愛因斯坦 每個電子在離開物體時必須做功P，此功為該物質的特徵值,玻色統計與愛因斯坦

物理雙月刊（廿七卷五期）2005 年10 月

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一個關於光的產生與轉換之啟發性看法

文/亞伯特‧愛因斯坦（翻譯/崔豫笳）

物理學家對氣體和其它有質量的物體在理論上

的描述和馬克斯威爾在所謂空曠的空間中對電磁變化

的理論有著根本形式上的不同。既然我們假設一個物

體的狀態是完全由數目儘管很大，但還是有限的原子

和電子的位置和速度所決定，當我們用連續空間函數

來決定空間中的電磁態時，有限多的變數就不足以完

全確定空間中的電磁態。根據馬克斯威爾的理論，對

所有純粹的電磁現象來說，其能量必須被視為空間中

的連續函數，光也是如此。然而按照當今物理學家的

觀點，有質量的物質其能量可寫作原子和電子能量之

和。有質量的物質之能量不能被分為任意多，任意小

部分，然而根據馬克斯威爾的理論（或總的來說根據

任何波動理論），點光源發出的光線能量是連續地分佈

在一個不斷增加的體積中。

在空間中以連續函數來運行的光波動理論已被極

好地證實可描述純光學現象，可能永遠也不會被另一

個理論所取代。可是大家應該記得光學上的觀測屬於

時間平均值，不是瞬間值。儘管對繞射，反射，折射，

色散等等理論有完整的實驗驗證，我們還是完全可以

想像如果把用空間中連續函數描述光的理論應用到光

的產生與轉化的現象中，理論會導致與經驗相矛盾。

事實上，我覺得以光的能量在空間中非連續分佈

的設想為依據，黑體輻射、光致發光、紫外線產生的

陰極射線和其他有關光的產生或轉化的觀測可獲得更

好的理解。根據這裡考慮的假設，當從一個點光源發

出的光線在傳播時，其能量不是連續分佈在一個不斷

增加的體積中，而是由有限數目的能量量子所組成，

在空間中是定域的，在運動中沒有被分割，只能當作

整體被吸收或發射。

接著，我會說明導致我得到這個結論的一系列想

法和事實，希望下面的看法會對有些研究者的調查研

究有所幫助。

1. 有關黑體輻射理論上的困難

首先我們接受馬克斯威爾的理論和電子理論，並

考慮下列情形。假設在一個被反射牆壁完全包圍的體

積內，許多氣體分子和電子在自由運動，而且相互靠

近時互施守恆力，亦即與遵循氣體分子動力學理論的

氣體分子一樣互相碰撞。1 進一步假設有許多電子被

束縛在空間中相隔很遠的一些點，束縛力的大小與到

這些點的距離成正比，且方向指向這些點。同樣假設

自由分子和電子只要一接近這些束縛電子就會產生遵

守守恆定律的作用。我們稱束縛在那些點的電子為“諧

振子”；他們發射和吸收具有特定週期的電磁波。

根據目前對光發射的理解，所考慮的體積內的輻

射， (基於馬克斯威爾理論可以找到動態平衡下的描

述) 必須與黑體輻射完全相同 ── 至少如果考慮我

們假設所有頻率的諧振子都存在。

我們暫時忽略諧振子所發射和吸收的輻射，並尋

找對應於分子和電子間作用（碰撞）的動態平衡條件。

氣體動力學理論顯示這個條件是諧振子的平均動能必

須等於對應於氣體分子平移運動的平均動能。如果把

諧振電子的運動分解成三個方向互相垂直的振盪，我

們發現這樣的線性振盪運動的能量平均值為：

T ,

N

E = R

其中R 是氣體常數，N 是一個克當量的實際分子數，

T 是絕對溫度。能量E 等於一個自由單原子分子的動

1 這個假設和前面所講在溫度平衡下氣體分子和電子的平

均動能相等是一樣的。眾所周知德魯特（Drude）先生已經

由此在理論上推導出金屬的導熱和導電性。

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能的2/3，因為諧振子的時間平均動能和位能相等。如

果，因為某些理由（這裡是因為輻射的影響）我們設

法讓諧振子的時間平均能量大於或小於E ，諧振子與

自由電子和分子間的碰撞就會導致由氣體得到或失去

能量，且能量交換平均值不為零。這樣在我們考慮的

情形下，只有每個諧振子平均能量都為E ，動態平衡

才有可能。

我們現在可以將相似的論點應用在諧振子和空間

中存在的輻射間的作用上。蒲朗克先生已經導出在這

種情況情下動態平衡的條件1假設已知輻射是可想像

的最隨機的過程。2 他得到；

2 v . ρ

πν ν 8

E L

3

=

Eν 為具有本徵頻率ν（每個振盪分量）的諧振子的平

均能量，L 是光速，ν是頻率，ρ

vdv 是頻率在v 和v+dv

之間的輻射之單位能量。

如果頻率為ν的輻射能量不遞增或遞減，我們必須

有

,

8

T E E L

N

R 2 v

3

v ρ

πν

= = =

T.

