Monday, March 25, 2013

绝热过程 bo近似原子核并非一成不变的固定在晶格之中，在一定温度下，原子核能获得能量，在平衡位置附近发生振动;电子与这种振动的相互关系。一般而言，物理上会把振动分解为简正模（也就是，本征态和能量谱）。在量子力学框架下，我们会再把它量子化，所谓声子。

原子核并非一成不变的固定在晶格之中，在一定温度下，原子核能获得能量，在平衡位置附近发生振动

电子与这种振动的相互关系。一般而言，物理上会把振动分解为简正模（也就是，本征态和能量谱）。在量子力学框架下，我们会再把它量子化，所谓声子。

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原子跃迁的秘密

主说：让原子跃迁于是原子见到光，便会了跃迁原子中每个电子原本都存在于各自稳定的能级之中，因此原子自身是稳定的。假使有一束光子袭来，实验告诉我们，电子能够一份一份地吸收这些光子，且自身从低能级跃迁到高能级上去。与此同时，激光告诉我们，电子也能被这个光子诱导，从一个高能级衰变到低能级下来；此外，led灯也告诉我们，即便没有外加光子的骚扰，因为真空... 阅读全文

主说：让原子跃迁

于是

原子见到光，便会了跃迁

原子中每个电子原本都存在于各自稳定的能级之中，因此原子自身是稳定的。假使有一束光子袭来，实验告诉我们，电子能够一份一份地吸收这些光子，且自身从低能级跃迁到高能级上去。与此同时，激光告诉我们，电子也能被这个光子诱导，从一个高能级衰变到低能级下来；此外，led灯也告诉我们，即便没有外加光子的骚扰，因为真空震荡，这些真空中的虚光子也可以诱导电子衰变，形成自发辐射。电子和光子的相互作用，不可谓不丰富，不可谓不独特，不可谓不神奇。

然而电子－光子相互作用的跃迁是要满足一定条件的。从能量上看，能量要守恒：Ei=Ef+gamma。其中Ef是终态电子在原子核中的能量，Ei是初态的能量，gamma是光子的能量。除此之外，角动量也要守恒：电子的初态绕着原子核转，有这么一个角动量a，终态上，电子以另外一种形态绕着原子核转，有这么一个角动量b。这两个角动量的差必须由光子来补充，这就是角动量守恒的限制。

不过一个以概率云存在的电子，是通过何种机制辐射和吸收光子的呢？那么电子波函数的跃迁和一个经典的辐射模型有没有什么联系？从经典的电磁理论中我们且知，一个变速运动的电子能发出光子；一个简谐震荡的偶极子也能够发射光子（偶极子辐射）。这两者之间是否存在着联系？本文希望能在有限的篇幅内理其深意，予以解答。

1. 稳态的波函数：

作为准备，我们以氢原子为例，将电子在稳态下各个能级的波函数绘出如下：

其中L代表不同的角动量，ml代表不同的角动量分量，主量子数n决定波函数的能量但不影响其角度分布。我们只主要注意L<n即可，因此这里略去。不难发现一下几点：

1，角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球，在任何方向没有极化。

2，角动量不为0的波函数，在空间存在极化。这里选择z为我们的极化轴，那么ml就代表波函数在z轴上的角动量分量。不难看出，当ml＝1，2，3时，波函数呈以z轴为中心的扁平状，这其实可以看作是电子的相位沿着扁平状的轨道绕着z 轴旋转。ml取的正，负号无非是电子旋转的方向顺／逆时针不同罢了。当ml=0时候，电子的相位轨迹可以看作是沿着z轴在z正负半轴震荡，因此其运动在z轴上的投影为0。

3，注意，电子相位的轨迹并不是电子运动的轨迹。电子的相位速度不是0，但群速度为0，因为稳态的电子波函数是驻波。波函数的模中已经没有了相位信息，因此电子在上述能级中是依照空间中的概率密度稳定存在的。这时候的电子因为静止，自然无法辐射光子。

2. 波函数的相干：

由上可知，虽然波的相位运动能决定角动量，但波的相位不会决定电子存在的概率分布。这是不是说波的相位从物理观测的角度上说，就毫无意义了呢？

如果能够回想起光的干涉试验，我们就会明白，在干涉中，波的相位将会呈现出明确的物理意义：它能通过相消和相长干涉重新定义波的概率分布。

把电子看作波，本质上说也就等价于允许电子进行干涉。那么电子究竟是否会发生干涉么？如果是，在什么条件下发生，干涉的结果又是如何呢？

3. 电子的干涉：

如果没有外界扰动，电子将永远地在自己地能级上呆下去，他们的确并不会干涉。然而在外加电磁波存在的情况下，局面就发生了改变。

由微扰理论我们可知，系统在存在扰动情况下的本征态，将不可避免地成为无微扰时本征态的线性组合，也就是相干态。假定原子有2个能态|1>和|2>。那么微扰后，系统新的本征态将会变成［1］：

|1>'=a|1>+b|2>, ....

这里的a和b是一个和扰动大小以及形式有关的系数。和电磁波中光的干涉一样，此处的线性组合，就代表了电子波函数之间的干涉：因为如果我们算新状态|1>'的强度（概率密度），也就是他的模，那么在表达式中将不可避免地出现|1>和|2>的交叉项，他们互相之间的相位就会开始起作用。

从薛定锷时间演化方程我们知道，电子波函数含时分量的相位正比于其能量：

也就是说，交叉项本身非但不为0，而且还含有一个和两个能级能量差相等的振荡频率。实际上我们下面就会说明，这么一个振荡频率，就是干涉后，电子概率波运动的频率，这也就决定了电子偶极子振荡后，发出/吸收光子的频率。转化成我们熟悉的语言，这就是著名的：

跃迁能量守恒关系。

为方便比较，我们将各稳态波函数相位随时间演化的函数作图如下。由图明确可以看出，磁量子数ml大小及其符号和角动量z轴分量大小，方向等的对应关系：

3.1 L=0, ml=0:

3.2 L=1,ml=0:

3.3 L=1, ml=1:

3.4 L=1,ml=-1:

3.5 L=2, ml=0:

3.6 L=2, ml=1:

3.7 L=2, ml=2:

3.8 L=3, ml=0:

3.9 L=3, ml=1:

3.10 L=3, ml=2:

3.11 L=3, ml=3:

4. 干涉，偶极子允许跃迁和跃迁禁闭：

4.1 态 l=0 和 l=1, ml=0 的干涉：

不难发现，这描述的是一个概率波沿着z轴振荡的电子。其振荡频率就等于两个能级之差（除以hbar）。考虑到电子带负电，原子核带正电，原子核不动，因此这就是一个振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个线偏振光子。这就形象描述了一个从l=0到l=1，delta l=1这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

4.2 态 l=0 和 l=1, ml=1 的干涉：

这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个逆时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

4.2 态 l=0 和 l=1, ml=－1 的干涉：

这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个顺时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=－1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

以上3种情态对应了经典电磁场中振荡的电偶极子，因此能释放／吸收光子。这种跃迁叫做电偶极子允许跃迁

4.3 态 l=0 和 l=2, ml=0 的干涉：

我们下面来看一看一个电子如果要从l=0跃迁到l=2 上去，将会出现什么样子的情态：

你能看到，此刻，电子云虽然也在振荡，可由于其关于z轴原点处对称，在正半轴的电子云和负半轴的电子云恰好抵消，因此无法产生一个非零的偶极子，这样的跃迁不能辐射和吸收光子。这因此也叫做电偶极子跃迁禁闭。也就是说，如果你对氢原子照射一个光子，在电偶极子理论下，它是无论如何也不会发生从l=0到l=2的跃迁的。

出于好奇，我们再看一看ml＝1和2情况下，l从0到2的“跃迁”情态：

（ml＝1）

（ml=2）

这些ml非零的跃迁虽然存在围绕z轴的角动量，但因为电子云始终关于原点对称，无法形成有效的极化（你可以看成2个头尾相反的偶极子的叠加，他们的有效偶极子就是0），因此无法进行偶极子辐射。他们因此也是电偶极子跃迁禁闭的。

4.4 态 l=0 和 l=3, ml=0 的干涉：

出于好奇，我们再看看从0到3的干涉图样：

能够证明，此时的波函数仍旧是关于z轴对称的（虽然形状不同，但积分之后，总电荷量是对称的）。因此同理，也无法进行电偶极子辐射。

4.5 其他几种从l=1到l=2态的干涉：

从上到下依次是ml=0,1,2。如果取ml=-1,-2，那么旋转方向变成顺时针。这些情态下，不难发现当ml=0和1时，是存在偶极子跃迁的，ml=2时没有偶极子跃迁。

5. 偶极子跃迁选择定理

由上分析，我们不难得到著名的偶极子跃迁选择定理(selection rule):

这也就是偶极子跃迁能发生的条件。从上面的动画，我相信大家此刻都对这么一条抽象的定理有了更为形象和深刻的理解：因为只有满足这些条件的跃迁，才会干涉出有效的振荡偶极子。其一般性可以从偶极子的空间对称性中得到证明。

6. 多极子的跃迁［3］

上面4.3，4.4，和4.5（3）所述之情态是否就完全无法辐射光子了呢？答案是否定的。这些非偶极子的电荷分布完全可能发射出四极子，八极子甚至更高数目极子的辐射，详细的说明可以参考jackson的关于偶极展开这部分内容。只不过这些多极子的强度将大大小于偶极子（每一级约为1000倍）。在存在偶极子跃迁的系统中，我们观察到的吸收主要来自于偶极子。

例如关于四极子，我们也有对应的允许／禁闭条件：

这也就是说，类似4.3的情况，将会存在四偶极子振荡；类似4.4的情况，将会存在八偶极子。类似4.5（3）的情况，因为既不满足偶极子又不满足四极子或更高极子的条件，因此不会有任何辐射，也就不会和对应的光子发生任何耦合（4.5（3）的形状也的确够扭曲的）。

7. 跃迁

在电磁场对原子体系进行扰动的过程中，电子云的相关各态之间发生了干涉。在做图的时候，我们假定了a,b系数恒定。这是不符合事实全貌的，但却是合理的，因为外加扰动的振荡频率应该远小于电子波函数本身的演化频率（或者说，电磁波的能量小于电子所在能态的能量）。因此，上文给出的演化情态在扰动过程中来看，是符合事实的。

但干涉的电磁波本身毕竟是时间的函数，严格地说，我们应该使用含时微扰。因为篇幅限制，我们不可能继续展开，但有一点可以肯定的是，此刻系数a,b也会是时间的函数。在吸收开始前，a=1,b=0，系统完全处于初态；在吸收结束后b=1,a=0，系统终结于末态。因此电子的波函数不会是永远振荡的，而是始于作用开始，结于作用完成。在这一过程中，电子将完成数十到数百次如上述的振荡，释放出一个频率满足E1-E2关系的光子波包。这个波包的长度可以从这一振荡总的持续时间来估算；这一时间总的来说满足时间－能量的测不准定理。

从上述偶极子振荡发出的功率，我们还能算出每秒钟，电子振荡所释放/吸收的光子数。由此我们能得到吸收/辐射的概率，并推算跃迁通道的life time。这些结论都和爱因斯坦的公式完全吻合［2］。

最后，我们以l=0 到 l=1且ml=0为例，考虑一个a,b含时变化下，电子云真实的振荡情况。由此我们能形象的看出一个电子是如何从初始状态，通过干涉，最终振荡跃迁到终止状态中去的：

全文完

［1］：量子力学的不含时微扰论

［2］：具体的计算细节可参考：Introduction to Modern Optics, Grant R Fowles.

［3］：注意到多极子跃迁中，角动量变化可能大于光子的自旋角动量，Lphoton=1，这一部分多余的角动量将由光子的轨道角动量提供。

Bo Zeng

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SOME PHYSICS

On the linear and spin angular momentum of light

我们都知道光有动量，轨道角动量【1】，还有自旋。关于这三者的讨论汗牛充栋，争论不休，计算繁杂。作为普通大叔，如何避开MAXWELL方程组，形象地理解和推导他们，是一个首要问题。实际上，考虑到MAXWELL方程的普适性，我们认为一个单电子振动模型，足以。本文将证明事实的确如此。1.自由单电子模型：假定有一个自由的电子在空间，它在平面波下的运动方程为： ... 阅读全文

我们都知道光有动量，轨道角动量【1】，还有自旋。关于这三者的讨论汗牛充栋，争论不休，计算繁杂。作为普通大叔，如何避开MAXWELL方程组，形象地理解和推导他们，是一个首要问题。

实际上，考虑到MAXWELL方程的普适性，我们认为一个单电子振动模型，足以。本文将证明事实的确如此。

1. 自由单电子模型：

假定有一个自由的电子在空间，它在平面波下的运动方程为：

后面我们会说明，这个运动方程对于解决本问题是没有用的。不论如何，我们还是先来看看这个运动的稳态解：

方程的谐波解显然，是：

速度则是：

由此，出于无聊，我们画出几个周期内，电子的位移，速度和受力情况：

注意到力和速度相位总是相差180度。W=F＊V，这种情况下，电场对电子其实是不做功的：前半周期做的功，后半周期又被电子还回来了。

2. 带吸收电子模型

光子必须对电子做功，或者说，被电子吸收，光子的动量、自旋等才可能转移到电子上去。上述模型不存在吸收项。为了分析问题，我们必须引入吸收项：

记第一项的系数为A，第二项为B，我们有：

因而速度项：

如果我们只考虑电子吸收光子的过程，作B项图：

这时电子的受力和速度就是同相位的了。

3. 电场方向与电子动量：

由上分析，我们知道，电子在电场方向受到激励，做简单振动；振动的一部分只是好玩，没有吸收任何能量（散射），振动的另一部分不好玩，是吸收能量的（吸收）。但，不论是哪一种，或者他们两者的叠加，电子本身在电场方向是一个稳定运动，其动量和位移是简单谐振，平均值是0。实际上出于对称性，电场方向不可能有非零的动量传递。由此我们看到，电子吸收光子的能量，把能量传递给了摩擦等；但电子在电场方向上，并未获得实质性的动量。

那电子如何吸收光子的动量呢？

考虑到磁场和洛仑兹力，一切就能解释了。

磁场和电场同相位，且在电场的右手。因此，洛仑兹力给出的磁场里方向恰好沿着波矢k。认识到磁场就是电场的相对论效应（见4 VECTOR和FIELD TENSOR一文），光子的能量被电子横向吸收，光子的动量，则借助磁场，纵向传给了电子。（认识到，磁场对电子不做功，磁场只负责传递动量；一个负责传递能量，一个负责传递动量；一个是时间的化身，一个是空间的魅影；一个是第一列，一个是后三行【2】。这种鬼斧神工，不得不让人为之倾倒和惊叹）

注意到，B=E/c，其中c是光速。

根据动量定理，我们不难得到：

这就是单位时间内电子吸收的动量；

由上分析，其吸收的能量是：

我们有光子的能量动量之比：

由此我们可以得到，光子的静止质量为0。

4. 圆偏振：

光子是唯一个自旋能够在真实空间得意表征的基本粒子：实验表明，光子的自旋和光子的偏振有关，经常有题目求圆偏振光作用在材料上，材料受到的力矩是多大，但解答往往是首先利用了光子自旋角动量的结论，这属于循环论证。下面我们就来从头出发彻底求解这个问题，并给出光子的自旋。

