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量子Monte Carlo模拟法
量子Monte Carlo法是目前计算多粒子凝聚态系统的最精确的方法。一个有N个相互作用的电子的系统，需要3N维的Schrodinger方程才能求解。这看起来根本做不到，因此才有了独立电子近似的能带论等近似理论。然而，以随机行走为基础的量子Monte Carlo模拟，恰是直接求解多体Schrodinger方程的方法，它通过对多体试验波函数进行抽样，进而优化，获得系统的性质。
要想深入的掌握几种常用的量子Monte Carlo模拟法，需要一定的数学储备。这里只用积分，也可以对它有所理解。
需要指出的是，量子Monte Carlo模拟法并没有很多物理图像，而是由很多技术细节组成，使得计算效率增加，精度提高等等。由于技术细节相对枯燥，所以本文主要是介绍量子Monte Carlo的思想，就是从无到有，如何一步一步利用随机抽样，计算多体系统的性质。
一、赌博和随机模拟
为什么赌博的原理能成为解决量子多体物理的基础？举个例子就知道了。
在拉斯维加斯，赌大小是最简单的玩法。想必大家都知道，简述如下：同时掷三个骰子，如果点数之和<=9算小，>=10为大。这样看来，胜负概率相等，赌场没太有赚头（见注1），所以又加了一条，三个骰子数值相等时，庄家赢。就是这小小的1/36的概率差，保证了押注次数足够多时，庄家必胜。
投骰子次数足够多，可以保证庄家获胜；对波函数投骰子次数足够多，也可以保证系统的态趋向于真正的基态。两者的共同点，就是辛钦定理。
二、Monte Carlo法
Monte Carlo法就是用统计来模拟事件的方法。一个简单的例子是求圆周率pi，如图1. 如果想知道圆周率pi，可以在二维平面上边长为R的方块内，均匀撒点。然后计算点的坐标到正方形中心的距离。如果距离小于R，则点在圆内，反之点在圆外。圆周率可以从落在圆内的点的数目和总的点数目的比得到。那么点恰好落在圆周的时候，算是圆内还是圆外呢？其实没有影响。撒点足够多时，恰好落在圆上的点相对于播撒的总点数趋近于零测度。
Monte Carlo法在物理上有很多应用（更别提其他领域了），比如激光器发射的光子呈Poisson分布，可以被随机模拟；再比如电子显微镜里的电子束打进样本，发生散射，其散射截面也是概率性的，从而也可以被模拟。但是这里，为了研究量子多体系统，Monte Carlo的威力是可以计算多重积分。
除了积分表里的积分及其变种，其他的积分都需要数值求解。一个重要的里程碑是Simpson公式，定积分可以近似成：
这样，一维积分就可以分成很多小段，每个小段都可以用Simpson公式写出。然而，在高维积分情形下，Simpson公式的误差正比于M^(-4/d)，其中M为小段的数目，d为维度。这样看来，对于高维积分，其误差下降非常缓慢，运算效率很低。
这时就体现出了用Monte Carlo法计算多维积分的威力。至于为什么选择计算积分做例子，是因为它恰恰和多体理论的量子Monte Carlo法紧密相关。
方法如下：
1) 假设要计算一个N重积分I=∫g(R)dR，其中g(R)是被积函数，R是3N维矢量
2) 令P(R) 是任意概率密度函数，其值为正，定义新函数f(R) = g(R)/P(R)，则可以把积分重写为
I=∫f(R)P(R)dR.
