在相对论极限下, 即当T m 时, 此时意味着 粒子的平均动能很大, 静能处于次要地位, 并且辐 射很强
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第 第第 第18 卷 卷卷 卷 第 第第 第1 期 期期 期 湖 湖湖 湖 南 南南 南 文 文文 文 理 理理 理 学 学学 学 院 院院 院 学 学学 学 报 报报 报(自 自自 自 然 然然 然 科 科科 科 学 学学 学 版 版版 版) Vol. 18 No. 1 2006 年 年年 年3 月 月月 月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Mar. 2006 文章编号 1672−6146(2006)01−0026−02 早期宇宙中的化学势问题 早期宇宙中的化学势问题 早期宇宙中的化学势问题 早期宇宙中的化学势问题 李泽军, 杨江河 (湖南文理学院 物理与电子科学系, 湖南 常德 415000) 摘 摘摘 摘 要 要要 要 讨论了早期宇宙中具有弱相互作用的粒子的数密度 和能量密度的问题, 从中看出, 化学势是讨论早期宇宙热力 学问题所不可缺少的一个重要参量. 关键词 关键词 关键词 关键词 早期宇宙 化学势 数密度 能量密度 中图分类号 中图分类号 中图分类号 中图分类号 P 148 文献标识码 文献标识码 文献标识码 文献标识码 A 化学势是物理化学中的一个重要的物理量, 是 研究系统的热力学性质和化学问题时最重要的工 具, 比如, 用它能判断系统中物质转移过程的方向 和限度 [1] . 同时, 在关于早期宇宙的热力学平衡等问 题的研究过程中, 化学势这一参量也起到了重要作 用. 1 不同极限条件下粒子数密度和能量 不同极限条件下粒子数密度和能量 不同极限条件下粒子数密度和能量 不同极限条件下粒子数密度和能量 密度 密度 密度 密度 宇宙中的辐射或相对论粒子是由 2.75 K的微 波光子和 1.96 K的残留中微子组成. 如果要使早期 宇宙处于一个较好的热平衡, 应该还有其他相对论 粒子存在, 并且数量可观 [2] . 因此, 计算早期宇宙中, 粒子的数密度n 能量密度 等热力学量是有重要 意义的. 如果四种粒子, i j k l在下列反应 i+j ↔k+l达到化学平衡时, 其化学势存在关系 u i +u j =u k +u l , 也就是说在达到化学平衡时, 每种粒子 的化学势都是和与之发生相互作用的粒子的化学 势相关的. 由此, 可以想象, 在关于早期宇宙中粒子 的数密度n 能量密度 等热力学参量的表达式中 可能含有化学势这一参量. 实际上, 对于处于动态 平衡的粒子来说, 相空间配分函数可表示为 [2,3] 1 ( ) [exp(( ) / ) 1] f E u T − = − ± p (1) 其中, u为粒子的化学势, T为早期宇宙的温度, + - 分别适用于费米 狄拉克粒子和玻 色 爱因斯坦粒子. ( ) f p 的意义是单位动量间隔 内的粒子数密度. 这样, 具有弱相互作用的粒子气 的粒子数密度n 能量密度 就可以用相空间配分 函数 ( ) f p 表示, 即 [2] 3 3 ( )d (2 ) g n f p π = ∫ p (2) 3 3 ( ) ( )d (2 ) g ρ E f p π = ∫ p p (3) 其中 2 2 2 E m = + p E p m分别为粒子的能 量 动量和质量 , g为粒子的自旋自由度数. 从(2) (3)两式可以看出, 粒子气的粒子数密度 n 能量密度ρ不仅与整个动量空间有关, 还与粒子 的自旋自由度数有关. 把(1)代入(2) (3)两式, 并稍 加变换, 即可得 1 2 2 2 2 2 ( ) d 2 exp[( ) / ] 1 m g E m ρ E E π E u T ∞ − = − ± ∫ (4) 1 2 2 2 2 ( ) d 2 exp[( ) / ] 1 m g E m n E E π E u T ∞ − = − ± ∫ (5) 因此, 对于n 这两个热力学参量, 其实都是与化 学势密切相关的, 从下面的讨论可以看到, 化学势 u 满足不同的极限条件, n 将会有不同的积分 结果. 在相对论极限下, 即当T m 时, 此时意味着 粒子的平均动能很大, 静能处于次要地位, 并且辐 射很强. 