取一个右旋圆偏振光，如何求解在自旋光下电子的运动呢？咋看之下很复杂，实际上非常简单。注意到在右旋偏振下，我们有如下分量关系式（保证电磁场的总强度不变）：

我们只需要分别求解正交坐标下x和y分量的运动，再合成即可。在上文中，我们已经解出了y方向的运动，x方向的运动仅仅是差了180度相位。我们可以直接写出电子的运动方程：

不难发现，电子将做一个从左到右顺时针定圆运动：

圆偏振场下，电子的运动轨迹就是一个圆。考虑到体系的旋转对称性，这个结论实际上可以不加证明的给出。

由于电子的运动可以被分解成x和y轴的独立运动，电场也能被分解为独立的2个分量，因此，关于做功，动量和能量等的分析，都和上文里线偏正的结论一样，那就是：磁场传递动量，电场传递能量；他们的值与上文一样。

如果考虑到磁场的动量转移，电子的运动轨迹将是一个螺线，在z方向上不断获得动量，匀加速运动。

任意一时刻，我们知道粒子的位置，我们也知道粒子的受力，不难得到粒子所受的力矩：

由符号可知，力矩方向也为顺时针右转方向。如果光子圆偏振为左偏，那么x方向电场将反向，不难知道，力矩方向也将反向（逆时针左转方向）。因此，电磁场对电子的力矩和光子圆偏振方向相同。

5. 自旋

由上，我们可以得到如下量纲关系（对sin平方取周期平均之后）：

正如磁场洛伦次力表示了光子动量的损失一样，这里，力矩就表示光子被吸收后，自旋角动量的损失。这个关系是由牛顿力学决定的。

6. 自旋的量子化

于是，从光子的量子化假设，我们知道，光子的能量是频率乘以普朗克常数：

其中dN 是单位时间内，被吸收掉的光子数；omega是光子频率；k是光子波数；hbar是普朗克常数。

由上式，我们非但得出了光子的动量表达式，还证明了光子的自旋量子数！本文中，这个自旋数是正还是负已经无关紧要了，重要的是，光子的自旋角动量必须为hbar或者-hbar（如果是反向旋转），方向与波矢方向共线。由此，我们证明了，光子的角动量量子数为1。实际上，当角动量为1时，光子沿着波矢顺时针旋转；-1时，逆时针旋转。

至此，我们通过普适的单电子振动模型，解释了光子的动量和自旋角动量，并给出了他们的动力学解释和力学效应。

Bo，2013年1月17日

内容据作者所知还没有出现在公开发行的教材与刊物中，因此保留本文全部权利。

【1】本文将不讨论轨道角动量的问题。有兴趣的读者可以去看波导中的模以及模的角动量；optical vortex和phase singularity等内容。对于轨道角动量，自旋角动量以及内秉角动量，外部角动量的讨论持续了数十年，最近才达成共识。本文计算的角动量和位置无关，应是自旋角动量。

【2】见本人日志

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#物理 #物理科普

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SOME PHYSICS

固体物理讲义及解读之2（共20）

by Donghai Lee, Professor of Physics at University of California, Berkeley

interpreted and re-arranged by Bo Zeng.

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(c) 2012 Donghai Lee, author rights reserved. The material can only be distributed by non-commercial individuals/groups and used for non-profitable activities.

注：李东海老师固体物理课件全套共有20件。精装版请洽询北京市海淀区寰宇傻逼教育科技有限公司，咨询电话：010-78098888， 010-7808998。国际学生凭I20可获得半价。

本课件纯属盗版，如有侵权，请找我妈。

本课件以DONGHAI LEE本学期的研究生固体物理A（据他所说，是他第一次上，可能也是最后一次）课件整理，翻译，外加自己的废话点评杂糅而成。鉴于DONGHAI LEE老师思维和物理洞见的科学价值，以及其课件随处可见的新意，深意，我特此发行保存，希望能对广大不幸选择物理系找不到工作一心拯救世界却不知道这个世界上死了自己也不少的同学们，有所帮助。

本讲义不能取代现行的任何一本物理教材，仅以画龙点睛，出类拔萃为目的，基础还请各位自行打好，否则找不到工作或者退学概不负责。

第一节见 http://blog.renren.com/blog/223331581/892278928?bfrom=010203012

第二节，一维固体模型，能带和元电导：

考虑一个最简单的一维上的原子阵列：

那么我们如何描述这个单电子系统能量呢？

为了体现电子的非定域性，我们有必要允许电子在不同原子之间跳跃；否则如果电子永远呆在同一个原子上，那么这个单电子问题就退化成一个单电子，单原子问题了。

因此，在这个单电子，多原子体系中，借助场论，我们不难写出哈密顿量如下：

这里我们只考虑电子在相邻原子间的跳跃。多个原子的跳跃可以被分解相邻原子跳跃的积，一次跳跃几个原子的高阶情形我们这里暂不考虑，可以想见，这种高阶跳跃的概率一定是很低的。

t是描述所谓跳跃概率的hopping integral。此值越大，跳跃概率越小。出于对称性，电子从左往右和从右往左跳跃的概率必须是一样。

我们不妨把原子编号，从1到N。j就代表原子的编号。在场论模型中，c是电子波的湮灭算子，c+是创生算子。这样：

项就是电子从第j个原子处消失，创生在第j+1个原子处。它的厄米共轭就表征一个相反的过程：电子从第j+1个原子处消失，创生在第j个原子处。这样只要我们把j从1到N求和，就能表示所有可能的电子跳跃。\sigma 记号是电子的自旋。

显然电子跳跃前后，自旋不会变化。因而，我们可以只考虑一种自旋，另外一种自旋的方程是完全一样的且互不干扰：

其中上自旋和下自旋的能谱是完全一样的，不妨只考虑上自旋：

（注意课件中此式的第二项有错误，第二项的dagger符号写反了。以上下文为准）

省去自旋符号，并注意到后一项是前一项的厄米共轭，H就能写成：

现在我们就来求解用这个哈密顿量描述的能量体系下，单电子的能谱。

记某一单电子的波函数为：

这表明我们从真空中创造出电子态，电子态波函数在每一个原子核位置上的幅度为\phi j.

将其带入能谱方程：

注意到H的表达式，由湮灭、创生算子的反对易关系，我们有如下等式：

因此能谱方程变成：

容易看出，这是一个差分线性方程。这取决于我们系统的离散性。

为了求解这个差分方程，我们可以利用体系的对称性，也就是离散平移不变性。

记平移算子为T，抽象地说，它将j下标变成j+1下标，我们不难发现，对于一个无穷长的一维原子链，这个哈密顿算子是平移不变的，这就是体系的平移不变性：

平移后，

等于，

这是因为这个求和上下标是无界的，因而偏移个有限的数字不影响求和。

对于一个有限长的原子链，我们可以设定一个巧妙的边界条件，使其仍然保持上述平移不变性：

这就是所谓的环式边界。这个边界条件仅仅对出于材料边界的原子失效；对于处在材料内部的原子来说，它几乎无法感觉到边界的存在，因此这个循环的边界条件是合理的。这也是为什么SURFACT STATES 和 BULK STATES存在一定差别的缘故。

因为H 在T操作下不变，因而有H与T互易。因此T与H具有共同的本征态，我们就此找到了一个好的量子数。与其直接分析H的对角化，我们可以先将T对角化。

假定T的本征态是，（其一般形式显然为：）

我们可以有：

这里k是T算子本征值的量子数。

带入本征态的算子表达，我们容易有关于每一个原子核处振幅的以下2个等式：

其中第二个等式来自于T的定义。

因此（省去k下标）：

从而递推得到：

利用边界条件，实际上我们可以得到本征值必须满足的关系。由环形边界条件，我们知道L+1=1，因此必须要：

其中L是原子链中原子的个数，n是一个整数。这也就是说，本征值\lambda 必须是一个幅值为1的相位量。

从递推结果，我们自然有（还原k下标）：

注意到k只需要取[-pi,pi]即可，因为相位指数同时也是2pi的周期函数。

因为k是算子T的本征态的量子数，所以k也是H本征态的一个好量子数。实际上在一个1维单原链中，T就是H问题的CSCO（complete set of commuting operators）。k就是H的唯一量子数，带入上面的差分方程，我们有：

如下就是1维单原子链的能带函数：

那么，产生一个量子数为k的电子态的算符则是：

多个电子的电子态可能是这个样子：

他们的能量是：

那么这个体系的基态能量将会是多少？

注意到费米子生成与湮灭算子的反对易性，不难证明：

所以我们不可能在同一个态上生成2个电子（泡利不相容），每一个态只能被一个电子占据。考虑自旋，那么每个态可以被2个电子占据。如果每一个原子带一个valence电子，我们计算k在[-pi,pi]中可以取值的个数，不难看出，只需要一半的k态就能容纳L个电子，根据从低能向高能填充的基态原则，我们有：

此时电子的密度显然是最大密度（满态时）的一半。体系的基态存在无带隙的空穴，那么它就是一个导体！我们现在就来计算一下这个一维原子链的电导。

当施加外电压V时，体系将进入电导态（具体的微扰计算略），如下图：

其中蓝色为空态，红色为满态。显然，此刻，能带右边多出来的电子态将向右边运动（partial E/ partial k >0, 为量子理论中波的速度）

我们不难计算多出来的电子态的个数：

其中系数2表示自旋简并，第二项是求出微分下，多出电子态所占的k的范围；第三项是上面求出的k的态密度（红点之间距的倒数）。由此，这部分未被平衡电子产生的电流就是：

同时注意到，外加电压和能量变化的关系：

最后我们有：

这就是universal conductance，普适电导。

下面的quantum wire conductivity 试验证明了这个理论结果。注意quantum wire可以被近似为一个1维的原子链（实际情况下，我们的相邻电子跃迁近似可能要被高阶修正一下，但得出的电导值却惊人的不变）。

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SOME PHYSICS

固体物理讲义及解读之1（共20）

by Donghai Lee, Professor of Physics at University of California, the big California.

interpreted and re-arranged by Bo, an SB.

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(c) 2012 Donghai Lee, author rights reserved. The material can only be distributed by non-commercial agents and activities.

本课件纯属盗版，如有侵权，请找我妈。

本课件以DONGHAI LEE本学期的固体物理（据他所说，是他第一次上，可能也是最后一次）课件整理，翻译，外加自己的废话点评杂糅而成。鉴于DONGHAI LEE老师思维和物理洞见的科学价值，以及其课件随处可见的新意，深意，我特此发行保存，希望能对广大不幸选择物理系找不到工作一心拯救世界却不知道这个世界上死了自己也不少的同学们，有所帮助。

本讲义不能取代现行的任何一本物理教材，仅以画龙点睛，出类拔萃为目的，基础还请各位自行打好，否则找不到工作或者退学概不负责。

第一节，固体和固体量子理论的基本假设：

什么是固体？
李东海老师指出，固体就是紧密排列，且周期性排列的原子阵列。此话不假，为什么呢？我们把这个定义一分为二的看：

1，紧密排列：
如果原子之间分隔非常之远，如下图：

那么电子就无法在原子之间流动，此为天然的绝缘体（例如气体）。电子的波函数和能量谱，遵循孤立原子的量子解。

只有当原子间隔足够近，我们才能有电子波函数的非定域化，如下图：

2，周期结构：

只有存在周期结构，我们才能用系统的数学工具分析固体中电子云的分布和电子态能量谱。

经典的固体图像：

经典的固体图像如下：

其中既包含因为很靠近原子核，保留孤立原子解的那部分内层电子态（core states），如左下方箭头所示；又包含因为受到邻近原子核势能扰动，非定域的游离电子态。在基态下，这些电子态是所谓的价键电子态（valence states），如右上方箭头。

读者应该有能力在钠金属晶体中，那些态是core states，哪些态是valence states。

量子固体理论的基本假设：

1，原子核在晶格位置上静止不动。

2，平均场假定。

每一个电子，都运动在有所有上述带正电原子核以及其他电子构成的平均场中。这个平均场可以是静态的，不为自己运动所变的（单电子模型）；也可以是动态的，和自己的运动有关的（例如hatree-slater model，多电子模型）。

假定1和假定2，将固体物理中杂乱无章的多电子体系的量子问题，简化成一个有章可循的，单电子薛定谔方程：

并且这个势能项是有周期性的。

由此，（忽略自旋）我们就能解出电子态的本征能量谱：

这个能量谱，将是我们描述能带结构，分析固体的电学，光学乃至化学，热学和力学性质的基础。

量子固体理论基本假设的局限

显然，上述2假设存在过于理想化的毛病。

首先，原子核并非一成不变的固定在晶格之中，在一定温度下，原子核能获得能量，在平衡位置附近发生振动：

一个完整的固体理论应当描述这种振动，而且要能分析和理解电子与这种振动的相互关系。一般而言，物理上会把振动分解为简正模（也就是，本征态和能量谱）。在量子力学框架下，我们会再把它量子化，所谓声子。

在处理含有原子核振动的电子体系时，我们认为电子的动力学运动远快于原子核（考虑下他们的质量比，不难认同这样的近似）。那么，原子核的运动是如此之慢，以至于在电子看来，它好像是不动似的，每次都迅速回到稳态。电子的本征态及其能谱在原子核缓慢变动过程中，并不会发生显著改变，这个过程叫做绝热过程（因为电子的能量不变，不存在因为北京势迅速变化而引起的非弹性散射能量损失）。因此在求解电子问题时，即便原子核的运动无法忽略，我们也能将电子的运动和原子的运动相对好的分离开来，分别求解，各自对待。

这就是born-oppenheim approximation。

因为绝热过程，我们有：
电子的基态能量不随原子核的振动而改变。实际上，在原子核运动的任意时刻，电子都处在本刻的基态上。

这样，固体体系的总能量，将可以分解成电子的基态能量，和原子核自身相互作用的势场能。

上述born-oppenheim 近似虽然是一个很有效的假设，但也不是四海皆准的。可以想见，只有当原子核的振动足够小，或者说，只有当电子的基态能量和激发态能量之间差距（带隙）大于“声子”能量时，电子才不会被这些声子“振”到更高的能态上去。在金属中，我们基本不存在这样的带隙。在某些情况下，这种声子引起的态改变(photon-assisted pairing)，将会导致超导。

此外，把多电子问题简化成一个平均场下的单电子问题，也多少有些不妥当。试想，电子之间的排斥是动态进行的，而且他们的运动速度同样快，不能如原子核-电子问题那样可以分而治之。实际上，多电子体系下的全同粒子和库伦隔绝（泡利不相容）效应，是很多固体物理中重要现象和性质的来源，例如晶体的电子亲和能，和mott 绝缘体现象，铁磁，超导等。此外，能带，电介系数以及光学响应都受到多体效应的影响。可以说，多电子体系求解是近代固体理论最核心和重要的问题。

最后，本节大概总结和介绍了量子固体理论的框架，假设以及局限。下一节我们将进行一些基本的计算。最后送给大家一句话：

固体物理就是近似的艺术。

暂定更新计划，1周1到2次。wikiphysica和some physics小站会同步更新

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#物理

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SOME PHYSICS

除了库仑力，电子之间还有什么：电子交换（转载）

转载自：李明达的日志对于单个电子，除了电荷，还有自旋这个内在属性。那么对于电子和电子之间，又有什么有趣的性质呢？电子和电子之间有库仑相互作用，各带负电的两个电子互相排斥。这个性质就是电子带电荷的结果。除此以外，电子之间还有什么其他的有趣性质吗？有的。一个是电子的非定域性，一个是电子的交换，两者都与电子的全同紧密相关。 ... 阅读全文