L

8

N 3

πν 2 ρ R v =

1 M. Plank, Ann Physik 1, p.99, 1990.

2 我們可以如下把這個假設公式化。把在空間已知點之電力

的分量（Z）在時間t = 0 至t = T （T 指與所有振盪週期相

比都很大的時間）間做傅立葉展開

),

T

Z A sin( 2 t

v 1

v v Σ∞

=

= πν +α

其中Av ≥0, 0 ≤αv ≤2π。對空間的同一點，我們認為這樣的

展開是用任意次數，任意選擇的起始時間得到的。在那種狀

況下，量Av 和α

v 的不同組合的頻率在（統計上）的機率dW

為：

dW f ( A ,A ,..., , ,...)dA dA ...d d , 1 2 1 2 1 2 1 2 = α α α α

輻射是現在可想像的最隨機過程，如果

f ( A ,A ,..., , ,...) F ( A )F ( A )... f ( ) f ( )..., 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 α α = α α

也就是，當給定一個A 或α值的機率獨立於其他A 或α值，

越接近不同組的Av 和 αv 值由特定組的諧振子的發射和吸收

來決定這個條件，我們越可以確定地說在我們處理的這個情

況下輻射可以被視為可想像的最隨機事件。

我們從動態平衡得到的這個關係不只缺乏與實驗

的一致性，而且顯示在我們的狀況下毫無疑問以太和

物質之間有特定的能量分佈。我們選擇的諧振子的頻

率範圍越大，空間中的輻射能量就越大，在極限下我

們得到；

T d .

L

8

N

d

0

2

0 3

∫ = ∫ = ∞ ∞ ∞ ρ ν R π ν ν v

2. 有關蒲朗克基本量子的建立

下面我們會證明蒲朗克所給出的基本量子，在某

種程度上，跟他所提出的黑體輻射理論是獨立的。

目前為止，蒲朗克的ρ

v 公式與所有的實驗都符合

,

e / T 1

3

v −= βν

ρ αν

其中α = 6.10×10−56 , β = 4.866 ×10−11.

對於很大的T/v，即長波長與高密度的輻射，此

公式在極限下可寫成如下形式

2T.

v ν

β

ρ =α

我們可看出這個公式與第一節中從馬克斯威爾及電子

理論所導出的結果是一致的。令兩公式中的係數相

等，我們得到

β

π =α L3

8

N

R

或 6.17 10 ,

L

N 8 R 23

3 = π = ×

α

β

亦即，一個氫原子的重量為1/N = 1.62 x 10-24 g。這與

蒲朗克先生得出的值絲毫不差，並與由其他方法得到

的值也很吻合。

於是我們得到這個結論：輻射的能量密度越高，

波長越長，我們所用的理論原則就越有用；然而對短

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波長和低能量密度的輻射則此原則完全失敗。

下面我們將不涉及輻射的產生和傳播，僅基於經

驗來考慮黑體輻射。

3. 有關輻射的熵

下面的討論包含在維恩先生一篇著名的文章中，

為了討論的完整性而在此提及。

假設輻射佔據體積υ，再假設如果我們知道所有

頻率的輻射能量ρ(ν)，則此輻射的可觀測性質都可以

完全確定。1 我們可假設不用作功或熱量就可以將不

同頻率的輻射分開那麼輻射的熵就可寫成如下形式

∫∞ =

0

S υ φ (ρ ,ν )dν

φ是變數ρ 和ν 的函數。這時只有把絕熱壓縮不會改變

反射牆之間的輻射熵的闡述寫成公式才能將φ簡化成

只有一個變數的函數。不過我們不想探究這個，而是

立即研究如何從黑體的輻射定律來得到函數φ。

對黑體輻射來說，ν 的函數ρ 能夠滿足在特定能

量時熵最大，即

( , )d 0,

0

∫ = ∞ δ φ ρ ν ν

如果 d 0.

0

∫ = ∞ δ ρ ν

從這些可得對ν 的任意函數δρ有

( ) d 0,

0

−=

∂

∂ ∫∞ λ δρ ν

ρ

δ φ

λ與ν 無關。對黑體輻射而言，

ρ

φ

∂

∂ 亦與ν 無關。

如果在體積υ = 1 中之黑體輻射的溫度增加dT，

我們可以得到公式

1 這是一個任意的假設。當然我們要用最簡單的假設，除非

實驗迫使我們放棄它。

dS d ,

0 ∫ =∞

= ∂

= ∂ ν

ν

δρ ν

ρ

φ

或因為

ρ

φ

∂

∂ 與ν 無關而得到

dS dE.

ρ

φ

∂

= ∂

由於dE 等於傳遞的熱量且過程可逆，我們同樣有

dE.

T

dS = 1

經過比較我們得到

.

