这学期的黎曼几何课昨天结束了，向大家介绍一下我们的教材《黎曼几何基础》（唐梓洲著北师大出版社）。这门课我前后听过三次，前两次用的英文版讲义，这一次是中文版教材，对它有一定的熟悉程度。
这是一本关于几何的书，开篇便是微分流形，以多元微积分和初等线性代数为起点，用尽可能短的篇幅完整介绍了流形的基本概念，随后便是度量、联络、曲率、Jacobi场等必备的黎曼几何概念，最后讲述子流形几何和Hermitian几何。值得一提的是，第一章的末尾完整叙述了李群李代数的相关概念，可以看做一个小型的李群教程。
通常的黎曼几何教材从多重线性代数的准备知识入手，开篇便是对偶空间、张量积、外代数（Grassmann代数）的运算法则，一个概念接着一个概念，完全的代数风格。初学者往往一上来便豪情万丈浮想联翩，一种接触现代数学的错觉油然而生，接着便是扑上去沉沦于张量上下标的海洋中不能自拔，醉心于摆弄符号运算规则，不经意间几何直观消逝殆尽，完全忘记了所读的是一本关于“几何”的书。
如Atiyah所说，对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是魔鬼回馈给数学家的礼物，条件是暂时停止用几何的观念考虑问题。唐老师的《黎曼几何基础》花了很大的心思来避免这种不必要的抽象，尽可能的就题论题，直接入手。例如，书中讲微分形式、外微分运算，但并不提没必要的“对偶空间”、“外代数”等概念；书中先是几何风格地讲述了度量张量、黎曼曲率张量，等读者通过前几章的学习过渡适应了，才在第五章第四节给出（或者说是总结出）张量的一般定义。随后介绍张量的协变微分概念，紧接着便给出应用，即第二Bianchi恒等式。总之，这里都是以几何为中心来组织代数概念，不到万不得已，并不随意引进新的代数概念。
这本书的方法始终是“直接入手”，即尝试尽可能直接证明问题，而不是套用一般的抽象理论。最明显的例子是5.5节，书中直接用初等微积分算出了单位球面的上同调群。
这本书明显受作者科研兴趣的影响。唐老师早年关心黎曼流形的等距嵌入问题，以及近复结构的可积性问题，这些在书中都有体现。例如，书中的例题和习题多次涉及到射影空间到欧氏空间的浸入、嵌入问题，Lobatcheski上半平面到四维欧氏空间的等距浸入存在性问题等，给出了一些其他黎曼几何教材中不太常见的例题和习题；再如，本书最后讲述Hermitian几何，但重点不在讨论复结构或Kahler结构，而是侧重讨论复结构存在的几何拓扑限制。另外，《黎曼几何基础》中，多个例题习题都有提到四元数、八元数（Cayley数）的运用，这也是受作者科研兴趣的影响。
《黎曼几何基础》中介绍不变形式法和活动标架两套运算工具，其中活动标架法可以说是详细的系统讲述了三次，先是在讲述黎曼流形的结构方程时，然后是子流形几何部分、Hermitian几何的活动标架途径。活动标架法是E.Cartan的独创，陈省身先生将它运用到炉火纯青的程度，唐老师的导师彭家贵先生则是第一个将活动标架法带回大陆的人。
用150页左右的篇幅完整黎曼几何几乎完全不可能，书中很多话题也只是点到为止。比如第六章讲Jacobi场及其共轭点，通常情况下之后紧跟着便是指标形式和各种经典的曲率比较定理；又如第八章讲Hermitian，提到Kaehler流形具有相当好的几何拓扑性质，便完全不再往下深入了，当然这些方面并不缺乏成熟的教材。总之，唐老师的教材主要着眼点还是基础的内容，对于进一步的学习只满足于指出方向。
当然，如果作为读者，您坚持Peter Petersen的Riemiann Geometry更好些，那只能说明您已不是刚入门阶段的读者了，这本书不是为你写的。
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