转载自：李明达的日志

对于单个电子，除了电荷，还有自旋这个内在属性。那么对于电子和电子之间，又有什么有趣的性质呢？电子和电子之间有库仑相互作用，各带负电的两个电子互相排斥。这个性质就是电子带电荷的结果。除此以外，电子之间还有什么其他的有趣性质吗？有的。一个是电子的非定域性，一个是电子的交换，两者都与电子的全同紧密相关。

金属中的电子，不但互相库仑排斥，而且不断进行交换。所谓交换，经典的来看，就是处于空间两个不同位置处的电子，在一瞬间互相对调量子态。由于在量子力学里，量子态描述了粒子的全部信息，所以对调量子态，就好象对调了粒子一样。

在上一节里提到，自旋是一种量子态；在后面的能带论里，还将提到其他的量子态。简要说来，量子态就是完全描述（更精确的说法叫做“标记”）一个粒子所具有的特征的全部信息。比如晶体中的电子在运动，具有量子态“晶格动量”。晶格动量也是描述固体中电子的量子态。

直接库仑相互作用vs电子交换

从图上看去，电子从一个态，经过相互作用变成另一个态的过程，可以看作是一个散射过程，在图1-2-1(b)里，处于x₁处的电子1从态|a>散射到态|b>，在图1-2-1(a)中，电子1从态|a>散射之后仍旧停留在态|a>。这里的散射是态的散射，是打台球黑8被白球散射进袋的空间散射过程的推广。因此，相互作用可以看成把粒子从一个量子态散射到另一个量子态的过程。

在图1-2-1里，电子1和2只是经典的记号，用于标记区别是哪个电子；对于“散射之后电子1处于态|b>而电子2处于态|a>”这个结果，除了图1-2-2(a)（同图1-2-1(b)）的过程，1-2-2(b)过程也是允许的，即电子1和2散射后，没有交换量子态，但是交换了坐标。

然而这就导致了一个很严重的问题：如果说图1-2-2(a)可以理解，即电子1在|a>态散射到|b>态，但是散射的这一瞬间的电子1所在的空间位置不变，即仍处于x₁。那么对于1-2-2(b)呢？为什么电子瞬间的改变了位置？之前处于x₁的电子1在散射的一瞬间，就变到了x₂了吗？这岂不是违反相对论，说任何物体的运动速度不能大于光速吗？是不是应该把(b)图对应的物理过程给排除掉？

答案既不是肯定也不是否定的，因为图1-2-2对于电子1，2的图像不甚准确。为了理解这个过程，必须要理解全同粒子，即1，2是本质上没有任何区别的粒子，那么此时图1-2-2(a)和(b)就变成相同的散射过程了。

全同粒子

对于经典的粒子，比如两个气体分子，人们可以从原则上不断的跟踪每个粒子的运动轨迹，自始至终可以区别哪个粒子运动到哪里。但是在量子力学里，尽管电子本身只有一个点大小，但是根据“波粒二相性”，运动的电子会像波一样，在空间上有一定的弥散。如果两个电子的波的弥散有一定的重合，那么在这个叠加重合的范围之内，就无法再分辨到底是哪个粒子，即使从原则上也做不到，这样的两个粒子叫做全同粒子，如图1-2-3。左侧(a)为经典粒子的运动过程。开始时，一个粒子处于x₁,另一个处于x₂，时间演化之后，尽管两个粒子的位置都有所改变，但仍旧可以分辨出是哪个粒子（标记为红色或者绿色）。然而在量子情形(b)下，由于电子不再一直保持点粒子，两个粒子的波互相干涉叠加后，再也分辨不出单个粒子，即使它们再分开，也无法知道分开后的哪个粒子对应于刚才标记红色或绿色的。

在金属中，表征自由电子运动的波弥散了整块金属，也就是说，整个金属全部的电子，各个都是全同粒子，全部无法区分彼此。因此，图1-2-2中标记电子1和2其实并不准确：我们其实无法知道散射之后，哪个电子处于态|a>，哪个电子处于态|b>。

因此，对于图1-2-2的正确画法，不是标记电子1和2，而是只标记态|a>和|b>。同样的原理也适用于直接库仑相互作用的过程，如图1-2-4。

费恩曼图

如图1-2-4的图叫做费恩曼图。每张图可以用于描述这个图对应的物理过程发生的概率振幅，图中的每个细节都对应于一个数学运算：每个带箭头的直线对应的式子描述电子自由的传播，每个连接两端的波浪线对应的式子描述两体相互作用（比如库仑作用）。费恩曼分享了1965年诺贝尔物理学奖，和费恩曼图有很多直接联系。

现在，电子交换的意义就明晰了：处于|a>态和|b>态的两个电子，经历了交换相互作用，量子态互换。这中间到底发生了如同1-2-2(a)的情形，还是1-2-2(b)的情形都不重要；因为无法分辨，也无法讨论单个电子。我们只知道两个电子作为全同粒子的一个整体，使得本来处于空间x₁位置的电子，从|a>态散射到了|b>态，而不去管散射之后的x₁位置的电子是不是同一个电子。

为什么不去考虑如图1-2-2，而一定要考虑全同粒子图1-2-4的过程呢？所有可以和实验比较的有关固体性质的计算，必须考虑全同电子，即图1-2-4的表达式，才可能正确。只有用图1-2-4的方式，不考虑散射之后到底是哪个电子处于某个|a>态或者|b>态上，而是说，完全不可能区分是哪个电子，只知道散射之后两个全同电子中的一个处于|a>态上，另一个处于|b>态上，才能得到正确的结论。

为了进一步的理解电子交换，需要理解不相容原理和电子的非定域性。前者是大家熟知的，在原子的壳层结构里经常遇到，然而后者也同样重要。

Pauli不相容原理和电子的非定域性

大物理学家Pauli经过分析大量的原子光谱数据，从中获得了一个简单优美的原理：在一个系统中，没有任何两个电子处于完全相同的量子态。由于晶格动量k和自旋s都可以标记量子态，金属中的单个电子的量子态可以标记为|k,s>。Pauli不相容就是说，整个金属中，即使有10²²这么多个电子，也不可能有两个电子有相同的k,s值，即没有任何两个电子，同时具有相同的晶格动量和相同的自旋。

这是一个恐怖的结论，从意义上说，如果不是这样，整个宇宙和元素周期表都要大大的改写了。然而从物理上说，它同样震撼。想想面前的一块金属，内部的电子多如繁星，每个电子都像是海里的一滴水，怎么可能处在空间某一处的电子知道空间另一处电子的量子态呢？(注意空间坐标不能用于标记量子态,后面的章节会再次提到原因）好像这10²²个电子都串通好了一样。

电子在空间的某处，占据了某个态，就能决定空间另一处的电子不再占据这个态，这就是电子的非定域性。所谓定域性，就是空间某处的性质，仅由该处自身的物理条件决定。金属中的自由电子可以简化看作自由电子气体，因为它们能像气体一样在金属里巡游活动。然而，由于电子气具有非定域性，它们的性质与经典气体有本质的不同。经典气体里，每一个气体分子都遵循着力学和热力学定律，在一定的轨迹下运动。即使轨迹本身是随机的热运动，也在原则上可以追踪这个轨迹，而且完全允许两个气体分子的具有相同的动量，一个气体分子的运动和另外一个几乎没有任何关联。然而对于电子气体，每个电子都与整个系统里的其他所有电子关联在一起，没有任何两个电子处在同一个态上。这个性质，与电子是否带电无关，而是被电子的自旋所决定。假设电子之间的库仑作用突然神秘的关闭了，那么这些如同气体一样无相互作用的电子气体，只要自旋不变，仍旧满足Pauli不相容原理。

作为电子交换的一个实例，可以考虑离子晶体和金属的结合能。

离子晶体和金属的结合能

离子晶体的结合能是比较直观的，如最常见的NaCl氯化钠：Na原子贡献出一个电子送给Cl原子，自己从Na原子变为Na+离子；Cl原子欣然接受了这个电子，变为Cl-离子。等效看来，Na离子带一个正电，Cl离子带一个负电，正负电荷交替分布，离子晶体就依赖于这些正负电荷的库仑吸引力，结合在一起。如下图1-2-5 (a)。

根据这个定义，把离子晶体里所有的正负离子的吸引，与正正、负负离子的排斥相减，最后就能获得离子晶体的结合能。这涉及很复杂的求和，如果选定一个粒子为坐标原点，则要求其他所有相同离子对它的库仑排斥力的和，以及所有不同离子对它的吸引，并且把两者相减。有趣的是，尽管两者本身都是发散的趋于无穷，但是两者的差确是有限值。假设相邻的离子间距为d，整个晶体一共有N个Na原子和N个Cl原子，则每个Na-Cl离子对所贡献的结合能可以写成

其中α叫做Madelung常数，和晶体的结构有关；对于NaCl型的晶体，这个常数值为α=1.74757. 这样，由于NaCl的离子间距d=2.82 Å(1 Å=10^-10m)，可以获得，由于静电对于离子吸引和排斥所导致的结合能为8.18eV；与实验值的8.18eV完全吻合。这样，我们就知道了离子晶体的结合能来自于离子的库仑作用。

所谓结合能，可以定义如下。对于一块由N个Na离子和N个Cl离子构成的NaCl固体，总能量为E_总，另一方面，假设这些离子在相隔甚远，还保持着原子的形式时，单独的Na以及Cl原子能量分别为E_Na和E_Cl，那么结合能可以被定义为结合后的固体的总能量与未结合的所有单个原子的总能量之差：

这样定义的结合能一定为负数，因为如果总能量比所有原子独立的能量还高，那么由于系统在能量更低的状态更加稳定，所以这些原子倾向于各自独立，而不是结合在一起。比如对于NaCl，在高于1500K的时候，形成NaCl蒸汽，包含NaCl和Na₂Cl₂分子。这就是因为形成固体的总能量比各自独立形成小分子的能量要高，所以发生了相变。

那么对于金属的情形呢？金属有自由电子，与离子晶体的电子被绑定在原子附近不同，金属中的自由电子可以巡游整个金属。如果忽略了金属的具体周期排列，只强调自由电子的本质，则可以用一个最简单的模型“Jellium Model”来描述。把带正电的、周期分布的原子核正电荷看作是连续分布的电荷密度，而这些自由电子就在这正电荷的背景中，在整个金属中自由穿行，如图1-2-5(b)。电子两两之间有库仑相互作用，在图中用波浪线来表示。然而如果只考虑电子之间库仑相互作用，包含了正电荷背景-电子的吸引以及背景-背景的排斥，也不足以解释金属的结合能:必须把电子交换考虑进去，才能获得和实验比较接近的结果。一个有趣的事实是，金属里，自由电子间电子交换降低了系统的能量，才解释了金属的结合能。

为了解释这一点，还需要其他的一些概念。

非相互作用电子和交换空穴

两个电子的库仑势可以写成e²/r, 显然，间距r越小，库仑力越大。然而，实际的情形是，r越小，即电子密度越大，库仑势越可以忽略。这是一件违背常理的事！但是并不难想象。电子的动能可以写作是E_k= ħ²k²/2m，k为波数。由于海森堡不确定关系，k~1/r,从而得到E_k~ ħ²/2mr². 即动能随着距离的平方反比增加，相比势能仅仅是反比例增加，所以距离越小的时候，动能增加的更快，所以电子的库仑势能越可以忽略。

对于通常主族的轻元素，带有s,p电子而不带有d,f电子的元素的电子，比如Na金属，电子的密度很高可以满足这个要求，即动能远远超过库仑势能，也因此，它们才能被当作是准自由电子。

所以当人们提到金属电子为自由电子的时候，其引申义即在此：库仑力由于远远小于动能，被直接忽略了。下面我们做的处理，仅仅涉及非相互作用电子（即自由电子），或叫做自由电子气体。

和经典气体相同，自由电子气也具有动能，然而不同的是，除了动能以为，自由电子气还具有电子交换。

在液体理论中，pair-distribution函数g(r)至关重要。它描述当一个液体分子处于空间某位置时，另一个分子和它间距为r的概率分布：g(r)越大，说明该距离处存在另一个“邻居”分子的可能性就越大，如果g(r)=0，就说明在这个距离处不可能存在另一个分子。同样，这个函数可以应用于电子气体，如图1-2-6。当不考虑电子交换的时候，电子气仅有动能，pair-distribution就是一条水平线：另一个电子存在的距离不论有多遥远，或者近在咫尺，都完全相同。然而，当考虑电子交换时，电子靠近彼此存在的概率被降低了，这个近距离处形成的电子存在的概率减少，就是“交换空穴”，所谓空穴，这里可以理解成电子的缺失。注意这不是由于电子库仑排斥引起的！因为目前讨论的是自由电子气体，库仑作用已经被忽略了。

因此，由于交换空穴，电子靠近彼此的几率降低，整个系统的能量就减小了。这个原理对于带有库仑势的系统也成立：因为相互靠近的时候，库仑势会增加，系统能量增加；那么如果电子交换减少了电子靠近的可能，也就减少了系统的能量。也正因为如此，电子交换降低系统能量，增加了结合能，提高了系统的稳定性。

小结

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#物理科普

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SOME PHYSICS

高等量子场论要点（饶俊杰）

过去的垃圾经常会变成现在的财宝，反之亦然。&&A. Polyakov 一、森林的艺术生成泛函：虽然物理学家喜欢把路径积分的泛函测度写成一个简单的D-phi，但别小看了这个，场的量子世界展现的是一片汹涌的海洋，相比之下，经典场就像一座凝结的冰山。量子有效作用量，FP鬼场，手征反常，等等，全是从这个不起眼的泛函测度里冒出来的。连通F... 阅读全文

过去的垃圾经常会变成现在的财宝，反之亦然。——A. Polyakov

一、森林的艺术

生成泛函：虽然物理学家喜欢把路径积分的泛函测度写成一个简单的D-phi，但别小看了这个，场的量子世界展现的是一片汹涌的海洋，相比之下，经典场就像一座凝结的冰山。量子有效作用量，FP鬼场，手征反常，等等，全是从这个不起眼的泛函测度里冒出来的。

连通Feynman图：存在一个优美的证明，将所有有意义的量子场过程表达为e^W，这个W就是全部的连通Feynman图。这里有意义指的是无真空图（0条外线）、无蝌蚪图（1条外线）。从此人们不用考虑不连通的图，简化了许多计算。

对称性因子：如果你不想做铺天盖地的泛函求导，就用另一种技巧吧，路径积分里的各种对称性已经自动消除了双重指数展开里的那些讨厌的阶乘因子，但这其中包含的重叠对称性并没有被考虑，我们就是要找出这种重叠对称性，然后1除以这个数目就是该Feynman图的对称性因子。

量子有效作用量：通过对连通Feynman图的Legendre变换我们可以得到一个新的作用量，这个作用量的树图层次就能给出完全振幅，也就是考虑了所有的圈图。其实这只是一个好看的框架，重正化的计算还是免不了的。但它给出的骨架展开，使这项工作的步骤明确了很多。