T

= 1

∂

∂

ρ

φ

這就是黑體輻射定律。這樣我們可以從函數φ得到黑體

輻射定律，也可以反向地藉由積分而求得到函數φ。要

記得的是在ρ = 0 時φ會消失。

4. 單色輻射熵在低輻射密度下之極限定律

從目前對黑體輻射所做的觀測可以很清楚地看出

最早由維恩先生提出的定律

ρ =αν 3e−βν / T

並不完全正確。然而當ν/T 很大時，此公式與實驗完

全吻合。我們將在此公式的基礎上做計算，不過記得

此結果只在特定範圍內才成立。

首先，我們從前式得到

3 1 ln

T

1

αν

ρ

βν

= −然後，如果我們帶入前面章節的關係式則可得到

( , ) ln 1 . 3 = −−αν

ρ

βν

φ ρ ν ρ

現在假設輻射能量為E，頻率在v 與v+dv 之間且輻射

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體積為υ。則此輻射的熵為

S ( , )d E ln E 1 . 3 = = −−βν υαν

υφ ρ ν ν

如果我們只研究熵與輻射所佔據的體積之間的關係，

且如果輻射所佔據的體積為υ

0 所對應的熵為S0，則可

得到

S S E ln .

0

0 υ

υ

βν

−=

此方程式顯示密度足夠小的單色輻射熵隨體積的改變

與理想氣體或稀釋溶液的熵遵從同樣的定則。波茲曼

先生將系統的熵是其狀態機率之函數的原理引入物理

學，剛才找到的方程式將在此原理的基礎上來解釋。

5. 分子理論對氣體和稀釋溶液的熵與體積關係

的研究

分子氣體理論在計算熵的時候，"機率"這個詞的

用法在某種程度上和概率論中的機率之定義不盡相

同。特別是在不需假設，用理論模型就足以確定地推

導機率的情形下"相同機率的情況"還是被假設決定

的。我將在另外一篇文章裡證明在考慮熱現象時所謂

的統計機率是完全夠用的，我並希望這樣可以解決一

個妨礙波茲曼原理一貫應用的邏輯困難。目前，我仍

然將廣義的公式和其應用運用在很特殊的例子上。

如果討論系統的狀態之機率有意義的話，進一

步，如果熵增加可視為系統進展到一個更可能的狀

態，系統的熵S1 會是其瞬間狀態機率W1 的函數。所

以，如果我們有兩個系統互相沒有相互作用，我們可

以說

S (W ), S (W ). 1 1 1 2 2 2 =φ =φ

如果我們將這兩個系統看作單一系統其熵為S，機率

為W，我們有

= + = = ⋅⋅1 2 1 2 S S S φ (W ) and W W W

最後的式子陳述這兩個系統是不相關的。

從這些方程式可得出

(W W ) (W ) (W ) 1 2 1 1 2 2 φ ⋅=φ +φ

因此終於得到

= + const, 1 1 1 φ (W ) ClnW

= + const, 2 2 2 φ (W ) ClnW

φ (W ) = ClnW + const.

其中C 的值是一個普適常數；從氣體動力學可知其值

為R/N，常數R 和N 的意義和上面一樣。如果S0 是所

考慮的系統某個初始狀態的熵，是具有熵S 的狀態之

相對機率，一般來說有

lnW.

N

S S R 0 −=

我們現在考慮如下特殊情況。讓我們考慮在體積

υ0

內有數目n 個運動的點（如分子）。除此之外，這

個空間中可能還有某些種任意多的其他在運動的點。

對於這些點在空間運動所遵循的定律，我們不做任何

假設，除了對他們的運動來說，空間的所有地方，及

方向都是（沒有優先權的）一樣的。此外，我們最初

提到的那些點的數目很小以致於我們可以忽略他們間

的相互作用。

我們所考慮的系統可能是，比如說，理想氣體或

稀釋溶液對應著一定的熵S0。現在考慮如下情形，所

有運動的點都在體積υ

0 的部分υ中，系統除此之外沒

有改變。明顯的這個狀態對應於一個不同的熵S，我

們現在應用波茲曼原理決定熵的改變量。

我們可以問這個狀態相對於原始狀態的機率有多

大？或在任意時刻所有n 個互相獨立的點（基於偶然）

都在體積υ中特定體積υ

0 中的機率有多大？

此機率為"統計機率"，我們顯然得到此機率為

W ;

n

0

=

υ

υ

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運用波茲曼原理可以得到

ln .

N

S S R n

0

0 υ

−= υ

必須注意到沒有必要對分子運動定律作任何假設來得

到這個方程式。從這個方程式我們可以很容易地從熱

力學中導出Boyle-Gay-Lussac 定律和滲透定律。1

6. 波茲曼原理對與體積相關的單色輻射熵之表

達式的解釋

在第四節中，我們得到與體積相關的單色輻射熵

之表示方式

S S E ln .