3) 此时，对概率密度P(R) 进行采样，获得采样点R1, R2….RM。换句话说，R1, R2…是按照概率密度P(R) 分布的M个点（其实每个R都是矢量，但是叫它们为“点”无伤大雅）。
4）这个情形下，积分I就可以近似的写成
I ≈ {f(R1)+f(R2)+….+f(RM)}/M
即积分的值近似等于所有采样的算数平均值。
表面看起来，这样胡乱撒点，很难保证计算精度，其实不然。想想求圆周率时，均匀撒了足够多的点，最后可以以任意精确度逼近pi，这里按照P(R)概率密度函数撒了M个点，然后当M足够大时，这些求和的平均值，就会趋于真实的积分值。
这个结论，就是中心极限定理。据此，其计算统计误差σ，与采样点的数目M的平方根成反比，σ∝1/sqrt(M)。这样，只要采样足够多，误差可以控制在任意精度之内。
以上求积分的过程，就成为了量子Monte Carlo里最简单的变分Monte Carlo的基础。
三、变分Monte Carlo 法
能够完全N个相互作用电子的系统的是3N维的波函数。假设系统处于任意的试验波函数ΨT(R)， 则变分原理告诉我们，处于这个试验波函数下的系统的能量，一定不可能小于基态能量：
1)
左边式子积分号里被积函数，就相当于上一节Monte Carlo积分法里的被积函数积分g(R)。
2）对它做变换。联想到波函数的模方恰是概率密度，从而令P( R)= |ΨT(R)|2，此P(R)就可以当作刚才Monte Carlo积分里面的概率密度，则积分被重写为
这已经上一节从1)到2）的变换很像了。
不难看出，这里相当于上一节f(R)的是 ，这里叫它EL(R)，局域能量。因为它有能量的单位，但是又和R相关。
3）此时对波函数进行采样，得到很多符合概率密度P(R) 的采样点 R1, R2….RM。。
4）从而，变分能量也可以写成
E变分 ≈ { EL(R1)+ EL(R2)+….+ EL(RM) } / M
这样就得到了关于试验波函数的能量平均值。
5）从E变分到基态能量：
尽管求得了变分能量值，但该能量并非基态能量。接下来该怎么获得基态能量呢？奥秘在波函数里。波函数除了是N个电子的空间坐标R（R为3N为矢量）的函数，其实还带有一些待定参数。这些参数会被优化，使得变分能量尽可能的小，更加接近基态能量。如果采样采的好，并且试验波函数选取的好，那么变分能量的最小值，就会非常接近基态能量。如果用这个方法求分子的结合能，可以把
这样，波函数带有的参数优化之后，整个变分Monte Carlo过程就结束了。变分Monte Carlo最早用于求解量子液体He，作者McMillian发表于《物理评论》。对于这项重要的工作，他的导师，因三极管和超导理论获得两次诺贝尔物理奖的Bardeen，竟然谦虚的没有放上自己的名字。
然而，还有一些细节没有提到。比如如何获得采样，以及试验波函数如何选取。这两个问题对于正确的解答至关重要。
四、如何获得呈现P(R)分布的采样点
Metropolis算法可以实现采样。Metropolis仅仅是原始作者里的姓氏最靠前的一个人，而不是主要贡献者，但是还是以第一作者的位置把名声流传下来。
不同的采样不是假设两组采样各自独立，而是一个采样可以从上一个采样生成。假设已经有一组采样R，即第一个电子的坐标为r1, 第二个为r2 … 第N个为rN，
1）把现在的电子坐标R按照任意的概率密度函数T(R’ßR) 移动到新的电子坐标R’。
2）设定接受/拒绝新的坐标R’的机制，R’有一定概率被拒绝作为新的采样，也有一定概率接受。这个概率与T和P都有关。