交叉对称性：入射粒子和出射粒子没有本质区别，把动量、自旋、电荷等物理量反一反就行了，这节省了很多计算量。

连线游戏：给定一个Lagrange量，怎么生成给定外线数和微扰耦合阶数的全部Feynman图。其实这只是简单的连线游戏，意义不太大，但为重正化提供了很多快捷的结论。另外一个鲜为人知的结果是，微扰耦合展开和量子展开是同时进行的，具体来说，微扰耦合阶数和圈数存在一个固定的数量关系。耦合越多，量子涨落越大。

二、不存在的经典场

旋量表示：这是Lorentz对称性加上量子力学的角动量理论催生的对象，它使用一个反对称的度规，这个度规又和Grassmann数产生联系，Grassmann数给出了Berezin积分，后者是Fermi场路径积分的基础，也是FP鬼场的始祖。

扭量：无质量粒子的动量是类光的，对这个动量的开方给出扭量，扭量一般来说就是类光矢量点乘Pauli矩阵后的开方，这个开方其实是指线性分解。扭量方法在现代量子场论计算中占有极为关键的地位。

超对称：止步定理证明了Poincare对称性不可能和场的内部对称性产生任何非平凡的混合，但超对称可以做到一点，如果你把一个Bose场变成Fermi场，再变回来，这相当于把这个场在时空里移动了一点。超对称让人诟病的地方是现在一个超伙伴粒子都没发现，其实这并不重要。超对称就其与旋量的关系而言，就已经是量子场论中必备的工具。比如说，超对称规范理论的单圈图比标量场的单圈图还简单，而且超对称程度越高，圈图就越简单，又比如，超对称Ward恒等式可以让你直接改造胶子振幅使其成为夸克胶子振幅。

FP鬼场：这是规范场量子化的结果，作用是固定规范。鬼场很怪，看上去像个标量场，却彼此反对易。在弦论里，看上去像个旋量场的超对称鬼场，却彼此对易。

三、多即是少，少即是多

Yang-Mills理论：规范对称性家喻户晓，但真正利用规范对称性做有效计算的时代，其实才刚刚开始，现在先不剧透。几万项Feynman图瞬间简化成一项，难道我学过如来神掌也要告诉你么。

BRST对称性：规范对称性就像一个圆，削掉圆的四边，得到一个正方形，剩下的对称性就是BRST，也就是固定了规范。上同调论方法已经成为最现代的量子化技术，比如超弦的BRST对称性，当你做完所有的共形场论计算后会发现，简直是天人合一的神作。

Ward-Takahashi恒等式与Slavnov–Taylor恒等式：这些恒等式是用来简化重正化因子的，前者是QED的，后者经过BRST的改装升级成为QCD的，非常有用。

背景场规范：这也是用来简化重正化因子的，在量子有效作用量中也有用武之地。

Gervais–Neveu规范：这就是用来实际地计算振幅的了，只是一个简化程序，意义不算深刻。不过在矩阵场的双线表示、拓扑展开和大N极限的计算中，这是最少项的。

标准模型：它的群论结构看似凌乱，其实异常优美，看看它的手征反常相消就明白了，要知道像QCD那样既不对称性破缺又不是手征的理论是比较平凡的。

大统一模型：SU(N)群破缺最便宜的方法是破缺成两个最接近的群，这个已经被证明了。SU(5)自然就是给出SU(3)和SU(2)，SU(5)的手征反常相消更为简单，只可惜给出的三个耦合常数在大统一能标处并不汇聚，除非有超对称的帮助。当然还有其他更大的群，最大的可能是超弦中的E8了。

四、与无限大的战斗

维数正则化：这是现代的重正化计算程序，其实维数并没有变，只是为了方便在Gamma函数的极点处捕获一个留数而已。需要Feynman重参数化公式和很多Gamma、Beta函数。

自能与顶点函数：根据量子有效作用量给出的骨架展开，我们只需计算单粒子不可约的Feynman图部分就行，最后把这些肌肉放回骨架中，当然，是扣掉无限大的，就得到了完全振幅。这种方法正在逐渐被现代方法淘汰。

BPHZ重正化：Zimmermann的森林公式使得系统重正化成为可能，因为交缠无限大被证明是纯无限大的一部分，没有物理效应，于是我们只需要考虑嵌套无限大和分离无限大。虽然系统重正化是非常恐怖的工作，但有了对这个森林的整体认识，还是让人们的绝望少了那么可以忽略的一点。

可重正性：根据一些简单的连线游戏和量纲分析，我们知道了耦合常数量纲为质量的负数次方的理论是有问题的，比如线性化引力，这些理论称为低能有效理论，不是终极理论。这些相互作用可能存在一个隐藏的内线，代表了高能量处的新粒子。

对称性破缺：Goldstone机制与Higgs机制也是家喻户晓了，重点是对称性破缺并不影响重正化程序，放心大胆地去把那些精美的大规范群剪得七零八落吧。

手征反常：一种经典对称性在量子情形下被破坏称为反常。手征反常是最臭名昭著的一种，因为标准模型是一个手征理论，当然反常还有很多种，比如弦论里的共形反常。对于三个光子的单圈过程，Furry定理说这必须为零，但手征反常破坏了这一结论。于是我们把条件放宽，用顶点的群论因子构造反常相消，成功地绕开这一麻烦。手征流的不守恒也是类似的问题，Fujikawa方法说手征变换下作用量虽然不变，但泛函测度变了，所以手征流必须产生一个非零散度来抵消这个变化。

Yang-Mills理论的Beta函数：这个Beta函数指的是跑动耦合常数的变化关系，考虑进标量场和旋量场的耦合，并设定全部群论表示均为自伴表示，我们发现，N=4超对称规范理论原来是共形不变的。

引力：这一直是一个麻烦的东西，不过最近人们发现引力相当于双份规范场，和弦论里两个闭弦砌成一个开弦很是相像，而且超引力的不可重正性好像又有了新说法，以前的计算不完全正确。

想到什么再补充吧，贴个老板最新文章里的图装饰下。

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#物理

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SOME PHYSICS

Color of Matter, "Polarized" Scattering, story in a nutshell

Color of Matter, "Polarized" Scattering, story in a nutshell提示：本文的主要探讨如何从微观的极化现象解释光和物质的反射／折射／吸收行为。就作者所知还没有教材以角度为重点，定性而且一般地给出结论。所以本文的计算实际上也是作为对此一般理解的一次验证。电磁波的辐射形式我们知道自由空间中的电磁波能独... 阅读全文

Color of Matter, "Polarized" Scattering, story in a nutshell

提示：本文的主要探讨如何从微观的极化现象解释光和物质的反射／折射／吸收行为。就作者所知还没有教材以角度为重点，定性而且一般地给出结论。所以本文的计算实际上也是作为对此一般理解的一次验证。

电磁波的辐射形式

我们知道自由空间中的电磁波能独立于源以辐射的形式进行传播（远场辐射），是由于以下两个原因：

Photon Current 和 Photon Charge(1):

（1 Photon Current 在一个很不适合的经典例子下，又叫 Displacement Current。Transverse Field 是光子场，因此以photon为记号）

因为电的变化能作为电流，产生磁场；磁的变化能作为“电荷”，产生电场。联合上面两式，我们能得到辐射场中电场（或者磁场）的波动方程。下面我们重复教材中的内容：

分解此方程：

得到在平面波条件下的解（2）：

这也就是所谓连续频率下朝前和朝后传播的两列波。这里的波矢和角频率满足以下所谓色散条件：

我们注意到光速。

（2：也可以使用球面波为基础）

电磁波与电极化

电磁场与介质的作用，在低能标和一般尺度下（也就是不考虑核聚变，质子衰变等），实质上是电磁场和组成介质分子（原子）电荷、磁矩的相互作用。倘若物质是非磁的（也即物质内部不存在可观的磁偶极子和外加磁场相作用），电磁－介质相互作就完全可以用电和电荷的相互作用来表示。这种相互作用的内在机制又叫做电极化。

电极化，顾名思义，就是电荷在电场作用下产生的位置的变化。电极化一个最通俗易懂的例子是一个中性不带电的金属球：

因为不带电，金属球对周围电场没有任何贡献。现考虑外加恒定电场E：

金属球内的电子会在电场作用下“极化”。极化后，电荷分布产生响应电场（Response Field）。这个电场和原电场叠加，形成最终的，电场和金属球相互作用后的成场（Resultant Field）。这个响应电场的目的是使得金属球内部最终电场为0，所谓屏蔽。

当金属球很大时，响应电场的表征会十分复杂。但当金属球直径相对空间（波长）尺度较小时，我们总能找到一个近似的解。这个解可以展开为体系内每一个电荷及其绝对位置乘积的和。如果是（等量）正，负电荷对，得到的结果就是电荷值乘以电荷对之间的距离。换言之，它就是物理上的“电偶极子”，这种近似办法，就叫偶极子近似。

具体来说，一个电荷任意分布有限区域对周围电场的贡献可以看作：

其中第一项为单极项，对于整体不带电的物体，此项为0。第二项为偶极项。

由此，电偶极子的表述为：

其中rou为区域内的电荷密度。

注意到上面金属球的例子中，球中自由电子和带正电（不动）的原子核就极化为一个偶极子，最后的成场，就是原静电场和偶极子响应电场的叠加。因为电场的波长为无穷大，这个解是严格的（3）：

（3，当然，这个物理偶极子本身受到几何结构的限制，是个宏观的散射问题。其结果本身依赖金属本身的微观电介常数，从这个角度来说，这个例子并不太妥当，但偶极子的观点是正确的。微观尺度的模型将由下文介绍）。

知道偶极子的响应，从理论上来说，就能求解所有线性的电磁场和物质作用问题（4）。就结果而言，波动的描述和电子－光子的描述应当是一致的。

（4，虽然这听起来不大可能，但如果我们把极化的概念拓展到电子云，偶极子，离子晶格和自由电子气中去，电磁场和物质的相互作用就能被完全包括在响应电场中去）

辐射场电极化的微观模型

介质在辐射场中的极化机制多种多样，从电子跃迁，电子云极化（价带电子的stark效应）到自由电子气震荡，从极性分子转动，离子晶格光声子耦合到介观空间电荷区等，不一而足。此外，电子之间的相互作用，例如库伦力和交换能也对极化产生作用，最后，固体中的激发子，拉曼散射等非线性效应也直接影响到材料对光的极化响应。

多少令人惊奇的是，在线性理论下，有一种叫做“谐振子”模型能抓住上述各种极化过程在谐振附近的强度和相位的物理本质。正因为此，只要我们掌握了这个模型，我们就能将其结论推广到各种机制的具体效应上去，通过对极化后响应场的分析，对物质在不同频率光下的行为，作出定性和定量的预言与解释。

考虑一个在原子核附近平衡位置做束缚简谐震动（4）的电子，其运动方程如下：

（4，这个简谐条件蕴涵1阶近似。其中速度比例项表示阻尼）

对其做平面波分解，对每一个频率：

根据定义，电子和原位置正电荷之间的位移产生一个物理偶极子，其大小就是电荷乘以该位移。对各向同性的材料而言，单位体积内：

由此，我们就求得了一个偶极子在外加电场作用下产生的极化。

我们来仔细分析这个等式。

定义偶极子强度和外加电场的比值为“极化率“\chi：

其中：

（12）式蕴涵震荡项（resonance term）和非震荡项（non-resonance term）。不难发现，当频率\omega取正值时候，第一项发散；当频率为负值时，第二项发散。第一项是我们问题的震荡项，规定入射光对材料的共振条件。第二项仅仅是第一项的时间反演（也就是，可以看作材料对外加电磁场响应的因果倒置的逆过程：材料对外界自主发光）。

反演项仅代表了时间对称性（5）。因为我们仅考虑正向过程，忽略掉后一项。（12）因而简化成：

（5, 这一正过程的选定最初就体现在将电场的含时指数项写成正频率传播（e^－i \omega t）；不同的选取将导致因果性倒置）

折射与吸收

由上可知，谐振模型中，材料对外加电场的极化响应存在实部和虚部。其中，实部代表贡献displacement current，与原电场叠加，产生折射场；虚部贡献实电流，和原电场作用，产生吸收损耗。

虚部，代表偶极子的响应电场和原电场有pi/2的相位差，当我们把响应电场对时间一阶求导后，由简谐震动，所得”电流“（见式（1），又或，因极化本身就是电荷位置的移动，对其求导之后能得到电流）又产生－pi/2的相位，这样就和原电场同相位。由焦耳heating我们知道：

因此虚部贡献电流对原电场的热吸收。

同理，实部所产生的”电流“由于和原电场有－pi/2的相位差，一个周期内的时间平均值为0。因此其不贡献焦耳吸收。相反，他贡献”光子“电流，粗略地说，和在界面以内和原电场叠加形成折射波，在界面以外形成反射波。

进一步对实部和虚部作图:

（实部图）

上图可见，实部在谐振频率处变号；当外加电场频率小于谐振频率时，谐振子能与电场同相振动；当外加电场频率大于谐振频率时，电荷运动无法和电场保持一致，稳态响应为负数，也就是存在pi的相差（谐振子依靠和电场反向运动获得额外的势能）。此外，电场为dc时，可以想见谐振子将停留在受力平衡的位置，其偶极强度为和回复力以相关的定值。当频率为无穷大时候，谐振在一个周期内根本来不及反应，因此其响应收敛于0。

（虚部图）

当外加电场频率接近谐振频率时，电场能量由电流损耗，振子的振幅开始下降直到为0，这由下面的分析不难看出。

虚部震荡随着频率的变化较为简单。上图明显确定一个共振峰。在此峰附近电场能量以焦耳热的形式被电流吸收，对辐射场不贡献。实际上，当模型中摩擦因数\gamma趋近于0时，这个lorentian 峰将简化为位于谐振点的一个dirac 冲击函数。为了保证因果性，\gamma 不能严格为0，这和函数极点在复平面的位置有关。

反射

我们理解，在电磁波的理论中，根据极化率\chi，我们能求出极化密度P，进而得到介质中的电介系数。粗略地说，就是把上述偶极子的电场贡献加入到原电场中，得到介质电场D。再借由公式（3）和电磁场边界条件，我们就能得到电磁场在介质表面折射，反射的严格解了。通过联合能量守恒，我们能进一步求得焦耳heating所吸收的能量。

然而我们不需要如此繁琐，就能从极化率中得到吸收能量的定性计算；同样，不需要解具体的maxwell方程组，我们也能得到关于折射和反射，特别是反射的重要信息。

考虑材料对外加电场的极化响应处于上绘实部图中的负值部分，也就是频率略大于共振点。此时，介质中原有电场和响应电场相叠加，产生相消干涉（Destructive Interference），相应地电场能量降低；在干涉问题中，能量是守恒的，无非是能量从一处转移到另一处去了。在反射/折射问题中，能量是从折射场，转移到没有干涉的反射场中去了。因此，我们有结论：

1,当极化率是负实数时，材料对这一频率的电磁波增强反射。

同理：

2,当极化率是正实数时，材料对这一频率的电磁波增强透射。

此外，综合上述分析，我们还有：

3,当极化率是虚数时，材料对这一频率的电磁波增强吸收。

实际上，这些结论都与边界条件：

和菲涅耳公式一致（6）。

（6，注意到极化场仅仅改变电场而没有相应改变磁场；因此严格地说，（3）式所得波动解并非不是简单的原电场和同相或者\pi 相差波的线性叠加，因为它们并不是同一个方程的解。实际上，一个偶极子的振动所产生的电场并非完全是辐射场，但如果我们把所有偶极子的电场振动都叠加起来，非辐射场的部分会抵消。）

