王辉
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返回日志首页» 什么是傅立叶变换？（再修订版） | (分类:默认分类)
什么是傅立叶变换？
傅立叶变换(以下简称FT)学了有些年头，可是一直没有求甚解。如果有人问我，我只能写出个数学变换的式子，高深莫测一番，生怕追问下去。这样做，本质上就好像有人问，“什么是光？”答曰“从灯泡里出来的东西”一样，看似回答，却不得要领。因此，我写下这篇短文，试图通过图像来理解傅立叶变换。
1）“频率”概念的由来
首先要问，为什么需要FT？要回答这个问题，我们不妨用时间t与频率f之间的变换做例子。在量纲上，FT把一个量纲转换为它的倒数，频率=1/时间。这样做看不出来有什么意义。还是想想看真实世界里的例子吧！
凡有交流，就要传递信号。这种“交流”是指广义的，普遍的，无论是自然界里蝙蝠探路，人们互相交谈，还是卫星接收信号，都属于交流的范畴。为了传递信号，产生交流，我们需要以“波”作为信号的载体。最简单的波，就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波，人们说话，声带振动带动了空气疏密波（声波），卫星识别电磁波。这样，我们就有了频率的概念。更进一步，除了手机GHz的波这些经典电磁波，在量子世界里，原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说，自然选择了以这些单频的模式为基础。
2）信号的产生和分解
事实上，任何的信号，都可以分解为这些“单频模式”的和。举一个同样是分解为基本模式的过程的类比，来自电磁学。假设任何一个带电体，它上面电荷分布，则可以把它分解为点电荷（单极子）+偶极子+四极子。。。的情形。见下图。振幅A1为点电荷对应的“强度”，即电荷数，A2为电偶极矩大小，等等。这样，就可以用一系列数学形式简单且具有对称性的电荷分布，来近似的描述任意的电荷分布。所谓“描述”，指它们产生同样的电场分布。
与之类似的，任何信号，也可以按照频率来分解。举个实际的例子，击弦乐器——钢琴。琴弦被小锤敲击后，产生声音，见下图。
这个信号就可以分解为一系列的单一频率的信号的和。频率最低的叫做基音频，其他的频率都是它的整数倍，叫做泛音频。把上图写成式子，即
这里我们可以看到一个特点，就是泛音频平方衰减： 2倍频衰减为1/4，3倍频衰减为1/9，等等.
与击弦乐器相对比的，是拨弦乐器吉他。
由于拨弦与击弦的扰动方式不同，使得琴弦的振动呈四次方衰减。这也解释了为了么钢琴音色比吉他丰富：相对于钢琴，吉他的高频泛音衰减要快得多。
以上说明了信号在频率上产生，可以被频率分解的过程。接下来就是怎么测量这些信号了。
3）信号的测量
为了载有复杂信息，必须要有复杂信号。实际上，复杂信号的产生/传递，测量，都需要把它们分解为一系列频率来获得。下面以高纯锗探测器作为信号测量例子。
能量为E的光子打进来，与高纯度锗里的一个电子发生碰撞，E光子∝E电子。这个电子能量也很高，在锗里继续激发了一系列的电子-空穴对。高能量的电子能激发更多电子-空穴对，所以 E电子∝N，N即电子-空穴对数目。这些对，被高的偏置电压，快速拉走，作为电信号被放大，我们有N∝V，V即这些电子-空穴对们带来的电压。这个电压进入多道，如果电压落在了两个道之间，就认为电压是这个道对应的能量值。这样，我们就测量了Gamma 光子的能量。
好。那现在我们完成了一次信号测量的过程。这个信号的测量和FT有什么关系呢？实际上，我们已经不知不觉地做了一次傅立叶变换。