下图就是以N=6个粒子为例子，简述从现有采样点R过渡到R’的过程，由于采样是对每个电子的3维坐标采样，这里也仅仅简化为1维坐标。每一次并不是全部的粒子都运动，好比N个电子的坐标构成一个聚合物，如果同时聚合物的每个单体都运动，那么就会耗费很多能量；聚合物的运动仅仅是一部分的运动，和整体平移的运动。然而如果每次不是所有单体都运动，那么采样后与采样前的坐标相差不大，这样的采样效率很低。从而，更好的办法是先把整体都平移，如b)，再选取一部分粒子，仅对这部分粒子坐标（相当于聚合物的单体）做按照概率密度T的随机行走，注意T是与坐标有关的函数（如c图）。当窗口内的坐标行走之后，再利用Metroplis算法，判定是否选取行走之后的坐标，为新的坐标R’。
有一点值得注意，如果给出算法的表达式（不复杂），可以发现，这样的采样，在足够长的采样步数（时间），即趋于平衡，之后，服从P(R)的概率分布，而且与T无关。
五、试验波函数的选取
显然，在变分法中，波函数的选取有很大的任意性。只要保证基本对称性，选取任何波函数都可以。然而，波函数的好坏，决定了运行的效率，更决定了能量的下限到底能够多么趋近与基态能量。这时就体现了选择波函数的重要性。
电子作为费米子，如果只考虑独立电子的交换效应，那么波函数就成了Slater行列式——两个自旋相同的电子不能占据空间的同一位置。假设电子之间的相互作用也被考虑进去，新的试验波函数就可以从Slater 行列式得出。
假设电子i和电子j的距离为rij, 势能为u(rij), 总的势能就可以对所有的势能求和，Σu(rij)。由于势能高的位置出现的概率较低，从而波函数写成势能的指数形式：
Exp{ -Σu(rij)}，把这样的一个式子与Slater 行列式相乘，就得到Slator-Jastrow的试验波函数。
六、投影Monte-Carlo模拟法
尽管变分Monte Carlo法已经可以很逼近真正的基态，但是仍旧有些不足。一个最大的缺陷就是，试验波函数的选取很大的决定了结果的好坏；变分后的能量与真实基态能量有一定差异，因此它不是预测相图的好方法。这时，在变分Monte Carlo的基础上，另一种量子Monte Carlo法——投影Monte-Carlo模拟，可以提供更高的精度。
投影Monte-Carlo法，把试验波函数做时间演化，足够长时间之后，试验波函数的投影出来的就是真正的基态波函数，证明如下：
1. 假设Hamiltonian的本征方程为：
Hφi=Eiφi，它满足封闭关系： Σ|φi><φi|=1.
2. 假设试验波函数是Ψ(0), 把它按照封闭关系分解：
| Ψ(0)>= Σ|φi><φi|Ψ(0)>
3. 在虚时间内，薛定谔方程相当于一个扩散方程，从而时间演化写成
| Ψ(t)>=exp[-t(H-E)] | Ψ(0)>= exp[-t(H-E)] Σ|φi><φi|Ψ(0)>
= Σ exp[-t(Ei-E)] |φi><φi|Ψ(0)>
4.注意到所有可能的试验波函数的本征值E都大于等于基态E0, 而从变分Monte-Carlo得到的试验的本征值E非常接近E0, 当t趋于无穷大时，由于指数项exp[-t(Ei-E)]的存在，除了基态以外的其他态都衰减为零。从而，投影剩下的态为真正基态.，即
5. | Ψ(t→∞)> = exp[-t(E0-E)] |φ0><φ0|Ψ(0)>
这里选用虚时间的作用也不难看出：尽管理论上，实时间里的无穷频率的振荡项也趋于零，但是在模拟采样过程中根本无法实现。
这样，就证明了一个中心结论：
虚时间下，对于波函数在无穷远的或者将来的时间演化趋于系统的真正基态。
由此，如果已经获得了从变分Monte Carlo的波函数，把它做时间演化，那么新的态将更加接近基态，从而减少系统误差。
七、如何对试验波函数做时间演化
第一步，首先做变分Monte-Carlo，获得已经初步优化过的试验波函数。在下图的一维势场的例子，甚至不必优化试验波函数，直接令试验波函数为均匀分布即可。