一般金属的颜色

对于金属而言，其丰富的导带电子可近似认为自由电子气，简谐振荡模型在这里是适用的。由于不存在回复力，谐振点移动到dc（0频率）。由图，

所有正频率都位于谐振点右侧，因此极化率都是负实数，频率越靠近低频，负值越大，反射越强，直到完全反射（饱和）。当然，当频率再增大，负实数的值非常小，和原电场比起来微不足道，光开始折射，反射光减弱。因此结合性质1，我们断定：

在某个频率以下，金属反射所有的光。

对于一般金属而言，这个频率处于深紫外（200－300nm）的位置。因此我们大部分金属表面呈白色，反射所有可见光。

惰性金属的颜色：铜，金，银

上面的结论具有一般性，但为什么有些金属的颜色并不是白色，而是偏红色（如铜）或者黄色（如金）呢？

实际上这和这些金属导带电子所具有的独特结构有关。在某些惰性金属中，被填满的3d带电子可以跃迁到半满的4s带中，所需的能量恰好处于可见光频附近。具体的说：

在原来的极化率函数的右侧，又添加了因direct-band transistion引入的新的谐振中心。我们知道，谐振子模型能很好的处理各种极化机制，能带跃迁就是最重要的一个。在这里，谐振中心对应的光子能量就是跃迁所需的能量。

于是，根据上述理论，在可见光频段内，原本几乎均匀反射的各色光现在由于引入了新的谐振中心而产生了差异。在谐振中心靠右的位置，光的反射由于一个极负的极化率而被增强了。对于金和铜而言，他们3d-4s跃迁的中心恰好位于黄色和红色附近（2.3eV 和 2.1eV)，而对于银，其跃迁中心远在近紫外（4eV），因此无外乎虽然同为惰性金属，银还是保持了他光彩动人的纯白色，而金子和铜则变异成黄色和红色。实验表明，金对绿光有强吸收（谐振中心），对蓝，紫光却有较好的透射，这与论断2,3完全一致。

下面我们引用实际的金的数据作为这一论断的证明：

http://www.mathworks.co.kr/matlabcentral/fileexchange/25848-permittivity-of-gold-at-optical-wavelength-brendel-bormann

一个典型的fresnel 反射计算如上。与我们分析的结果完全吻合。

绝缘体的颜色：石英

对于一般绝缘体而言，能带间隙足够大，以至于上述电子跃迁只发生在深紫外区域；由（离子键）光学声子，极性分子（转动）振动引起的谐振中心频率过低，往往位于红外甚至微波区域，无法由人眼探测。以石英（二氧化硅）未例，其为共价键分子，唯一的谐振中心位于紫外，因此由我们的论断不难得出，在可见光范围内，石英既没有吸收，也没有反射，而是大量透射。因此，作为玻璃的原材料，我们有”窗明几净“的成语。此外石英因为较大的正实数极化率，其refractive index高于1，石英作为可见波段和红外长波波导材料被广泛使用。

（石英极化率实部示意图）

（一般电介质极化率示意图（利用极化率和介电系数关系式））

＊小思考，能不能把石英作为紫外光的波导呢？

＊＊对于非线性光学，需要考虑除偶极子之外的，高阶quadropole等，等价于考虑高阶的极化率张量。

BO 2012

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SOME PHYSICS

可乐在完全放气后，体积会不会减少？（转载）

转载自知乎这个问题恰好可以谈谈水作为溶剂的特殊性。纯水最为著名的反常性质就是其固态（冰）密度低于液态的密度，其原因就是液态中的水分子大部分能够自由运动，而冰中的水分子能够通过两个质子和两个孤对电子形成合共四个氢键，拓展成三维有序晶体网络，其晶体结构类似于金刚石，所以分子间间隙增加，密度减小。如下... 阅读全文

转载自知乎

这个问题恰好可以谈谈水作为溶剂的特殊性。
纯水最为著名的反常性质就是其固态（冰）密度低于液态的密度，其原因就是液态中的水分子大部分能够自由运动，而冰中的水分子能够通过两个质子和两个孤对电子形成合共四个氢键，拓展成三维有序晶体网络，其晶体结构类似于金刚石，所以分子间间隙增加，密度减小。如下图所示:

那么，水中是否存在类似冰那样的三维结构呢？是的，的确存在。在液态中的局部区域，一部分水分子同样能够形成与冰类似的三维结构，但是当温度高于0摄氏度时，分子的热运动能够有效地破坏这种有序结构。所以类似的结构在液态水中处于不断产生和消失的平衡状态。
当像CO2这样的非极性小分子进入纯水中，它们和水分子只存在范德华力和偶极-偶极相互作用，而水分子之间却存在范德华力，偶极-偶极相互作用和氢键相互作用，所以水分子之间相互接触的能量明显比水分子和非极性小分子相互接触的能量更低。但是假如水分子完全不溶解非极性小分子，任由其在水中团聚在一起，那么熵值又会比较小（无法扩散）。根据赫姆霍兹自由能公式：F=U-TS，体系既要想办法降低内能U值（保持水分子间的氢键），又要增加熵值（使非极性小分子溶解其中）。此时水分子采用的是一个妥协的办法，就是形成笼状物，既能让非极性小分子溶解在其中，又保持和附近的水分子形成四个氢键的结构[1]。高中化学中就提到过水合甲烷，就是这类笼状物。如下图所示：

上面一直在说非极性小分子，那么非极性大分子又如何呢？什么算小什么算大呢？Nature有一篇文章探讨了这种憎水溶解的机理，其中清晰地区分了非极性小分子和非极性大分子在水中产生的不同效应[2]。其中也没有明确提到大分子和小分子的区分标准，而只是说到“对于十个碳或以下的分子”，以上提到的非极性小分子溶解机理是适用的。而对于更大的非极性分子，例如蛋白质等，由于水分子已经无法形成足够大的笼把大分子包裹其中，所以它们处于水中必然会导致氢键被打断，内能升高，此时大分子变有可能团聚起来。详细的讨论可以阅读这篇文章。
那么，回到这里的问题，溶解在水中的CO2全部离开，会对水的体积造成什么影响呢？从以上分析可以知道，非极性小分子能够促使周围的水分子形成笼状，这种效应令水分子之间的空隙增加，会促使水分子体积增大；但同时小分子促使形成的笼状结构会改变氢键的构型，这种效应令这个区域形成长程有序结构的难度增加，此时水分子体积又会减少。
希望通过计算机来模拟以上溶解过程去验证也十分困难。正因为水分子在局部能够通过协调作用产生长程有序的结构，因此，体系中一个水分子位置或者构型的变化，都会对其附近相当范围内的水分子的位置和距离产生影响，其计算量过于庞大。所以迄今为止，我们的计算机尚不能对纯水体系进行模拟，就更不用说再加上非极性小分子溶解其中的条件了。
同样，希望通过实验来验证也十分困难。正如@ruki提到的，拧开瓶盖涉及到从封闭体系到开放体系的变化。拧开瓶盖以后，CO2分子和水分子同样都会挥发，因此根本无法说清楚CO2和溶液体积的减少的因果关系。当然，假如你拧开瓶盖后发现可乐体积增加（呃...),那么就很有可能说明CO2的离开会让水分子体积增加。
所以综上，就是目前化学工作者羞愧地表示从实验或者理论角度都很难回答这个关于可乐的艰深问题...
不过，假设可乐用的不是水这么特殊的溶剂，而是用各种化学工作者更喜闻乐见的，不会形成氢键的有机溶剂制作的话（hiahia~），那么CO2挥发后，因为体系中分子数量减少，可乐的体积减少应该是对的。

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4-Vector 和 Field Tensor，电磁场的相对论故事

3维空间中有3维矢量；我们是时空是4维空间，自然也有4维矢量。问题是，哪些是合法的4-矢量？又问，如果小黄瓜和小黄鸡站在不同的参考系中，如何理解磁就是电的相对论效应？ 0. 矢量和除法定理先检查基本的矢量，也就是3-矢量。我们对三维空间中，表示位移的量A称为&矢量&并无异议。因为不难验证，如果把A写成列矩阵的形式，其满足在旋转操作下的变化规律： ... 阅读全文

3维空间中有3维矢量；我们是时空是4维空间，自然也有4维矢量。

问题是，哪些是合法的4-矢量？又问，如果小黄瓜和小黄鸡站在不同的参考系中，如何理解磁就是电的相对论效应？

0. 矢量和除法定理

先检查基本的矢量，也就是3-矢量。我们对三维空间中，表示位移的量A称为“矢量”并无异议。因为不难验证，如果把A写成列矩阵的形式，其满足在旋转操作下的变化规律：

(1)

其中A’ 为旋转后的新矢量，L是旋转矩阵，A是原矢量。旋转后，A的长度并没有变，但其在X，Y，Z方向上组成的分量显然发生了变化。这种描述各分量在旋转操作下发生上述变化的数学量，就是矢量。

因此凡是满足（1）式的数学量，就是矢量。

值得一提的是标量，其在旋转操作后，自身并不发生变化：

因此在任意维度的空间中只有一个分量，而且这个分量在旋转操作后不变的量，就是标量。

一个3-矢量乘以或者除以任意一个标量常数，仍然满足（1），因此还是3-矢量。这就是矢量的除法定理。

1. 寻找矢量

除了满足（1）的量，以及除法定理的量是3-矢量以外，我们需要问，还有什么样的量也是3矢量？

注意到如下的微分算符：

定义为散度。一般认为，一个矢量的散度是一个标量。那么，我们不难得到：

因为旋转是任意的，那么唯一合理的解释便是【1】：

（2）

这也就是说，del 算子也是一个矢量。

这对于我们判断（逆协变）矢量又有什么帮助呢？当然有。实际上，我们只要找到满足形如（3）式：

（3）

如果K是一个标量，根据同样的逻辑，那么我们可以断定，C必定是也一个矢量。

2 4-Vector

我们用上面的方法来证明四矢量。下面是相对论中最常用的一组四矢量，第一组是空-时位置四矢量；第二组是波数四矢量；第三组是能量-动量四矢量；第四组电磁场势四矢量；第五组是电荷-电流密度四矢量。

为什么这些类似时-空组合的量就是四矢量呢？什么是四矢量？

所谓四矢量，就是在4维空间下，满足（1）式变化条件的数学量。在四维狭义相对论下，旋转矩阵L是洛仑兹矩阵。满足这个操作性质的所有矩阵组成一个洛仑兹群。这个旋转并不仅仅是一般的3维旋转，而是一种长度等于距离的平方减去时间的平方的，双曲面意义下的旋转。一个不含旋转的LORENTZ矩阵一般长成这样：

其中beta 是v/c，gamma 是 1/Sqrt(1-v^2/c^2)。其几何意义饶有趣味但因超出了本文的范围所以暂时不谈。

1.1

首先对于第一个，它就是四维时空的位置坐标，因此它就被定义为一组最基本的“4矢量”。由旋转，尺缩和时延效应，我们能从此推导出基本的洛仑兹矩阵L的形式。

1.2

对于第二个，注意到以下关系：

（4）

这就是一列波的相位定义。而相位必须是一个标量，因为参考系的改变不会让一个波前的相位发生突变。注意在MINKOVSKI度规下：

因此（5）式可以被写成4维空间中点乘的形式：

其中A就是

，B是

。因为L是任意的旋转，为了让上式成立，显然B也必须按照同样的方式旋转。因而：

所以我们证明了，由频率和波矢组成的

也是一个4矢量。

1.3 （5）

这两者我们将一起证明。

前者是能量-动量矢量；后者是电荷-电流密度矢量。这两者都是相对论电动力学，相对论动力学中的根本物理量，正如一般动力学中的动量，电流一样。他们之所以在时空变换下满足洛仑兹的矩阵变换关系，就有赖于他们的矢量特性。

幸运的是，这两组分量都异曲同工地满足连续性方程式：

其中第一式是MAXWELL 方程组下的电荷守恒所要求的；第二式是真空中能量守恒所要求的，假定能量都以光子的形式传递。实际上，这组等式是4维空间下包含时间坐标微分的散度关系式，但在点乘时，空间分量前相差一个负号。如何弥补这个差别？

我们只需要把散度算符做如下变化：

这实际上是把散度算符借由minkovski 度规 diag {1,-1,-1,-1} 从对偶矢量变成了矢量。因此上式的符号差异就可以理解了。

由（2），因而我们证明了电荷-电流密度以及能量-动量密度量是四矢量。

1.4

最后，我们来证明相对论电磁场中，使用最广泛的势场的矢量性：

实际上，之所以标量势和矢量势组成的量是一个对偶矢量。出于电磁场的规范不变性，在规范自由的情况下，我们做了如下人为规定（洛仑兹规范）：

注意到这个方程在空间分量前的符号。

那么，根据（2）和1.3，我们有 是4-矢量结论。

由此，我们就能计算不同观察者之间，电场和磁场的相互转换了。

2 Field Tensor

2.1 小黄鸡与小黄瓜

假定有两个观察者小黄瓜和小黄鸡，小黄瓜相对小黄鸡做匀速运动。在小黄鸡的参考系下，放着一根带静电的无限长导线，根据MAXWELL方程式，小黄鸡必须看到一个静电场；在小黄瓜的参考系中，导线则带有均匀电流，小黄瓜必须看到一个静磁场。然而从物理上看，变换参考系并不会变换物理本身，静电场和静磁场必须是一个东西。本例已经说明，磁就是电的相对论效应（即便你的速度非常之小）；那么他们究竟是如何互相变换的呢？

2.2 寻找矢量

我们已经说明，参考系的变换就是一个旋转操作，操作矩阵是LORENTZ矩阵。为了找到不同参考系下，电磁场分量之间的关系，我们实际上就是要找到旋转操作前后，电磁分量的变换规律。

我们已经知道，如果电磁场是一个4-矢量，那么他的变换规律就非常简单，见（2）。很可惜的是，电磁场分量不可能构成一个4-矢量，原因如下：

1，电磁场分量一共有Ex，Ey，Ez，Bx，By，Bz 六个独立分量，他们无法组成一个只含有四个分量的4-矢量。

2，电磁场分量中，其中电场的的确确是一个3-矢量，磁场虽然也是矢量，但仔细看，它却是一个赝矢量【2】，因为它来自于叉乘。如果我们把参考系的坐标全部以原点为中心做反转，为了保证相应的右手性，磁场矢量也会跟着反转，但电场矢量不变。几何上它们的这一根本区别，决定了他们不可能地位均等的作为分量共同构成一个矢量。

那么，要寻找一个和电磁分量直接相关的4-矢量，第一步就应该把磁场分量这个赝矢量变成一个真矢量。

2.3 叉乘再见

有幸的是，数学上已经有这样一个构造。注意到叉乘的结论：

A和B 都是真矢量，因为叉乘，C是赝矢量。我们不妨把AjBk写成一个矩阵元的样子，这样就有：

（7）

其中

1/2 的系数来自于我们规定了C是一个反对称矩阵。epsilon是LEVI-CIVITA符号。当i,j,k两两不同时，此符号才非零。且规定i=1,j=2,k=3时取1，交换任意一对序号，都取负。 （7）式又是叉乘的一般写法。

