学形成的标志，因为它使光子替代了电子成为信息的载体。1982年，世界著名杂志《SPECTRA》更名为《PHOTONICS—spectra》，可见光子学在现今科学中的重要地位。同时他们提出，光子学是“发生与利用以光子为量化单位的光，或其他辐射形式的科学”。贝尔实验室的Ross教授则将光子学与电子学相类比，考虑到“电子学是关于电子的科学”，因此他将光子学定义为“关于光子的科学”，这为光子学作了一个颇为广义的定义。早在70年代末,我国的老一辈科学家龚祖同、钱学森等就频频呼吁大家积极开展光子学学科的建设。钱学森教授认为，“光子学研究的是光子的产生、运动和转化”，“光子学是与电子学平行的科学”。他还首次提出了“光子学—光子技术—光子工业”的关于光子学的发展模式。鉴于光子学所具有的丰富内涵和重大的应用前景，1994年我国众多科学家聚会于北京香山，对光子学的有关问题展开了热烈讨论。这次会议在光子学定义、内涵及其研究范围等诸多方面达成了共识。大家一致认为：光子学是研究作为信息和能量载体的光子行为及其应用的科学。其广义说法为：光子学是关于光子及其应用的科学。光子的量子特性，光与物质的相互作用(包括光子与分子、原子、电子以及与光子自身的作用)，以及相互作用中出现的各类效应及其规律是光子学的理论研究。而对光子的产生、传输、控制以及探测规律等方面的研究是光子学应用层次上的研究。事实上，光子学的应用背景极其丰富，在光子学的基础上已经形成了一系列的光子操控技术，如光子的产生(激光技术)、光子的传输、光子调制与开关技术、光子的存储、光子探测技术、光子显示技术等等。
光子学在其发展中已经形成了诸多活跃而又重要的研究领域，而基础光子学则是光子学中最重要的研究领域，因为基础光子学是光子学的理论基础。人类进步史表明，科学基础研究的每一次重大突破,都对科学技术的创新、高新技术产业的形成产生巨大而不可估量的推动作用，例如第一次技术革命就同近代力学、热力学发展有着密切的关联，第二次技术革命则是电磁理论的突破引发的成果，而始于20世纪40年代的第三次技术革命则是在相对论、量子力学等基础理论突破的基础上产生的。光子学是一门技术科学性质很强的学科，因此基础光子学研究的每一个重大发现和每一次理论突破必将导致光子技术的一次次创新、开拓和革命。如今的基础光子学正处于成长与发展时期，量子光学、分子光学、非线性光学、超快光子学等都是它的分支学科，它们现已是基础光子学中逐渐趋于成熟的学科了，对技术光子学的推动和促进作用也将日趋显著。
光子学在其发展中已经形成了诸多活跃而又重要的研究领域，而基础光子学则是光子学中最重要的研究领域，因为基础光子学是光子学的理论基础。人类进步史表明，科学基础研究的每一次重大突破,都对科学技术的创新、高新技术产业的形成产生巨大而不可估量的推动作用，例如第一次技术革命就同近代力学、热力学发展有着密切的关联，第二次技术革命则是电磁理论的突破引发的成果，而始于20世纪40年代的第三次技术革命则是在相对论、量子力学等基础理论突破的基础上产生的。光子学是一门技术科学性质很强的学科，因此基础光子学研究的每一个重大发现和每一次理论突破必将导致光子技术的一次次创新、开拓和革命。如今的基础光子学正处于成长与发展时期，量子光学、分子光学、非线性光学、超快光子学等都是它的分支学科，它们现已是基础光子学中逐渐趋于成熟的学科了，对技术光子学的推动和促进作用也将日趋显著。
本篇论文所要研究的内容就属于基础光子学范畴。在这里，首先要对单个光子，即单光子的性质做一些必要说明。对于光子，大家一定不陌生，它是电磁辐射的量子，传递电磁相互作用的规范粒子。其静质量为零，且不带电荷，能量为普朗克常量和电磁辐射频率的乘积，即
，在真空中以光速c运行，其自旋为1，是玻色子。
由于这篇论文的核心是要揭示光子的量子本质，因而对于光子的量子性，我们在这里有必要先以它的科学发展简史做一个说明。1900年，M.普朗克为解释黑体辐射的能量分布而提出的能量量子化假说是辐射粒子具有量子性质的开始，这也标志着量子力学的诞生。普朗克认为黑体是由简谐振子构成，简谐振子与辐射之间的能量交换是一份一份的，每一份的能量为
；1905年，意识到普朗克量子假说革命性意义的A.爱因斯坦，在解释光电效应时进一步阐述了“光波本身具有粒子性”这一观点，并将光波的这种粒子性称之为光量子；1923年A.H.康普顿又成功地用光量子概念解释了
光被物质散射时，波长的增量随散射角的不同而变化的现象，后人称之为“康普顿效应”。 康普顿效应第一次从实验上证实了光子具有动量，这使得光量子概念被更广泛地接受和应用，而光子一词则是在1926年由路易斯提出。量子电动力学建立后，光子被确认为传递电磁相互作用的媒介粒子。