第二步，为了使用计算机计算，把试验波函数离散化。如果是均匀分布的试验波函数，那么只需要写成一系列Delta函数的和：
Ψ(0)=Σδ(x-xi)
对于每个Delta函数，都各自独立的进行随机行走（扩散本身就是一种随机行走），把每个delta函数叫做一个步行者。
第三步，对这个试验波函数进行时间演化
如果没有外势场，那么虚时间里的薛定谔方程就相当于扩散方程，从而每个Delta函数形式的步行者，会演化为一个Gaussian波包，即扩散方程的解。假设步行者的中心从xi扩散至x, 这个过程相当于把Delta函数展宽，其格林函数写成是：
此时时间演化后的波函数就会变为
Ψ(t)=ΣG(x-xi)
在有外势场的情况下，可以证明，在时间步长t比较小的时候，传播子只需要多乘以一项P(xi, x)=exp[-(V(xi)+V(x)-2E))t]，就可以做总的时间演化。
这样，在势场的作用下，获得的新的波函数，就可以写成
Ψ(t)=ΣG(x-xi)P(xi, x)
然而，实际应用中，每个步行者可以死亡或者生殖；其概率根据P来决定。从P的形式可以看出，如果势场比较高，那么P值比较小，步行者就有较高的死亡率。如果势场比较低，P值较大，从而步行者有更多的机会存活。经过稍微改进的生存/死亡算法，最终就可以得到经过生死劫的步行者，也就是一系列的格林函数，它们的和，就最终会收敛到真正的基态波函数上。
七、结语
限于篇幅，很多重要的信息没有来得及介绍。比如费米子的符号问题以及解决办法，路径积分Monte-Carlo如何推广到有限温度，甚至应用于等离子体，以及用它获得相图，或者求解量子固体氢和液态氦的实际例子。这些将适时增补。
注1：即使概率相同，比如翻硬币，那么本金大的也有更大的概率赢。这是由于涨落随着投掷次数增加而增加。假设赌场本金为无穷大，长久看来，也是赌场必胜。
量子Monte Carlo法是目前计算多粒子凝聚态系统的最精确的方法。一个有N个相互作用的电子的系统，需要3N维的Schrodinger方程才能求解。这看起来根本做不到，因此才有了独立电子近似的能带论等近似理论。然而，以随机行走为基础的量子Monte Carlo模拟，恰是直接求解多体Schrodinger方程的方法，它通过对多体试验波函数进行抽样，进而优化，获得系统的性质。
要想深入的掌握几种常用的量子Monte Carlo模拟法，需要一定的数学储备。这里只用积分，也可以对它有所理解。
需要指出的是，量子Monte Carlo模拟法并没有很多物理图像，而是由很多技术细节组成，使得计算效率增加，精度提高等等。由于技术细节相对枯燥，所以本文主要是介绍量子Monte Carlo的思想，就是从无到有，如何一步一步利用随机抽样，计算多体系统的性质。
一、赌博和随机模拟
为什么赌博的原理能成为解决量子多体物理的基础？举个例子就知道了。
在拉斯维加斯，赌大小是最简单的玩法。想必大家都知道，简述如下：同时掷三个骰子，如果点数之和<=9算小，>=10为大。这样看来，胜负概率相等，赌场没太有赚头（见注1），所以又加了一条，三个骰子数值相等时，庄家赢。就是这小小的1/36的概率差，保证了押注次数足够多时，庄家必胜。
投骰子次数足够多，可以保证庄家获胜；对波函数投骰子次数足够多，也可以保证系统的态趋向于真正的基态。两者的共同点，就是辛钦定理。
二、Monte Carlo法
Monte Carlo法就是用统计来模拟事件的方法。一个简单的例子是求圆周率pi，如图1. 如果想知道圆周率pi，可以在二维平面上边长为R的方块内，均匀撒点。然后计算点的坐标到正方形中心的距离。如果距离小于R，则点在圆内，反之点在圆外。圆周率可以从落在圆内的点的数目和总的点数目的比得到。那么点恰好落在圆周的时候，算是圆内还是圆外呢？其实没有影响。撒点足够多时，恰好落在圆上的点相对于播撒的总点数趋近于零测度。