这样，我们就把赝矢量B 写成矩阵的形式：

且

其中1=x,2=y,3=z 是分量的序号。我们注意到，Cjk这个矩阵，是两个真矢量乘积的产物（注意，不是点乘），这就是一个张量。我们不厌其烦地把一个赝矢量写成矩阵的形式，就是要把它转化成一个2阶张量。这个2阶张量的每一阶都是矢量。

2.4 张量你好

张量的好处在于，不但在形式上，它是矢量的延伸，在变换规律上，它也是（2）的延展。给定一个旋转操作L，矢量遵循（2）的变换规律，张量则遵循（2）的扩张版本：

（9）

因此我们只要找到赝矢量对应的张量，我们就能知道赝矢量的变换规律。

然而Bij 只是一个3维张量，四维空间中，我们知道时间和空间是耦合的，我们的举例也说明，电场和磁场是相互转换的。我们需要把磁场和电场分量共同融合成一个4维张量。这一设想是可行的，因为：

一个反对称的四维张量的自由变量数是4*3/2=6个，恰好是电场和磁场分量数的和。

而且我们已经找到了赝矢量磁场的一个3维张量。我们需要做的，只是把电场的空间分量粘上去即可：

因为电场是一个真矢量，我们将其直接写成四维形式：

其中1，2，3再次是x,y,z的代号。

插入（8）式的第一行，并保持（8）的反对称性，我们就得到：

这就是所谓的电磁场场张量。我们之所以把标号写成上标，是为了强调F张量是由矢量张成的。（而不是对偶矢量，对偶矢量应写成下标。这是爱因斯坦标记法的规定）。电场都除以c是为了保证电场分量和磁场分量在张量里的单位一致。

在相对论中，我们能证明F的变换规律，的确正如（9）式，这也就是说，F的确是一个4维空间的张量，叫做4-张量。实际上，我们可以把这个场张量正确地写成场势矢量的关系，这样就能保证所谓的规范不变和张量的变换性质。这也是如何将E分量粘贴到（8）式的技术细节。

这样，虽然我们不能把电场和磁场分量写成一个4-矢量，但我们能通过数学工具，巧妙的将他们组合成一个4-张量，这相当于两个矢量的张积。其变换规律虽然更为复杂，但也和LORENTZ矩阵正相关。因此，场张量F成为电磁场相对论分析中一个不可或缺的必要工具。

3 再遇小黄瓜和小黄鸡

我们用上面的物理工具来解决小黄瓜和小黄鸡之间的争议。

假定小黄鸡的参考系为S，小黄瓜为S’。

在小黄鸡的世界中，假定无限长带点导线沿Z方向，带正电；小黄鸡站在距离导线为r处，定为x方向。那么磁场为0，小黄鸡测量到的电场强度为：

记小黄瓜相对小黄鸡的运动速度为v，沿Z正方向。那么LORENTZ变换矩阵的形式就是：

我们因此有，小黄瓜测量的场张量为：

这也就是说，小黄瓜将会不但测到一个x方向的电场，同时还会测到一个-Y方向的磁场。这个磁场显然是与导体运动产生的电流有关，其值和v成正比（beta=v/c），和带电密度成正比（Ex和带电密度成正比）。

注意到，不论是电场还是磁场，小黄瓜测到的值都比小黄鸡大了gamma 倍。这是由运动产生的尺缩效应引起的，因而对小黄瓜来说，导体上电荷的线密度比小黄鸭看起来的，要大了gamma 倍。电荷密度和电流密度同比增加。最后，小黄瓜测量的磁场强度是电场强度的1/c^2倍。这与电荷感生电和电流感生磁时，下面的关系式有关：

至此，我们解决了小黄鸡和小黄瓜之间，关于不同参考系下，电磁观测之间的矛盾。

@小黄鸡，是先有电还是先有磁呢？

BO，2013.1.8

【1】实际上散度算子应该是一个对偶矢量。但在3维情况下，散度算子的转化成矢量就是其对偶矢量本身

【2】一个区分真矢量和赝矢量的例子是由FEYNMAN给出的。在这个例子里，假设你和一个遥远星球的外星人通话，但你们无法看到彼此和彼此周围的任何物体。如何无歧义的告诉外星人我们关于电场和磁场方向的定义呢？

对于电场，我们可以说，你把一个原子核放在另一个原子核附近，原子核移动的方向就是正电电场矢量的方向。因为我们知道原子核都带正点，除非外星人生活在反物质星球中。

但对于磁场，我们就没有办法无歧义的确定其方向。因为磁场正方向是从北极到南极的方向；这是地球磁场的方向，这完全只是一个习惯。你没有办法规定什么是北，什么是南。实际上，我们完全可以把地球南北调转，大家过的也照样很好。。地球的南北定义是非物理的，因此磁场的方向是无法无争议的定义的。这就是真矢量和赝矢量之间的物理区别。

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转自从前有个数

从出租车几何学到费马大定理

$从出租车几何学到费马大定理$

出租车几何学 (taxicab geometry) 是一种度量方式。考虑A(x1,x1)，B(x2,y2)两个点，通常来说AB间的距离定义为.但是，这种定义并不是唯一的，在某些应用中也不是最合理的。我从学校回家时要到地铁站，直线距离不到500米。可是我必须沿着街道仅以&南北&&东西&两个方向走，最后往往要25分钟才能走到。这种情况在街道更加密集的城市核心区表... 阅读全文

出租车几何学 (taxicab geometry) 是一种度量方式。考虑A(x₁,x₁)，B(x₂,y₂)两个点，通常来说AB间的距离定义为 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 +�(y_2 - y_1)^2}$ .但是，这种定义并不是唯一的，在某些应用中也不是最合理的。我从学校回家时要到地铁站，直线距离不到500米。可是我必须沿着街道仅以“南北”“东西”两个方向走，最后往往要25分钟才能走到。这种情况在街道更加密集的城市核心区表现得尤其明显。比如在曼哈顿，直线距离往往毫无意义，有意义的是连接两个点的折线段距离。所以，这时候定义两个点A(x₁,x₁)，B(x₂,y₂)的距离为d(A, B)=|x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|，是更加靠谱的一种测度。这种距离叫做曼哈顿距离或出租车测度。

这种距离是可以接受的，因为它满足了度量的4个条件：

d(x, y) ≥ 0 (非负性)
d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性)
d(x, y) = d(y, x) (对称性)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。

但是，并不是所有的欧氏几何都能在这种度量空间上重绘出来。因为，这个距离在“旋转”这种变换下是变化的。比如(5,0)这个向量长度是5，但是旋转成(3,4)后长度变成了7。这导致了三角形全等定理的失效。关于这种情况下的三角形，Matrix67有一篇博文，配了漂亮的图，敬请欣赏。

现在我们考虑：这里的圆是什么样子？圆的定义自然是到一定点距离一定的点的集合。以单位圆为例，套用距离公式可得|x|+|y|=1 .稍微想像一下可知，这就是一个边长为 $\sqrt{2}$ 的、转了45°的正方形。如下图，是三个圆相交。

这样的圆有很多迥异的性质。比如，两个圆的交点可以是0个，1个，两个或无数个。圆周率既然定义为圆周长与直径之比（直径定义为圆上两点的最长距离），那么它就就等于4！
探索这样的新几何给我们以遐想：用类似的方法定义其他的距离，就能创造出无数的几何学。但是，定义不能乱下，否则什么有意义的东西也不能导出。观察欧几里得距离和曼哈顿距离，再运用想象，勒贝格提出了L^p空间。
L^p空间，其中p是参数，其中点与一般情况无异，而距离定义为

$||x||_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}$

容易看到L²空间的距离就是通常的、高中里讲的距离，而上述的曼哈顿测度描述的就是L¹空间。

为了对L^p空间中的距离有一个直观的了解，让我们考虑其中的单位圆。既然L¹空间的圆是转1/4圈的正方形，L²空间的圆是我们熟知的那种，而那个定义的距离函数关于p是连续的，可以想象从p从1到2，单位圆应该是渐渐鼓起来的样子。另外，根据著名的Hölder不等式，可以知道p较大的单位圆可以将p较小的单位圆完全包括进去。据此，可以想见p<1的单位圆应该是大体呈4个尖角的星形，而p>2的单位圆要鼓出，大体上呈圆角正方形。下面给出几个p值下的单位圆：

（p=0.5）

（p=1.5）

（p=4）

关于L^p空间还有2个小问题：p能否取0及无穷大？显然直接套公式是不可能的，一方面0⁰没有意义，所以不能广泛地定义L⁰中的距离；另一方面，一个实数是不能取无穷次幂的。但是，取极限总能解决问题。如果规定0⁰=0，那么"L⁰空间"就存在了。这时平面两点距离恒定为0.注意到这并不是一个适当的定义，因为开头我写到一个适当的距离函数应该满足非零向量的长度非零。虽然这个问题无法弥补，但是不影响我们在特殊情况下使用，只要不用基于这个性质的定理就可以了。想想你在哪里用过这个看似没用的“度量”？算法学。一个数组的长度就是这么定义的。
L^∞空间又是怎么回事呢？观察一般的距离公式，取p→∞，发现一个向量的L^∞长度是这个向量各分量中最大的一个。再考虑它的单位圆的话，很显然：就是一个横平竖直地放着的、边长为2的正方形。
好了，度量空间这种抽象的东西已经快把我绕晕了。我们不再深入于繁难的细节，转而看一看轻松而漂亮的东西吧：上面画的种种“单位圆”，有什么特性没有？

其实，这些图形还有别的名字。毕竟，单位圆这个名字十分容易引起歧义，而反复声明“L^p空间下的单位圆”又嫌冗长。对一个由以上各单位圆经过拉抻变换后的图形，我们称之为超椭圆。它的公式是 $\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$ .显然，令 a=b=1 , n=p 时，它就是L^p空间下的单位圆了。

下面有一个定理，看看你能不能瞬间证明：

对于所有的正整数n≥3，正有理数a , b 所确定的超椭圆上没有有理点（不包含坐标轴上点）。有理点是指横纵坐标均为有理数的点。

看起来很棘手？其实证明只有一句话：如果曲线上存在有理点，总能够通过乘足够大的整数而形成xⁿ + yⁿ =zⁿ的形式，与费马大定理矛盾。
简单吧？惊人的是，费马大定理的证明过程正好是刚才过程反过来做一遍！Wiles在1995年证明费马大定理的主要思路，就是假设有这样一个有理点，经过种种复杂的推导得到了一个矛盾。谁又能想到费马大定理和出租车还有如此的关系呢？

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转自从前有个数

#数学 #趣题 #经典题目 #经典证明

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SOME PHYSICS

什么是虚数兼论虚数的几何意义之一

作者按：这篇文章没有什么新意，都是我从一本教材上看来的，有兴趣的同学可以去拜读一些代数书，很有意思。*当然，本文的书写和版权还是属于我的。。因为写科普的原创性自在别处。我看的这本书名字叫做：《Clifford Algebra and Spinors》，相信对于学习量子力学，相对论性量子力学或者量子场论的同学来说都有益处。此书数学说的多，物理说的少；还是只能做... 阅读全文

作者按：

这篇文章没有什么新意，都是我从一本教材上看来的，有兴趣的同学可以去拜读一些代数书，很有意思。

*当然，本文的书写和版权还是属于我的。。因为写科普的原创性自在别处。

我看的这本书名字叫做：《Clifford Algebra and Spinors》，相信对于学习量子力学，相对论性量子力学或者量子场论的同学来说都有益处。此书数学说的多，物理说的少；还是只能做辅料不可夺主。

0. 虚数回顾

我们来看一下什么是虚数。大部分中学教材是以一种人为的定义，也就是：

这样虽然看似明了，但确完全忽略了虚数产生的代数背景，也就是，怎么样一种代数系统中，会需要产生一种某个元素的平方等于-1呢？

1. 什么是“-1”：

在讨论虚数之前，我们得先明白什么是-1。什么是负一？这可能是一个小学生的问题，但我们要用代数的语言去看待。一个代数系统中，往往存在乘法和加法两种二元线性操作，那么很显然，乘法的单位元，就是那个和任意元素相乘后仍返回该元素本身的单元，就是1；加法的单位元，同理，就是0。那么乘法单位元在加法操作下的逆，就是负一。也就是说，要产生负一，这个代数系统同时必须含有乘法和加法两类二元操作，而负一就是这两类线性操作糅合的产物。

2. 什么是“代数”：

由上所述，建立在某个数域上并一个存在一种或一种以上二元操作的线性空间，就是代数。例如一个包含加法和乘法的实数空间，就是实代数。

3. 什么数的平方等于“-1”：

显然，在实代数中，不可能存在一个元素和自己相乘（平方）等于乘法单位元在加法操作下的逆。而令人惊讶的事实是，这样的代数却广泛存在于我们所熟知的矢量空间之中。这也是为什么复数最终能够和2维空间的几何关系联系起来的原因。

考虑这样一个二维欧几里得空间R^2下的矢量：

其中e1 和 e2 是空间的一组正交单位基。

欧式空间是具有度量的线性空间，因此我们知道矢量a的长度是，

虚数的出现必须同时要求加法和乘法，矢量空间中已经有矢量的加法，我们现在定义矢量的乘法如下：

且规定，矢量的乘法就等于其欧几里得长度的平方，注意到这是一个很自然且具有几何意义（长度）的定义。由此我们有：

那么我们必须有交叉项为零：

学过微分几何的同学可能已经看出来了，这个交叉项，就是大名鼎鼎的wedge product（楔积）。

我们规定：

这就是任意矢量a 和 b 所张成的平行四边形的面积。具体请参见《秩和行列式的几何意义》。显然如果a=b，这一项就等于0，这也就是我们上式所要求的。

然而接下来的事实或许不是那么的众所周知了。我们将e1与e2两个单位正交基的乘积做平方，得到：

记

当当当当，一个平方为负一的代数数出现了！！我们伟大的并矢（BIVECTOR）：e12。这表明，虚数的产生的的确确是代数系统所要求的结果，而不是人为捏造的臆想。

4. 虚数的代数意义

实际上，矢量乘法中产生的交叉项，就给出了所谓“虚数”的代数意义：其乘法表指定其平方等于负一。

一般地，我们记逆时针方向从e1出发到e2为i, 也即：

e12和e21生活在一种叫做 clifford algebra的代数系统中。得名于数学家 William Clifford.

