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色影无忌
标题: 有没有烧微分几何和广义相对论的？ [打印本页][1 楼] 作者: liwei_phys 时间: 2012-9-10 12:40 标题: 有没有烧微分几何和广义相对论的？
师大梁灿彬的课程是一个不错的入门
[2 楼] 作者: 为梦燃烧 时间: 2012-9-10 13:09
这玩意儿太高深，以前考研的时候数学学得很不错，现在微积分基本上都忘记了
[3 楼] 作者: 百合大老 时间: 2012-9-10 13:13
人家在说微分几何，关微积分毛事啊…
[4 楼] 作者: michael2812 时间: 2012-9-10 13:28
[5 楼] 作者: pkuwj 时间: 2012-9-10 16:36
百合大老 发表于 2012-9-10 13:13
人家在说微分几何，关微积分毛事啊…
全还给老师了
[6 楼] 作者: liwei_phys 时间: 2012-9-13 00:43
梁老师擅长细的方面，一些详细的推导，但也使课程稍显拖沓。总体感觉前半部分微分几何不错，后半部分，广义相对论，特别是宇宙论部分，大的方面稍有不足。如常负曲率3维黎曼空间如何得以嵌入4维闵氏空间，没有给出合理解释。其实这里有个很精彩的点子，首先不是所有2维空间都可以嵌入3维空间，例子是2维常负曲率曲面不能嵌入3维欧氏空间（验证欧几里德第5公理的独立性），自然的推广是3维常负曲率面不能嵌入4维欧氏空间，自然也不可能画出图形来（因此画出鞍面来代表常负曲率空间反而是一个误导，实际上只有鞍点临域是负曲率），当然用这个图形作为负曲率空间的符号没有问题，但是应该指明以上诸点。
另外物质，场，辐射之间关系的讨论也十分糟糕，似乎想讨论‘存在’这个层面的问题，但是不得要领。
不过，套用屋脊常说的‘瑕不掩瑜’，这门课程仍然十分精彩，国内还没有比这个更好的，静下来，听完这个课程，必有收获
[7 楼] 作者: 摇光 时间: 2012-9-13 07:26
liwei_phys 发表于 2012-9-13 00:43
梁老师擅长细的方面，一些详细的推导，但也使课程稍显拖沓。总体感觉前半部分微分几何不错，后半部分，广义相对论，特别是宇宙论部分，大的方面稍有不足。如常负曲率3维黎曼空间如何得以嵌入4维闵氏空间，没有给出合理解释。其实这里有个很精彩的点子，首先不是所有2维空间都可以嵌入3维空间，例子是2维常负曲率曲面不能嵌入3维欧氏空间（验证欧几里德第5公理的独立性），自然的推广是3维常负曲率面不能嵌入4维欧氏空间，自然也不可能画出图形来（因此画出鞍面来代表常负曲率空间反而是一个误导，实际上只有鞍点临域是负曲率），当然用这个图形作为负曲率空间的符号没有问题，但是应该指明以上诸点。
另外物质，场，辐射之间关系的讨论也十分糟糕，似乎想讨论‘存在’这个层面的问题，但是不得要领。
不过，套用屋脊常说的‘瑕不掩瑜’，这门课程仍然十分精彩，国内还没有比这个更好的，静下来，听完这个课程，必有收获
在物理楼一层听过一节
[8 楼] 作者: saintcore 时间: 2012-9-13 07:32
这才是高端烧啊
[9 楼] 作者: liwei_phys 时间: 2012-9-13 23:24
对偶坐标系其实也有现成的例子可以抓。虽然直角坐标系对偶基矢标架是重合的，但是非直角坐标系（倾斜标架）却有直观的对偶坐标系，这样对偶矢量就能讲清楚了。矢量的定义太抽象会难倒一些人门者
[10 楼] 作者: liwei_phys 时间: 2012-9-18 07:54
(2-30)，宇宙膨胀红移，黑体辐射曲线形状对应温度部分讲解有误。应为峰值移动。
讲课中时常会有的小问题，每个人都一样，可以理解。
[11 楼] 作者: itou 时间: 2012-9-18 08:08
其实吧，即便是物理专业的，很多人对相对论都是知其然不知其所以然
仅仅能够计算，但不能理解其深义
也有很多只是掌握了狭义相对论而已
要说这世界上有能够粗略理解广义相对论的，
我认为他起码在哲学认识论上得有比较深厚的基础
本坛有个叫小菜的，他想得比较明白
[12 楼] 作者: 在在了了 时间: 2012-9-26 21:32
广义相对论需要什么数学
来自: yurodivy(sleep and eat) 2012-07-23 22:40:55
作者: 萍踪浪迹微分几何确实是广义相对论（GR）最为需要的基础，但是这种基础作用被很多人误解了。初等微分几何就是曲线论加曲面论，曲线论在GR中的直接作用非常小，虽然Frenet标架是活动标架的最直观例子。
曲面论中的大部分东西在GR中无法用上。但是有些核心的东西是非常重要的，首先度量（metric，物理上译为“度规”）是最基本的，需要掌握，自然需要知道什么是曲面的第一基本形式了。Christofeell符号需要掌握，并且要学会计算，Gauss曲率是Riemann截面曲率的特殊情形，需要掌握。测地线方程要非常熟练掌握，不然就不用学GR了。
张量分析非常重要，虽然现在很多文献都用整体的映射观点处理问题，但是局部的计算一般而言是无法避免的，这就必须用到烦琐的张量分析，张量分析素以指标繁多而著称，但是Einstein求和约定可以简化一部分写法。不会张量分析，基本上等于无法在GR上入门，造就的肯定是花拳绣腿。张量分析需要一定的线性代数基础，而且特别需要的是线性变换知识。