0

0 υ

υ

βν

−=

如果我們將此方程式寫成

−=

βν

υ

υ R

NE

0

0 ln

N

S S R

並與一般表達波茲曼原理的公式比較

lnW

N

S S R 0 −=

我們即得到下列結論：

如果頻率為ν, 能量為E 的單色輻射被反射牆圍

在體積υ

0 中，那麼在任意時間所有輻射能量在體積υ

0

之一部分υ 的機率為

W .

R

NE

0

βυ

υ

υ

=

1 如果E 是系統的能量，我們有

d ;

N

d( E TS ) pd TdS RT n

υ

−−= υ = = υ

或 T.

N

pυ = R n

從此我們可以斷定：

只要維恩的輻射公式成立，從熱力學來看，低密

度單色輻射表現為由值為Rβv/N 的相互獨立的能量量

子組成。

我們現在想要比較"黑體"量子的平均值與相同溫

度下分子平移運動的平均動能。後者為3RT/2N，雖然

從維恩的公式我們得到能量量子的平均值為

T

N

3 R

e d

R

N

e d

0

3 T

0

3 T

=

∫

∫

∞ −∞ −αν ν

βν

αν ν

βν

βν

如果單色輻射，假設密度夠低，且只是在熵與體

積的關係範圍內考慮，表現為由值為Rβv/N 的能量量

子組成的不連續介質，我們就有理由去研究光的產生

與轉換定律是否表明光是由這樣的能量量子所組成

的。下面將討論這個問題。

7. 有關斯托克斯法則 （Stokes’Rule）

考慮單色光通過光致發光變成另一個頻率的光；

依照我們才得到的結果，我們假設原始和改變後的光

都由大小為(R/N)βv 的能量量子組成，ν 是對應的頻

率。我們則必須如下解釋轉變的過程。每個初始頻率

為ν

1 的能量量子都被吸收（至少當初始能量量子的分

佈密度足夠低時）且單獨導致產生一個頻率為ν

2 的光

量子；可能在吸收初始光量子過程中同時還產生頻率

為ν

3，ν

4 的光量子及生成其它形式的能量（如熱能）。

通過那種中間步驟帶來最後的結果並不重要。除非我

們能把光致發光物質當作一個持續的能量來源，否則

根據能量守恆定律，最後的光量子能量不能大於初始

光量子能量；這樣我們必須得到如下條件

N

R

N

R

βν 2 ≤βν 1 或 ν 2 ≤ν 1.

這是就是眾所周知的斯托克斯法則。

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我們必須強調根據我們的觀念，當其它條件相同

時，所產生的光亮度必須與照明較弱時的入射光強度

成正比，因為每個初始量子會造成一個如上所述的過

程且與其它入射的能量量子行為無關。特別是，入射

光的強度沒有低於一定下限則不能產生光致發光的限

制。

根據上面對此現象的觀點，可以想像在下列情形

中會出現與斯托克斯法則相左的情況；

1. 當單位體積中涉及到變換的能量量子數目

太大以致於所產生的光之能量量子可能從

幾個初始能量量子獲得能量。

2. 當初始（或最終）的光能量特性不具備維恩

定律之"黑體輻射"特徵；舉例來說，當產生

初始光的物體溫度太高以致對所考慮的波

長而言維恩定律不再適用。

最後這個可能性需要特別注意。根據上面得到的

觀點，不能排除"非維恩輻射"，即使高度稀釋，也與

在維恩定律成立的區域中的"黑體輻射"在能量上表現

不同。

8. 有關固體照明所產生的陰極射線

正如同在勒納（Lenard）先生先驅性的文章裡所

指出1，當我們試圖以光的能量是在其通過的空間裡連

續分佈的這個慣用觀念來解釋光電效應時，就會遇到

極大的困難。

根據入射光是由能量為Rβv/N 的能量量子組成的

概念，我們可以如下描述光激發所產生的陰極射線。

能量量子穿透進入物體的表層，其能量至少部分地轉

為電子動能。最簡單的情況是光量子把所有的能量傳

給一個電子；我們假設這是所發生的情形。然而我們

必須不排除電子只接受部分光量子能量的可能性。當

一個電子從物體內部獲得動能到達表面時，已經失去

部分動能。此外，我們須假設每個電子在離開物體時

1 P. Lennard, Ann. Physik 8, 149 (1902).

必須做功P，此功為該物質的特徵值。在表面與在適

當角度受激發的電子會以最大法向速度離開物體。這

些電子的動能為

V P.