5. 虚数的几何意义

虚数i，也就是e12的几何意义，当我们把它作用在一个矢量上的时候，就变得明显了：

注意到将e12从左边作用到任意矢量a上：

我们很容易能看出来：

而且显然，作用之后的矢量，是原矢量逆时针方向旋转90度之后的产物。如果从右边作用，那么就是顺时针方向旋转90度；如果选取e21作用，那么其结果都和e12相差一个负号。

这也就是说，虚数e12的几何意义，就是把一个R2矢量空间的矢量，朝逆时针方向旋转90度。显然，作用2次e12，我们将得到-1，也就是将矢量旋转180度；作用4次后就还原。

5. 复平面的来源

将e12选作虚轴正方向，e21选作虚轴负方向。这就构成一个复平面。复平面中的矢量，和R2空间中的矢量，有一一对应的关系；复平面中的i就是我们的代数单元e12。显然在复平面中任意一个辐乘以i之后，就会逆时针旋转90度。这个复平面的几何解读正来源于R2空间矢量的旋转。

一般地，复平面与一个实数轴与一个二维楔积的线性空间是同构的：

记做：

6. 复数的推广：

将2维度矢量空间楔积的代数关系推广到3，4维，我们还能得到4元数，8元数等复数的延伸。具体的介绍可以期待下文。我们鼓励读者自己去阅读相关文献。

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#物理科普 #数学

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SOME PHYSICS

宇宙间时空分辨率的极限——普朗克长度和普朗克时间

作者：范翔范翔 physixfan在《套套神教圣经&创世纪》里，我提到了空间最小单元普朗克长度和时间最小单元普朗克时间的说法，估计很多人不知道这是什么意思，故写此文来科普一下。本文不需要学过量子场论等高端课程就可以阅读只要不求甚解即可...*/我要是说，在我们真实生活的宇宙里，时空其实是分立的而不是连续的，也许很多人会感到很惊异觉得这是一种科幻。但是一部分... 阅读全文

作者：范翔范翔 physixfan

在《套套神教圣经·创世纪》里，我提到了空间最小单元普朗克长度和时间最小单元普朗克时间的说法，估计很多人不知道这是什么意思，故写此文来科普一下。本文不需要学过量子场论等高端课程就可以阅读只要不求甚解即可...*/

我要是说，在我们真实生活的宇宙里，时空其实是分立的而不是连续的，也许很多人会感到很惊异觉得这是一种科幻。但是一部分激进的理论物理学家的确是这么认为的，我也很认同这种观点。分立的时空格子的尺度，被称作普朗克长度和普朗克时间。首先给出它们的表达式和大小吧：

其中h拔是普朗克常数，c是光速，G是万有引力常数。没错，普朗克长度和普朗克时间的表达式，正是由宇宙间最基本的三个常数组合而成的具有长度、时间量纲的物理量。高中时候就见过这个看起来很神奇的表达式，不过一直不知道其物理含义到底是什么，为什么就可以代表时空的最小分辨率。直到今年上的量子场论和物理宇宙学两门课让我略懂了其物理内涵。

首先要知道的是，目前描述我们这个宇宙的最基本最底层的理论之一是量子场论，而我们有很充分的理由相信，量子场论里存在一个物理的能量截断，即量子场论只有在能量低于这个截断能量的时候才有意义。这一段后半部分的内容直接摘抄自刘川的量子场论讲义：对于一个有相互作用的量子场论来说，由于量子涨落的“虚过程”可以在任意能动量发生，因此，如果理论不存在某种能动量截断，那么由于长是互相作用的，一个低能动量的模式就可以通过虚过程与无穷高能动量的模式发生相互作用，这就造成了场论中的“紫外发散”（即计算得到的结果是无穷大）。而如果量子场论中存在一个物理的能动量截断，它就可以保证所有的量都不发散。这个截断的具体形式其实对于远低于截断能标的物理来说并不重要，因为低能区的物理对截断的形式并不敏感。重要的是，这个截断是存在的，而且它是相互作用量子场论不可或缺的组成部分。

然后，根据不确定性关系这一量子力学的基本原理，

能动量存在着一个上截断，就意味着时空存在着一个下截断。即空间存在最小分辨率。

以上从量子场论的角度，分析了这样一个时空最小分辨率的存在性，但是并没有给出它的具体形式。其具体表达式则是由宇宙学中对量子引力极限的估计给出的。

众所周知，如果一个物体的半径相对于其质量小到了一定程度，它就会形成黑洞。形成黑洞所需要的质量和半径的关系由所谓的Schwarzschild半径给出，它是通过解Einstein方程得到的解：

，其中G和c仍是万有引力常数和光速，m是质量。当质量为m的物体的半径小于Schwarzschild半径时它就成了一个黑洞。

另一方面，基本的量子力学知识告诉我们一个物体的de Broglie波长为：

，其中p为动量。

量子引力极限的估计是这样的：当一个物体的Schwarzschild半径与de Broglie波长相当时，那么对这个物体的研究就必须知道黑洞内部要如何描述，即现有的一切物理理论都失效了，必须使用量子引力论来处理（而自洽的量子引论人类还没有建立起来）。联立Schwarzschild半径与de Broglie波长的表达式让他们相等，再加上质能关系E=mc^2和极端相对论性条件E=pc，就可以解出这个长度究竟是多大了。忽略掉并不改变数量级的常数之后，得到的结果正是：普朗克长度。普朗克时间的计算其实只要由普朗克长度除以c就可以得到。

如此一来，我们就已经清楚普朗克长度和普朗克时间的物理意义了：它确确实实是宇宙时空的最小分辨率，如果想探测比这更小的时空，你所使用的能量会如此之高以至于它自己会形成一个黑洞。

不过其实时空到底是分立的还是连续的，对人类生活一点影响都没有。普朗克长度和普朗克时间实在是太小太小，以至于夸克和电子的尺度都比它要大好几十个数量级呢。

//原文在这里 http://www.physixfan.com/archives/2075

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#物理科普 #物理

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SOME PHYSICS

矩阵的秩与行列式的几何意义

这里首先讨论一个长期以来困惑工科甚至物理系学生的一个数学问题，即，究竟什么是面积，以及二维面积的推广（体积等）？ 1 关于面积：一种映射大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，就是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。然而为了应对更一般情形和更... 阅读全文

这里首先讨论一个长期以来困惑工科甚至物理系学生的一个数学问题，即，究竟什么是面积，以及二维面积的推广（体积等）？

1 关于面积：一种映射

大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，就是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。

然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实：

面积是一个标量，它来来自于（构成其相邻边）两个矢量。因此，我们可以将面积看成一个映射：

其中V就是一个矢量，V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。

下面我们将说明这个映射是一个线性映射。

从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。

因此有：

如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下：

最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。

显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）：

假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有：

注意计算过程中用到了上面的结论。这说明：

也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。孰正孰负取决于认为的定义。一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。

1.1 右手定则

由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以X正方向为首，Y正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。

由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积（*）：

我们不难看到，所谓面积就是一个2X2矩阵的行列式：

如下图。

其中第一行就是我们的第一个行向量(a,b)；第二行就是第二个行向量(c,d)。或者第一列是第一个列向量(a,b)^T, 第二列是第二个列向量(c,d)^T。这取决于我们把矢量写成行向量（前者）还是列向量（后者）的形式。

1.2 行列式的计算性质

由此我们很容易能发现，行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。这也就是为什么说，在计算行列式时，行和列的地位是对等的。并且注意到，由上述分析，交换矢量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。另外，行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中。

由此我们可见，行列式就是关于“面积”的推广。他就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。

2，行列式的推广

由上，我们可以轻松推广到三维体积的计算：

注意到，行列式的定义，是每一行各取一个不同列的元素的乘积并且符号和所谓的逆序性有关（PARITY）。所谓逆序性，其几何意义就是在规定了一个正方向之后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号。这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到，实际上体积，更高维度的广义体积，也有正方向之说，只不过已经难以用右手法则来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。

对于这种交换任何一对指标（操作数）就改变符号的性质，我们叫做：反对称（ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘积，是因为如果有任意两个元素是同行（列）的，那么交换他们的列指标，乘积不变但符号要相反，这乘积必须是0，也就是在行列式的值中不予体现。

行列式的定义之所以这么冗杂，就是来自于面积映射的反对称性。实际上面积映射是一个2-FORM，把2-FORM拓展到任意的R-FORM，我们能看到R-FORM的形式和一个R乘R矩阵的行列式是完全一致的。

由上我们已经可以看到，2-FORM代表的是平面内的面积；3-FORM自然而然就是3维空间内的体积；4-FORM是4维空间里的超体积。以此类推。而实际上，由上我们已经看到，将这些矢量在给定的基坐标下写成矩阵（必定是方阵），矩阵的行列式就是对应的面积（体积）。这个推广的证明各位应该能在任何一本线性代数的专门教材中看到（如果没有的话可以自证）。

3，线性无关的几何意义

记空间的维度为N，给定一组矢量，什么是他们线性无关性？我们下面将说明，一组矢量的线性相关性本质上，是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为NULL（零）。

我们仍然从最简单的2维空间出发。如果两个2维空间的向量是线性相关的，那么就是说，其中一个与另外一个共线，也就是说，他们所张成的四边形，面积是零。反之，如果线性无关，则不共线，则面积不为零。

同理，如果三个三维空间的向量是线性无关的，那么他们三者就不共面。因此他们所张成的平行六面体，体积不是零。

更进一步地，我们知道，二维空间如果给定三个向量，他们必定共面（二维空间内不可能存在一个“体积”），因此他们必定线性相关。推而广之，我们不难理解，为什么一个维度为N的空间内，任意一组M个向量（M>N）必定线性相关了：因为维度大于空间维度的超平形四边体不存在。

由此我们得到一个一一对应的关系：

N个向量线性无关 == 他们所张成的N维体体积不为零

反之，如果N个向量线性相关，那么他们所张成N维体，体积为零。

例如，一对共线矢量张成的平行四边形，退化成一个线，其面积显然是0；一组共面的三个矢量张成的平行六面体，退化成一个面，其体积显然是0。

因为我们已经知道行列式与面积的关系，因此我们有结论：

线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零；线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。

4，行列式与矩阵的逆

我们知道，行列式为0的矩阵，不可逆；行列式不为零的矩阵，可逆。注意我们为简便起见，只讨论方阵的行列式。因此我们不禁要问，代表面积的行列式，是如何和线性变换的可逆性联系在一起的呢？

当我们理解了线性变换的几何意义之后，就不难解答了。我们现陈述如下：

记线性变换的矩阵为A。

如果我们把空间中一组线性无关的矢量都写成列向量的形式，那么他们所张成的N维体体积不为零，根据上面的分析，其值由行列式给出。向量经过线性变换A变换之后，得到的新向量形式如下：

注意到A是一个N*N的矩阵，向量是列向量。

变换前，N维体的体积是：

变换之后，N维体的体积是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的，也就是N*N矩阵A和另外一个N个列向量组成的N*N矩阵的乘法）：

A的行列式如果不为零，则代表这个变换后，N维体的体积不是NULL。又结合线性无关与体积的性质，我们可以说，

如果A的行列式不为零，那么A可以把一组线性无关的矢量，映射成一组新的，线性无关的矢量；A是可逆的（一对一的映射，保真映射，KERNEL是{0}）

如果A的行列式为零，那么A就会把一组线性无关的矢量，映射成一组线性相关的矢量；A就不是可逆的（非保真映射，KERNEL不是{0}。我们可以研究他的陪集）

从线性无关到线性相关，其中丢失了部分信息，因此这个变换显然就是不可逆的。线性是否无关和所张成N维体的体积有直接关系，这个体积值又与A的行列式有关。因此我们就建立了A的行列式与其是否可逆的几何关系。

举例说明，我们假设A是一个3维的矩阵。如果映射前，有一组三个线性无关的矢量，我们知道它们张成的体积不是0；经过映射后，他们对应的新矢量也能张成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是原体积乘以A的行列式。

显然，如果A的行列式是0，那么变换后的新“平行六面体"的体积将不可避免的也是0。根据上文的结论，我们有：变换后的这一组新矢量线性相关。

结论：

线性变换A的行列式是否为零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一组线性无关的矢量变换成另一组保持无关性的矢量。

5，秩

有时候，虽然A并不能保持把空间一组最大数目矢量的无关性，但它能保证一组更少数目矢量的无关性。这个数目往往少于A的维度（或者说，线性空间的维度），这个数目就叫做线性变换A的秩。

例如，一个秩为2的三乘三矩阵A。因为秩小于3，那么任何一个3维六面体经过他的变换后，体积都为零（退化一个面）；但存在一个面积不为零的面，在变换之后还可以是一个非零面积的面。

所谓一个线性变换的秩，无非就是变换后，还能保持非零体积的几何形状的最大维度。

理解了秩，行列式和可逆性的几何意义，我们就能随意构造一些线性变换A，使得他要么保全所有的几何体，要么将特定维度特定结构的几何体，压缩成更低维度的几何体。这不就是所谓的“降维打击”么。。所以说，三体中的终极必杀，其实也就是一个行列式为0，秩比维度少1的一个线性变换而已。

更高维度下的推广，还希望读者自己去进行；此外上文中关于面积函数线性性的证明，也交给读者自行去严格验明。

2012.11.10

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#数学 #物理科普

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SOME PHYSICS

转自无尽的未知与好奇

分钟物理潮汐

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转自无尽的未知与好奇

#科学 #物理

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Macintosh OS X

如何为自己的IPHONE制作铃声

长期以来都抱怨IPHONE居然无法自设铃声，如此狭隘的设计，和大NOKIA比起来简直是弱爆了。。现在才发现，原来是自己弱爆了。APPLE没有开放手机内部自选铃声，估计是自己身技术不强的原因：1，无法保证所有铃声都是一种格式，怕播放起来死机；2，无法保证你选择的铃声长度足够短。对，是足够短，怕播放起来死机。。。你现在知道为什么IPHONE从不死机的缘故了吧。。... 阅读全文

长期以来都抱怨IPHONE居然无法自设铃声，如此狭隘的设计，和大NOKIA比起来简直是弱爆了。。

现在才发现，原来是自己弱爆了。

APPLE没有开放手机内部自选铃声，估计是自己身技术不强的原因：

1，无法保证所有铃声都是一种格式，怕播放起来死机；

2，无法保证你选择的铃声长度足够短。对，是足够短，怕播放起来死机。。。

你现在知道为什么IPHONE从不死机的缘故了吧。。

OK，废话少说。

假定你有一段很喜欢的音乐，想作为你的IPHONE手机铃声。下面就是你该做的：

1，打开ITUNES

2，找到你喜欢的这首歌，（如果找不到，请先将其导入ITUNES），例如：

菊次郎的夏天。。（又翻译做，菊花盛开的夏天，菊花盛开的正太的下面等。。）

3，右击这首歌，选择“GET INFO”，选择"OPTIONS“选项卡，指定你要截取作为铃声的时间范围（30秒长度以内）

比如，0：22到0：52

或者0：53到1：22

1：28到1：58 。。。

总之都很好听啦。。设置好之后，双击原曲，可预览截取效果。

4，进入ITUNES的PREFERENCE, IMPORTING SETTINGS：

选择AAC ENCODING

5，右键选择SUMMER这首歌，选定：

6，这首生成的乐曲片段就是你的铃声了。不过别急，你还有3步要做：

7，找到这首歌的源文件：

8，将其名字后缀修改为.m4r

确定：

9，在ITUNES中删除这首歌的记录：

但选择“保存文件”

10，将这首M4R文件拖入ITUNES中。这样，ITUNES就会重新识别为TONES文件了：

11，点入TONES，可看到新生成的自己制作的铃声文件：

12，将其拖入你ITUNES中的IPHONE中图标里即可。（注意IPHONE的SYNC模式必须是手动）

13，进入IPHONE的SETTING，SOUNDS，你能看到：

选定SUMMER，即大功告成。

备注：

为了达到更好的截取效果，可使用AUDITION等软件。

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SOME PHYSICS

电子：转两圈才回到原点的自旋

1，电子的磁矩和自旋电子自旋，最早在1922年那场著名的S-G磁银中得到验证。实际上，尽管理论对电子自旋的计算已经精确到小数点后7位，尽管已经有成功的理论解释自旋和统计的关系，迄今为止也没有人能够说明为什么电子会有自旋，以及自旋的物理成因究竟是什么。描述现状但不去问为什么，似乎是现代物理学令人尴尬而又无奈的一个共识。自旋，顾名思义，就是小球绕自身的一个定轴... 阅读全文