还必须掌握协变导数（微商），梯度，散度和旋度的一般表达式，掌握各种坐标中度量的表达式。
因为GR处理的四维时空，所以必须掌握Riemann几何学的基本概念，从Gauss定理出发，理解Riemann截面曲率，知道什么是常截面曲率空间，知道Ricci曲率，知道什么是Einstein空间，知道标量曲率。这些都不是初等微分几何的内容了。从这些看来，为学习GR而学习微分几何时，是要根据实际情况挑着学的。
平直时空对应的Minkowski空间已经和4维欧空间有很大的不同。那么弯曲时空对应的Lorentz流形（伪Riemann流形的一种）与4维 Riemann流形之间也有不少差别，比如一些刚性问题和完备性问题。这都提醒我们不要照搬Riemann几何教科书里的内容到GR之中。
时空的自微分同胚变换群是Lie群，所以最好掌握Lie群的基本概念，知道什么是Lie导数，知道什么是Killing矢量。掌握一些活动标架法有关的知识，这个工具被一些学者夸大了，因为它只在形式上使GR优美许多，但是没有那些学者宣扬得那么本质。掌握外微分和广义Stokes公式对理解流形的一些性质是有帮助的，在研究时空整体性质时，同调群和同伦群当然很重要，但是这不是初学者的事情了，所以我没有必要继续讨论这些拓扑学工具在GR中的应用。不过如果要看Hawking和Ellis的书的话，至少要掌握覆盖空间和泛（万有）覆盖空间这两个个概念（其实算一个概念，因为一个流形的万有覆盖空间可以覆盖它的所有覆盖空间，这就是“万有（universal）”的含义），掌握Penrose图的画法。
曲面论中的Gauss-Codazzi方程组需要掌握，因为在广义相对论中超曲面的研究需要这个方程组。微分几何中的很多东西如Weingarten变换就不必那么深究。但是测地坐标系要掌握。
以上是因为我们版上有同学因为对GR感兴趣而想学微分几何，我就写这点小小建议，写得比较零散，也不系统有序，大家凑合着看吧。希望对他以及其他有同样想法的同学有所帮助。
二零零七年六月二十三日 发表于繁星客栈
http://www.changhai.
曲面论中的大部分东西在GR中无法用上。但是有些核心的东西是非常重要的，首先度量（metric，物理上译为“度规”）是最基本的，需要掌握，自然需要知道什么是曲面的第一基本形式了。Christofeell符号需要掌握，并且要学会计算，Gauss曲率是Riemann截面曲率的特殊情形，需要掌握。测地线方程要非常熟练掌握，不然就不用学GR了。
张量分析非常重要，虽然现在很多文献都用整体的映射观点处理问题，但是局部的计算一般而言是无法避免的，这就必须用到烦琐的张量分析，张量分析素以指标繁多而著称，但是Einstein求和约定可以简化一部分写法。不会张量分析，基本上等于无法在GR上入门，造就的肯定是花拳绣腿。张量分析需要一定的线性代数基础，而且特别需要的是线性变换知识。
还必须掌握协变导数（微商），梯度，散度和旋度的一般表达式，掌握各种坐标中度量的表达式。
因为GR处理的四维时空，所以必须掌握Riemann几何学的基本概念，从Gauss定理出发，理解Riemann截面曲率，知道什么是常截面曲率空间，知道Ricci曲率，知道什么是Einstein空间，知道标量曲率。这些都不是初等微分几何的内容了。从这些看来，为学习GR而学习微分几何时，是要根据实际情况挑着学的。
平直时空对应的Minkowski空间已经和4维欧空间有很大的不同。那么弯曲时空对应的Lorentz流形（伪Riemann流形的一种）与4维 Riemann流形之间也有不少差别，比如一些刚性问题和完备性问题。这都提醒我们不要照搬Riemann几何教科书里的内容到GR之中。
时空的自微分同胚变换群是Lie群，所以最好掌握Lie群的基本概念，知道什么是Lie导数，知道什么是Killing矢量。掌握一些活动标架法有关的知识，这个工具被一些学者夸大了，因为它只在形式上使GR优美许多，但是没有那些学者宣扬得那么本质。掌握外微分和广义Stokes公式对理解流形的一些性质是有帮助的，在研究时空整体性质时，同调群和同伦群当然很重要，但是这不是初学者的事情了，所以我没有必要继续讨论这些拓扑学工具在GR中的应用。不过如果要看Hawking和Ellis的书的话，至少要掌握覆盖空间和泛（万有）覆盖空间这两个个概念（其实算一个概念，因为一个流形的万有覆盖空间可以覆盖它的所有覆盖空间，这就是“万有（universal）”的含义），掌握Penrose图的画法。
曲面论中的Gauss-Codazzi方程组需要掌握，因为在广义相对论中超曲面的研究需要这个方程组。微分几何中的很多东西如Weingarten变换就不必那么深究。但是测地坐标系要掌握。
以上是因为我们版上有同学因为对GR感兴趣而想学微分几何，我就写这点小小建议，写得比较零散，也不系统有序，大家凑合着看吧。希望对他以及其他有同样想法的同学有所帮助。
二零零七年六月二十三日 发表于繁星客栈
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