N

R β −如果物體帶正電位П並為零電位的導體包圍，且

П的大小剛好可以阻止電子脫離該物體，我們一定可

得

P

N

Πε = R βν −ε 是電子的帶電量。或

ΠE = Rβν −P'

E 是一克當量的單價電子所帶的電量，P'是等量負電

相對於物體的電位。2

如果我們設E = 9.6 x 103, Пx10-8 則是物體在真空

中被照射時的電位，單位為伏特。

現在為了看這裡所導的關係式在數量級上是否與

實驗相符，我們讓P' = 0, ν = 1.03 x 1015(對應於太陽光

譜的紫外極限)，β = 4.866 x 10-11.我們得到Пx 103 =

4.3 伏特，此結果在數量級上與勒納先生的結果吻合。

如果這裡推導的公式正確，那麼當在狄卡爾座標

下將其畫作入射光頻率的函數時，П一定是條直線，

其斜率與所用物質特性無關。

在我看來，我們的觀點和勒納先生的所觀測的光

電效應行為之性質並沒有相抵觸。如果入射光的每一

個能量量子都傳遞能量給電子，且此過程與其他量子

無關，電子的速度分佈，及由此得到的陰極射線輻射

的特性，會與入射光的強度無關；另一方面，其餘情

況相同下，離開物體的電子數應當與入射光的強度成

正比。

2 如果我們假定從中性分子釋放一個電子要做一定量的

功，則不需要改變這個關係式；我們只需要將P'看成是兩項

之和。

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從這些法則必然遭遇的極限來說，我們可以用類

似於解釋斯托克理論必然會出現偏離的說法來解釋。

前面，我們假定至少入射光的部分能量量子總是

把能量完全傳給一個電子。如果不做這樣明顯的假

設，我們得到的不是前面的方程式，而是如下的式子

ΠE + P' ≤Rβν .

對陰極發光，我們剛才討論的情形的反過程，我

們有相似的論證

ΠE + P' ≥Rβν .

勒納先生研究的那些物質，其ПE 總是比Rβv 大得多，

因為即使要產生可見光，陰極要通過的電壓有幾百，

甚至幾千伏特。我們須假設一個電子的動能被用來產

生多個光能量量子。

9. 有關紫外線電離氣體

我們必須假設當氣體被紫外線電離時，總是一個

被吸收的光能量量子用來電離一個氣體分子。從此得

出首先分子所有的電離能（即理論上電離所需要的能

量）不能比一個有效的，被吸收的光能量量子能量大。

如果J 表示每克當量（理論的）電離能，我們一定有

Rβν ≥J .

根據勒納的量測，空氣中最大有效波長大約是1.9 x

10-5 cm 或

Rβν = 6.4×1012 Erg ≥J .

從稀釋氣體的電離電壓可以得到電離能的上限。

據史塔克（J. Stark）1所言，測量到（鉑陽極）的最小

電離電壓大約為10 伏特2。我們從而得到J 的上限為

9.6 x 1012,大約與觀測值相等。還有另一結果，在我看

來用實驗來證實它很重要。如果每個吸收的光能量量

子電離一個分子，吸收的光之強度L 與被光電離的莫

1 J. Stark, Die Elektrizität in Gasen, Leipzig, 1902, p. 57.

2 在氣體內，負離子的電離電壓要比這大五倍。

耳數j 間應存在以下關係

.

R

j L

βν

=

如果我們的觀念與現實相符，此關係式應對任何沒有

電離就沒有可觀（在相應頻率）吸收的氣體都成立。

譯者簡介

崔豫笳，美國奧瑞岡大學物理博士，研究專長為生物

物理與單分子測量。現為清華大學生醫工程與環境科

學系客座專家。

Email: yjcui@mx.nthu.edu.tw

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玻色統計與愛因斯坦

我冒昧地寄上這篇論文，請您指教並靜候您的回音。我很想知道您對這篇論文的看法。在這論文中，我試著不用古典電動力學，而僅假設相空間（phase space）的最基本單位是ｈ³，去推導蒲朗克（Planck）定律中的係數 8πν²/c³。我的德文能力不好，無法把它譯成德文，如果您覺得它還有價值，可否請您把它譯出並發表於物理學刊上？

我們雖然素昧平生，但我仍毫不遲疑地做此不情之請，因我們全是您的學生，從您的文章中得到您的教導，所以我毫不猶豫地求助於您。也許您還記得有個加爾各答來的人，請您允許把您的廣義相對論論文翻譯成英文，那就是在下。

您忠實的玻色（Bose）

這是一個年輕人在 1924 年時寫給愛因斯坦的信件。為了使他投稿遭拒的論文能有面世的機會，他只能請求當時已享有盛名的愛因斯坦運用他的影響力，為他的論文平反。當時沒有人預料到這篇論文後來會發展成量子統計中著名的玻色－愛因斯坦統計，愛因斯坦並在之後擴展這篇論文，預言了「玻色－愛因斯坦凝聚」的現象。

黑體輻射及量子論

古典物理學家曾經對日常生活中處處可見的光，進行漫長的分析及理論爭辯。在 19 世紀下半，英國物理學家麥克斯威爾（James Clerk Maxwell, 1831-1879）發展出著名的麥克斯威爾方程式，詳細描述了電磁輻射在空間中運動傳播所需符合的種種法則，並把光和電磁現象統一起來，認為光就是一定頻率範圍內的電磁波。這一理論後來在 1887 年被德國科學家赫茲（Heinrich Rudolf Hertz, 1857-1894）的實驗證實了，說明了光其實是電磁波的一種，這時的古典物理理論已經發展到了極致。