1，电子的磁矩和自旋
电子自旋，最早在1922年那场著名的S-G磁银中得到验证。实际上，尽管理论对电子自旋的计算已经精确到小数点后7位，尽管已经有成功的理论解释自旋和统计的关系，迄今为止也没有人能够说明为什么电子会有自旋，以及自旋的物理成因究竟是什么。描述现状但不去问为什么，似乎是现代物理学令人尴尬而又无奈的一个共识。
自旋，顾名思义，就是小球绕自身的一个定轴旋转。长期以来有个很粗浅但是错误的模型，就是把电子看成小球，如下图：
假定小球的表面均匀带电，电荷均匀分布总量为e，那么小球自旋时，这个电荷就会产生电流；而一个闭合的电流圈就能产生磁矩[1]。不难证明，这个电流产生的磁矩，和小球转动的角动量方向一致。

按照经典理论计算，其表面电荷总的磁矩为：

而小球总的角动量（假定质量只分布在表面）为：

由此可得：

然而电子终究不是普通的带电小球。而在量子力学中，经实验测定（例如使用ZEEMAN效应），磁矩和角动量之间的关系还相差一个系数因子ge，近似为2：

2，角动量和PAULI矩阵
角动量是一个三维空间的矢量，有了角动量，根据上式，我们就能知道磁矩，那么我们就能写出电子在外加磁场中的运动方程。那么问题就是，在量子力学中我们如何来描述角动量呢？

由“守恒量，对称性和生成元”一文，我们知道角动量的生成元是旋转算符。下面我们就来研究下角动量算子应该满足什么特性。

假定描述自旋的量子状态是|Phi>，旋转操作是U_i(alpha)，那么我们有：

其中alpha是无穷小量。i 表示三个旋转轴中的某一个轴。不管你信不信，反正我是信了：因为我们生活在3维世界中，因此旋转操作一定能分解成X,Y,Z三个基方向上旋转的叠加。具体的分解方法参见Euler Angle。由此，我们只需要知道三个方向上旋转生成元的性质，我们就能知道任意旋转算子的性质。
我们首先来看这个旋转生成元（i方向，但i显然具有一般性）：
量子状态所在的空间是一个存在长度度量的线性空间。和一般的欧几里德空间一样，旋转操作不会改变向量的长度。由此，我们有：

实际上因为|Phi>的任意性，我们必须有（省去高阶alpha小量）：

（1）

另外，我们知道U的行列式是1，这是因为

因为U(0)=1，|U(0)|=1，而U(alpha)是距离U(0)无穷小的一个连续变化。由此：

（2）

这说明2点关于很重要的性质：
（1）表示G_i是厄米的（他的厄米共轭等于他本身）；（2）告诉我们G_i 的迹为零。
然而这还不足以确定G_i的形式。事实上，关于旋转操作，我们还有更为特别的形式：非互易性。
所谓非互易性，就是说，绕着不同轴的旋转操作是不能交换顺序的。试想，一个和Y轴平行的向量首先以X轴为转轴旋转90度，再以Y轴为轴旋转90度，这与它首先以Y轴为轴旋转90度（不变），再以X轴为轴旋转90度，结果是不一样的。旋转的特殊性也在于此。虽然旋转操作和通过乘法来叠加合成，但其顺序是不可交换的。这一点和矩阵有着异曲同工之妙。

怎么具体描述他们的非互易性呢？我们还是以上述为例，但这次，我们只旋转

度就足够（事实上为了得到生成元的性质，我们只能旋转无穷小的角度）。

假设向量在三维空间中，一个和Y轴平行的向量可以被表示为：(0,1,0)。我们观察以下两种操作：
1）以X轴为转轴旋转 alpha 度，得到(0,Cos(alpha),Sin(alpha))；再以Y轴为转旋转beta度，得到(Sin(alpha)*Sin(beta),Cos(alpha),Sin(alpha)*Cos(beta))
2）以Y轴为转轴旋转 beta 度，得到(0,1,0)（不变，因为他与Y轴平行）；再以X轴旋转alpha度，得到(0,Cos(alpha),Sin(alpha))
后者减前者，得到：(-Sin(alpha)*Sin(beta),0,Sin(alpha)(1-Cos(beta)))
由无穷小量的近似关系，我们得到：
(-Sin(alpha)*Sin(beta),0,Sin(alpha)(1-Cos(beta)))=(-alpha*beta,0,0)
不难看出，这就是绕着Z轴旋转alpha*beta度产生的变量。两次相反顺序的X,Y轴旋转，最后得到的是关于Z轴旋转的变换。而同一个轴上的多次旋转，他们之间是可交换的。
由此，我们可以得到不同轴旋转生成元之间交换次序之后的对易关系，一般来说，我们可以证明：

（3）

比如，当i=x, j=y时候，就有k=z。
其中的Levi-Civita系数决定了i和j必须不同，以及坐标轴的右手性。
（1），（2）和（3）代表了所有连续旋转算符都必须具备的代数特性。这一部分内容又叫做李代数。特别地，对于电子自旋，实验表明，自旋只有2个基（+和-），其状态空间是2维空间，因此如果用矩阵表示这个变换关系，G必须是2*2的矩阵。实际上，这就关系唯一确立了PAULI 矩阵[2]：

其中：

如果你能独立推出这3个矩阵的表达式，那么泡利矩阵的大名很可能本应该是你的名字，如果你早出生那么几百年的话。。
为了赋予生成元动量单位，我们记：

为电子自旋角动量的生成元，也就是表征角动量的算符。
3，自旋和角动量的时间演化
有了电子的自旋算符，我们就能求解一系列关于电子在外加磁场中自旋状态变化和角动量旋转的问题。
电子自旋的时间演化由下式表示。因为我们知道时间演化的生成元就是能量，由磁矩在外加磁场中的能量，我们写下[3]：

（4）

同时，又因为知道S就是电子角动量的算符，那么由生成元与观测量变化的对应关系：

(5)

从（4）和（5），我们就能计算任意时刻下，电子自旋和角动量之间的关系。
4，两圈才是一圈
那么，在给定外磁场下，电子的自旋和角动量的旋转有没有一一对应的关系呢？答案是肯定的。从（4）和（5）中拥有的相似的方程系数上，我们也能看出来。实际上，我们可以做如下证明。
因为一阶微分方程表征的都是线性变换关系，我们可以记：

（6）

其中，U(t)是一个2*2的旋转矩阵；R(t)是一个3*3的旋转矩阵。注意他们作用空间的不同。虽然一个作用在抽象的希尔伯特状态空间，一个作用在实实在在的3维几何空间，只要我们把所变换的客体：矢量，在给定一组基下写成列矩阵的形式，那么U(t)和R(t)就都能写成矩阵。
我们就来研究R(t)和U(t)的关系。
注意到，从量子力学的测量定理，我们所观测到的角动量矢量是算符在相应态下的平均值：

带入(6)式，不难得到：

注意到这里的R(t)作用到sigma上，是作用到sigma的三个空间分量之中。写成分量的形式，消去等式两边共有的量，我们有：

左右两边乘以Sigma_j，因为

（7）

两边取迹，我们就得到R分量和U的关系式：

这是一个神奇的表达式。对（7）式的性质我们仅陈述而不做证明：
1），从U(t)到R(t)是二对一的关系，容易看出这是因为转化关系是U的两次方的缘故。因此U 和 -U 都被转化到同一个R。
2），这个转化关系是一个同态映射。也就是说，两个自旋旋转的乘积，就对应到他们分别所对应的角动量旋转的乘积。这表明旋转的合成在两个空间中都保持，他们不仅仅互相对应，而且这个对应是保结构的。

有了这个结论，我们就能来研究，为什么当角动量旋转720度的时候，自旋才旋转到原位这样一个神奇的现象了。
当R=1，也就是角动量不变时候，U可以取1，也可以取-1。然而从物理上说，当t=0的时候，一切都没有变，因此R=1所对应的U应该也是U=1。我们从这个对应关系开始，对角动量进行连续的旋转：
当R绕着一个定轴（也就是（5）式中，外磁场所在的方向轴）缓慢旋转直到360度时，R又回到了1。而实际上这时候，U并没有回到1，而是回到了-1！（注意U=-1也对应了R=1）。也就是说，随着时间的进展，当角动量第一次转回到初始值时，自旋其实只是相位变化了180度，并没有回到原位。只有当角动量继续旋转，直到第二次回到初始值时候，自旋才回到U=1，也就是原位。
之所以会发生这样的情况，其实是与R操作所在的空间(可以证明是一个三维空间半径为pi的球体）和U操作所在的空间（可以证明是一个4维空间的超球面）之间的拓扑关系有关。可以证明，任意一个R都能表示为半径为pi的球体内的一点，其离球心的距离代表旋转角，其和球心组成矢量的方向代表转轴的方向。显然，对一个转轴旋转180度，和对一个反向转轴旋转180度的结果是一样的：都转到的转轴的对面。而对于矩阵U，每一个U都能表示成4维空间中单位球面上的一个点。这是因为任意的U，为了满足性质（1）和（2），都可以写成：

这和4维单位球面上的点一一对应。
不难看出，在R空间一次360度的旋转，相当于从R从其空间球体的北极沿着一条直径走到南极；而这就对应着四维球面中，一点从赤道一点出发在球面沿着一条经线经过北极到赤道对面，而这就是U的轨迹。对R来说，南极和北极是等价的，因为直径长度是2pi；而对U来说，赤道一点和赤道对面是不等价的，他们相差一个负号。只有R从南极再穿过地心走到北极时，U才会真正回到自己的原点：赤道上的原点。

这也就是为什么大家说，自旋要转2圈（720度），才会回到原状态如此神秘性质的成因。在数学上，这是SU(2)和SO(3)的2对一覆盖关系。

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参考
[1]参见JACKSON，电动力学，MULTIPOLE EXPANSION
[2]参见WIKIPEDIA，PAULI MATRICES

[3]参见守恒量，生成元和对称性

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对称性，生成元和守恒量

对称性，生成元和守恒量欢迎访问WWW.WIKIPHYSICA.ORG，致力于专业的物理学科普WIKI【同类阅读】对称性闲话一则很早以前就听说过，空间平移不变性决定了动量，时间平移的不变性决定了能量。咋听上去非常牛逼，实际想起来百思不得其解：动量和空间的不变有什么关系？能量和时间的对称有什么关系？时间和能量，位置和动量的测不准，这又是从何而来的关系？这... 阅读全文

对称性，生成元和守恒量

欢迎访问WWW.WIKIPHYSICA.ORG，致力于专业的物理学科普WIKI

【同类阅读】对称性闲话一则

很早以前就听说过，空间平移不变性决定了动量，时间平移的不变性决定了能量。咋听上去非常牛逼，实际想起来百思不得其解：动量和空间的不变有什么关系？能量和时间的对称有什么关系？时间和能量，位置和动量的测不准，这又是从何而来的关系？这些性质之间逻辑上的一致性如何解决？本期CCTV (R) 走进科学(TM)，就带你走进这层层迷雾，拨开对称性的神秘面纱。。

1 对称性

芸芸众生可从此处开始读起。什么是对称性呢？对称性其实又是一种随意性，冗余性，不必要性，它表明我们在描述物理运动的时候，引入了不必要的量。例如，我们表述一个质点小球和另一个质点小球的碰撞运动，大可以建立一个坐标系来描述每个小球的位置，再用位置对时间的微分（速度）来描述每个小球下一个无穷小时刻的位置。这里我们把位置和速度看做独立的变量。显而易见，由这两个量我们就能完全确定小球们在整个观测时间内的运动轨迹了。

问题在于，我们所确定的坐标系，本身是虚构的，不存在的。我们最开始确定坐标系的原点（甚至轴方向），和观测时间的起点，是完全随意的。换言之，如果我们把两个小球从坐标系的一侧，平移到另一侧，我们把观测的时间起点从所谓东部时间上午8点改成西部时间下午3点，两个小球的碰撞结果都不会变。

坐标系原点的任意性（平移不变），时间起点的任意性（时不变）和坐标系轴朝向的任意性（旋转不变），就叫做这个力学系统的对称性。除了这些初步的对称性以外，坐标系右手定则的任意性（空间反演），时间箭头的任意性（时间反演，你可以让小球碰撞物理过程像看录像一样倒放，你也无法分辨哪一个是真实的时间箭头）也属于物理系统通常具有的根本的对称性。

2 对称性的破坏

当然不是我们所研究的所有系统同时具有上述对称性（不然这个世界就大大的简化了）。比如小球运动在一个蜿蜒崎岖的山地上，那么系统就不具备连续的平移不变性。如果早上10点的时候弹了小球一下，那么这个系统就丧失了时间不变性（碰撞事件发生在10点之后和10点之前，结果完全不一样）。如果我给小球加上电荷，再在给定方向上加一个电场，空间反演对称性。如果我再在给定方向加上一个磁场，现在时间反演对称性也没有了。

既然本文的主题是讨论对称性和守恒量，我们就假定系统具备平移，时间和旋转对称性。一般而言，在一个均匀空间，无外力的系统中，这个条件是满足的。

3 生成元

既然系统对某些变量具有对称性（或者冗余性），如果我们把这些变量进行增减的变化，按照上述事实，描述系统的运动方程应该不变，也就是我们观测的物理过程和结果都不会变。实际上，因为大变化都是小变化积分而来，根据微分精神，我们只需要研究关于这些变量无穷小的变化，就能知道系统在这些变化下会不会不变了。

我们就以“生成元”来表示这些无穷小变化。

简单起见，我们先来研究一维空间的平移变化。

抽象的说，把空间平移变化记做一类算子，他的作用如下：

（1）

显然，就是把一个函数在坐标轴方向上整体平移移动了a。其中，U(a) 就是平移算符，a是无穷小变化的参数，是一个无穷小量。无穷小量的含义是，在所有接下来的分析中，我们只考虑他的一次项，高次项全部舍去，因为：

（2）

由（1）式，我们就能得到U(a) 在单位操作（也就是U(0)=I，零操作）附近的表达式，因为：

（3）

根据定义，在这个情况下，生成元就是：

，是一个微分算符。

一旦我们确定了生成元，我们就能写出任何参数下平移变换的表达式。不难看出，因为一个有限长的平移其实就是无穷个无穷小平移的叠加，根据算符的乘法操作：

（4）

微积分告诉我们：

（5）

不要害怕，算符的微分只需要把指数进行泰勒展开就可以了。很显然，这个有限长平移生成元算符，就是一个泰勒展开的微分算子，因为：

（6）

4 守恒量和Noether定理

知名美女数学家兼物理学家Noether在1910年代证明过一个突破性的定理，也就是所谓Noether定理。简而言之，也就是说，如果系统存在一个对称性，那么他就一定存在一个守恒量。所为守恒量，就是说在整个系统的演化过程中，这个量的值不变。而且，这个守恒量和生成元具有相同的代数性质（也就是相差一个常系数，显然，如果一个量守恒，那么这个量乘以一个常数，加上一个常数，也守恒。守恒量的表达式并非是唯一的。一个最著名的例子是，我们经常把任意的一个状态的能量，比如地球表面的重力势能，或者无穷远处的静电势能，或者基态的能量等，取做零，叫做选择参考面，这无非就是把能量减去一个常数）。

Noether说，对于每一个对称操作，系统具备的守恒量（在假定对称操作不影响L表达式的前提下）为：