光子是辐射场中的基本粒子，也是电磁场中携带能量的粒子。根据普朗克的能量量子化公式和光子的波粒二象性，一个光子携带能量的多少与波长有关, 波长越短, 能量越高。当一个光子被某原子吸收时,原子内的某个电子将获得能量从能量较低的状态跃迁到能量较高的状态，这使得吸收了光子能量的原子状态也发生了改变，即原子状态从一个定态跃迁到了另一个定态。这就是光与原子相互作用最简单的模型，即一个二能级原子与光场的相互作用。
光子是辐射场中的基本粒子，也是电磁场中携带能量的粒子。根据普朗克的能量量子化公式和光子的波粒二象性，一个光子携带能量的多少与波长有关, 波长越短, 能量越高。当一个光子被某原子吸收时,原子内的某个电子将获得能量从能量较低的状态跃迁到能量较高的状态，这使得吸收了光子能量的原子状态也发生了改变，即原子状态从一个定态跃迁到了另一个定态。这就是光与原子相互作用最简单的模型，即一个二能级原子与光场的相互作用。
2.准模理论
相对于孤立系统而言，开放系统的研究更具有一般的意义。因为任何一个系统都处于环境中，系统或多或少地与外界环境之间存在相互作用。由于系统与环境之间存在能量的交换，因此描述系统随时间演化的时间演变算符也就不再是通常意义上的厄米算符，并且利用分离变量法求得的这个开放系统的本征函数也不再为正规模式而是准正规模式[1]QNMs(Quasi-Normal
modes)了（这种模式的频率 是复数形式的）。
在最初的物理研究中，人们使用QNMs对特定的系统进行近似分析。随后研究的进一步深入，QNMs理论已经形成了一个极类似于保守厄米系统的数学结构。由于QNMs构成了一个完整的集合，因此可以对动力学进行确切的描述。如今，对准正规模的分析已经成为研究开放系统的一个有力工具。准正规模不仅在量子光学中有着重要的应用，就是在天体物理中也有着极其重要的应用。
众所周知，很多物理概念都建立在保守系统的正规模式基础上，诸如能量本征态，分子轨道，能带，能级跃迁，和激发能量（一次量子化）或费曼图中的传播子（二次量子化）。并且，与相互作用量子场有关的概念都是基于自由经典场正规模式进行的本征函数展开，例如，在量子电动力学中的光子传播子取决于按平面波形式展开的自由经典电磁场，这种以平面波为基底的展开之所以可行是因为保守系统中的力学量是厄米的，即在保守系统中力学量用厄米算符表示。
另一方面，如果系统与外界环境之间存在能量交换，那么原来的保守系统将变成开放系统，与之相关的数学算符也不再是通常意义上的厄米算符了，其本征函数也随之变成含有复数频率 的准正规模（QNMs）了。图2.1(a)大致描绘了在一个长度为 的线性光学腔外观测到的电磁光谱，所观察到的这些电磁光谱来自一个放置在线性光学腔内的宽频带源（例如，荧光染料分子）的辐射。图中的每一个峰表示一个共振，或者表示一个准正规模，相邻两共振峰频率之间的间距 （这里 表光速），这个间距与理想的封闭腔是相同的（对于一个理想的封闭腔中电磁模式是分立的，例如一个一维的理想封闭腔，其两端的镜子是全反射镜，并且不存在损耗，因此只有波数 满足 的模式才能存在于腔中）。因此光谱线中的共振表征的是腔的特性而非源的特性。图中还显示每一个共振峰都有一个共振宽度，用 标记共振宽度。在不存在吸收的情况下，共振宽度 由腔的泄漏量确定。在泄漏量为零的极限下，准正规模变成正规模，泄漏腔变成理想腔，在此情况下，原本有宽度的共振峰变成了一条条相互平行的直线。如果开放系统中的物理现象可以利用离散的QNMs加以讨论，并且这些离散的QNMs能够为系统动力学的研究提供一个本征函数的展开基底，那么这将是一个有趣又实用的问题。这个问题的研究是不平凡且有意义的，因为在非保守、非厄米系统中的本征函数展开很少有已知结果。
关于电磁波从开放腔中逸出的问题，与腔量子电动力学(QED)现象直接相关：该问题不仅在Fabry-Perot腔中存在，在超导微波腔中，半导体异质结构中，甚至在通过完全的内部反射限制闪光的微球体[2]中都有存在。首先，电磁光谱由共振决定。图2.1(b)表示从一个微球体上观测到的实验光谱，本质上类似于图2.1(a)。其次，受激原子或分子的衰减率，当发射辐射和共振保持一致时得到加强，而当发射辐射远离共振时则被削弱。这种现象是十分诱人的，即 尺寸的原子或分子在 的范围内
“了解”它所处的环境，甚至是在光子被发射以前。
（a）在长度为
的线性光学腔外观测到的电磁光谱（示意图），由置于腔内的宽频带源产生。（b）一个掺杂了染料的乙醇微球体发出的荧光光谱（上层）。共振峰与计算得出的共振（下层）十分吻合。
图2.1 腔外观测到的电磁光谱[2]