然而在當時，古典物理學家卻面臨一個重大的困境：他們無法用古典理論，解釋物體所發出的電磁波波長與物體本身所具有的能量間的關係，包括敲開量子論大門的黑體輻射現象。

在說明什麼是黑體輻射前，先讓我們了解一下什麼是熱輻射。

世上的任一物體，在任何溫度（絕對零度除外）下都會放射能量，這種能量以電磁波的形式向外輻射，稱為輻射能，而這種現象稱為熱輻射。物體除了會向外輻射能量外，也會自外界的環境中吸收能量，當吸收的能量等於輻射的能量時，物體的溫度就保持一定，我們稱這物體達到了熱平衡。

當物體從外界吸收能量時，會有一部分的能量被吸收，同時也會有一部分的能量被表面反射。所謂的黑體，就是某種可以把照射在它表面上的所有輻射能（包括可見光）全部吸收的物體。因為沒有任何的反射光，所以這種物體看起來一定是黑的，故稱為黑體。

黑體處於熱平衡下，也會對外輻射，這時的輻射光完全是從黑體發出來的。由此我們知道它所發出的光．必與外界無關，而只與本身熱平衡時的溫度有關，也就是與它本身所含的能量有關。因此，可以透過對黑體所發出輻射光波長的研究，得知物體本身的能量與輻射光性質之間的關聯。

雖然在自然界並沒有絕對的黑體存在，那只是一種理想化的情況，但我們可以設計一個相當近似黑體的物體。假想一個物體是空心的，並在表面上開個小洞，如果那小洞夠小，則落在上面的輻射會在空腔裡反覆地反射，就像被小洞完全吸收了，沒有機會再從小洞跑出來。這個小洞就符合了黑體的定義。

反過來說，這個小洞也會因空腔本身的溫度而向外輻射能量，所輻射的光譜就表示著黑體輻射的特性，我們可藉由觀察這個小洞得知黑體所輻射出來的光的性質。這就意味著黑體輻射與構成物質的結構及性質無關，因為我們觀察的只是那個小洞。黑體這種特性使它成為討論電磁輻射時一個很方便的系統，因為它具有極高的普遍性，無論用哪一種物質製造的黑體，實驗都不會產生差異。

可是在當時，以古典理論計算出來的能量密度，雷利－金斯定律與溫氏定律（Rayleigh−Jeans Law and Wien's Law），卻怎麼都無法與實驗測得的黑體能量數據吻合。問題出在哪裡呢？沒有人說得準，蒲朗克就在這時提出了量子論的假設。當時的古典物理理論認為能量是連續分布的，黑體輻射出來的光波可以具有任意的能量值。蒲朗克的假設與古典理論最大的不同處，就是它推翻了這個認知，他認為能量的分布是量子化的。

蒲朗克認為黑體輻射是黑體內的粒子因為溫度而發生熱振盪時所產生的輻射波，他同時假設這些振盪子只能輻射出某特定值的正整數倍的能量。換言之，在古典理論中，能量值可以集合成一條數線，而在蒲朗克的假設裡，能量值的集合卻僅僅是數線上的正整數點而已。雖然蒲朗克的假設及其推導出的公式可以圓滿地解釋實驗所得到的數據，卻沒有人可以明確地說出這個假設的真正意義為何，包括他自己。

表面上蒲朗克好像圓滿地解決了黑體輻射的問題，但仔細思考就會發現他的解釋有矛盾的地方。在蒲朗克的假設裡，振盪子只會輻射出某些特定的能量，但當這些振盪子開始輻射能量時，它們遵守的卻是古典電磁學的規範。而古典電磁學的規範，要求的卻是振盪子輻射的電磁波能量是連續的，這就形成了矛盾：用一個並非存在於假設狀況的公式去驗證假設。這使得即使結果是正確的，卻無法建立一個有力的論證及有意義的物理概念。

也正因此，在他發表這項劃時代的想法時，並沒有馬上得到認同，因為連他自己都是一頭霧水。大家彷彿只能嘗試著加進各式各樣不同的限制及假設條件，來規範物質的法則，卻不一定知道自己在做什麼，而舊量子論及量子力學就是在這樣詭譎的氣氛中慢慢發展出來的。

到了 1905 年，愛因斯坦發表了一篇關於光電效應的論文，引用了蒲朗克所提出的假設，並加以闡述：電磁輻射不僅是能量呈現量子化，電磁輻射根本就是由有限數目、非連續的、不能再分割的能量子所組成的。這就說明了光在某些場合中，也會展現出像是一顆一顆粒子的性質，我們把它叫做光量子或光子。量子論的物理意義在此出現了曙光。