在此条件下 ) 当温度T远远大于化学势u时, 玻色子 费米 子的粒子数密度n 能量密度 会有不同的表示结 果 2 4 2 4 π (Bose) 30 7 π (Fermi) 8 30 gT ρ gT = ⋅ 万方数据 第1 期 李泽军, 杨江河 早期宇宙中的化学势问题 27 3 2 3 2 (3) (Bose) π 3 (3) (Fermi) 4 π ξ gT n ξ gT = ⋅ 其中, (3) 1.202 06 ξ = 为宗量为 3 的黎曼ξ 函数 值. 此时, 可以看出, 对同一类粒子, 粒子的能量密 度和粒子数密度只与早期宇宙的温度T有关, 而与 粒子的化学势u的大小无关. ) 对于u T 时的简并费米子, n和 的积分 结果分别为 4 2 1 8π ρ gu = , 3 2 1 6π n gu = 此时, 对于同一类粒子来讲, 它们的 和n只是化学 势u的函数, 与宇宙温度T无关. ) 对于玻色 爱因斯坦粒子, 0 u > 表明存在 玻色凝聚. ) 对于 0 u < 和 u T < 的相对论玻色子或相 对论费米子, 它们的 n分别为 4 2 3 exp( ) π u g ρ T T = , 3 2 exp( ) π u g n T T = . 它们都是u和T的函数. 2 净费米粒子数的问题 净费米粒子数的问题 净费米粒子数的问题 净费米粒子数的问题 在关于早期宇宙的热力学的研究中, 人们感兴 趣的另一个问题是 净费米子数密度问题 [2] . 所谓 净费米子, 就是费米粒子超过其反粒子数量. 对于 快速发生的反应, 例如 正粒子+ 反粒子 ↔ γ γ + 来说, 可以认为u u + − = − , 此时净费米子数密 度为 1 2 2 2 2 ( ) d 2 m g n n E E m E π ∞ + − − = − × ∫ 1 1 [ ] 1 exp[( ) / ] 1 exp[( ) / ] E u T E u T − + − + + (6) 分别在相对论极限( T m ) 和非相对论极限下 ( T m ), 上式将会有不同的积分结果 [2] . 3 结论 结论 结论 结论 从整篇文章中可以看出, 化学势的正 负, 以 及化学势u与温度T相比的大小关系 T u 或 u T , 直接关系到粒子的数密度n和能量密度 的表示结果. 因此, 化学势是研究早期宇宙热力 学问题所不可缺少的一个重要参量. 参考文献 参考文献 参考文献 参考文献 [1] 程兰征, 章燕豪. 物理化学[M]. 上海 上海科学技术出版 社, 1998. 67. [2] Kolb E M, Turner M S. The Early Universe[M]. Perseus Publishing,1994. 60. [3] 俞允强. 物理宇宙学讲义[M]. 北京 北京大学出版社, 2002. 133. Chemical Potential in the Early Universe LI Ze-jun, YANG Jiang-he (Department of Physics and Electronics, Hunan University of Arts and Science, Changde Hunan, 415000) Abstract: The number density and energy density of particles with weak interaction in early universe were discussed. The discussion shows that chemical potential is an important parameter in studying the thermodynamics of the early universe. Keywords: early universe; chemical potential; number density; energy density. 收稿日期 收稿日期 收稿日期 收稿日期 2005-10-20 基金项目 基金项目 基金项目 基金项目 湖南文理学院硕士启动资金资助课题. 作者简介 作者简介 作者简介 作者简介 李泽军(1973-), 男, 硕士, 主要从事物理基础理论 与教学方面研究. (责任编校 责任编校 责任编校 责任编校 刘刚毅) 万方数据
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