入射的光子是时间的函数，不同的时间有不同能量，不同数目的光子到达探测器。但是我们测量的是能量！与此同时，我们已经丢失了时间的信息。我们可以说，有多少光子处于某能量段，又有多少光子处于另一个能量段，也就是能谱。但是我们不知道光子是什么时候到达的。当我们测量时间变得很长的时候，能谱的相对误差就会变小。如果我们测量1分钟，那我们可以说所有被记录的粒子都在这一分钟里到达，也就是还含有1分钟为时间分辨率的信息；但是如果我们测量1年（如某些宇宙射线），在这一年里不看能谱；一年后再看能谱时，全然不知道能谱上哪段能量的粒子的先来后到。换句话讲，我们对时间进行了积分。如果我们说一月观察一次，二月再看一次谱，实际上时间分辨率已经不是一年，而是1个月了。也正因为如此，实验家喜欢测量时间分辨的能谱，甚至愿意把1小时测量分解为60个1分钟来做：我们把每分钟的谱相加，就得到了1小时的谱；但反过来却做不到了。扯远了，在这里，我们不考虑实验方法，只是说得到一个可靠的能谱，就要测量很长时间，就是对时间积分。而探测器的测量过程：测量很长时间(∫dt)，观察能谱，就是做了一次FT。也就是说，FT并非人为的，数学上的发生，而是自然而然发生了的。
信号传播在时间里，但是能谱却从能量（频率）来记录，就是一种傅立叶变换。
5） 现在我们就可以写出FT的数学形式了，对于信号F(t)，我们有
信号F(t)在时间里产生，却通过G(w)的分析得到。我们无法做到每一时刻都去做测量；但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。这里的相位因子是复数，这是因为我们不只对钢琴弦振动有兴趣，还有量子现象。关于虚数i很难讲很多，因为我个人除了知道它的平方等于-1，什么也不知道。
6) 更进一步的例子：坐标—动量空间
除了时间—频率分析之外，波矢k与坐标r量纲互逆，也有FT关系。这里用量子力学来做例子。
产生一个动量为k的粒子需要一个产生算子，而产生一个位置处于r处的粒子需要，它们之间为FT关系：
这是一件很不可思议的事情！只看第二式。我们通过产生一定动量的粒子，唯一的信息就是知道粒子的动量。怎么可能知道它的坐标在哪里！
实际上，我们将要知道的并非“该粒子”的坐标。我们已经有的也并非产生了“一定动量”的粒子，而是产生了所有动量的粒子：注意已经对k积分。
同样的事情发生在第一式。如下图。
假设坐标空间里，粒子被产生；所有位置都产生一个粒子。但是这些粒子并不是孤立产生的：它们之间相差一个相位。假设都按照均匀的相位差产生，某段空间间隔之后，产生的粒子又周期性的在同一状态。在r处的粒子，和在r’处的粒子态，仅由于空间不同，相差的相位为exp(i*k*(r-r'))。这并不神秘。联想杨氏双缝干涉实验，从两个不同的空出射的光，由于孔位置不同，两束光本身就有相位差。回到粒子态来。假设粒子A产生于rA, B产生于rB, A’产生于rA’, B’产生于rB’，当rA-rB =rA’ -rB’ 成立时，如果AB的相位差与A’B’的相位差相等，而且对全空间所有的点A，B都成立，则我们就定义了一个均匀的波数（动量）。
7) 结语
在散射谱学里（参见我的另一篇文章《散射谱学》），就是FT的另一个例子。比如非弹性X-光散射，测量的光子活在时间和空间里，但是测量却很自然的做了两次FT，使得测量的是动量q和能量w转移。均匀介质不发生散射，散射是由于非均匀性才导致的；大的不均匀就导致大的散射强度。比如均匀的水，清澈无比的透光，而天上的云，密度不均匀就发生散射。散射强度I∝<n(q,w)n(-q,w)>，n为密度。注意这里的关联函数，仍旧是活在做过FT的动量－能量空间里。
码字画图辛苦，欢迎提意见，欢迎转贴。谢谢。
Discussion