然而當時的學術界並無法立即接受愛因斯坦的說法，就連蒲朗克本人也無法認同，甚至認為那是錯誤的假設。蒲朗克曾這麼表示過：「愛因斯坦幾乎對他所有研究過的領域都做出了重要的貢獻，除了光的量子假設。然而我們不能怪他，因為在追求新穎的基礎科學理論時，一定需要擔待這樣的風險。」這段話充分表現了他對光量子說的反對立場。我們也可因此略為知道，當時學術界對光量子說所抱持的態度是多麼保留且質疑的。

然而玻色體認到愛因斯坦這篇論文的跨時代貢獻，於是他從另一種粒子統計的觀點，把這兩種概念結合在一起，再重新出發討論黑體輻射的能譜。就這樣，在 1924 年時，這篇僅 1,500 字題為〈蒲朗克定律及光量子的假設〉的論文，率先敲開了量子統計之門，並且為愛因斯坦提出的光量子說提供了更有力的證據。

玻色統計的內涵

玻色為了解決蒲朗克當時所遇到的困難，並避免在邏輯上出現矛盾，所採用的方法是，他並不從古典物理中的電磁波理論出發，而只是單純地從另一種觀點－－統計理論來著手。

玻色首先假設在黑體輻射內運動的是一顆一顆的光子（這想法當然來自愛因斯坦），然後引進一個嶄新的觀念，那就是它們都是不可分辨的。什麼叫不可分辨呢？就是我們無法說出它們之間有什麼不同，也無法替它們貼上標籤，這在排列組合的狀態計算中就與可分辨的粒子（即古典理論）有很大的不同。舉例來說，在學校生活中我們常會有分組的經驗，假設現在有一個老師要把三個學生分成兩邊，會有幾種分法呢？

我們可以分分看，總共應該會出現：ab│c、bc│a、ac│b、c│ab、a│bc、b│ac、abc│0 及 0│abc 共八種情形。但如果我們遇到一個不負責任的老師，他根本搞不清楚學生的名字，也不知道誰是誰，在他的眼中就會變成這樣：xx│x（左邊有兩人，右邊只有一人）、x│xx 、0│xxx 及 xxx│0 四種情形。

因為他不認識任何一個學生，無法說出學生的不同，所以在他的眼中，分辨學生這件事情是沒有意義的。這就是我們會得到不同答案的原因，而這也就是玻色統計中最主要的精神：光子是不可分辨的，我們永遠說不出來它們之間有何不同。所以在量子統計理論下，我們的眼睛就如同那不負責任的老師一般，只能看到四種情形而已。其實這與高中所學的排列組合中，全同物分配問題的內涵是完全一樣的，上述的問題就如同在問：把三顆同樣的球分到兩邊的方法有幾種？

以下試就玻色統計與古典統計理論間的差異做進一步的說明。在古典統計理論中，粒子是可分辨的且能量是連續的，而粒子隨能量分布的機率（P），會隨著能量的增加呈指數函數的遞減（在系統中，能量愈高的粒子個數愈少），這是古典統計的特徵。

玻色的統計方法則採用完全不同的思考模式。他認為頻率是 ν 的光裡，每個光子的能量都是 hν（這是量子論的假設前提），而且光子是不可分辨的，如同上述的例子，粒子的可能分布情形會大為減少，因此粒子的分布機率應該與古典統計的不同。於是他就著手重新計算光子擁有能量Ｅ的機率。

就像把學生分配到兩邊（兩個狀態）一樣，我們把光子分配到所有可能的光子狀態。在計算能量是 hν 的光子出現的機率時，應是把所有可能組合的機率加起來。如果光子是可分辨的，則在系統中光子被發現的機率，會隨能量的遞增（即光子群聚在一起的數目增加）呈指數式的遞減。但因為光子不可分辨，我們可以發現的可能組合數變少，因而每一組合的機率就會變大。

玻色認為黑體輻射既是光子，那麼在統計時也應該遵守能量不連續、粒子無法分辨的機率規則，這麼一來玻色計算出來的結果，恰與蒲朗克所做的計算及實驗結果完美地契合，這正是玻色統計最重要的貢獻。

而這也說明了因為分布情形數目上的差異，以至於在古典統計理論中會重複計算一些光子的狀態，所得到的光能量密度會比實驗的大很多，所以需要用到蒲朗克的方法加以修正。但如果我們運用玻色的想法重新計算在某溫度下，黑體輻射內光子擁有頻率 ν 的可能組合數，乘上光子具有的能量（這數值結果就是黑體輻射出來的輻射能），就會直接得到與實驗十分吻合的結果。

此後人們發現不僅僅只有光子遵守這種統計方式，在自然界中還有其他許多的基本粒子也遵守玻色的統計法則，於是就把這些遵守玻色統計方法的粒子稱為玻色子。

千里馬與伯樂

然而在 1923 年玻色剛提出這說法時，並不受到重視，他最初把這篇論文投稿到英國《哲學雜誌》（Philosophical Magazine）時，甚至遭拒。假若這篇論文能夠提早現世，在推展其他量子統計模型時，或許可以少走一些冤枉路。