Monte Carlo法在物理上有很多应用（更别提其他领域了），比如激光器发射的光子呈Poisson分布，可以被随机模拟；再比如电子显微镜里的电子束打进样本，发生散射，其散射截面也是概率性的，从而也可以被模拟。但是这里，为了研究量子多体系统，Monte Carlo的威力是可以计算多重积分。
除了积分表里的积分及其变种，其他的积分都需要数值求解。一个重要的里程碑是Simpson公式，定积分可以近似成：
这样，一维积分就可以分成很多小段，每个小段都可以用Simpson公式写出。然而，在高维积分情形下，Simpson公式的误差正比于M^(-4/d)，其中M为小段的数目，d为维度。这样看来，对于高维积分，其误差下降非常缓慢，运算效率很低。
这时就体现出了用Monte Carlo法计算多维积分的威力。至于为什么选择计算积分做例子，是因为它恰恰和多体理论的量子Monte Carlo法紧密相关。
方法如下：
1) 假设要计算一个N重积分I=∫g(R)dR，其中g(R)是被积函数，R是3N维矢量
2) 令P(R) 是任意概率密度函数，其值为正，定义新函数f(R) = g(R)/P(R)，则可以把积分重写为
I=∫f(R)P(R)dR.
3) 此时，对概率密度P(R) 进行采样，获得采样点R1, R2….RM。换句话说，R1, R2…是按照概率密度P(R) 分布的M个点（其实每个R都是矢量，但是叫它们为“点”无伤大雅）。
4）这个情形下，积分I就可以近似的写成
I ≈ {f(R1)+f(R2)+….+f(RM)}/M
即积分的值近似等于所有采样的算数平均值。
表面看起来，这样胡乱撒点，很难保证计算精度，其实不然。想想求圆周率时，均匀撒了足够多的点，最后可以以任意精确度逼近pi，这里按照P(R)概率密度函数撒了M个点，然后当M足够大时，这些求和的平均值，就会趋于真实的积分值。
这个结论，就是中心极限定理。据此，其计算统计误差σ，与采样点的数目M的平方根成反比，σ∝1/sqrt(M)。这样，只要采样足够多，误差可以控制在任意精度之内。
以上求积分的过程，就成为了量子Monte Carlo里最简单的变分Monte Carlo的基础。
三、变分Monte Carlo 法
能够完全N个相互作用电子的系统的是3N维的波函数。假设系统处于任意的试验波函数ΨT(R)， 则变分原理告诉我们，处于这个试验波函数下的系统的能量，一定不可能小于基态能量：
1)
左边式子积分号里被积函数，就相当于上一节Monte Carlo积分法里的被积函数积分g(R)。
2）对它做变换。联想到波函数的模方恰是概率密度，从而令P( R)= |ΨT(R)|2，此P(R)就可以当作刚才Monte Carlo积分里面的概率密度，则积分被重写为
这已经上一节从1)到2）的变换很像了。
不难看出，这里相当于上一节f(R)的是 ，这里叫它EL(R)，局域能量。因为它有能量的单位，但是又和R相关。
3）此时对波函数进行采样，得到很多符合概率密度P(R) 的采样点 R1, R2….RM。。
4）从而，变分能量也可以写成
E变分 ≈ { EL(R1)+ EL(R2)+….+ EL(RM) } / M
这样就得到了关于试验波函数的能量平均值。
5）从E变分到基态能量：
尽管求得了变分能量值，但该能量并非基态能量。接下来该怎么获得基态能量呢？奥秘在波函数里。波函数除了是N个电子的空间坐标R（R为3N为矢量）的函数，其实还带有一些待定参数。这些参数会被优化，使得变分能量尽可能的小，更加接近基态能量。如果采样采的好，并且试验波函数选取的好，那么变分能量的最小值，就会非常接近基态能量。如果用这个方法求分子的结合能，可以把