Q:“我们无法做到每一时刻都去做测量；但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。”一个多道放在那里测量一年，如何根据能谱能够反推出这一年来的宇宙射线随时间变化？ 假定一月份过来的光子和二月份的对换，多道测得的能谱又不会变化。
A: time resolved是时间分辨，假设我们放着多道一年不管它，测量就是对一年积分；但是如果每个月看一次，就把时间分辨率变成了每个月了！为了得到1年的能谱，可以把每个月相加；但是单单从一年的能谱里，我们却没有每个月的时间信息。time resolve是很重要的谱学，比如即使用高纯Ge测量1小时的数据量，做实验的时候也会把它分成60个1分钟来做，这样比如第37分钟来了外界噪声，仪器发疯，我们就能从这段时间的谱来看出，然后把这个剔除掉，对于稳定源，如果能谱不遂时间变化（每分钟都一样），我们就知道仪器没发疯，没有噪声，因此进一步知道测量可靠；如果只看1小时的，就不知道了。另一方面，如果要测量动力学过程，就需要让能谱随着时间变。这里傅里叶变换丢失时间信息的意思是，假设我们手上有的谱是一年的，我们不知道哪个粒子是一年中哪个月打进来的光子；如果我们的谱的时间分辨率为1个月，我们也不知道是哪一天打进来的光子。如果我们的谱的时间是1天，我们知道是哪天进来的，但是这时能谱就没有那么准确了，因为误差和1/sqrt(N)，N很小了，误差就大了：当我们获得时间信息时，就丢失了能量信息。所以，一张准确的能谱，就要把时间信息加起来，丢失掉它们，换取了能量信息。
傅立叶变换(以下简称FT)学了有些年头，可是一直没有求甚解。如果有人问我，我只能写出个数学变换的式子，高深莫测一番，生怕追问下去。这样做，本质上就好像有人问，“什么是光？”答曰“从灯泡里出来的东西”一样，看似回答，却不得要领。因此，我写下这篇短文，试图通过图像来理解傅立叶变换。
1）“频率”概念的由来
首先要问，为什么需要FT？要回答这个问题，我们不妨用时间t与频率f之间的变换做例子。在量纲上，FT把一个量纲转换为它的倒数，频率=1/时间。这样做看不出来有什么意义。还是想想看真实世界里的例子吧！
凡有交流，就要传递信号。这种“交流”是指广义的，普遍的，无论是自然界里蝙蝠探路，人们互相交谈，还是卫星接收信号，都属于交流的范畴。为了传递信号，产生交流，我们需要以“波”作为信号的载体。最简单的波，就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波，人们说话，声带振动带动了空气疏密波（声波），卫星识别电磁波。这样，我们就有了频率的概念。更进一步，除了手机GHz的波这些经典电磁波，在量子世界里，原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说，自然选择了以这些单频的模式为基础。
2）信号的产生和分解
事实上，任何的信号，都可以分解为这些“单频模式”的和。举一个同样是分解为基本模式的过程的类比，来自电磁学。假设任何一个带电体，它上面电荷分布，则可以把它分解为点电荷（单极子）+偶极子+四极子。。。的情形。见下图。振幅A1为点电荷对应的“强度”，即电荷数，A2为电偶极矩大小，等等。这样，就可以用一系列数学形式简单且具有对称性的电荷分布，来近似的描述任意的电荷分布。所谓“描述”，指它们产生同样的电场分布。
与之类似的，任何信号，也可以按照频率来分解。举个实际的例子，击弦乐器——钢琴。琴弦被小锤敲击后，产生声音，见下图。
这个信号就可以分解为一系列的单一频率的信号的和。频率最低的叫做基音频，其他的频率都是它的整数倍，叫做泛音频。把上图写成式子，即
这里我们可以看到一个特点，就是泛音频平方衰减： 2倍频衰减为1/4，3倍频衰减为1/9，等等.