另一个例子与引力波有关。人们已知，引力波可由掉进黑洞的物质产生并迅速被观测到[3]。而干涉空间是弯曲的，从而导致了非同一般的波传播与散射，这可由一个有效势垒描述，引力波最终从它这里逸出。在这方面，这片空间区域很像一个光学腔（同样地引起了不一般的电磁波传播与散射并使得电磁波最终从它这里逸出）。数值模拟显示波幅在中间时刻由一个响亮的信号 （图2.2）决定。由指数 标记的每一个术语对应一个QNM，并且复数频率 包含了关于背景几何而不是发射源的信息。
开放系统是一类特殊的耗散系统，其中能量的损失取决于其与环境或热库之间的相互作用[4]。人们普遍认为正确的处理方案是首先包含热库自由度，然后在路径积分或运动方程中消去它们。类似地，一个开放腔可以被嵌入到一个“宇宙”中，（线性尺寸 ），腔外空间作为热库，腔的全部加上热库就是保守的，其宇宙模式形成了一个连续谱 通过使用宇宙模式由此发展出了一个在一维腔中产生激光的严格的理论。并且这些理论可以被推广到更高维，例如，微球体中的光学[5]。
1946年Purcell首先在腔量子电动力学中引入共振的概念，并对此加以讨论。他建议，在费米黄金规则下，在容积为
的腔内对于一个宽度为
的
重退化QNM,每单位体积状态数的密度
应该由
取代。这对自发辐射而言将导致一个加强系数 ,这里
是发射光波长，而
是腔品质因数。Purcell的理论使用宇宙模式进行了详细的说明[6]。其主要结论是光子的模式进行了重新分布：在共振处累积，而在远离共振处衰减。
在一个静态的球对称黑洞背景中，对于传播的线性引力波的波幅
，由于准正规模的响亮信号出现在中间时刻，其数值模拟被作为一个时间函数。
图2.2
波幅
作为时间的函数[7]
显然，表述这些理论的更自然的方式是单独使用开放系统中的QNMs模式，而不是宇宙模式。换言之即消去库的自由度。只有当QNMs完备时这才有可能作为一个准确的表述，其完备性与两个问题有关。首先，在
是QNMs的情形下，任意一个函数
能否都被展开成
的线性组合：
(2.1)
更重要的是，共振是否准确地代表了腔内的所有
和所有
的动力学？
(2.2)
人们可能希望建立使这些展开变得有效的一些条件，并且在这些条件无法成立的情况下，以余数为特征。
人们应该也能由一个投影公式--即通过某种形式的内积从
中确定系数
。接下来初值问题开始从形式上变得微不足道了：取初始数据，选出
，并从
演变到
。此外，在于保守情形可以建立的相似性范围内，人们应该能使用数学物理工具来构建一个平行的模式。对于二次量子化，尤为重要的目标是，在腔量子电动力学中发展费曼规则，其中场传播子由离散的QNM指数
而不是一个持续的动量
标记。这不仅仅是为了计算方便，（在闭合回路中求和而不是积分），也为了明确概念（每一个术语对应一个共振）。
人们普遍认为，开放系统中的波可能服从薛定谔方程。（例如在核子物理学中），波动方程（例如在光学中），或是带有势垒V的Klein-Gordon方程（例如在线性引力波的每一个角动量区域[8]中）。只要所考虑的问题与时间无关，则波动方程就可以被精确地映射成为Klein-Gordon方程，而通过重新标记 ，Klein-Gordon方程可以完全地被映射为薛定谔方程。这样他们之间就有了许多相似的性质。对于标量波动方程的研究，在一个特定域 中，有如下方程：
(2.3)
此方程描述了电磁标量模型（ 表介电常数，以下 ）或弹性振动（ 表密度）。若考虑的是一维问题，此时 ，并且所考虑的问题在区域 范围内，腔的间隔 。显然这个体系的模式中会有一个波节，这个波节位于起点处，即 处。而在 点，波将逸出到腔外，即波逸出到了“宇宙”的其他区域 。这一模型可以用来描述由放置在 处的完全反射镜和放置在 处的部分透射镜所组成的激光腔,以及由半径为 的星状物体发出的引力辐射的半径问题，或描述一根一端固定在 处，而另一端在 上载有点质量的弦的横向振动问题。
对于保守系统，人们通常在R的边界（一维情形下 ）上加一个 的条件。本征函数或正规模式是被分解了的解答 。节的边界条件暗示 是封闭的，这样能量不可能逸出。从数学上看，算符 是厄米的;这样 是实数并且本征函数 形成了一个完整的正交集合。
与此相反，如果
满足了出射波在
边界上的条件，那么这个系统便是开放的了。本征函数（在一维情形下）满足 ,
。问题随后变成这些 在方程(2.1)，(2.2)成立的条件下是否完整。其微分方程承认了两个对称性：如果频率 和函数 是一种解答，那么由(a) , 和
(b)
,
获得的也是这样。然而，为了也满足出射边界条件，只有这些算符的组合，即， , ，可以映射一个允许的解答到另一个上。这样如果 是一个本征频率，那么 也是；但是，由于 ，所以这两个本征值是截然不同的并且各自对应的本征函数 和 线性独立。这样模式和保守情形相比加倍了。因此根据增长的实部来令本征频率 ，这样 .那就可以是 的QNMs了；这些也就不再会成对了，并将被称作零模式且一般地标记为 .