这样，波函数带有的参数优化之后，整个变分Monte Carlo过程就结束了。变分Monte Carlo最早用于求解量子液体He，作者McMillian发表于《物理评论》。对于这项重要的工作，他的导师，因三极管和超导理论获得两次诺贝尔物理奖的Bardeen，竟然谦虚的没有放上自己的名字。
然而，还有一些细节没有提到。比如如何获得采样，以及试验波函数如何选取。这两个问题对于正确的解答至关重要。
四、如何获得呈现P(R)分布的采样点
Metropolis算法可以实现采样。Metropolis仅仅是原始作者里的姓氏最靠前的一个人，而不是主要贡献者，但是还是以第一作者的位置把名声流传下来。
不同的采样不是假设两组采样各自独立，而是一个采样可以从上一个采样生成。假设已经有一组采样R，即第一个电子的坐标为r1, 第二个为r2 … 第N个为rN，
1）把现在的电子坐标R按照任意的概率密度函数T(R’ßR) 移动到新的电子坐标R’。
2）设定接受/拒绝新的坐标R’的机制，R’有一定概率被拒绝作为新的采样，也有一定概率接受。这个概率与T和P都有关。
下图就是以N=6个粒子为例子，简述从现有采样点R过渡到R’的过程，由于采样是对每个电子的3维坐标采样，这里也仅仅简化为1维坐标。每一次并不是全部的粒子都运动，好比N个电子的坐标构成一个聚合物，如果同时聚合物的每个单体都运动，那么就会耗费很多能量；聚合物的运动仅仅是一部分的运动，和整体平移的运动。然而如果每次不是所有单体都运动，那么采样后与采样前的坐标相差不大，这样的采样效率很低。从而，更好的办法是先把整体都平移，如b)，再选取一部分粒子，仅对这部分粒子坐标（相当于聚合物的单体）做按照概率密度T的随机行走，注意T是与坐标有关的函数（如c图）。当窗口内的坐标行走之后，再利用Metroplis算法，判定是否选取行走之后的坐标，为新的坐标R’。
有一点值得注意，如果给出算法的表达式（不复杂），可以发现，这样的采样，在足够长的采样步数（时间），即趋于平衡，之后，服从P(R)的概率分布，而且与T无关。
五、试验波函数的选取
显然，在变分法中，波函数的选取有很大的任意性。只要保证基本对称性，选取任何波函数都可以。然而，波函数的好坏，决定了运行的效率，更决定了能量的下限到底能够多么趋近与基态能量。这时就体现了选择波函数的重要性。
电子作为费米子，如果只考虑独立电子的交换效应，那么波函数就成了Slater行列式——两个自旋相同的电子不能占据空间的同一位置。假设电子之间的相互作用也被考虑进去，新的试验波函数就可以从Slater 行列式得出。
假设电子i和电子j的距离为rij, 势能为u(rij), 总的势能就可以对所有的势能求和，Σu(rij)。由于势能高的位置出现的概率较低，从而波函数写成势能的指数形式：
Exp{ -Σu(rij)}，把这样的一个式子与Slater 行列式相乘，就得到Slator-Jastrow的试验波函数。
六、投影Monte-Carlo模拟法
尽管变分Monte Carlo法已经可以很逼近真正的基态，但是仍旧有些不足。一个最大的缺陷就是，试验波函数的选取很大的决定了结果的好坏；变分后的能量与真实基态能量有一定差异，因此它不是预测相图的好方法。这时，在变分Monte Carlo的基础上，另一种量子Monte Carlo法——投影Monte-Carlo模拟，可以提供更高的精度。
投影Monte-Carlo法，把试验波函数做时间演化，足够长时间之后，试验波函数的投影出来的就是真正的基态波函数，证明如下：
1. 假设Hamiltonian的本征方程为：
Hφi=Eiφi，它满足封闭关系： Σ|φi><φi|=1.