与击弦乐器相对比的，是拨弦乐器吉他。
由于拨弦与击弦的扰动方式不同，使得琴弦的振动呈四次方衰减。这也解释了为了么钢琴音色比吉他丰富：相对于钢琴，吉他的高频泛音衰减要快得多。
以上说明了信号在频率上产生，可以被频率分解的过程。接下来就是怎么测量这些信号了。
3）信号的测量
为了载有复杂信息，必须要有复杂信号。实际上，复杂信号的产生/传递，测量，都需要把它们分解为一系列频率来获得。下面以高纯锗探测器作为信号测量例子。
能量为E的光子打进来，与高纯度锗里的一个电子发生碰撞，E光子∝E电子。这个电子能量也很高，在锗里继续激发了一系列的电子-空穴对。高能量的电子能激发更多电子-空穴对，所以 E电子∝N，N即电子-空穴对数目。这些对，被高的偏置电压，快速拉走，作为电信号被放大，我们有N∝V，V即这些电子-空穴对们带来的电压。这个电压进入多道，如果电压落在了两个道之间，就认为电压是这个道对应的能量值。这样，我们就测量了Gamma 光子的能量。
好。那现在我们完成了一次信号测量的过程。这个信号的测量和FT有什么关系呢？实际上，我们已经不知不觉地做了一次傅立叶变换。
入射的光子是时间的函数，不同的时间有不同能量，不同数目的光子到达探测器。但是我们测量的是能量！与此同时，我们已经丢失了时间的信息。我们可以说，有多少光子处于某能量段，又有多少光子处于另一个能量段，也就是能谱。但是我们不知道光子是什么时候到达的。当我们测量时间变得很长的时候，能谱的相对误差就会变小。如果我们测量1分钟，那我们可以说所有被记录的粒子都在这一分钟里到达，也就是还含有1分钟为时间分辨率的信息；但是如果我们测量1年（如某些宇宙射线），在这一年里不看能谱；一年后再看能谱时，全然不知道能谱上哪段能量的粒子的先来后到。换句话讲，我们对时间进行了积分。如果我们说一月观察一次，二月再看一次谱，实际上时间分辨率已经不是一年，而是1个月了。也正因为如此，实验家喜欢测量时间分辨的能谱，甚至愿意把1小时测量分解为60个1分钟来做：我们把每分钟的谱相加，就得到了1小时的谱；但反过来却做不到了。扯远了，在这里，我们不考虑实验方法，只是说得到一个可靠的能谱，就要测量很长时间，就是对时间积分。而探测器的测量过程：测量很长时间(∫dt)，观察能谱，就是做了一次FT。也就是说，FT并非人为的，数学上的发生，而是自然而然发生了的。
信号传播在时间里，但是能谱却从能量（频率）来记录，就是一种傅立叶变换。
5） 现在我们就可以写出FT的数学形式了，对于信号F(t)，我们有
信号F(t)在时间里产生，却通过G(w)的分析得到。我们无法做到每一时刻都去做测量；但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。这里的相位因子是复数，这是因为我们不只对钢琴弦振动有兴趣，还有量子现象。关于虚数i很难讲很多，因为我个人除了知道它的平方等于-1，什么也不知道。
6) 更进一步的例子：坐标—动量空间
除了时间—频率分析之外，波矢k与坐标r量纲互逆，也有FT关系。这里用量子力学来做例子。
产生一个动量为k的粒子需要一个产生算子，而产生一个位置处于r处的粒子需要，它们之间为FT关系：
这是一件很不可思议的事情！只看第二式。我们通过产生一定动量的粒子，唯一的信息就是知道粒子的动量。怎么可能知道它的坐标在哪里！
实际上，我们将要知道的并非“该粒子”的坐标。我们已经有的也并非产生了“一定动量”的粒子，而是产生了所有动量的粒子：注意已经对k积分。
同样的事情发生在第一式。如下图。