很明显，整个形式取决于中央的结果: QNMs在
内是完整的这一特点提供了两个被满足的条件。(a)非连续性条件：
为了在有限间隔内提供一个自然的区别，在
处一定有一步或更强的不连续性。(b)无尾条件：在
处
（或其它常数），这样出射波就不会被散射回来。在有限腔外存在真空的典型条件下，无尾条件在光学情形下尤为自然。而至于腔内是否有一个比腔外常数值大或者小的
则无关紧要。
当QNMs不完整时，关于准模完备性的证据也将为理解其他贡献提供一个框架。格林函数
的傅里叶变换[由 定义, 时
]由
时的
详细地给出。这里
和
是频率为
时的均匀解答，其中
满足左交点条件
，
满足右出射波条件
;
是他们的朗斯基行列式。
时 由在一个较低的半 平面内被一个大的半周封闭的积分路线的逆傅里叶变换估测。通常有三种不同的贡献：
（a）大的半周-迅速反应。大的半周 给出了短时或迅速的反应。对于大 ，系数 在较低的半 平面内提供了足够的阻尼以控制渐近线的行为，以至于迅速反应一直在 时消失，这里 是在 和 之间的几何光学传输时间[9]。
一旦不连续条件被满足，就有了一个强有力的结果：由 估计，这一贡献在 时恒消失。 这一行为自然应该对短空间标量敏感，尤其是不连续性。
（b） 的单一性－延缓时间的尾巴 函数 由时间独立波动方程积分而得，其中 在从 到 的有限距离内分析性地出现。粗略地说，这是 的分析函数的一个有限组合，所以 中的 是分析性的。但由于不得不从 积分到无穷远， 中的 可以有不连续性（在负 虚轴上典型地出现了减少）
无散射的“直接”传播（光线1a和1b，迅速反应）；在有限
的重复散射（光线2，准正规模的贡献）；波在渐进的
中的
处被散射（光线3，延缓时间的尾巴）
图2.3
阐明对格林函数三种不同贡献的时空图[1]
然而，如果“无尾”条件被满足，那么人们就可以在 处给 加一个出射条件并再次只通过一个有限的距离来积分。这样 就可以被保证也是分析性的，并且这一影响被去除了。
（c）零W-QNM贡献。最后，就只剩下了 的 .在 的一个零 处，函数 和 线性独立： ;这样 同时满足左交点和右出射边界条件，并且是一个本征函数或QNM。
通常所有的这三种贡献都出现了，并很好的与时间域信号的主要性质相对应。（图2.3）在 平面的大半周内导致了初始瞬变量直接从源点 到观测点 的传播波（光线1a,1b）.零W产生了在中间时刻鸣响的QNM，由于来自势垒的重复散射（光线2）. 平面的削减，尤其是它接近 的尖端，就导致了时间延缓行为：波从源点 向一个远点 传播，被 散射，并回到了观测点 （光线3）.