古典統計理論的缺陷雖然可以由蒲朗克的假設完美地修正，但蒲朗克做的僅是假設黑體輻射的能量是 hν 的整數倍，他只取整數點的部分計算，在捨去其餘非整數量的結果下，恰好使得理論與實驗結果相符，但他並不知道自己為什麼要這麼做。也正因此蒲朗克所得到的結果雖然與實驗吻合，但對於統計力學的發展並無太多實質上的幫助。

而玻色統計之所以重要的原因正是在此，他再一次地證實了愛因斯坦的光量子說正確無誤，並藉此修正了蒲朗克的計算方法，重新給了正確的詮釋。我們不需要知道能量是如何集結在一起的，要知道能量的多寡，只要數光子就夠了，只要有光子存在，那狀態就具有能量，只是光子分布的情形並不如古典統計中所預期的那樣多而已。而這樣的想法使得無論在數學的計算上或物理意義的思考上，都變得更加簡潔方便與清晰。

然而我們並不能責怪當時的人們，因為那時物理學界正瀰漫著詭譎氣氛，許多有名望的大師級人物對於量子論一直都抱持著半信半疑的心情，包括蒲朗克自己。雖然量子論可以完美地解釋實驗結果，但由於他們長久以來受到古典物理的洗禮，對於這跨時代的嶄新想法根本無法想像，更遑論熟悉了。這種情形直到同年的康普頓效應被發現後才有了改觀，這個跨時代的觀念也才逐漸被物理界普遍接受與運用。

這也就難怪，對於一個來自印度加爾各答的年輕教授玻色而言，之前並沒有任何值得讓人眼睛一亮的成就，也沒有大師級的人物替他背書，再加上他修正的正是 1918 年得到諾貝爾獎肯定的蒲朗克大師的得獎論文，這種種因素都使得他所提出的觀點，在當時未被重視。

還好玻色不甘自己的心血付諸東流，他想起了在 1916 年左右，為了把廣義相對論譯成英文，與當時已享有盛名的愛因斯坦有過信件上的往來。於是決定求助愛因斯坦，期待愛因斯坦能肯定他論文的價值，並運用其影響力把它推薦給德國的雜誌。而愛因斯坦也沒有令玻色的期待落空，他很快地就看出玻色所做的工作有多麼重要，並且知道玻色的統計方式能把他自己提出的光量子想法，應用到更廣泛的物理系統上。

於是愛因斯坦親自把該篇論文譯成德文，在當年（1924 年）7 月初以玻色的名義投稿至《物理學刊》（Zeischrif fur Physik），並附言說：「依我看來，玻色推導蒲朗克公式的方法實為一重要的里程碑。該方法也可用來推演理想氣體的量子理論，不久我將發表其詳細結果。」而正如愛因斯坦本人所說的，他在短短數月中把玻色的理論廣泛地應用在其他粒子上，例如質子與中子數目和是偶數的原子核（如氦原子核）的物理系統上，並把它發展到極致。

他在隔年元月發表了結果，試著用德布羅意（de Broglie）1924 年 11 月博士論文中提出的物質波，來合理解釋玻色的獨特計算方法，並預測了現在稱為「玻色－愛因斯坦凝聚」的現象。而這也就是為什麼我們現在習慣稱玻色子統計方法為玻色－愛因斯坦統計的原因，因為若不是愛因斯坦，這理論也不會發展得這麼迅速及受到重視（註）。

這整個事件的發展正是愛因斯坦具有敏銳洞察力的又一個例子，無論是提出光量子說，或給予玻色統計正確的評價，還是提出了「玻色－愛因斯坦凝聚」的現象，在在都說明了他的洞察力遠遠超越他同時代的人。

很少人知道愛因斯坦到底是如何作出他那眾多預言的，尤其是他所作的預言離日常生活的經驗甚遠。然而時至今日，經過驗證，當時他所預測的幾乎都是對的，他的思維總是領先別人一大段距離。

關於玻色－愛因斯坦統計這件事情，彷彿只是愛因斯坦科學生涯中微不足道的一個小貢獻而已，畢竟愛因斯坦所做的事情實在太多了，然而這卻是玻色足以名留青史的全部。在接下來的時光中，有更多的物理學家前仆後繼地走向這條驗證愛因斯坦所說預言的艱辛路程，但他們的名字則多被人遺忘。

註：在隔年（1925 年），費米與狄拉克提出了粒子所遵守的另一種統計方式，稱為「費米－狄拉克統計」。遵守這種統計方式的粒子被稱為「費米子」，在自然界中屬於費米子的粒子有電子、質子、中子等。費米－狄拉克統計和玻色－愛因斯坦統計是統計力學的兩大基石，在自然界中的基本粒子必定符合其中一種統計方式。

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