假设坐标空间里，粒子被产生；所有位置都产生一个粒子。但是这些粒子并不是孤立产生的：它们之间相差一个相位。假设都按照均匀的相位差产生，某段空间间隔之后，产生的粒子又周期性的在同一状态。在r处的粒子，和在r’处的粒子态，仅由于空间不同，相差的相位为exp(i*k*(r-r'))。这并不神秘。联想杨氏双缝干涉实验，从两个不同的空出射的光，由于孔位置不同，两束光本身就有相位差。回到粒子态来。假设粒子A产生于rA, B产生于rB, A’产生于rA’, B’产生于rB’，当rA-rB =rA’ -rB’ 成立时，如果AB的相位差与A’B’的相位差相等，而且对全空间所有的点A，B都成立，则我们就定义了一个均匀的波数（动量）。
7) 结语
在散射谱学里（参见我的另一篇文章《散射谱学》），就是FT的另一个例子。比如非弹性X-光散射，测量的光子活在时间和空间里，但是测量却很自然的做了两次FT，使得测量的是动量q和能量w转移。均匀介质不发生散射，散射是由于非均匀性才导致的；大的不均匀就导致大的散射强度。比如均匀的水，清澈无比的透光，而天上的云，密度不均匀就发生散射。散射强度I∝<n(q,w)n(-q,w)>，n为密度。注意这里的关联函数，仍旧是活在做过FT的动量－能量空间里。
码字画图辛苦，欢迎提意见，欢迎转贴。谢谢。
Discussion
Q:“我们无法做到每一时刻都去做测量；但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。”一个多道放在那里测量一年，如何根据能谱能够反推出这一年来的宇宙射线随时间变化？ 假定一月份过来的光子和二月份的对换，多道测得的能谱又不会变化。
A: time resolved是时间分辨，假设我们放着多道一年不管它，测量就是对一年积分；但是如果每个月看一次，就把时间分辨率变成了每个月了！为了得到1年的能谱，可以把每个月相加；但是单单从一年的能谱里，我们却没有每个月的时间信息。time resolve是很重要的谱学，比如即使用高纯Ge测量1小时的数据量，做实验的时候也会把它分成60个1分钟来做，这样比如第37分钟来了外界噪声，仪器发疯，我们就能从这段时间的谱来看出，然后把这个剔除掉，对于稳定源，如果能谱不遂时间变化（每分钟都一样），我们就知道仪器没发疯，没有噪声，因此进一步知道测量可靠；如果只看1小时的，就不知道了。另一方面，如果要测量动力学过程，就需要让能谱随着时间变。这里傅里叶变换丢失时间信息的意思是，假设我们手上有的谱是一年的，我们不知道哪个粒子是一年中哪个月打进来的光子；如果我们的谱的时间分辨率为1个月，我们也不知道是哪一天打进来的光子。如果我们的谱的时间是1天，我们知道是哪天进来的，但是这时能谱就没有那么准确了，因为误差和1/sqrt(N)，N很小了，误差就大了：当我们获得时间信息时，就丢失了能量信息。所以，一张准确的能谱，就要把时间信息加起来，丢失掉它们，换取了能量信息。
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回复陆年华♂Ken：你说的是一个特别好的粒例子，也是我讲得特别不好的地方。time resolved是时间分辨，假设我们放着多道一年不管它，测量就是对一年积分；但是如果每个月看一次，就把时间分辨率变成了每个月了！为了得到1年的能谱，可以把每个月相加；但是单单从一年的能谱里，我们却没有每个月的时间信息。time resolve是很重要的谱学，比如即使用高纯Ge测量1小时的数据量，做实验的时候也会把它分成60个1分钟来做，这样比如第37分钟来了外界噪声，仪器发疯，我们就能从这段时间的谱来看出，然后把这个剔除掉，对于稳定源，如果能谱不遂时间变化（每分钟都一样），我们就知道仪器没发疯，没有噪声，因此进一步知道测量可靠；如果只看1小时的，就不知道了。 -
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