现在集中讨论不连续性和无尾条件同时满足的情形。由于每一个零 的剩余部分与 相关，这就可以通过 和 的定义方程来估值：
(2.4)
运用标准化（和阶段性）惯例 ，而后就得到了
(2.5)
由 和 所满足的初始条件导出：
(2.6)
(2.7)
同一性(2.7)在保守系统中有一个明显的模；系数1/2用以解释模式的叠加。另一方面，方程(2.6)在零泄漏的限制下变得空虚而没有意义了。
QNMs展开的核心部分被包含在方程(2.5)(2.6)和(2.7)中。同一性(2.7)明显地导出了方程(2.1)，而方程(2.5)又可导出方程(2.2)。这里必须着重强调的是，在本节开头所陈述的那两个条件下，这种展开和随之而得的结果都是准确的且绝不仅限于弱耗散。尤其是方程(2.5)中的动力学也同样适用于过阻尼振荡（由零模式代表）。
3.共振态
对于开放量子系统中的共振态[10]，是从出射动量通量的观点加以研究的。资料显示：当为解释出射动量通量而采用积分的展开量时，共振态的粒子数守恒；而当采用积分的固定量时，粒子数将呈指数衰减。
关于共振，它已经在很长的时间内被人们广泛地加以研究。它出现在了从经典力学到量子力学的几乎所有物理领域里。然而，尽管如此，有关共振的很多基础方面仍然有待后人进一步地去研究。尤其是在凝聚态物质以及统计物理学里，很多教材虽确实引进了关于共振态的复合本征值，不过，这都只存在于表象中。
同时，共振现象的重要性也与日俱增，尤其是对于介观装置内的量子力学。当使用纳米装置时，不可避免地要把导线连接到纳米装置上，因此该装置不可避免的是开放系统，并且存在共振态；一个电子通过一导线进入纳米装置，将在有限的时间内被“困”在这一装置内的密闭势垒里，并有可能通过另一导线“逃”出该装置。这种共振传导已经被深入地进行过实验探究，如，Fano共振，这曾引起人们的高度关注。
现今的研究发现，共振态具有以下的一些基本性质：
一.对于任意波函数，能量期望的虚部与从系统逸出的动量通量成比例。
对于每一个共振态，在这种情形下，能量期望的虚部被减少到了只有寿命这么长，或共振的半宽与动量通量都被减少到了本征态波函数的实部。
二．在一个展开量中计算粒子数时，共振态的粒子数守恒。
共振态代表一个衰减的状态，并且在一个固定量中计算粒子数时，粒子数将呈指数减少。如前所述，由于衰减率是相对于出射动量通量而言的，因而可以通过不断地展开积分量来保持对泄漏粒子的跟踪。
开放的量子系统可以占有一个有着复合本征值的本征态。这种状态一般被称为共振态。共振态是开放量子系统中Hamilton量的本征函数。这个系统有着一个独特的边界条件：即只有出射波存在。
通过观测，传输概率的一个共振峰未必对应于共振本征态。
在很多教材里，共振态被定义为S矩阵的奇异性。这一定义事实上等价于在特定的边界条件下求解定态薛定谔方程。尤其是当边界条件为：只有出射波存在而没有入射波存在时，动量很明显不守恒。因而本征值是复合的。
讨论一维情形，先定义一个有限区域
：
(3.1)
并假设在
内存在一个势垒
。在这一区域外
，
(3.2)
因而，任何本征函数都由
组成，其中
(3.3)
在假定 或 的情形下，定义：
(3.4)
如此，则从中央区域（方程(3.4)定义的
）出来的动量通量可能会产生一个有着复合本征值的状态。这便引发了这样一种手段，即通过仅有出射波存在的边界条件去寻找一个本征态：
(3.5)
这个集合的边界条件常被称为Siegert条件，一个满足方程(3.5)的本征函数。如果它存在，那么显然有一个从中央区域出射的有限的动量通量，并且，它的能量本征值E一定是复数的。
有了前面理论的铺垫，将按以下方式定义共振态：
共振态是薛定谔方程在特定边界条件下的解，它是某Hamilton量的本征函数，它满足的边界条件是：在区域
外只有出射波存在。事实上，共振态的这个定义等价于寻找势垒散射矩阵（又称为S矩阵）的奇点[10]。
为引入S矩阵，考虑一个满足下列边界条件的本征函数
(3.6)
为使方程(3.6)成为定态薛定谔方程
的解，系数A,B和C与能量E之间必须存在依赖关系。中央区域
外的动量通量在这个集合的边界条件下可以消失，无论何时出射流等于入射流，即
。然后，一个满足方程(3.6)的本征态就有了一个真实的能量本征值。
一维S矩阵按以下方式定义：
假设粒子从左边入射，由于势垒的存在，由左边入射的波将被势垒反射或透射，从左边出发的波受到散射又回到左边的反射振幅定义如下：
(3.7)
而从左边到右边的透射振幅由下式给出：
(3.8)
同样地，可以考虑定态薛定谔方程
的一个如下形式的解：
(3.9)
这里入射波从势垒的右边入射，碰到势垒后分裂成两列波，一列被势垒反射，即向右传播；另一列穿过势垒继续向左传播。从右边出发又回到右边的反射振幅和从右边到左边的透射振幅定义为：