2. 假设试验波函数是Ψ(0), 把它按照封闭关系分解：
| Ψ(0)>= Σ|φi><φi|Ψ(0)>
3. 在虚时间内，薛定谔方程相当于一个扩散方程，从而时间演化写成
| Ψ(t)>=exp[-t(H-E)] | Ψ(0)>= exp[-t(H-E)] Σ|φi><φi|Ψ(0)>
= Σ exp[-t(Ei-E)] |φi><φi|Ψ(0)>
4.注意到所有可能的试验波函数的本征值E都大于等于基态E0, 而从变分Monte-Carlo得到的试验的本征值E非常接近E0, 当t趋于无穷大时，由于指数项exp[-t(Ei-E)]的存在，除了基态以外的其他态都衰减为零。从而，投影剩下的态为真正基态.，即
5. | Ψ(t→∞)> = exp[-t(E0-E)] |φ0><φ0|Ψ(0)>
这里选用虚时间的作用也不难看出：尽管理论上，实时间里的无穷频率的振荡项也趋于零，但是在模拟采样过程中根本无法实现。
这样，就证明了一个中心结论：
虚时间下，对于波函数在无穷远的或者将来的时间演化趋于系统的真正基态。
由此，如果已经获得了从变分Monte Carlo的波函数，把它做时间演化，那么新的态将更加接近基态，从而减少系统误差。
七、如何对试验波函数做时间演化
第一步，首先做变分Monte-Carlo，获得已经初步优化过的试验波函数。在下图的一维势场的例子，甚至不必优化试验波函数，直接令试验波函数为均匀分布即可。
第二步，为了使用计算机计算，把试验波函数离散化。如果是均匀分布的试验波函数，那么只需要写成一系列Delta函数的和：
Ψ(0)=Σδ(x-xi)
对于每个Delta函数，都各自独立的进行随机行走（扩散本身就是一种随机行走），把每个delta函数叫做一个步行者。
第三步，对这个试验波函数进行时间演化
如果没有外势场，那么虚时间里的薛定谔方程就相当于扩散方程，从而每个Delta函数形式的步行者，会演化为一个Gaussian波包，即扩散方程的解。假设步行者的中心从xi扩散至x, 这个过程相当于把Delta函数展宽，其格林函数写成是：
此时时间演化后的波函数就会变为
Ψ(t)=ΣG(x-xi)
在有外势场的情况下，可以证明，在时间步长t比较小的时候，传播子只需要多乘以一项P(xi, x)=exp[-(V(xi)+V(x)-2E))t]，就可以做总的时间演化。
这样，在势场的作用下，获得的新的波函数，就可以写成
Ψ(t)=ΣG(x-xi)P(xi, x)
然而，实际应用中，每个步行者可以死亡或者生殖；其概率根据P来决定。从P的形式可以看出，如果势场比较高，那么P值比较小，步行者就有较高的死亡率。如果势场比较低，P值较大，从而步行者有更多的机会存活。经过稍微改进的生存/死亡算法，最终就可以得到经过生死劫的步行者，也就是一系列的格林函数，它们的和，就最终会收敛到真正的基态波函数上。
七、结语
限于篇幅，很多重要的信息没有来得及介绍。比如费米子的符号问题以及解决办法，路径积分Monte-Carlo如何推广到有限温度，甚至应用于等离子体，以及用它获得相图，或者求解量子固体氢和液态氦的实际例子。这些将适时增补。
注1：即使概率相同，比如翻硬币，那么本金大的也有更大的概率赢。这是由于涨落随着投掷次数增加而增加。假设赌场本金为无穷大，长久看来，也是赌场必胜。
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