和 (3.10)
这种情形下的S矩阵就被定义为下列形式：
(3.11)
它涉及到来自左边和右边的入射波以及射向左边和右边的出射波。
很多教材唯象地把共振态定义为S矩阵(在复E平面内分析性连续)的奇异性；这种奇异性与薛定谔方程里的真复合本征态没有联系。事实上，只要
或 (3.12)
S矩阵的矩阵元就发散。
实际上注意到，边界条件的集合(3.6)当
时被简化到了方程(3.5)。这样就可以不用在边界条件(3.6)下求解薛定谔方程，然后去寻找
的零点，方程(3.5)意味着可以在一开始求解薛定谔方程时就应用
。这样，就能看到在许多教科书里给出的共振态现象学定义，与对共振态的上述定义-本征函数完全等价。
有些人可能会认为，方程(3.5)里的出射波不知是从哪儿冒出来的，这种说法当然不正确。作为出射波源的粒子一开始就在势阱里。微粒概率与其本身成比例地从势垒里泄漏出来；当势阱中的微粒概率减少时，其泄漏概率也一样地在减少。微粒概率永远保持指数减少，正如泄漏也始终保持减少一样。
前面第二章讨论了准模理论的相关概念和性质，第三章则引入了共振态（尤其是散射共振态）的定义及相关性质。现在来论证这二者之间的等价关系。
如2.2（准模理论的数学表述）所定义的在特定域 内满足的标量波动方程：
(2.3)
由于这里考虑的是一维情形下的弦振动模型。因而所考虑的范围为半无限弦 ，而腔的间隔为 ；即区域 相当于一个微腔，而 则相当于外部环境。微腔与外部环境之间的能量交换只发生在 处。这样，腔与外界环境之间的耦合可用散射边界条件
(4.1)
来表示。这个系统的波动方程为：
(4.2)
若令
(4.3)
则可得波动方程(4.2)的定态解U(x)满足方程：
(4.4)
这显然与量子力学里的散射共振态类似[11]。
现在引入一个一般的物理模型，并运用散射共振态方法，来研究单光子在该物理模型中所表现出的性质，进而得出最后的结论。
(a) 是一个半无限长的波导管。 (b)是一个二能级原子，原子置于波导管中。为实现原子的能级可调，并且使原子的两个能级相对稳定，实际上可以使用一个
型原子(c)，并且利用受激Ramma技术，即使用两束经典光分别驱动原子的辅助态
到原子的基态
和亚稳态
之间的跃迁，在大失谐情况下，衰变较快的高激发态
上无粒子数布局，从而得到一个有效的二能级原子,并且它的两个能级相对较稳定。
图5.1
内腔示意图[12]
图5.1是本文所要研究的系统。该系统由一个一维半无限波导管（即一个半腔）和一个二能级原子构成。一维坐标轴以腔的终端为原点，在腔内离终端距离为
处固定了一个原子。如图5.1(a)所示。该原子有两个能级，一个基态（标记为
）和一个激发态（标记为
），如图5.1(b)所示。基态和激发态之间的能级间距为
，为了实现原子的能级可调，并且原子的这两个能级衰变较慢，可使用一个
型的三能级原子，如图5.1(c)所示，即引入一个辅助能级 ，然后利用受激Ramma技术，即使用两束经典光分别驱动原子的辅助态 到原子的基态 和亚稳态 之间的跃迁。在大失谐情况下，衰变较快的高激发态 上无粒子数布局，从而得到一个有效的二能级原子,因此这两个能级相对较稳定。
光子被限制在一维波导中运动。由于原子的存在，波导中的光场与二能级原子发生相互作用，相互作用强度为
。显然一维波导中存在向左传播和向右传播这两种光场模式。为此，引入玻色子场算符
和 。其中 描述向右传播的光场， 描述向左传播的光场。它们满足对易关系：
， ，这里
为 函数，它在 时取值1，在 时取值0；
为 函数，它在 时为无穷大，在 时为0。与一维两端无限腔的情形[12]类似，波导中运动的光子可用如下哈密顿量描述：
(5.1)
其中，
代表波导管中光子传播的群速率。在方程(5.1)中，原子的基态能取为零。
这个系统中存在一个守恒量，这个守恒量就是系统粒子的总激发数。根据这个守恒量，原本无穷维度的Hilbert空间可以被划分为一些不同的不变子空间，每一个不变子空间均有一个确定的粒子总激发数与其对应，并且每一个不变子空间的基矢都相互正交，并具有归一性和封闭性。在粒子的总激发数为1的空间里，可以假设哈密顿量(5.1)的能量本征态如下：
(5.2)
与其对应的能量本征值
。方程(5.2)的能量本征态描述一个单光子在半腔中的传输。这里
表示原子处于基态，而一维半无限波导管处于真空态；而
则表示原子处于激发态且腔场处于真空态。此态的产生是由于原子吸收了一维半无限波导管中的一个光子，从而由基态跃迁到激发态。方程(5.2)中 和 都是一维坐标x的函数，即
，
。由于在方程(5.2)等式右边的第一项中，原子处于基态。因此 的模方表示在位置x处找到动量大小为
，且向右传播的单个光子的概率密度， 的模方表示在位置x处找到动量大小为
，且向左传播的单个光子的概率密度。同理，在方程(5.2)等式右边的第二项中，由于一维半无限波导中的动量大小为
的光子被原子吸收，使原子跃迁到激发态。因此
的模方就表示位置 处的原子处于激发态时的概率。将方程(5.2)代入到由方程(5.1)的哈密顿量描述的定态薛定谔方程
中，并利用玻色子场算符之间的对易关系：
，然后注意到：在定态薛定谔方程中左右两边的相同基矢前的系数须相等。由此得到向左传播的单个光子的概率波幅
，向右传播的单个光子的概率波幅
，以及原子处于激发态时的概率幅度
之间的关系，它们满足下列方程：
(5.3)
(5.4)
(5.5)
为便于理解这些概率波幅的意义，现将电磁场中向左和向右传播的概率波幅进行线性组合，并定义新的概率波幅
，由方程(5.3)-(5.5)可以得到新概率波幅所满足的方程：
(5.6)
其中
(5.7)
是波导管中单一的折射系数，它取决于系统的能量。这种对能量的依赖性可以由图5.2阐明。
图中的波浪线代表原子的反射性质；虚线代表光子波函数在共振时的典型样式。(a)当 时，该模型相当于一个泄漏腔；(b)当
和
时，该区域密闭完好，并且腔内的光子可以被完全反射。
图5.2 QNM的出现[13]
方程(5.6)可以看作一个定态薛定谔方程。可是它与定态薛定谔方程不尽相同，因为方程(5.6)中的势函数依赖于能量，
。这个有效势是由于光与原子的相互作用而产生的，同时由于原子的尺寸非常的小，因此有效势是一个
型的局域势。当入射光子的能量不等于原子的跃迁频率时（
），在 处出现的有效势垒为有限高，因此形成一个半透明的反射镜。当光与原子发生共振时，在 处出现了一个无限高的势垒。这样处于 处的原子就充当了一个完全反射镜。这个反射镜只将能量为E的光子进行全反射，因此位于 处的二能级原子和固定在终端的反射镜就把一个密闭的一维空间夹在了二者之间，从而形成了一个完整的腔。换言之，发生共振的原子和腔产生了一个正规模式的光谱。在接近共振的情形，原子相当于一个存在泄漏的镜子。它的泄漏率由折射系数
确定。而
反过来也受原子参数的控制。（比如能级跃迁和电磁场耦合常数）。实际上，对于一个给定的折射系数，泄漏腔中QNM的出现[1]已经被广泛地加以研究。但这里提供的另一种选择方案，在一维连续模式下（此处固定的原子给出了有效
型势垒），使得QNM能自发出现。
按照常规的QNM处理方案，假定腔外
的场幅为一个出射平面波
，并通过对光子动量k取复数值来实现可分析的连续性。这里的出射平面波描述了原子的自发辐射。而在出现的腔内
的对应场幅
除k为复数外等同于完整腔内的情形。因此，QNM的能量是一个复数量，它的实部表共振频率，虚部表共振谱线宽。
共振谱线宽决定了电磁场在腔内的泄漏率。而场幅的边界条件及其一阶导数给出了无维方程：
(5.8)
它确定了QNM的复数能量。这里，
，
和
表示了一个无维参数的集合。为了使电磁场密闭以致一个等价腔出现，电磁场与原子之间的相互作用应足够大，即 。而后QNM就有了由无维复合本征值
(这里
)给出的近似能量
(5.9)
它定义了当
(5.10)
为模式线宽时的共振频率。
实部
的离散性与具有正规模式
的完整腔情形类似。在这两种情形下，腔的长度
都决定了模式的离散值。这一性质由所谓的外形共振精确得出：当腔的长度
与腔内的电磁波频率相匹配时，来自“原子边界”的反射波相对于入射波有一个阶段为
的延缓。从而破坏性地干涉了入射波。
虚部
取负值表征了腔内电磁场向外的衰减。我们以逆
来定义电磁场的寿命，即
(5.11)
这一寿命与
以及失谐的逆平方(在
处达到最大值)成比例。这种长寿命的状态由原子的能级间距
加以选择。当系统接近共振且电磁场封闭得似乎更紧的时候，有效折射指数
被强有力地修正了。在这个意义上，近共振光子模式被更强烈地反射回腔内，从而抑制了泄漏。因此，人们普遍认为，当原子的能级间距
与腔的长度
相匹配时
，原子将相当于一个完整的镜子。
5.3数值结果与受抑发射
此外，为了证实方程(8)的以上近似解答，将从数值方面予以解决并在图5.3(a)中的
复平面内表现解答的实部和虚部。由两条线（红虚线和黑虚线）的交点来确定圆圈点（当参数
）。以上近似得到的分析性解答由图中的蓝虚线详细地表示出来，这和图5.3(a)中的数值解答吻合得非常好。为了能详尽地表示匹配结果，在图5.3(b)中画出了作为原子能级间距函数的衰减率的曲线。
方程(8)的基点由圆圈标记。(a)在近似条件下的分析性解答由一条虚线表示（蓝色）。这种近似符合数值点；(b) 与原子频率的对应关系。衰减率在
时到达最小值。
图5.3 方程(8)的解[13]
为了进一步描述以上获得的QNM，利用参数
在图5.4中画出了波函数，它描述了在
一定时最慢的衰减过程。这里，共振频率
，衰减率
。因而在内腔里出现了一个束缚态，然而，它在腔外却呈指数偏离。这些特征证明了QNM事实上就是共振态。由于较长的寿命，它表现得像一个束缚态，甚至是在大的时间标量中。基于这些考虑，可以推断出，事实上存在一个准束缚态。有趣的是，如果单光子被装进腔内，它将花很长的时间才能逸出腔外。这样，从理论上就可以建议把这种人为制造出的“密闭腔”作为单光子的存储装置。
从图中可以看出，波函数的幅度在无限远处偏离。这里的QNM状态事实上是一个共振态。
图5.4 在实空间内处于最慢衰减状态的小块波函数[13]
为显示出现腔的量子本质，研究了显著的腔量子电动力学效应-对腔内自发发射率的修正。处于束缚态原子的辐射可以由电磁场的边界条件加以控制。为实现这一目标，对该原子引进了一个现象学发射率
，它表现了系统通过环境中的各个渠道进行衰减的特征。然后通过用
来取代
，正式得出了原子在漏腔中的衰减率：
(5.12)
在所谓的“强耦合体制”里 ，原子自发的衰减明显得到了抑制。在一个三维装置里，一个类似的结果已经被得到，即当原子被放置在电磁场的一个节点上。
5.4物理工具
以上预测到的QNM在半腔中的出现能通过一些实在的实验系统加以表现。如图5.5所示的这方面的两个实例是带有一个以直流超导量子干涉仪为基础的电荷量子比特的超导传输线谐振器和一个掺杂了
型三能级原子的光子晶体。这里，电荷量子比特和三能级原子分别起到了功能镜的作用。
图5.5 一个超导传输线谐振器和一个光子晶体[13]
如前所述，当二能级系统以能量本征态
和
通过电荷量子比特时，半腔可以通过半无限的超导传输线来实现。能量的能级间距
由场的强度
和
定义，这里
是电荷能，
是大门处的电荷数。注意
可以由适用于门电容
的电压
来控制，而
可以由外部磁通量
通过超导量子干涉仪环来控制。如果传输线谐振器的有效长度是
，那么在量子比特和谐振器之间的耦合强度就读作
。这里
是每单位长度传输线的电容，
是量子化电磁场频率。耦合强度在5到200
范围内变化，而量子比特的能级间距是在5到15
的范围内。只要电荷量子比特和线谐振器之间的耦合变强了，那么由于来自功能镜的反射加强了，准束缚态将在传输线内出现。为了能观测到长寿命的准束缚态，耦合强度应该达到几个
。
关于在光子晶体上的物理工具，在其激发态上所掺杂的
型原子可以非常迅速地衰减以至于必须得借助于受激Raman散射(SRS)技术。具有一个耦合常数
和一个失谐
的一强大驱动场被用以耦合有着较低衰减率的亚稳态
和有着更高衰减率的激发态
。而基态
和激发态
被腔内电磁场以耦合常数
加以耦合。当针对SRS的大的失谐发生的情形下，一有效可调耦合
被引进到了电磁场，基态
和亚稳态
之间。由方程(5.11)可以看出，单光子在腔内的衰减时间是和
成比例的。它对耦合强度的高敏感性使得仅仅靠调节驱动场强度从而达到控制泄漏的目标成为了可能。
以上构想了一个可以在单光子水平进行相干操作的量子装置，它在一些实际的系统中已经被证明是可行的了。这种理论方法预测了一个诱人的现象，即处于一个一维半腔中的原子可以起到封闭该半腔的终端镜作用。这样出现的两端腔引起了一个影响原子量子动力学的反作用。结果，自然形成了一个在单光子发射过程中处于一维连续模式的准正规模集合。此外，出现有单一折射指数的腔等价于在波传播中含有时空奇点的极不均匀空间。因此可以大胆作出预测，基于固态的工具可以被用作在实验室中模拟视界和来自一个黑洞的QNM辐射。
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致
谢
衷心感谢我的导师周兰老师!
本论文的全部工作是在周兰老师的精心指导下完成的，周老师严谨的治学作风和宽厚的待人态度对我产生了深深的影响，使我在今后的工作和生活中受益匪浅。在论文修改过程中，周老师字字斟酌、细致入微的审阅我的论文并多次提出修改意见，对工作和学生认真负责，在此谨致敬意和谢忱!
难忘湖南师范大学宽松的学术气氛和融洽的关系，感谢本班的全体同学。他们对我的学习与生活给予了极大的鼓励和帮助。
感谢吴贤鸿，杨中文等同学在学业上对我的无私帮助，在此向他们表达我的感激之情。
同时感谢我的父母和亲友对我的无限关怀，他们为我的成长付出了无尽的心血，是他们在物质上的支持和精神上的鼓励使我在人生道路上奋勇向前，不断向新的目标发起冲击！
最后，我要向参加论文评审的各位专家表示最衷心的感谢!
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